Post on 02-Feb-2020
Le produit vectoriel
Définition
Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel
comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:
−→a × −→b B
a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1
En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).
Le produit vectoriel est donc une application
· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .
Remarque
Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.
Le produit vectoriel
Définition
Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel
comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:
−→a × −→b B
a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1
En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).
Le produit vectoriel est donc une application
· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .
Remarque
Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.
Le produit vectoriel
Définition
Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel
comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:
−→a × −→b B
a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1
En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).
Le produit vectoriel est donc une application
· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .
Remarque
Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.
Le produit vectoriel
Définition
Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel
comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:
−→a × −→b B
a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1
En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).
Le produit vectoriel est donc une application
· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .
Remarque
Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.
Le produit vectoriel
Définition
Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel
comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:
−→a × −→b B
a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1
En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).
Le produit vectoriel est donc une application
· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .
Remarque
Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b .
Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.
Le produit vectoriel
Définition
Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel
comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:
−→a × −→b B
a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1
En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).
Le produit vectoriel est donc une application
· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .
Remarque
Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.
Interprétation graphique
Le produit vectoriel de −→u et −→v est un vecteur orthogonal au planformé par −→u et −→v . Sa norme:∥∥∥∥−→a × −→b ∥∥∥∥= ∥∥∥−→a ∥∥∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥∥sinαest égale à l’aire du parallélogramme formé par −→u et −→v .
Interprétation graphique
Le produit vectoriel de −→u et −→v est un vecteur orthogonal au planformé par −→u et −→v .
Sa norme:∥∥∥∥−→a × −→b ∥∥∥∥= ∥∥∥−→a ∥∥∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥∥sinαest égale à l’aire du parallélogramme formé par −→u et −→v .
Interprétation graphique
Le produit vectoriel de −→u et −→v est un vecteur orthogonal au planformé par −→u et −→v . Sa norme:∥∥∥∥−→a × −→b ∥∥∥∥= ∥∥∥−→a ∥∥∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥∥sinαest égale à l’aire du parallélogramme formé par −→u et −→v .
Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3
Définition
On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que
−→v = λ−→w .
Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:
Résultat
Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.
Démonstration.
On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .
Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.
Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3
Définition
On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que
−→v = λ−→w .
Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:
Résultat
Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.
Démonstration.
On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .
Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.
Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3
Définition
On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que
−→v = λ−→w .
Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:
Résultat
Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.
Démonstration.
On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .
Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.
Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3
Définition
On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que
−→v = λ−→w .
Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:
Résultat
Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.
Démonstration.
On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .
Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.
Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3
Définition
On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que
−→v = λ−→w .
Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:
Résultat
Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.
Démonstration.
On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .
Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.
À quoi sert le produit vectoriel?
Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.
Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce
−→F s’exerçant sur le solide en un point P .
Le moment cinétique de−→F est
donné par:−→M =
−−→OP ×
−→F .
Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .
À quoi sert le produit vectoriel?
Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce
−→F s’exerçant sur le solide en un point P .
Le moment cinétique de−→F est
donné par:−→M =
−−→OP ×
−→F .
Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .
À quoi sert le produit vectoriel?
Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce
−→F s’exerçant sur le solide en un point P .
Le moment cinétique de−→F est
donné par:−→M =
−−→OP ×
−→F .
Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .
À quoi sert le produit vectoriel?
Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce
−→F s’exerçant sur le solide en un point P .
Le moment cinétique de−→F est
donné par:
−→M =
−−→OP ×
−→F .
Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .
À quoi sert le produit vectoriel?
Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce
−→F s’exerçant sur le solide en un point P .
Le moment cinétique de−→F est
donné par:−→M =
−−→OP ×
−→F .
Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .
À quoi sert le produit vectoriel?
Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce
−→F s’exerçant sur le solide en un point P .
Le moment cinétique de−→F est
donné par:−→M =
−−→OP ×
−→F .
Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .
−→M =
−−→OP ×
−→F .
Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O . Comme:
‖−→M ‖=OP · ‖
−→F ‖sin(θ),
à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.
−→M =
−−→OP ×
−→F .
Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O .
Comme:
‖−→M ‖=OP · ‖
−→F ‖sin(θ),
à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.
−→M =
−−→OP ×
−→F .
Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O . Comme:
‖−→M ‖=OP · ‖
−→F ‖sin(θ),
à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.
−→M =
−−→OP ×
−→F .
Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O . Comme:
‖−→M ‖=OP · ‖
−→F ‖sin(θ),
à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.
Équations et systèmes
Contenu de la section
Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances
Équations et systèmes
DéfinitionUne équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieursquantités inconnues.
Résoudre une équation revient à déterminer l’ensemble des valeurspossibles pour la quantité inconnue de sorte que l’égalité soit vérifiée.Ces valeurs sont les solutions de l’équation.
Dans une de ses formes les plus simples, une équation fait intervenirune unique quantité inconnue : un nombre réel. La « quantitéinconnue » (ou simplement « inconnue ») est souvent nommée x , maisce nom n’a rien de magique.
Équations et systèmes
DéfinitionUne équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieursquantités inconnues.Résoudre une équation revient à déterminer l’ensemble des valeurspossibles pour la quantité inconnue de sorte que l’égalité soit vérifiée.Ces valeurs sont les solutions de l’équation.
Dans une de ses formes les plus simples, une équation fait intervenirune unique quantité inconnue : un nombre réel. La « quantitéinconnue » (ou simplement « inconnue ») est souvent nommée x , maisce nom n’a rien de magique.
Équations et systèmes
DéfinitionUne équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieursquantités inconnues.Résoudre une équation revient à déterminer l’ensemble des valeurspossibles pour la quantité inconnue de sorte que l’égalité soit vérifiée.Ces valeurs sont les solutions de l’équation.
Dans une de ses formes les plus simples, une équation fait intervenirune unique quantité inconnue : un nombre réel. La « quantitéinconnue » (ou simplement « inconnue ») est souvent nommée x , maisce nom n’a rien de magique.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.
L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.
L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.
L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.
L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.
Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.
L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.
Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.
L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π.
En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.
L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.
L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,
car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,
car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Exemple
L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.
Équations et systèmes
Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.
Exemple
L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.
Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.
Exemple
L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =
{(−r2,r) t.q. r ∈R
}.
Équations et systèmes
Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.
Exemple
L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.
Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.
Exemple
L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =
{(−r2,r) t.q. r ∈R
}.
Équations et systèmes
Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.
Exemple
L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.
Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution.
C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.
Exemple
L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =
{(−r2,r) t.q. r ∈R
}.
Équations et systèmes
Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.
Exemple
L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.
Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.
Exemple
L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =
{(−r2,r) t.q. r ∈R
}.
Équations et systèmes
Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.
Exemple
L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.
Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.
Exemple
L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =
{(−r2,r) t.q. r ∈R
}.
Systèmes d’équations
Contenu de la section
Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances
Systèmes d’équations
Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait égalementplusieurs équations. On parle alors de système d’équations.
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x + y = 1
x − y = 3Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.
Systèmes d’équations
Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait égalementplusieurs équations. On parle alors de système d’équations.
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x + y = 1
x − y = 3
Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.
Systèmes d’équations
Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait égalementplusieurs équations. On parle alors de système d’équations.
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x + y = 1
x − y = 3Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.
Systèmes d’équations
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1
x + y2 = 3
En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :
Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.
Il y a donc ici deux solutions: (2,1) et (2,−1).
Systèmes d’équations
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1
x + y2 = 3
En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :
Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.
Il y a donc ici deux solutions: (2,1) et (2,−1).
Systèmes d’équations
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1
x + y2 = 3
En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :
Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.
Il y a donc ici deux solutions:
(2,1) et (2,−1).
Systèmes d’équations
Exemple
Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1
x + y2 = 3
En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :
Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.
Il y a donc ici deux solutions: (2,1) et (2,−1).
Lien avec les équations cartésiennes
Contenu de la section
Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances
Lien avec les équations cartésiennes
Droites du plan
Équation cartésienne
Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant
(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1
ou encoreax1 + bx2 + c = 0
pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0
pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0
pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire
⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver
l’équation de la droite!
Lien avec les équations cartésiennes
Droites du plan
Équation cartésienne
Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant
(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1
ou encoreax1 + bx2 + c = 0
pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2,
c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0
pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0
pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire
⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver
l’équation de la droite!
Lien avec les équations cartésiennes
Droites du plan
Équation cartésienne
Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant
(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1
ou encoreax1 + bx2 + c = 0
pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0
pour a = v2,b = −v1.
