cours 11

4.2 LES PLANS

Au dernier cours nous avons vus

✓ L’équation vectoriel et l’équation

normale d’une droite dans le plan.

✓ L’équation vectoriel d’une droite

dans l’espace.

✓ La distance entre un point et une

droite.

✓ La distance entre deux droites.

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Diverses équations que décrivent

un plan.

✓ L’intersection de deux plans.

✓ L’angle entre deux plans.

✓ La distance entre un point et un

plan.

Dans l’espace, pour décrire un plan, il faut

un point et deux vecteurs

L’équation vectoriel d’un plan est donné par:

d’où on tire les équations paramétriques.

paramètres:

Où les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan.

Si on connaît un vecteur normal au plan

et un point du plan alors, on a que pour tous les autres points du plan,

et donc

d’où

le vecteur

On nomme cette équation, l’équation normale du plan.

On la note habituellement sous la forme suivante:

L’avantage de cette équation est qu’on y lit directement un vecteur normal

On peut aussi décrire le plan par le fait que

et sont coplanaire.

Ça nous redonne l’équation normale du plan

Si deux plans se croisent, alors

l’intersection sera une droite.

Auquel cas la direction de cette droite est

donnée par:

car donc

doncet

Intersection de deux plans

Intersection de deux plans

Si deux plans ne se croisent pas,

alors leurs vecteurs normaux sont parallèles.

Et donc, on a que

On nomme l’angle entre deux plans,

l’angle dièdre.

L’angle entre deux plans correspond à l’angle entre les vecteurs normaux.

est aussi la distance entre deux plans parallèles.

Distance entre un point et un plan.

La distance entre un point et un plan,

Normal vs. directeur

Si on a des vecteurs directeurs d’un plan, il est facile d’en trouver un vecteur normal.

???

Existe-t-il un vecteurperpendiculaire à et qui ne soit pas

dans le plan?

NON!

Ici, on peut prendre n’importe quel vecteur

non nul!

Et l’inverse maintenant?

Exemple:Trouver l’équation vectoriel du plan d’équation

On a que est un vecteur normal au

plan.

Et un point?

Aujourd’hui, nous avons vu

✓ L’équations vectoriel et

l’équation normale d’un plan.

✓ L’intersection de deux plans.

✓ L’angle entre deux plans.

✓ La distance entre un point et

un plan.

Devoir: p. 149 # 1 à 22