Mathématiques Mathématiques SNSN

MODULE 7MODULE 7La fonctionLa fonction

LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE

Utilité du logarithmeUtilité du logarithme

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Exemple :Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa.logarithmiques et vice-versa.

a) 2a) 2xx = 32 = 32

Sert à déterminer la valeur d’un exposant.Sert à déterminer la valeur d’un exposant.

Permet d’isoler « x » dans f(x) = cPermet d’isoler « x » dans f(x) = cxx . .

x = logx = log2 2 3232

b) 5b) 5xx = 125 = 125 x = logx = log5 5 125125

x = 5x = 5

x = 3x = 3

c) x = logc) x = log4 4 256256 44xx = 256 = 256

d) x = logd) x = log3 3 8181 33xx = 81 = 81

Définition et lois des Définition et lois des LOGLOG

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On sait que 3On sait que 3xx = 27 = 27 x = logx = log3 3 2727

ccxx = y x = log = y x = logc c yydoncdonc

Par conséquent :Par conséquent : loglogc c 1 1 == 0 0

loglogc c c c == 1 1

(car c(car c00 = 1) = 1)

(car c(car c11 = c) = c)

Ex.:Ex.: log log4 4 1 = 0 car 41 = 0 car 400 = 1 = 1

Ex.:Ex.: log log4 4 4 = 1 car 44 = 1 car 411 = 4 = 4

En outre, lorsque la base « En outre, lorsque la base « cc » du logarithme est  » du logarithme est 1010,,

on écrit on écrit log xlog x au lieu de au lieu de loglog10 10 xx..

Définition et lois des Définition et lois des LOGLOG

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LOIS DES LOIS DES LOGLOG

loglogc c mn = logmn = logc c m + logm + logc c nn Ex.:Ex.: log log4 4 2x = log2x = log4 4 2 + log2 + log4 4 xx

loglogc c = log = logc c m – logm – logc c nn Ex.:Ex.: log log4 4 = log = log4 4 x – logx – log4 4 33mm

nn

xx

33

loglogc c mmnn = n • log = n • logc c mm Ex.:Ex.: log log4 4 xx22 = 2 log = 2 log4 4 xx

loglogc c m =m = log mlog m

log clog cEx.:Ex.: log log4 4 8 =8 = log 8log 8

log 4log 4

NoteNote : : loglog3 3 xx22 ≠ log≠ log3 3 22xx

loglog3 3 xx22 = log= log3 3 (x (x • x)• x)

loglog3 3 22x x = log= log33x x • log• log33xx

carcar

Définition et lois des Définition et lois des LOGLOG

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Exemples :Exemples : a) Simplifier loga) Simplifier log2 2 xx22 – log – log2 2 x .x .

loglog2 2 xx22 – log – log2 2 x = logx = log22 xx22

xx

= log= log2 2 xx

b) Simplifier .b) Simplifier .loglog2 2 99

loglog2 2 33

loglog2 2 99

loglog2 2 33==

loglog2 2 3322

loglog2 2 33==

2 log2 log2 2 33

loglog2 2 33= 2= 2

Définition et lois des Définition et lois des LOGLOG

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Exemples :Exemples : c) Simplifier logc) Simplifier log6 6 2x2x44 + log + log6 6 3 .3 .

loglog6 6 (2x(2x44 • 3) • 3)loglog6 6 2x2x44 + log + log6 6 3 = 3 = == loglog6 6 6x6x44

== loglog6 6 6 + log6 + log6 6 xx44

== 1 + 4 log1 + 4 log6 6 xx

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

f(x) = logf(x) = logcc xx (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa log logccbb(x – (x – hh) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

x = x = hh (Équation de l’asymptote)(Équation de l’asymptote)

f(x) = logf(x) = log2 2 xxExemple :Exemple :

f(x) = 3 f(x) = 3 • • loglog2 2 6(x – 1) + 56(x – 1) + 5Exemple :Exemple :

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

xx f(x)f(x)

00

11 00

22 11

44 22

88 33

½½ -1-1

f(x) = logf(x) = log2 2 xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )

