i Ai ndustrielle Traitement de Signal Appliqué...

Michel Etique Traitement de Signal Appliqué - p. 1/54

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Traitement de Signal Appliqué(TSA)

Chapitre 1: Eléments de filtrage analogique

Prof. Michel ETIQUEMichel.Etique@eivd.ch

Prof. Freddy MUDRYFreddy.Mudry@eivd.ch

Haute Ecole d’Ingénieurs et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)Département d’électricité et d’informatique

institut d’Automatisation industrielle (iAi)

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

Fonction de transfert

Présentation des fonction de

transfert

Régime permanent sinusoidal

Systèmes fondamentaux

Filtres optimums

Filtres de Butterworth

Filtres de Tchebycheff (type I

Filtres de Bessel

Largeur de bande et durée de la

réponse temporelle

Réalisations des filtres

analogiques

Forme informatique

Cours, slides et exercices en formats pdf,source LATEX 2ε :

http ://iai.eivd.ch/users/mee/

Fiche d’unité d’enseignementhttp ://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_TSA/admin/fiche/TDS_applique.pdf

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Introduction

Un filtre électrique opère une modification d’un signal électrique

d’entrée ou d’excitation on u(t), pour produire un signal de sortie ouréponse, y(t). A cette modification du signal temporel u(t) correspond

une modification du spectre U(j · ω) pour produire Y (j · ω).

S y s t è m ed y n a m i q u e y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 3 0 . e p s

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Introduction

Si le filtre est linéaire, le contenu spectral de Y (j · ω) ne peut être plus

riche que celui de U(j · ω). Le filtre se contente alors d’amplifier oud’attenuer certaines composantes présentes dans U(j · ω). Un filtre

non-linéaire, au contraire, fait apparaître des composantesinexistantes dans U(j · ω). La plupart des filtres sont linéaires. Ce

sont les seuls que nous étudierons ici.

f _ 0 2 _ 3 0 . e p s

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Introduction

Distinction filtres analogiques / filtre numérique

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Applications

Multiplexage fréquentiel de signaux, opération qui consiste à combiner en un seul signal une multitude de signauxindépendants, qui occupent dans le signal multiplexé une plage spectrale déterminée. C’est le principe de la transmission hertzienne des signaux radio-TV : le champ électromagnétique qui nous entoure

porte la somme de toutes les émissions radio-TV. C’est aussi le principe de la transmission analogique longue distance de signaux téléphoniques sur paires cuivrées :

afin de minimiser le nombre de câbles à poser, on fait passer plusieurs communications sur le même câble.A la réception, il est donc nécessaire de démultiplexer le signal transmis, afin de reconstituer les signaux de départ. Cecis’effectue en deux étapes :1. Translation du spectre multiplexé, afin de faire correspondre le signal à extraire à une fenêtre spectrale fixée une fois

pour toutes.

2. Filtrage du signal translaté en fréquence, par un filtre (fixé une fois pour toutes) permettant d’éliminer lescomposantes spectrales en dehors de cette fenêtre.

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Applications

Multiplexage fréquentiel de signaux, opération qui consiste à combiner en un seul signal une multitude de signauxindépendants, qui occupent dans le signal multiplexé une plage spectrale déterminée.

Filtre anti-repliement

Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres idéaux

-ωc +ωc -ωc +ωc

ω1 ω2−ω2 −ω1 ω1 ω2−ω2 −ω1

H(ω) H(ω)

Passe-Bas Passe-Haut

Passe-

Coupe-

Introduction

Fonction de transfertConvention de notation :

entrée-sortieReprésentation par la fonction

de transfert

H(s) représente le système

Forme de H(s)Pôles et zéros, ordre et degré

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Convention de notation : entrée-sortie

f _ 0 2 _ 3 0 . e p s

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Représentation par la fonction de transfert

u ( t ) = d ( t ) y ( t ) = h ( t )f _ 0 1 _ 5 . e p s

S y s t è m ed y n a m i q u el i n é a i r e

m o n o - v a r i a b l e

y ( t ) = h ( t )

u ( t ) = d ( t )

H(s) = Lh(t)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

u ( t ) = d ( t ) y ( t ) = h ( t )f _ 0 1 _ 5 . e p s

y ( t ) = h ( t )

u ( t ) = d ( t )

H(s) = Lh(t)

