Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage Frédéric GOLAY Pierre SEPPECHER...
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Optimisation topologique de formeset adaptation de maillage
Frédéric GOLAY
Pierre SEPPECHER
Mikaël STEHLY
Laboratoire ANAM
Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation
Université de Toulon et du Var
Plan
Approche matériaux à blocage
Formulation numérique
Quelques exemples
Validation analytique
Raffinement de maillage
dvFMin
1:D:
.A.Cv
duFMin
MdVh0)x(h
élasticité'dpbduSolutionu
Approche matériaux à blocage
u
Déplacement solution du pb d ’élasticité
vv2
1 Tv
Tenseur des déformations
D Tenseur d ’élasticité
épaisseur de plaque)x(h
Domaine de conception
F
Soient : Le volume dx)x(hV v un champ de déplacement C.A.
L’énergie élastique dxh:D:2
1)h( uu
L’énergie potentielle dlv.Fdxh:D:2
1)h,v(J vv
le champ de déplacement solution du problème d’élasticité u minimise J(v,h)
dlv.F2
1dxh:D:
2
1)h,u(J)h( uu
)h(InfPOP
Vdx)x(h0h
)h,v(JSupInfv
Vdx)x(h0h
Théorème du MinMax
)h,v(JInfSup
Vdx)x(h0hv
dlv.Fdxh:D:2
1SupInf vv
Vdx)x(h0hv
On pose s
vw et
vv :D:s
dlw.Fs:D:2
VsInf ww
2
1:D:s,w
ww
On concentre h où l’énergie est la plus élevée
dlv.F:D:
2
VInf vvv
2
1:D:w
dlw.FInfV2
1
ww
L’inf sur s est atteint pour dlw.FV
1s
2
1:D:w
dlw.FV2
1Inf
ww
Formulation numérique
On approxime la norme infinie
p
1p
vvpdx:D:lim
ww :D:
dlv.F2:D:VInf vvv
dlv.F2dx:D:V)v(J
p
1p
vvp
Vv).u(Jp
dx:D::D:2 vu
1p
uu
dlv.F2
1
dx:D:
1pp
uu
Problème d’élasticité non-linéaire en contraintes planes
avec
1
p
1
p
uu
1p
uu dx:D::D:V)u(H
dlv.F
dx:D:)u(H vu
Formulation analogue
:D:
1p
uuOn pose h(u)=
h(u)
dx:D: vu
dlv.F
V
dx :D: uu
1p
1
h(u)
dlv.F
dlv.Fdx:D:dx:D:V vu
:D:
1p
uu
1p
1
p
uu
Formulation Eléments Finis
Avec les notations vectorielles habituelles
uB u)x(N)x(u et
e elte elte
T1p FNuBDBH)u(R
On réécrit le problème sous la forme
0Fu)u(K)u(R Soit à résoudre le problème non-linéaire
avec
e elt
T1p
eT
e BDBuBDBu)u(K
Le problème est fortement non-linéaireDonc, à partir de la solution élastique, on incrémente la valeur de p
)1i()i(
)1i()1i(
uuu
)u(Ru)u(u
R
v:wDHv:uDw:uDH)1p(2 ss1pssss2p
Résolution par Newton-Raphson
Dérivée seconde
Ecriture matricielle
H)1p(2u
R T2p BDBHT1p
uBDB
T
uBDBT
Validation Analytique
F
F
F
F
44 2y
1
2x
1h
2x2y
1p
2y2x
1p
x
y
Validation Analytique
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1 10 100
Paramètre p
Nor
me
L2
de l'
erre
ur s
ur l'
épai
sseu
r
Maillage 20x20
Maillage 40x40
Maillage 80x80
Ecart relatif
Quelques exemples
p=5p=25
p=109
Th
ick
nes
s
BA
e1 e1 e2
e1e1
e2e3
e4
e1e1
e2? Un Elt créé ?
Elt conforme ?
Elt à raffiner ?
Boucle sur les éléments
Fin de boucle sur les éléments
raffinement
Essai de découpage
Oui
Non
OuiNon
Oui
Non
Raffinement de maillage
e1
e1 e2
e3e4
e1
e1
e1
e2e1 e1
e2
e3
e1 e1
e2
e3
e1
e2e3
e4
e1
Méthode:Par permutation on se replace dans les cas élémentaires
Difficulté:Comment discerner les nœuds non conformes
P=0,2,4
Raf
P=4,6
Raf
P=6,8,12,16Raf
P=16,20,24,28
Qualité ?Critère ?Stratégie ?
A
B
C
a
b
c ricba
aire2ri
rccba
aire4rc
Qualité
20rcri
On maîtrise la qualité du maillage
50riMax
ri
elt
On maîtrise l’évolution du maillage
1 2
3
4
1 2
3
4
1 2
3
4+
Critère
On applique la méthodologie de Zienkiewicz
L’épaisseur est un champ discontinu hd, on cherche donc le champ continu hc qui l’approche au mieux:
0d, hh dc
On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis iic h)y,x(N)y,x(h
elt e
edjelt e
eiij dvhNdvhNN
elt e ed
elt e edvhNhdvN N
Critères utilisés ….
e cdeh
e
1
e
2dehe
1c
cehMax
e
cc dehhe
1
e
2
cd dehhe
1
cdehhMax
e d deh
e
1
e
2
d dehe
1
dehMax
+ Normalisation
P = 2Nelt = 130Nnoe=399
P = 4Nelt=244Nnoe=679
P = 6Nelt=357Nnoe=956
P = 8Nelt=510Nnoe=1353
P = 10Nelt=759Nnoe=1898
P = 12Nelt=947Nnoe=2282
P = 14Nelt=1170Nnoe=2723
P=2
Temps de calcul avec remaillage: 1166 sTemps de calcul sur maillage optimisé: 1262 s
Critère épaisseur moyenne Critère épaisseur max
Critère différence moyenne Critère gradient maximal
Calcul d’erreur a posteriori
eface e
2
u dlD)u(h2
1e
2ece deR 22
e r
2
1
e
2eKerreur
R. Verfürth (2000)
dlAAuerreur 2l
2'p
arêtes arêtel
1p
areteh
2p
harete
h
2p
hl uuuuA
1'p
1
p
1
avec
0uudiv2p
W. Liu & N. Yan (2001)
Conclusions et perspectives
Mise en œuvre simple
Résolution numérique validée en 2D
Un bon outil initial de dimensionnement
Raffinement validé
Critères intuitifs efficaces
Erreurs a posteriori en cours d’étude
SIC2002