11

11

¼¼ -2-2

Asymptote Asymptote x = 0x = 0

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

xx f(x)f(x)

00

11 00

22 -1-1

44 -2-2

88 -3-3

½½ 11

f(x) = logf(x) = log½ ½ xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c ]0, 1[ ]0, 1[ ) )

11

11

¼¼ 22

Asymptote Asymptote x = 0x = 0

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

xx f(x)f(x)

00

11 00

22 -1-1

44 -2-2

88 -3-3

½½ 11

f(x) = f(x) = -- log log2 2 xx (forme où (forme où c c 1 1 et et a = -1a = -1))

11

11

¼¼ 22

Asymptote Asymptote x = 0x = 0

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

xx f(x)f(x)

00

11

-1-1 00

-2-2 11

-4-4 22

-½-½ -1-1

f(x) = logf(x) = log2 2 --xx (forme où (forme où c c 1 1 et et b = -1b = -1))

11

11

-¼-¼ -2-2

Asymptote Asymptote x = 0x = 0

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

xx f(x)f(x)

-4-4

-3-3 00

-2-2 11

00 22

44 33

f(x) = logf(x) = log2 2 (x + (x + 44)) (forme (forme c c 1 1 et et h = -4h = -4))

11

11

Asymptote Asymptote x = - 4x = - 4

Équations et graphiqueÉquations et graphique

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

11

11

Asymptote Asymptote x = hx = h

f(x) = f(x) = aa log logccbb(x – (x – hh) + ) + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

x = x = hh (Équation de l’asymptote)(Équation de l’asymptote)c c 1 1

c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [

Dom Dom ff = = ] ] k k , +∞, +∞

Ima Ima ff = =

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13) .f(x) = log (- 4x + 13) .

0 = log (- 4x + 13)0 = log (- 4x + 13)

101000 = - 4x + 13 = - 4x + 13

12 = - 4x12 = - 4x

- 3 = x- 3 = x

11

11

Asymptote Asymptote x = 13/4x = 13/4

Réponse :Réponse : x x { - 3 } { - 3 }

Il faut que - 4x + 13 >Il faut que - 4x + 13 > 0 0

donc que donc que x < 13/4x < 13/4

1 = - 4x + 131 = - 4x + 13

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 .Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 .

Réponse :Réponse : x x { 0,866 } { 0,866 }

0 = 3 log (4x – 3) + 10 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 >Il faut que 4x – 3 > 0 0

donc que donc que x > 3/4x > 3/4- ⅓- ⅓ = log (4x – 3) = log (4x – 3)

1010-⅓-⅓ = 4x – 3 = 4x – 3

0,464 0,464 = 4x – 3= 4x – 3

3,464 3,464 = 4x= 4x

0,866 0,866 = x= x

Exemple #3 :Exemple #3 : Résoudre 2 logRésoudre 2 log33 (2x + 10) = 6 . (2x + 10) = 6 .

Réponse :Réponse : x x { 8,5 } { 8,5 }

2 log2 log33 (2x + 10) = 6 (2x + 10) = 6

loglog33 (2x + 10) = 3 (2x + 10) = 3

2x + 10 = 32x + 10 = 333

2x + 10 = 272x + 10 = 27

2x = 172x = 17

x = 8,5x = 8,5

Il faut que 2x + 10 >Il faut que 2x + 10 > 0 0

donc que donc que x > - 5x > - 5

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre logRésoudre log3 3 (x + 36) – log(x + 36) – log3 3 (x – 18) = 1 .(x – 18) = 1 .