La fonction de transfert H(s) d’un système dynamique linéaire est latransformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle h(t)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) = Lh(t)

y(t) = h(t) ∗ u(t) −→ Y (s) = H(s) · U(s)

= L−1 (H(s) · U(s))

H(s) =Y (s)

L u(t)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

U ( s )u ( t )

Y ( s )y ( t )H ( s )

f _ 0 1 _ 6 . e p s

m o n o - v a r i a b l ey ( t )u ( t )

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

Transformée Laplace des 2 membres de l’équation différenti elle (conditions initiales nulles)

an ·dny

dtn+ an−1 ·

dn−1y

dtn−1+ . . . + a1 ·

dt+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

dt+ b0 · u(t)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

an · dnydtn + an−1 · dn−1y

dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

dt+ b0 · u(t)

sn · Y (s)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

dt+ b0 · u(t)

sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . .

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

dt+ b0 · u(t)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

dt+ b0 · u(t)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

dt+ b0 · u(t)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

=⇒ H(s) = fraction rationelle en s

H(s) =Y (s)

bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Forme de H(s)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

=⇒ H(s) = fraction rationelle en s

H(s) =Y (s)

bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Forme factorisée

H(s) =Y (s)

·(s − z1) · (s − z2) · . . . · (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . · (s − sn)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Pôles et zéros, ordre et degré relatif

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

=bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

=bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Pôles s1 à sn, i.e. les valeurs de s pour lesquelles le dénominateur deH(s) s’annule, sont les n pôles de H(s). s1 à sn s’obtiennent en

résolvant l’équation caractéristique :dc(s) = an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0 = 0

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

Zéros z1 à zm sont les valeurs de s annulant le numérateur de H(s). Il

s’agit des m zéros de H(s)

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

Ordre Il y a n pôles : n est l’ordre du système.

Introduction

de transfert

relatif

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

Ordre Il y a n pôles : n est l’ordre du système.

Degré relatif Le nombre d = n − m est appelé le degré relatif de H(s)

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

Décomposition de H(s) en

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Présentation des fonctions de transfert : forme de Bode

H(s) =Y (s)

forme quelconquez | bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

forme de Bodez | b0

·1 + b1

b0· s + b2

b0· s2 + . . . + bm

b0· sm

1 + a1a0

· s + a2a0

· s2 + . . . + an

a0· sn

a0 6= 0

b0 6= 0

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

forme de Bodez | b0

·1 + b1

b0· s + b2

b0· s2 + . . . + bm

b0· sm

1 + a1a0

· s + a2a0

· s2 + . . . + an

a0· sn

a0 6= 0

b0 6= 0

forme de Bode factoriséez |

a0· (1 + s · T ∗

1 ) · (1 + s · T ∗2 ) · . . . · (1 + s · T ∗

(1 + s · T1) ·

1 +2 · ζω0

· s +1

pas factorisable avec des

coefficients réels

→ pôles complexes

· . . . · (1 + s · Tn)

a0· (1 + s · T ∗

1 ) · (1 + s · T ∗2 ) · . . . · (1 + s · T ∗

(1 + sω1

Q0·ω0· s + 1

ω20· s2

· . . . · (1 + s · sωn

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemples de fonction de transfert sous forme de Bode factorisée :

H(s) = Y (s)U(s)

= 35·s+4

gain permanent

1+s·5

4|zconstante de temps

H(s) = Y (s)U(s)

= 3s·(5·s+4)

= 34· 1

s·(1+s· 54)

s+s2· 54

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Présentation des fonctions de transfert : forme de Laplace

H(s) =Y (s)

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

forme de Laplacez |

·sm +

bm−1

bm· sm−1 + . . . + b0

sn +an−1

an· sn−1 + . . . + a0

an 6= 0

bm 6= 0

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

forme de Laplacez | bm

·sm +

bm−1

bm· sm−1 + . . . + b0

sn +an−1

an· sn−1 + . . . + a0

an 6= 0

bm 6= 0

forme de Laplace factoriséez |

· (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) ·

(s + δ)2 + ω

pas factorisable, pôles complexes

· . . . (s − sn)

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemples : H(s) = Y (s)

U(s)= 3

5·s+4= 3

H(s) = Y (s)U(s)

= 3s·(5·s+4)

= 35· 1

s·(s+ 45)

