Multidiffusion en milieu aléatoire Francine LuppéLOMC-GOA Jean-Marc Conoir IJLRDA
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Multidiffusion en milieu aléatoire
Francine Luppé LOMC-GOA
Jean-Marc Conoir IJLRDA
On traite de la propagation des ondes en régime linéaire
Diffuseur
2
Régime de localisation forte (localisation d’Anderson)
1958, Anderson prédit qu’un désordre suffisamment fort peut bloquer la propagation
des électrons dans un métal et transformer un conducteur en un isolant électrique.
Régime diffusif (cône de rétro-diffusion cohérente)
Régime propagatif
q( )sk q
r
inckr
Direction de propagation
Onde cohérente
3
Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple (diffuseurs localisés)
Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),…
Formalisme basé sur les fonctions de Green
(équation de DYSON & diagrammes de Feynman)
Bourret (1962), Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Frish (1965), …
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Plan
Milieu hôte = fluide
Les équations de la diffusion multiple
Le nombre d ’onde de l ’onde cohérente = nombre d ’onde effectif
Le milieu effectif = milieu équivalent du point de vue de l ’ acoustique et du champ cohérent
? Milieu hôte = solide élastique / poro-élastique ?
Le champ moyen se propage
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Les équations de la diffusion multiple
1
( ( ;( ) ))N
jS jinc r rr r
=
yyy = +år rr r
rr
jrrdiffuseur j
incy
( ; ) ( ) ( ; )N
Ej inc S k
k j
r r r r r¹
y =y + yår r r r r j
k j¹
( ; ) ( ) ( ; )ES j j jr r T r r ry = yr r r r r Relation de
fermeture
6
1
( ) ( ) ( ) ( ; )N
Einc j j
j
r r T r r r=
y =y + yår r r r r
( ; ) ( ) ( ) ( ; )N
E Ej inc k k
k j
r r r T r r r¹
y =y + yår r r r r r
Ne sachant pas résoudre les équations qui gouvernent le champ, on cherche l’équation qui gouverne le champ
moyen (en espérant que ce soit plus simple)
1 1 1( ) ( , ,..., ) ( ,..., ) ...N N Nr r r r p r r dr dry = yòr r r r r r
( ) ( )1 1 1( , ,..., ) ,..'.., ..'..j N N j Nr r r r r p r r r dr dry = yòr r r r r r r r
7
1
( ) ( ) ( ) ( ; )N
Einc j j
j
r r T r r r=
y =y + yår r r r r
( )( ) ( ) ( ) ( )Einc j j j jr r T r r r n r dry =y + yò
r r r r r r
( ) ( )j jNp r n r=r r( ) ( )1 1,..., ,..'.., ( )N N j jp r r p r r r p r=
r r r r r r
( ; ) ( ) ( ) ( ; )N
E Ej inc k k
k j
r r r T r r r¹
y =y + yår r r r r r
( ) ( ) ( )( ) ( ) ,E Ej inc k j k j k kr r r T r r r r n r r dry =y + yò
r r r r r r r r r
( ) ( )1 1,..'.., ,..''.., , ( )N j N j k j kp r r r p r r r r p r r=r r r r r r r r r
8
APPROXIMATION DE FOLDY
( ) ( )Ej jr r ry y
r r r;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )inc j j j jr r T r r n r dry =y + yòr r r r r
APPROXIMATION QUASI CRISTALLINE (QCA)
( ) ( ),E Ej k kr r r r ry y
r r r r r;
( ) ( ) ( )( ) ( )E Ej inc k k j k kr r r T r r r n r r dry =y + yò
r r r r r r r r
( )( ) ( ) ( ) ( )Einc j j j jr r T r r r n r dry =y + yò
r r r r r r
9
Formule de Foldy (1945)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )inc j j j jr r T r r n r dry =y + yòr r r r r
2 2 2 20( ) ( ) ( ) ( )j j jk r n g k r k G r r dré ù é ùÑ + y = y Ñ + -ê ú ê úë û ë ûò
r rr r r r
2 20 ( ) ( )s sk G r r r ré ùÑ + - =- d -ê úë û
r r r r r
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j sT r r g k r G r ry = y -r r r r r
0( )jn r n=r
2 20) ( ) ( ) ( )k r n g k ré ùÑ + y =- yê úë û
r r r