On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0
pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire
⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver
l’équation de la droite!
Lien avec les équations cartésiennes
Droites du plan
Équation cartésienne
Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant
(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1
ou encoreax1 + bx2 + c = 0
pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0
pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0
pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).
En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire
⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver
l’équation de la droite!
Lien avec les équations cartésiennes
Droites du plan
Équation cartésienne
Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant
(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1
ou encoreax1 + bx2 + c = 0
pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0
pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0
pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite.
Ecrire⟨−→n ,x−p
⟩= 0 est une manière de retrouver
l’équation de la droite!
Lien avec les équations cartésiennes
Droites du plan
Équation cartésienne
Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant
(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1
ou encoreax1 + bx2 + c = 0
pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0
pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0
pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire
⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver
l’équation de la droite!
Lien avec les équations cartésiennes
Plans dans l’espace
Équation vectorielle
Soient −→v et −→w deux vecteurs non-colinéaires (ce qui signifie:−→v × −→w , 0).
Un plan passant par le point p dans les directions desvecteurs −→v et −→w est l’ensemble des points x de la forme
x= p+ t −→v + s −→w .lorsque s ,t ∈R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeurs duplan.
Équations paramétriques
Un plan est l’ensemble des points (x1,x2,x3) de la formex1 = p1 + tv1 + sw1
x2 = p2 + tv2 + sw2
x3 = p3 + tv3 + sw3
pour certains réel s et t .
Lien avec les équations cartésiennes
Plans dans l’espace
Équation vectorielle
Soient −→v et −→w deux vecteurs non-colinéaires (ce qui signifie:−→v × −→w , 0). Un plan passant par le point p dans les directions desvecteurs −→v et −→w est l’ensemble des points x de la forme
x= p+ t −→v + s −→w .lorsque s ,t ∈R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeurs duplan.
Équations paramétriques
Un plan est l’ensemble des points (x1,x2,x3) de la formex1 = p1 + tv1 + sw1
x2 = p2 + tv2 + sw2
x3 = p3 + tv3 + sw3
pour certains réel s et t .
Lien avec les équations cartésiennes
Plans dans l’espace
Équation vectorielle
Soient −→v et −→w deux vecteurs non-colinéaires (ce qui signifie:−→v × −→w , 0). Un plan passant par le point p dans les directions desvecteurs −→v et −→w est l’ensemble des points x de la forme
x= p+ t −→v + s −→w .lorsque s ,t ∈R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeurs duplan.
Équations paramétriques
Un plan est l’ensemble des points (x1,x2,x3) de la formex1 = p1 + tv1 + sw1
x2 = p2 + tv2 + sw2
x3 = p3 + tv3 + sw3
pour certains réel s et t .
Lien avec les équations cartésiennes
Équation cartésienne
Un plan consiste en les points (x1,x2,x3) vérifiantax1 + bx2 + cx3 +d = 0
pour certaines constantes a ,b ,c ,d . De manière équivalente :a(x1 − p1)+ b(x2 − p2)+ c(x3 − p3) = 0
où p= (p1,p2,p3) est un point du plan.
Équation cartésienne, version 2
Un plan passant par p est l’ensemble des points x= (x1,x2,x3) vérifiant⟨x−p,−→n
⟩= 0
pour un certain vecteur −→n = (a ,b ,c) : le vecteur normal (pour dire« perpendiculaire »).
Résultat
Si −→v = (v1,v2,v3) et−→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur
produit vectoriel est un vecteur normal.
Lien avec les équations cartésiennes
Équation cartésienne
Un plan consiste en les points (x1,x2,x3) vérifiantax1 + bx2 + cx3 +d = 0
pour certaines constantes a ,b ,c ,d . De manière équivalente :a(x1 − p1)+ b(x2 − p2)+ c(x3 − p3) = 0
où p= (p1,p2,p3) est un point du plan.
Équation cartésienne, version 2
Un plan passant par p est l’ensemble des points x= (x1,x2,x3) vérifiant⟨x−p,−→n
⟩= 0
pour un certain vecteur −→n = (a ,b ,c) : le vecteur normal (pour dire« perpendiculaire »).
Résultat
Si −→v = (v1,v2,v3) et−→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur
produit vectoriel est un vecteur normal.