Introduction

transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace

facteurs simples

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Décomposition de H(s) en facteurs simples

1 + 1Q0

· sω0

1 + sω1

1 + 2 · ζ · sω0

On y trouve : les pulsations caractéristiques ω1 et ω0 ;

le facteur de qualité Q0 ;

le coefficient d’amortissement ζ = 12·Q0

.Voici un exemple d’écriture d’une même fonction de transfert dans les

formes de Bode et de Laplace :

H(s) =Y (s)

1 + sω1

1 + 2 · ζ · sω0

H(s) =Y (s)

ω1· s + ω1

s2 + 2 · ζ · ω0 · s + ω20

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−0.5

régime permanent sinusoïdalrégime transitoire

L’analyse fréquentielle = étude des propriétés des systèmes enrégime permanent sinusoidal.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Le signal d’entrée u(t) = sin (ω · t) est : amplifié d’un facteur A(ω) = |H(j · ω)| déphasé d’un angle égal à ϕ(ω) = arg H(j · ω)

H(s)|s=j·ω = H(j · ω)

8<: A(ω) = |H(j · ω)|ϕ(ω) = arg H(j · ω)

Introduction

transfert

Système fondamental d’ordre 1

Réponses temporelles d’un

système d’ordre 1

Influence de la position du pôle

s1Réponse harmonique

Réponses temporelles

(influence de ζ et ω0 )

(influence de δ et ωn )

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Fonction de transfert d’un système fondamental d’ordre 1

H(s) =Y (s)

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

H(s) =Y (s)

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

T : constante de temps du système

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

H(s) =Y (s)

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

T : constante de temps du système s1 = − 1

T: pôle

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

H(s) =Y (s)

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

T : constante de temps du système s1 = − 1

T: pôle

K : gain statique

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Schéma fonctionnel détaillé d’un système d’ordre 1

1 / Td y / d t

y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 3 9 _ 1 . e p s

T ·dy

dt+ y(t) = K · u(t)

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Schéma fonctionnel détaillé d’un système d’ordre 1

1 / Td y / d t

y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 3 9 _ 1 . e p s

T ·dy

dt+ y(t) = K · u(t)

1 / Td y / d t

y ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 3 9 _ 2 . e p s

u ( t ) 1 / s

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Réponses temporelles d’un système d’ordre

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

Réponses impulsionnelle, indicielle et en vitesse d’un système fondamental d’ordre 1 G1(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 0.1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.50.6321

le tangente à l’origine

63% de la valeur finale

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

f_sys_fond_01_1.eps

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Système fondamental d’ordre 1 : mode temporel

Les modes d’un système sont obtenus :

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Les modes d’un système sont obtenus : En obtenant la réponse libre du système,

i.e. en observant son évolution lorsqueses conditions initiales sont non-nulles

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Les modes d’un système sont obtenus : En l’excitant par une impulsion de Dirac

u ( t ) = d ( t ) y ( t ) = g ( t )f _ 0 2 _ 0 4 _ 5 . e p s

y ( t ) = g ( t )

u ( t ) = d ( t )

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Exemple : fusée pour analyse modale deponts !

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

En l’excitant par une impulsion de Dirac

Y (s) = H(s) · U(s)︸︷︷︸

Lδ(t)=1

s − s1

y(t) = g(t) = L−1 H(s) = k · es1·t = k · e−t

es1·t

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

es1·t

0 1 2 3 4 50

Mode apériodique

0 1 2 3 4 50

−2 0 2

Configuration pôle−zéro

−2 0 2

f_mode_exp_1c.eps

T_K.sq

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Influence de la position du pôle s1

es1·t

0 1 2 3 4 50

Mode apériodique

0 1 2 3 4 50

−10 −5 0−5

5Configuration pôle−zéro

−10 −5 0−5

f_mode_rap_1c.eps

T_K.sq

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Réponse harmonique

10−1

Diagramme de Bode d’un système fondamental d’ordre 1 G1(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 0.1) (exact et asymptotique)

]asymptote à −20[dB]/décade

asymptote à 0[dB]/décade

atténuation en −1/T1 : −3[dB]

10−1

ω [rad/s]

asymptote à 0[deg]/décade

asymptote à −90[deg]/décade

déphasage en −1/T1 : −45[deg]

f_sys_fond_01_2.eps

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Système fondamental d’ordre 2 : fonction de transfert

