1

Multidiffusion en milieu aléatoire

Francine Luppé LOMC-GOA

Jean-Marc Conoir IJLRDA

On traite de la propagation des ondes en régime linéaire

Diffuseur

2

Régime de localisation forte (localisation d’Anderson)

1958, Anderson prédit qu’un désordre suffisamment fort peut bloquer la propagation

des électrons dans un métal et transformer un conducteur en un isolant électrique.

Régime diffusif (cône de rétro-diffusion cohérente)

Régime propagatif

q( )sk q

r

inckr

Direction de propagation

Onde cohérente

3

Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple (diffuseurs localisés)

Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),…

Formalisme basé sur les fonctions de Green

(équation de DYSON & diagrammes de Feynman)

Bourret (1962), Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Frish (1965), …

4

Plan

Milieu hôte = fluide

Les équations de la diffusion multiple

Le nombre d ’onde de l ’onde cohérente = nombre d ’onde effectif

Le milieu effectif = milieu équivalent du point de vue de l ’ acoustique et du champ cohérent

? Milieu hôte = solide élastique / poro-élastique ?

Le champ moyen se propage

5

Les équations de la diffusion multiple

1

( ( ;( ) ))N

jS jinc r rr r

=

yyy = +år rr r

rr

jrrdiffuseur j

incy

( ; ) ( ) ( ; )N

Ej inc S k

k j

r r r r r¹

y =y + yår r r r r j

k j¹

( ; ) ( ) ( ; )ES j j jr r T r r ry = yr r r r r Relation de

fermeture

6

1

( ) ( ) ( ) ( ; )N

Einc j j

j

r r T r r r=

y =y + yår r r r r

( ; ) ( ) ( ) ( ; )N

E Ej inc k k

k j

r r r T r r r¹

y =y + yår r r r r r

Ne sachant pas résoudre les équations qui gouvernent le champ, on cherche l’équation qui gouverne le champ

moyen (en espérant que ce soit plus simple)

1 1 1( ) ( , ,..., ) ( ,..., ) ...N N Nr r r r p r r dr dry = yòr r r r r r

( ) ( )1 1 1( , ,..., ) ,..'.., ..'..j N N j Nr r r r r p r r r dr dry = yòr r r r r r r r

7

1

( ) ( ) ( ) ( ; )N

Einc j j

j

r r T r r r=

y =y + yår r r r r

( )( ) ( ) ( ) ( )Einc j j j jr r T r r r n r dry =y + yò

r r r r r r

( ) ( )j jNp r n r=r r( ) ( )1 1,..., ,..'.., ( )N N j jp r r p r r r p r=

r r r r r r

( ; ) ( ) ( ) ( ; )N

E Ej inc k k

k j

r r r T r r r¹

y =y + yår r r r r r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ,E Ej inc k j k j k kr r r T r r r r n r r dry =y + yò

r r r r r r r r r

( ) ( )1 1,..'.., ,..''.., , ( )N j N j k j kp r r r p r r r r p r r=r r r r r r r r r

8

APPROXIMATION DE FOLDY

( ) ( )Ej jr r ry y

r r r;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )inc j j j jr r T r r n r dry =y + yòr r r r r

APPROXIMATION QUASI CRISTALLINE (QCA)

( ) ( ),E Ej k kr r r r ry y

r r r r r;

( ) ( ) ( )( ) ( )E Ej inc k k j k kr r r T r r r n r r dry =y + yò

r r r r r r r r

( )( ) ( ) ( ) ( )Einc j j j jr r T r r r n r dry =y + yò

r r r r r r

9

Formule de Foldy (1945)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )inc j j j jr r T r r n r dry =y + yòr r r r r

2 2 2 20( ) ( ) ( ) ( )j j jk r n g k r k G r r dré ù é ùÑ + y = y Ñ + -ê ú ê úë û ë ûò

r rr r r r

2 20 ( ) ( )s sk G r r r ré ùÑ + - =- d -ê úë û

r r r r r

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j sT r r g k r G r ry = y -r r r r r