Lien avec les équations cartésiennes
Équation cartésienne
Un plan consiste en les points (x1,x2,x3) vérifiantax1 + bx2 + cx3 +d = 0
pour certaines constantes a ,b ,c ,d . De manière équivalente :a(x1 − p1)+ b(x2 − p2)+ c(x3 − p3) = 0
où p= (p1,p2,p3) est un point du plan.
Équation cartésienne, version 2
Un plan passant par p est l’ensemble des points x= (x1,x2,x3) vérifiant⟨x−p,−→n
⟩= 0
pour un certain vecteur −→n = (a ,b ,c) : le vecteur normal (pour dire« perpendiculaire »).
Résultat
Si −→v = (v1,v2,v3) et−→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur
produit vectoriel est un vecteur normal.
Lien avec les équations cartésiennes
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:
y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan.
Par exemple le vecteur−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:
y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:
y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc :
c’est-à-dire si et seulement si〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.
Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.
Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation:
−y +2z = 0, soit:y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:
y = 2z .
Lien avec les équations cartésiennes
Un exercice d’application
Question
Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?
Réponse
Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur
−−→bc :
−−→bc = c−b= (0,−1,2).
Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur
−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si
〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:
y = 2z .
Distances
Contenu de la section
Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est
l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .
On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :
⟨−→v − −→p ,−→w⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩=
k∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Projection Orthogonale
Définition
La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par
−→p =
⟨−→v ,−→w⟩
‖w‖2−→w .
La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .
Preuve de la remarque.
Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w
⟩= 0 ⇐⇒
⟨−→v ,−→w⟩=
⟨k −→w ,−→w
⟩= k
∥∥∥−→w ∥∥∥2
Distances
Distances point-droite et point-plan
Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.
Définition
Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan). La distance entre le point p et E est
d(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .
Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.
Distances
Distances point-droite et point-plan
Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.
Définition
Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan).
La distance entre le point p et E estd(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .
Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.
Distances
Distances point-droite et point-plan
Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.
Définition
Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan). La distance entre le point p et E est
d(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .
Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.
Distances
Distances point-droite et point-plan
Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.
Définition
Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan). La distance entre le point p et E est
d(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .
Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.
Distances
Distance point-droite
RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurdirecteur −→v est donnée par
‖q−p‖2 −
(⟨(p−q),−→v
⟩)2
∥∥∥−→v ∥∥∥2.
Le point de la droite réalisant ce minimum est donné par la projectionorthogonale p′ de p sur la droite :
p′ = q+
⟨(p−q),−→v
⟩∥∥∥−→v ∥∥∥2
−→v .
Distances
Distance point-droite
RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurdirecteur −→v est donnée par
‖q−p‖2 −
(⟨(p−q),−→v
⟩)2
∥∥∥−→v ∥∥∥2.
Le point de la droite réalisant ce minimum est donné par la projectionorthogonale p′ de p sur la droite :
p′ = q+
⟨(p−q),−→v
⟩∥∥∥−→v ∥∥∥2
−→v .
Distances
Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =
∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2
, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R. Or
f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v
⟩+ t2
∥∥∥−→v ∥∥∥2
est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.
Distances
Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;
donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =
∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2
, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R. Or
f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v
⟩+ t2
∥∥∥−→v ∥∥∥2
est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.
Distances
Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =
∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2
, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R.
Or
f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v
⟩+ t2
∥∥∥−→v ∥∥∥2
est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.
Distances
Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =
∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2
, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R. Or
f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v
⟩+ t2
∥∥∥−→v ∥∥∥2
est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.
Distances
Et avec un vecteur normal?
RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurnormal −→n est donnée par ∣∣∣∣⟨−→n ,(p−q)
⟩∣∣∣∣∥∥∥−→n ∥∥∥ .
En d’autres termes, si la droite a pour équationax + by + c = 0
la distance entre cette droite et le point p est|ap1 + bp2 + c |√a2 + b2
Cette distance est juste la longueur de la projection orthogonale de−−→pq sur −→n !.
Distances
Et avec un vecteur normal?
RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurnormal −→n est donnée par ∣∣∣∣⟨−→n ,(p−q)
⟩∣∣∣∣∥∥∥−→n ∥∥∥ .
En d’autres termes, si la droite a pour équationax + by + c = 0
la distance entre cette droite et le point p est|ap1 + bp2 + c |√a2 + b2
Cette distance est juste la longueur de la projection orthogonale de−−→pq sur −→n !.