H(s) =Y (s)

1 + s · 2·ζω0

+ s2 · 1ω2

0︸︷︷︸

forme de Bode

(s + δ)2 + ω2n︸︷︷︸

forme de Laplace

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Système fondamental d’ordre 2 : paramètres

Mode temporel :

g(t) = L−1 H(s) =k

· e−δ·t · sin (ωn · t)

ζ taux d’amortissementω0 pulsation propre non-amortieωn pulsation propre du régime libreδ facteur d’amortissement

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Système fondamental d’ordre 2 : mode oscillatoire

g(t) = L−1 H(s) =k

· e−δ·t · sin (ωn · t)

0 1 2 3 4 5−10

Mode sinusoïdal

0 1 2 3 4 5−20

0 1 2 3 4 5−2000

−1000

−2 0 2

Configuration pôle−zéro

−2 0 2

f_mode_sin_1.eps

zeta_wn_K.sq

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Réponses temporelles (influence de ζ et ω0)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

Réponses indicielles d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

2/((s+δ)2+ω

ζ=0.5

ζ=0.1

ζ=0.2

ζ=0.707

ζ=1.0

ωn=2*π [rad/s]=const

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

ωn=2*π ω

n=π ω

n=π/2 ζ=0.5=const

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Réponses temporelles (influence de δ et ωn)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

Réponses indicielles d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

2/((s+δ)2+ω

δ=1 [s−1]=constω

0 variable

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

ω0=2⋅ π [rad/s]=const

δ variable

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Réponse harmonique

ω [rad/s]

Réponses harmoniques d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

2/((s+δ)2+ω

ωn=2⋅ π [rad/s]=constasymptote horizontale 0 [dB/déc.]

asymptote oblique −40 [dB/déc.]ωn

10−1

−180

−135

asymptote horizontale 0 [deg/déc.]

asymptote oblique −90 [deg/déc.]

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Formes normalisées

P1(s) = s + 1

Il est sous-entendu qu’ils correspondent àl’un des deux polynômes suivants :

P1(s) =

s + ω1

1 + sω1

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Formes normalisées

Les polynômes normalisés d’ordre 2s’écrivent quant à eux sous la forme

P2(s) = s2 + 2 · ζ · s + 1

et implicitememt, ils correspondent à l’undes deux polynômes suivants :

P2(s) =

s2 + 2 · ζ · ω0 · s + ω20

1 + 2 · ζ · sω0

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve :

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le filtre passe-bas aux bornes de la capacité

HP B(s) =Y (s)

1 + 2 · ζ · sω0

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le filtre passe-bande aux bornes de la résistance

HP∆(s) =Y (s)

2 · ζ · sω0

1 + 2 · ζ · sω0

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le filtre passe-haut aux bornes de l’inductance

HP H(s) =Y (s)

1 + 2 · ζ · sω0

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le réjecteur de bande aux bornes de l’inductance et de la capacité

HR∆(s) =Y (s)

1 + 2 · ζ · sω0

Introduction

transfert

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Filtres d’ordre 2

Passe-

Coupe-

∆ω ≈ ωs − ωi =ω0

ω20 = ωs · ωi

où ωi, ωs, ∆ω sont, respectivement, les pulsations de coupureinférieure, supérieure et la bande passante du filtre.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Temps de propagation

Illustration des réponses

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres optimums

passante d'arrêtde transition

Bandes:

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres optimums

Un filtre réalisable possède une bande de transition non infiniment

raide entre les bandes passantes et d’arrêt et les spécifications dufiltre sont généralement données à l’aide d’un gabarit. Celui-ci précise

les bandes passantes, bandes de transition et bandes d’arrêtsouhaitées.

A la donnée du gabarit, on peut ajouter des spécifications telles que l’amplitude de l’ondulation acceptée dans les bandes passantes

et/ou d’arrêt

l’uniformité du temps de propagation dans la bande passante(phase linéaire).

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres optimums

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Approximations

Polynômes d’approximation, réalisant des filtres caractérisés par l’une

ou l’autre des propriétés suivantes : une bande passante plate au maximum pour les filtres de

Butterworth ;

un temps de propagation uniforme (ou une phase linéaire) dans labande passante pour les filtres de Bessel ;

une bande de transition étroite obtenue au dépend d’une

ondulation de la réponse fréquentielle dans la bande passante pourles filtres de Tchebycheff de type I .