2 2 ( ) 0effk ré ùÑ + y =ê úë û
r r2 20 ( )effk k n g k= +
10
(1)
( 4)0
(
( ,
)
2( ) )
n
i kr
n inS n
n
inn
n
i T e
T e
H kr
e G krkr
f k- qp ¥
qf =
=p
q
å
å;
Hypothèse de champ lointainkr ®¥
C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible »
Fonction de forme en champ
lointain
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Les formules célèbres (0)f( )f p
ISA: Independent Scattering Approximation2
02
1 4 (0)effk ni f
k k
æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø
2 2 2
0 02 2
2 21 (0) ( )effk n n
f fk ik ik
æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ç ç= + - p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çç ÷ è ø è øè ø
Waterman & Truell (1961)
Fikioris & Waterman (1964) : hole correction
a
( ) 0j kn r r n=r r
j k br r- >r r
( ) 0j kn r r =r r
j k br r- £r r 2b a
D(keff)=0
Rayon d ’exclusion
12
[ ]2
02
204
0
2
81 4 ( c ( )
20 ot)effk n
i fk k
n dg f d
k d
p æöq÷ç+ q q÷ç ÷çè øp
æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø qò
Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)
2002
0 1 1n
b n ak
et dans un solide ?
dans un milieu poro-élastique ?
Chaque onde cohérente obéit-elle à sa propre équation de dispersion ?
( ) ( )( ) ( )
0LT TL
LT LT
f f
f f
= p
p = pL=1,2
( ) ( )( ) ( )
12
21
0 , 0
0 , 0
LT
TL
f f
f f
q ¹ q ¹
q ¹ q ¹
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Varadan, Ma, Varadan 1986 (solide)
FW
Luppé, Conoir, Robert 2008 (poro-élastique)
Onde T : pas de couplage
Ondes rapide et lente couplées
Conoir, Norris 2009 (solide) , FW, b tend vers 0
Couplage ondes L et T
Couplage , sauf en basse fréquence
2 2 2
0 02 2
2 21 (0) ( )effk n n
f fk ik ik
æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ç ç= + - p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çç ÷ è ø è øè øWT
Yang et Mal 1994 (solide)
LM
Tw=WT
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Milieu effectif
keff complexe Fluide visqueux
? ?,,eff eff eff effc
keffMode acoustique
Mode rotationnel
en moyenne
2
22
2
1
1eff
eff e f
fa
f
ef
Ki
cc
22 2 0 0
02 41 4 0 8eff
n nk k if J
k k
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Coefficient de réflexion à l ’interface
fluide parfait /Milieu aléatoire
Fluide visqueux
Nombre d ’onde
effectif
du mode acoustique
ceff = c0 (fluide hôte)
1-
2-
3-
dépendent de la fréquence et de
l ’angle d ’incidence
, eff eff
sauf (très) basse fréquence (ka<1)
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ara
Chekroun, Le Marrec, Lombard, Piraux, Abraham (2009)
0=aL
0
2L
n;
+ n0 grand, + la cohérence est « rapide »
(a=cte)
( )? avec ?
?? ka ??
L kZ
?+ il y a de diffuseurs par longueur d ’onde, + la cohérence est « rapide »?
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L aµ
Fikioris & Waterman, Linton & Martin
1 1kL ka<< Û <<
LFW+LM+Chekroun et al.
0
?? ??ka
Ln
µ
02
1 1n
kL kak
<< Û << <
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Le calcul du coefficient de réflexion à l ’interface
n ’est valide que si ka <<1
2
20 02 4
2
1
2 0
,
1 0eff n ni
ka
f f f fk k
22
2 20 02 4
4 0 0 6 0eff
n ncf i f f f f
k k
?? ??
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Fikioris et Waterman pour poro-élastique
b tend vers 0 (Linton et Martin)
couplage avec l ’onde T (id solide)
Milieu effectif
Solide et poro-élastique
Nombre d ’onde effectif
Et si ka n ’est pas <<1 ????
Etudier le milieu infini, relation déplacement /contrainte