Réponse :Réponse : x x { 45 } { 45 }

loglog33 (x + 36) – log (x + 36) – log3 3 (x – 18) = 1(x – 18) = 1

loglog33 = 1 = 1

Il faut que x + 36 >Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 0 et que x – 18 > 0

donc que donc que x > - 36 et que x > 18 x > - 36 et que x > 18 x + 36x + 36

x – 18x – 18

= 3= 311x + 36x + 36

x – 18x – 18

x + 36 = 3 (x – 18)x + 36 = 3 (x – 18)

x + 36 = 3x – 54x + 36 = 3x – 54

90 = 2x90 = 2x

45 = x45 = x

Résolutions d’équations EXPONENTIELLESRésolutions d’équations EXPONENTIELLES

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

2 méthodes2 méthodes : : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même basemême base exponentielleexponentielle

2- Utiliser les 2- Utiliser les logarithmeslogarithmes

Si a = b ,Si a = b , Ex.:Ex.: Si 3 = 3 Si 3 = 3

Alors Alors loglog 3 = 3 = loglog 3 3

PROPRIÉTÉ PROPRIÉTÉ IMPORTANTEIMPORTANTE DES DES LOGLOG

alors alors loglogc c a = a = loglogc c bb

Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre 3Résoudre 3xx = 2 = 2x – 1x – 1 . .

Réponse :Réponse : x x { -1,7 } { -1,7 }

33xx = 2 = 2x – 1x – 1

loglog 3 3xx = = loglog 2 2x – 1x – 1

x •x • log 3 = (x – 1) • log 2log 3 = (x – 1) • log 2

x •x • (0,477) = (x – 1) • (0,3)(0,477) = (x – 1) • (0,3)

0,477x = 0,3x – 0,30,477x = 0,3x – 0,3

0,177x = – 0,30,177x = – 0,3

x = – 1,7x = – 1,7

Exemple #2 :Exemple #2 : Résoudre 4Résoudre 42x – 32x – 3 = 5 = 5xx . .

Réponse :Réponse : x x { 3,6 } { 3,6 }

442x – 32x – 3 = 5 = 5xx

loglog 4 42x – 32x – 3 = = loglog 5 5xx

(2x – 3) •(2x – 3) • log 4 = x • log 5log 4 = x • log 5

(2x – 3) •(2x – 3) • (0,6) = x • (0,7)(0,6) = x • (0,7)

1,2x – 1,8 = 0,7x1,2x – 1,8 = 0,7x

0,5x = 1,80,5x = 1,8

x = 3,6x = 3,6

Exemple #3 :Exemple #3 : Résoudre 3Résoudre 3x + 2x + 2 = 4 = 45x5x . .

Réponse :Réponse : x x { 0,378 } { 0,378 }

33x + 2x + 2 = 4 = 45x5x

loglog 3 3x + 2x + 2 = = loglog 4 45x5x

(x + 2) •(x + 2) • log 3 = 5x • log 4log 3 = 5x • log 4

(x + 2) •(x + 2) • (0,477) = 5x • (0,6)(0,477) = 5x • (0,6)

0,477x + 0,954 = 3x0,477x + 0,954 = 3x

0,954 = 2,523x0,954 = 2,523x

0,378 = x0,378 = x

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre logRésoudre log5 5 (x – 9) = log(x – 9) = log5 5 (4x) .(4x) .

Réponse :Réponse : x x { – 3 } { – 3 }

loglog55 (x – 9) = (x – 9) = loglog55 (4x)(4x)

x – 9 = 4xx – 9 = 4x

– – 9 = 3x9 = 3x

– – 3 = x3 = x

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre logRésoudre log2 2 (x + 4) + 5 (x + 4) + 5 – log – log2 2 (x – 6) + 9 .(x – 6) + 9 .

11

11

Asymptote Asymptote x = 6x = 6

Asymptote Asymptote x = - 4x = - 4

loglog2 2 (x + 4) + 5(x + 4) + 5 – log– log2 2 (x – 6) + 9(x – 6) + 9 . .