Les filtres ci-dessus sont des filtres dits tout pôles, car leurnumérateur est d’ordre 0. Leurs fonctions de transfert s’écrivent alors

sous la forme :

H(s) =Y (s)

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Approximations

D’autres approximations de filtres réels existent comme par exemple : les filtres de Tchebycheff de type II qui n’ont pas d’ondulations

dans la bande passante mais qui en possèdent dans la bande

d’arrêt ;

les filtres elliptiques pour lesquels on accepte des ondulationsdans les bandes passantes et d’arrêt.

Les fonctions de transfert de ces filtres sont alors décrites par unrapport de deux polynômes ;

H(s) =Y (s)

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Approximations

Butterworth Bessel Tchebycheff I Tchebycheff II

Régularité de la courbe d’ampli-tude

excellente satisfaisante ondulations bonne

Raideur de la transition faible médiocre bonne moyenne

Régularité du temps de propa-gation

faible excellente médiocre faible

Qualité de la réponse tempo-relle

satisfaisante excellente mauvaise bonne

Facteurs de qualité moyens faibles élevés moyens

Disparité des composants faible très faible forte faible

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Systèmes à retard pur

T r t [ s ]0

u ( t )y ( t )

f _ 0 5 _ 1 0 . e p s

Un temps mort, ou retard pur, est l’intervalle de temps Tr comprisentre l’instant où l’on provoque une variation de la grandeur d’entrée

u(t) d’un système et celui où débute la variation corrélative de lagrandeur de sortie y(t).

Lx(t − Tr) = X(s) · e−s·Tr e−s·Tr

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Systèmes à retard pur

H(s) =Y (s)

partie rationnellez | bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0·e−s·Tr

∝ e−s·Tr

e−j·ω·Tr

8<: e−j·ω·Tr

= 1 = 0 [dB]

e−j·ω·Tr

= −ω · Tr

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.5

−0.5

Déphasage linéaire

f_dephasage_lin_4.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−0.5

Déphasage non−linéaire

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

u 1(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

u 3(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

u 5(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

u 7(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

u 1(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

u 3(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

u 5(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

u 7(t),

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtre idéal :

y(t) = A · u(t − Tr)

Y (j · ω) = A · U(j · ω) · e−j·ω·Tr = H(j · ω) · U(j · ω)

H(j · ω) = A(ω) · ej·ϕ(ω) avec8<: A(ω) = |H(j · ω)| = A

ϕ(ω) = arg H(j · ω) = −ω · Tr

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

La distortion de la phase est sans effet perceptible dans les systèmes

électro-acoustiques ou en téléphonie, l’oreille étant peu sensible à laphase. En revanche, la distortion de la phase peut poser de gros

problèmes en transmissions de données ou de signaux de télévision,réception de signaux radar, etc.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

f_delai_groupe_phase_1_1.eps

ω0 = 166.5

ωa = 2 ∗ π

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

0Diagramme de Bode

10−1

−180

−135

ω [rad/s]

H(s) =Y (s)

(1 + s · 0.0377)2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Développement limité à l’ordre 1 (Taylor) de la phase ϕ(ω) au

voisinage de ω = ω0 :

ϕ(ω) = ϕ(ω0) + (ω − ω0) ·dϕ

= −ω0 · tϕ − (ω − ω0) · tg

tϕ = tp = −ϕ(ω0)

tg = − dϕ

ω=ω0

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

ω [rad/s] (log)

H(s) =Y (s)

(1 + s · 0.0377)2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Temps de propagation de groupe d’un filtre de Butterworth, après

égalisation par un égaliseur (quadripôle passe-tout) à quatre pôles.Le module "Minimax" de Radiosim a optimisé les paramètres de

l’égaliseur pour obtenir le plafond plat que l’on peut observer sur uneplage de 10 [MHz].