0( )jn r n=r

2 20) ( ) ( ) ( )k r n g k ré ùÑ + y =- yê úë û

r r r

2 2 ( ) 0effk ré ùÑ + y =ê úë û

r r2 20 ( )effk k n g k= +

10

(1)

( 4)0

(

( ,

)

2( ) )

n

i kr

n inS n

n

inn

n

i T e

T e

H kr

e G krkr

f k- qp ¥

qf =

=p

q

å

å;

Hypothèse de champ lointainkr ®¥

C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible »

Fonction de forme en champ

lointain

11

Les formules célèbres (0)f( )f p

ISA: Independent Scattering Approximation2

02

1 4 (0)effk ni f

k k

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø

2 2 2

0 02 2

2 21 (0) ( )effk n n

f fk ik ik

æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ç ç= + - p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çç ÷ è ø è øè ø

Waterman & Truell (1961)

Fikioris & Waterman (1964) : hole correction

a

( ) 0j kn r r n=r r

j k br r- >r r

( ) 0j kn r r =r r

j k br r- £r r 2b a

D(keff)=0

Rayon d ’exclusion

12

[ ]2

02

204

0

2

81 4 ( c ( )

20 ot)effk n

i fk k

n dg f d

k d

p æöq÷ç+ q q÷ç ÷çè øp

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø qò

Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)

2002

0 1 1n

b n ak

et dans un solide ?

dans un milieu poro-élastique ?

Chaque onde cohérente obéit-elle à sa propre équation de dispersion ?

( ) ( )( ) ( )

0LT TL

LT LT

f f

f f

= p

p = pL=1,2

( ) ( )( ) ( )

12

21

0 , 0

0 , 0

LT

TL

f f

f f

q ¹ q ¹

q ¹ q ¹

13

Varadan, Ma, Varadan 1986 (solide)

FW

Luppé, Conoir, Robert 2008 (poro-élastique)

Onde T : pas de couplage

Ondes rapide et lente couplées

Conoir, Norris 2009 (solide) , FW, b tend vers 0

Couplage ondes L et T

Couplage , sauf en basse fréquence

2 2 2

0 02 2

2 21 (0) ( )effk n n

f fk ik ik

æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ç ç= + - p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çç ÷ è ø è øè øWT

Yang et Mal 1994  (solide)

LM

Tw=WT

14

Milieu effectif

keff complexe Fluide visqueux

? ?,,eff eff eff effc

keffMode acoustique

Mode rotationnel

en moyenne

2

22

2

1

1eff

eff e f

fa

f

ef

Ki

cc

22 2 0 0

02 41 4 0 8eff

n nk k if J

k k

15

Coefficient de réflexion à l ’interface

fluide parfait /Milieu aléatoire

Fluide visqueux

Nombre d ’onde

effectif

du mode acoustique

ceff = c0 (fluide hôte)

1-

2-

3-

dépendent de la fréquence et de

l ’angle d ’incidence

, eff eff

sauf (très) basse fréquence (ka<1)

16

ara

Chekroun, Le Marrec, Lombard, Piraux, Abraham (2009)

0=aL

0

2L

n;

+ n0 grand, + la cohérence est « rapide »

(a=cte)

( )? avec ?

?? ka ??

L kZ

?+ il y a de diffuseurs par longueur d ’onde, + la cohérence est « rapide »?

17

L aµ

Fikioris & Waterman, Linton & Martin

1 1kL ka<< Û <<

LFW+LM+Chekroun et al.

0

?? ??ka

Ln

µ

02

1 1n

kL kak

<< Û << <

18

Le calcul du coefficient de réflexion à l ’interface

n ’est valide que si ka <<1

2

20 02 4

2

1

2 0

,

1 0eff n ni

ka

f f f fk k

22

2 20 02 4

4 0 0 6 0eff

n ncf i f f f f

k k

?? ??

19

Fikioris et Waterman pour poro-élastique

b tend vers 0 (Linton et Martin)

couplage avec l ’onde T (id solide)

Milieu effectif

Solide et poro-élastique

Nombre d ’onde effectif

Et si ka n ’est pas <<1 ????

Etudier le milieu infini, relation déplacement /contrainte