Exemple #1 :Exemple #1 : Résoudre logRésoudre log2 2 (x + 4) + 5 (x + 4) + 5 – log – log2 2 (x – 6) + 9 .(x – 6) + 9 .

loglog2 2 (x + 4) + 5 (x + 4) + 5 – log – log2 2 (x – 6) + 9(x – 6) + 9

loglog2 2 (x + 4) + log(x + 4) + log2 2 (x – 6) (x – 6) 9 – 5 9 – 5

loglog2 2 [ (x + 4) •[ (x + 4) • (x – 6) ] (x – 6) ] 4 4

(x + 4) •(x + 4) • (x – 6) (x – 6) 2 244

xx22 – 2x – 24 – 2x – 24 16 16

xx22 – 2x – 40 – 2x – 40 0 0

xx11 – 5,40 – 5,40 xx22 7,40 7,40

Il faut que x + 4 >Il faut que x + 4 > 0 0

et que x – 6 > 0et que x – 6 > 0

donc que donc que x > - 4x > - 4

et que x > 6 et que x > 6

À rejeter

Réponse :Réponse : x x [ 7,40 , + [ 7,40 , +

Exemple #2 :Exemple #2 :

(x + 3) • log (1/2) (x + 3) • log (1/2) ≤≤ (2x – 1) • log 5 (2x – 1) • log 5

Réponse :Réponse : x x [ - 0,12 , + [ - 0,12 , +

Résoudre (1/2)Résoudre (1/2)x + 3x + 3 ≤≤ 5 52x – 12x – 1 . .

loglog (1/2) (1/2)x + 3x + 3 ≤≤ loglog 5 52x – 12x – 1 . .

(x + 3) • (- 0,3) (x + 3) • (- 0,3) ≤≤ (2x – 1) • (0,7) (2x – 1) • (0,7)

- 0,3x – 0,9 - 0,3x – 0,9 ≤≤ 1,4x – 0,7 1,4x – 0,7

- 0,2 - 0,2 ≤≤ 1,7x 1,7x

- 0,12 - 0,12 ≤≤ x x

Base naturelle « Base naturelle « ee » et logarithme naturel «  » et logarithme naturel « lnln » »

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Il existe un nombre irrationnel (comme Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : ) qui se nomme :

e e ≈≈ 2,7182818… 2,7182818…

eexx = y x = log = y x = logee yy

Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :

Cependant, lorsque la base « Cependant, lorsque la base « cc » du logarithme est  » du logarithme est ee, on écrit , on écrit ln xln x au lieu de au lieu de logloge e xx..

C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. nombreuses modélisations de phénomènes naturels.

loglogee x = x = lnln x x

De plus, nous pouvons De plus, nous pouvons lnln au lieu du au lieu du loglog afin de résoudre des équations ou afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.inéquations exponentielles.

Exemple :Exemple :

Réponse :Réponse : x x { -1,7 } { -1,7 }

33xx = 2 = 2x – 1x – 1

loglog 3 3xx = = loglog 2 2x – 1x – 1

x •x • log 3 = (x – 1) • log 2log 3 = (x – 1) • log 2

x •x • (0,477) = (x – 1) • (0,3)(0,477) = (x – 1) • (0,3)

0,477x = 0,3x – 0,30,477x = 0,3x – 0,3

0,177x = – 0,30,177x = – 0,3

x = – 1,7x = – 1,7

Avec Avec LOGLOGAvec Avec LOGLOG

Réponse :Réponse : x x { -1,7 } { -1,7 }

33xx = 2 = 2x – 1x – 1

lnln 3 3xx = = lnln 2 2x – 1x – 1

x •x • ln 3 = (x – 1) • ln 2ln 3 = (x – 1) • ln 2

x •x • (1,1) = (x – 1) • (0,7)(1,1) = (x – 1) • (0,7)

1,1x = 0,7x – 0,71,1x = 0,7x – 0,7

0,4x = – 0,70,4x = – 0,7

x = – 1,7x = – 1,7

Avec Avec LNLNAvec Avec LNLN

Résolutions d’une situation à l’aide des Résolutions d’une situation à l’aide des LOGLOG

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction LOGARITHMIQUELOGARITHMIQUE - -

Exemple :Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 100 000 ?de 100 000 ?

f(x) = 500 (2)f(x) = 500 (2)x/5x/5

100 000 = 500 (2)100 000 = 500 (2)x/5x/5

200 = (2)200 = (2)x/5x/5

= log= log2 2 200200xx

55

x = 38,2x = 38,2 Réponse :Réponse : Après 38,2 heures.Après 38,2 heures.

= 7,64= 7,64xx

55