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Illustration des réponses fréquentielles et temporelles

10−1

Diagrammes de Bode

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

Réponse indicielle

temps [sec]

f_comparftr_1.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

Diagrammes de Bode

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

Réponse indicielle

temps [sec]

f_comparftr_2.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

Diagrammes de Bode

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

Réponse indicielle

temps [sec]

f_comparftr_3.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

Diagrammes de Bode

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

Réponse indicielle

temps [sec]

f_comparftr_4.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

Diagrammes de Bode

o Btwx Bsl+ Tchbv 5xRC

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

Réponses indicielles

temps [sec]

f_comparftr_6.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Approximations

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.5 1 1.5 20

o Btwx Bsl+ Tchbv 5xRC

Amplitude

pulsation [rad/sec]

0 0.5 1 1.5 2−8

0Phase

pulsation [rad/sec]

0 0.5 1 1.5 20

8Temps de propagation

pulsation [rad/sec]

t p [sec

f_comparftr_7.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Polynômes de Butterworth

Ordre et pulsation

caractéristique d’un filtre

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

Diagrammes de Bode

]o Btwx Bsl+ Tchbv 5xRC

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

temps [sec]

f_comparftr_6.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Les filtres de Butterworth sont caractérisés par une réponse en

amplitude extrêmement plate dans la bande passante. Le carré dumodule de cette réponse fréquentielle est décrit par :

|H(j · ω)|2 = H(j · ω) · H(−j · ω) =1

On notera que cette réponse est normalisée par rapport à la pulsationde coupure ωc pour laquelle le filtre possède une atténuation de√

2 = 3 [dB].

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) · H(−s) =1

1 + s2·n

Le dénominateur de cette description est un polynôme d’ordre 2 · n

D(s) = 1 + s2·n = 0

dont les racines si sont uniformément réparties sur un cercle de rayonunité. En effet :

1 + s2·n = 0

si = (−1)1

2·n =√−1

1n = e

±j·π2

+2·k·πn = e

±j· π2·n ±j· 2·k·π

Solutions possibles

si = (−1)1

= 1 · ej·π2·n

L’angle entre chaque racine vaut πn

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

π/4σ/ωc

jω/ωcn = 4

jω/ωc

σ/ωcπ/5

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(s) =Y (s)

1 + a1 · s + a2 · s2 + · · · + an · sn

Calcul de A(s) : il suffit de connaître les pôles correspondant aux

trinômes constitutifs du polynôme. En effet, si l’on a s1,2 = −a ± j · b,il vient :

A(s) =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

(s + a + j · b) · (s + a − j · b)

s2 + 2 · a · s + a2 + b2

s2 + 2 · a · s + 1

avec a2 + b2 = 1 car les racines normalisées par rapport à ωc sesituent sur un cercle de rayon unité.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Dans le cas d’un polynôme d’ordre 5, ce dernier sera décomposé en

3 polynômes de base provenant du pôle réel et des 2 paires de pôlescomplexes :

Pôles Polynômes

p1 = −1 P1(s) = 1 + s

p2,3 = −0.809 ± j · 0.588 P2(s) = 1 + 1.618 · s + s2

p4,5 = −0.309 ± j · 0.951 P3(s) = 1 + 0.618 · s + s2

Le facteur de qualité correspondant Q0k est donné par l’inverse dudeuxième coefficient. Pour le polynôme d’ordre 5, on aura

Q02 = 11.618

et Q03 = 10.618

n P (s)

1 (1 + s)

1 + 1.414 · s + s2

3 (1 + s) ·

1 + 1.000 · s + s2

1 + 1.848 · s + s2

1 + 0.765 · s + s2

5 (1 + s) ·

1 + 1.618 · s + s2

1 + 0.618 · s + s2

1 + 1.932 · s + s2

1 + 1.414 · s + s2

1 + 0.518 · s + s2

7 (1 + s) ·

1 + 1.802 · s + s2

1 + 1.247 · s + s2

1 + 0.445 · s + s2

1 + 1.962 · s + s2

1 + 1.663 · s + s2

1 + 1.111 · s + s2

1 + 0.390 · s + s2

9 (1 + s) ·

1 + 1.879 · s + s2

1 + 1.532 · s + s2

1 + 1.000 · s + s2

1 + 0347 · s + s2

1 + 1.975 · s + s2

1 + 1.782 · s + s2

1 + 1.414 · s + s2

1 + 0.908 · s + s2

1 + 0.313 · s + s2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Vérification : pour un filtre de Butterworth d’ordre 2, on a bien