Distances
Et avec un vecteur normal?
RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurnormal −→n est donnée par ∣∣∣∣⟨−→n ,(p−q)
⟩∣∣∣∣∥∥∥−→n ∥∥∥ .
En d’autres termes, si la droite a pour équationax + by + c = 0
la distance entre cette droite et le point p est|ap1 + bp2 + c |√a2 + b2
Cette distance est juste la longueur de la projection orthogonale de−−→pq sur −→n !.
Distances
Résultat
La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a ,b ,c)passant par q est donnée par∣∣∣∣⟨−→w ,(p−q)
⟩∣∣∣∣∥∥∥−→w ∥∥∥ .
En d’autres termes, si le plan a pour équationax + by + cz +d = 0
la distance entre ce plan et le point p est|ap1 + bp2 + cp3 +d |√a2 + b2 + c2
Démonstration.Le vecteur ⟨−→w ,p−q
⟩∥∥∥−→w ∥∥∥2
−→w
est le projeté de p−q sur la droite normale au plan.
Distances
Résultat
La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a ,b ,c)passant par q est donnée par∣∣∣∣⟨−→w ,(p−q)
⟩∣∣∣∣∥∥∥−→w ∥∥∥ .
En d’autres termes, si le plan a pour équationax + by + cz +d = 0
la distance entre ce plan et le point p est|ap1 + bp2 + cp3 +d |√a2 + b2 + c2
Démonstration.Le vecteur ⟨−→w ,p−q
⟩∥∥∥−→w ∥∥∥2
−→w
est le projeté de p−q sur la droite normale au plan.
Distances
Résultat
La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a ,b ,c)passant par q est donnée par∣∣∣∣⟨−→w ,(p−q)
⟩∣∣∣∣∥∥∥−→w ∥∥∥ .
En d’autres termes, si le plan a pour équationax + by + cz +d = 0
la distance entre ce plan et le point p est|ap1 + bp2 + cp3 +d |√a2 + b2 + c2
Démonstration.Le vecteur ⟨−→w ,p−q
⟩∥∥∥−→w ∥∥∥2
−→w
est le projeté de p−q sur la droite normale au plan.
Fonctions réciproques
Contenu de la section
1 Fonctions réciproques
Fonctions réciproques Diagrames de Venn
Contenu de la section
1 Fonctions réciproquesDiagrames de VennFonctions réciproquesFonctions trigonométriques réciproques
Fonctions réciproques Diagrames de Venn
Diagrammes de Venn
Si A et B sont des ensembles, on définit les trois opérations :Intersection A ∩B = {x t.q. x ∈ A et x ∈ B }
Union A ∪B = {x t.q. x ∈ A ou x ∈ B }Différence A \B = {x t.q. x ∈ A et x < B }
On peut représenter les opérations sur des diagrammes appelésdiagrames de Venn.
Fonctions réciproques Diagrames de Venn
Diagrammes de Venn
Si A et B sont des ensembles, on définit les trois opérations :Intersection A ∩B = {x t.q. x ∈ A et x ∈ B }
Union A ∪B = {x t.q. x ∈ A ou x ∈ B }Différence A \B = {x t.q. x ∈ A et x < B }
On peut représenter les opérations sur des diagrammes appelésdiagrames de Venn.
Fonctions réciproques Diagrames de Venn
ExerciceVoici deux diagrammes de Venn :
A B
A B
C
Que représentent-ils?
Réponse : A ∩B et A \ (B ∪C)
Fonctions réciproques Diagrames de Venn
ExerciceVoici deux diagrammes de Venn :
A B
A B
C
Que représentent-ils?
Réponse : A ∩B et A \ (B ∪C)
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Contenu de la section
1 Fonctions réciproquesDiagrames de VennFonctions réciproquesFonctions trigonométriques réciproques
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B
est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A
et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) !
Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0,
par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Réciproque
DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que
g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.
Remarque
Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions
f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x
vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.
2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autrestermes, (
f−1)−1
= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g), alors f est
injective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.
Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres
termes, (f−1
)−1= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g), alors f est
injective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.
Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres
termes, (f−1
)−1= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g)
, alors f est
injective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.
Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres
termes, (f−1
)−1= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .
surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres
termes, (f−1
)−1= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.
Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres
termes, (f−1
)−1= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.
Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres
termes, (f−1
)−1= f .
Démonstration.
Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.
Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Graphe de la réciproque
Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x).
C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x). Ou encore:
lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).
Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,
Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Graphe de la réciproque
Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x). C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x).
Ou encore:
lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).
Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,
Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Graphe de la réciproque
Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x). C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x). Ou encore:
lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).
Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,
Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Graphe de la réciproque
Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x). C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x). Ou encore:
lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).
Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,
Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Exemple: logarithme et exponentielle
ln (logarithme népérien) est la fonction réciproque de l’exponentiellex 7→ exp(x) car: ∀x ∈R,∀y > 0,
exp(x) = y ⇐⇒ x = ln(y).
Fonctions réciproques Fonctions réciproques
Exemple: logarithme et exponentielle
ln (logarithme népérien) est la fonction réciproque de l’exponentiellex 7→ exp(x) car: ∀x ∈R,∀y > 0,
exp(x) = y ⇐⇒ x = ln(y).
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Contenu de la section
1 Fonctions réciproquesDiagrames de VennFonctions réciproquesFonctions trigonométriques réciproques
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Arcsinus
La fonction sin : [−π2,π
2]→ [−1,1] possède une réciproque notée :
arcsin : [−1,1]→[−π
2,π
2
]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Fig.: Graphes de sin et arcsin
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque!
La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible, c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque! La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible,
c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque! La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible, c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque! La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible, c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Arccosinus
La réciproque de cos : [0,π]→ [−1,1] estarccos : [−1,1]→ [0,π]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques
Arctangente
La réciproque de tg :]−π
2,π
2
[→ ]−∞,∞[ est
arctg : ]−∞,∞[→]−π
2,π
2
[
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
1
2
3
On peut aussi définir la réciproque de cotg : ]0,π[→ ]−∞,∞[.
Questions d’examen potentielles
Contenu de la section
2 Questions d’examen potentielles
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)
Le contenu des séances d’exercicesNe seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices.
L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris.
Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours.
Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.
Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen!
Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles
Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)
Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices
Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:
Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Contenu de la section
2 Questions d’examen potentiellesQuestions théoriquesExercices-types de l’interro de Novembre
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .
Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .
Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.
De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?
Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.
Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)
Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?
Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Questions théoriques
Exemple de questions théoriques POSSIBLES:
La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!
Prouver par récurrence que∑n
k=1 k =n(n+1)
2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Contenu de la section
2 Questions d’examen potentiellesQuestions théoriquesExercices-types de l’interro de Novembre
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?
Réponse
On peut choisir(7
5)
« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes. Solution: 5! ·
(75)= 7!
2 = 2520.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?
Réponse
On peut choisir(7
5)
« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.
Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes. Solution: 5! ·
(75)= 7!
2 = 2520.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?
Réponse
On peut choisir(7
5)
« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes.
Solution: 5! ·(7
5)= 7!
2 = 2520.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?
Réponse
On peut choisir(7
5)
« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes. Solution: 5! ·
(75)= 7!
2 = 2520.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Que vaut sin(−7π6 )?
Réponse
On ecrit que:
sin(− 7π
6
)= − sin
(7π6
)= − sin
(π+
π
6
)= sin
(π
6
)=
12.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Que vaut sin(−7π6 )?
Réponse
On ecrit que:
sin(− 7π
6
)=
− sin(7π
6
)= − sin
(π+
π
6
)= sin
(π
6
)=
12.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Que vaut sin(−7π6 )?
Réponse
On ecrit que:
sin(− 7π
6
)= − sin
(7π6
)=
− sin(π+
π
6
)= sin
(π
6
)=
12.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Que vaut sin(−7π6 )?
Réponse
On ecrit que:
sin(− 7π
6
)= − sin
(7π6
)= − sin
(π+
π
6
)=
sin(π
6
)=
12.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Que vaut sin(−7π6 )?
Réponse
On ecrit que:
sin(− 7π
6
)= − sin
(7π6
)= − sin
(π+
π
6
)= sin
(π
6
)=
12.
Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre
Question
Que vaut sin(−7π6 )?
Réponse
On ecrit que:
sin(− 7π
6
)= − sin
(7π6
)= − sin
(π+
π
6
)= sin
(π
6
)=
12.