On traite de la propagation des ondes en régime linéaire Particule Multidiffusion et ondes...

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On traite de la propagation des ondes en régime linéaire Particul e Multidiffusion et ondes cohérentes un essai de synthèse Jean-Marc Conoir UPMC Univ Paris 06, UMR 7190 Institut Jean Le Rond d’Alembert kkll 20 minutes Bon courage

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On traite de la propagation des ondes en régime linéaire

Particule

Multidiffusion et ondes cohérentes un essai de synthèse

Jean-Marc Conoir

UPMC Univ Paris 06, UMR 7190 Institut Jean Le Rond d’Alembert

kkll20 minutes

Bon courage

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Direction de propagation

Description microscopique des ondes cohérentes

k̂ k̂

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'''

effeffeffiKKK

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850 steel rods of 2 mm in the range [120x300 mm]

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Concentration c=12.6%

Signal incident Signal transmis

Coda

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Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple

Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),…

Formalisme basé sur les représentations diagrammatiques

(équation de Dyson & Opérateur de Masse)

Bourret (1962) « approximation bilocale », Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Uriel Frish (1965), …

Théories d’homogénéisation: a

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),()(0 kfkrGS

C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible »

Hypothèse de champ lointain

kr

Fonction de forme en champ lointain

nle

1

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ISA: Independent Scattering Approximation

Les formules célèbres

Waterman & Truell (1961)

Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)

)(f )0(f

)0(422 fnikkISA

22

2 )(2

)0(2

f

k

nif

k

nikK

WT

dfdd

gk

nfnikk

LM

22

02

2

22 )(2

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)0(4

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Est-ce qu’on peut évaluer la nature des approximations effectuées?

Twersky (1964) a «montré» que l’approximation de Foldy consistait à interdire toutes les interactions doubles et supérieures.

1952

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2 2 2 ˆ ˆ4 (0) 4 ( , )effk k i n f k i n f k k= - = -

2 21

ˆ ˆ4 ( , )k k i n f k k= -2 22 1 1 1

ˆ ˆ4 ( , )k k i n f k k= -2 2

1ˆ ˆ4 ( , )p p p pk k i n f k k+ = -

La CPA est connue pour être « résistante » quand la concentration augmente. Est-ce qu’on a augmenté le nombre

d’interactions prises en compte?

ppeffkk

lim 0)ˆ,ˆ(

effeffkkf

k̂ k̂

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0

0

)1(

0

2222 )()()(2

)0(16 rdrrkJkrHrgi

fnkkLMLMeff

Corrélation Spatiale

: « radial distribution function »

(histogramme du nombre de diffuseurs situés à une distance donnée d’un diffuseur pris au hasard)

)(rg

A.Norris, J.M.Conoir, Multiple scattering by cylinders immersed in fluid: high order approximations for the effective wavenumbers (soumis).

A.Derode, V.Mamou, A.Tourin, Influence of correlations between scatterers on the attenuation of the coherent wave in a random medium, Phys. Rev. E 74 (2006) 036606.

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...

cos2)()()()(8

)()(2

cot8

)0(4

2

)(

022

2

2

02

2

22

)(

Teff

TTLL

LTTLTLLT

LLLL

L

LL

LLeff

k

dkkkkffffn

dffdd

gk

nfnikk

Milieux Elastiques

J.M.Conoir, A.Norris, Effective wave numbers and reflection coefficients for an elastic medium containing random configurations of cylindrical scatterers, Wave Motion, 47 (2010) 183-197.

F.Luppé, J.M.Conoir, S.Robert, Coherent waves in a multiply scattering poro-elastic medium obeying Biot’s theory, Waves in Random and Complex Media, 18 (2008) 241-254.

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J.M.Conoir, S.Robert, A.El Mouhtadi, F.Luppé, Reflection and transmission at low concentration by depth-varying distribution of cylinders in a fluid-like region, Wave Motion 46 (2009) 522-538.

C.Aristégui, Y.C.Angel, Effective mass density and stiffness derived from P-wave multiple scattering , Wave Motion 44 (2007) 153-164.

conditions de continuité entre un milieu multidiffuseur et un milieu homogène

micro

macro

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Masse volumique effective: feff /)(

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… and angle dependent ???

ka=0.5

2% on Re,

5% on Im

Métamatériaux ???

feff /),(

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F.Luppé, J.M.Conoir, P.Pareige, Dynamic effective properties of a random configuration of cylinders in a fluid (soumis).

Coefficient de viscosité effectif: )(eff

En basse fréquence , on peut assimiler le milieu multidiffuseur à un fluide visqueux

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LAUE

1995

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Et les bulles ?K.W.Commander, A.Prosperetti, Linear pressure wave in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments, JASA 85 (1989) 732-746.

Wijngaarden (1968-1972), Caflish, Miksis, Ting, Papanicolaou (1985)Keller, Miksis (1980)

moi

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DIFFUSION MULTIPLE NON LINEAIRE

Merci pour votre attention