|A(j · ω)|2 =1

|H(j · ω)|2

1 + 1.414 · j · ω + (j · ω)2

1 +√

2 · j · ω + (j · ω)2

1 +√

2 · j · ω − ω2

"r(1 − ω2)2 +

√2 · ω

1 − ω

22 + 2 · ω2

= 1 + ω4

|H(j · ω)|2 =1

1 + ω4

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Vérification : pour un filtre de Butterworth d’ordre 2, on a bien

|A(j · ω)|2 =1

|H(j · ω)|2

|H(j · ω) · H(−j · ω)|

1 + 1.414 · j · ω + (j · ω)2

1 − 1.414 · j · ω + (−j · ω)2

1 +√

2 · j · ω + (j · ω)2

√2 · j · ω + (−j · ω)2

1 + j · ω ·

√2 −

+ (j · ω)2 ·

√2 ·

√2 + 1

+ (j · ω)3 ·

√2 −

+ (j · ω)4

1 + (j · ω)4

= 1 + ω

|H(j · ω)|2 =1

1 + ω4

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Ordre et pulsation caractéristique d’un filtre

Atténuation (ou affaiblissement) A(j · ω) : inverse de H(j · ω)

A(j · ω) ∝ 1

H(j · ω)

L’atténuation d’un filtre de Butterworth est décrite par

|A(j · ω)|2 = 1 +

Comme la connaissance des 2 paramètres n et ωc suffit à

caractériser la réponse fréquentielle d’un filtre de Butterworth, ladonnée d’un gabarit passe-bas à l’aide de 2 coordonnées suffit pour

déterminer complètement le filtre

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

fafp f

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Les atténuations aux points P (fin de la bande passante) et A (début

de la bande d’arrêt) s’écrivent :

|A(j · ωp)|2 ≈ A2p = 1 +

ωc2·n

|A(j · ωa)|2 ≈ A2a = 1 +

Résolution (système de 2 équations à 2 inconnues n et ωc) :

n ≥ 1

2·log

A2a−1

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Comme n est arrondi à l’entier supérieur, il y a dès lors 2 possibilités

pour ωc, que l’on peut calculer à partir des deux équationsd’atténuation :

ωc =ωm

[A(ωm)2 − 1]1

ωm = ωp ou ωm = ωa

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

En choisissant l’une ou l’autre de ces deux pulsationscaractéristiques, la courbe de réponse fréquentielle touchera l’une ou

l’autre partie du gabarit ; ce qui n’est pas satisfaisant.Par contre, en prenant pour ωc la moyenne géométrique

ωc =√

ωp · ωa

des deux valeurs ainsi trouvées, on permettra à la courbe de réponsefréquentielle de ne pas toucher le gabarit.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

Réaliser un filtre passe-bas de gain unité ne comportant pas d’oscillations dans la bande passante et satisfaisant au gabaritsuivant :

Hp = −1 [dB] fp = 1 [kHz]

Ha = −40 [dB] fa = 3 [kHz]

Pour ce faire on demande de :1. Trouver l’ordre n et la fréquence de coupure fc du filtre ;

2. Calculer les facteurs de qualité et le polynôme de réalisation ;

3. Tracer les réponses fréquentielle et temporelle.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

1. On a :

= +1 [dB] = 1.122 ⇒ A2p − 1 = 0.2589

= +40 [dB] = 100 ⇒ A2a − 1 ≈ 104

d’où l’on tire :

n ≥1

0@A2p−1

A2a−1

ωpωa

0.2589104

= 4.80 ≈ 5

fc,p =fp

A2p − 1

=1 [kHz]

0.2589110

= 1.145 [kHz]

fc,a =fa

A2a − 1

=3 [kHz]

= 1.194 [kHz]

On peut ainsi calculer la fréquence de coupure

qfc,p · fc,a = 1.17 [kHz]

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

2. D’après le tableau, le polynôme normalisé d’ordre 5 vaut :

P5,n(s) = (1 + s) ·

1 + 1.618 · s + s2

1 + 0.618 · s + s

On en déduit immédiatement les facteurs de qualité en prenant l’inverse des coefficients d’ordre 1 des deux trinômes :

Q02 =1

1.618= 0.618 = −5.7 [dB]

Q03 =1

0.618= 1.618 = +5.7 [dB]

En remplaçant la variable s par s2π·fc

= 1.36 · 10−4 · s, on obtient le polynôme de réalisation :

P5(s) =

1 + 1.36 · 10−4 · s

1 + 2.20 · 10−4 · s + 1.85 · 10−8 · s

1 + 0.84 · 10

−4 · s + 1.85 · 10−8 · s

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

3. Partant du polynôme P5(s), on en déduit H(s) = 1P5(s)

et on peut calculer puis tracer les réponses fréquentielles

de chaque cellule.La somme (en [dB]) de ces 3 réponses donne la réponse fréquentielle du filtre de Butterworth d’ordre 5. Les réponsesimpulsionnelle et indicielle sont également présentées dans la figure.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

5Cellule No.1

5Cellule No.2

fréquence [Hz]10

4−40

5Cellule No.3

f_xplbtw_1.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

Bode d’un Btw PBas d’ordre 5

fréquence [Hz]

0 1000 2000 30000

Btw PBas d’ordre 5

fréquence [Hz]

f_xplbtw_2.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Ordre et pulsation

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

−1000

3000Réponse impulsionnelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

1.4Réponse indicielle

temps [sec]

f_xplbtw_3.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Tchebycheff (type I) :

introductionCalcul de l’ordre d’un filtre de

Tchebycheff

Polynômes de Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres de Tchebycheff (type I) : introduction

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

r = 1.12 = + 1 dB

1/r = 0.89 = - 1 dBn = 5

bande d'ondulation

bande passante

0.707 = - 3 dB

Pulsation normalisée ω/ωr

Réponse en amplitude présentant une ondulation r dans la bande

passante

Bande passante délimitée par ωr 6= ωc

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

Diagrammes de Bode

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

temps [sec]

f_comparftr_6.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Réponse en amplitude présentant une ondulation r dans la bande

passante

|H(j · ω)|2 = H(j · ω) · H(−j · ω) =1

1 + ε2 · C2n ·

Cn = Cn

8>>><>>>:cos

n · arccos

si 0 ≤ ω

ωr≤ 1

n · acosh

ωr> 1

Bande passante délimitée par ωr 6= ωc :

ωc = ωr · cosh

n· acosh

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

L’amplitude ε est liée à l’ondulation r acceptée dans la bande

passante :

1 + ε2 = r

2 ⇔ ε2 = 10

rdB10 − 1

Signification de l’ondulation r (A0 est le gain du filtre pour

ω → 0

p1 + ε2 = r (1)

Amax = A0 ·√

1 + ε2 = r

Amin = A0

9=;n pair (2)

Amax = A0

Amin = A0√1+ε2

9=;n impair (3)

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Calcul de l’ordre d’un filtre de Tchebycheff

En général :

n ≥ log

a − 1 +√

A2a − 1 − ε2

− log(ε)

− 1!

Si l’atténuation Aa est plus grande que 10 :

n ≥ log

2 · Aa

Polynômes de Tchebycheff (type I)

Les racines des polynômes réalisant la réponse fréquentielle

|H(j · ω)|2 = H(j · ω) · H(−j · ω) =1

1 + ε2 · C2n ·

se situent sur une ellipse dont le petit diamètre dépend de l’ondulation r.

−→ Calcul des polynômes du dénominateur

Normalisation

Butterworth

1 + 1Q0·ω0

· s + 1ω20· s2

S −→ s

1 + 1Q0

· sω0

1 + 1Q0

· S + S2

Tchebycheff

1 + 1Q0·ω0

· s + 1ω20· s2

S −→ s

1 + ωr

Q0·ω0· s

ω20· s2

1 + ωr

Q0·ω0· S +

ω20· S2

Pour la suite :

S −→ s

n P (s) pour r = 0.5 [dB] = 1.059 ou ε = 0.3493

1 (1 + 0.349 · s)

1 + 0.940 · s + 0.659 · s2

3 (1 + 1.596 · s) ·

1 + 0.548 · s + 0.875 · s2

1 + 2.376 · s + 2.806 · s2

1 + 0.330 · s + 0.940 · s2

5 (1 + 2.760 · s) ·

1 + 1.230 · s + 2.097 · s2

1 + 0.216 · s + 0.965 · s2

1 + 3.692 · s + 6.370 · s2

1 + 0.719 · s + 1.695 · s2

1 + 0.152 · s + 0.977 · s2

7 (1 + 3.904 · s) ·

1 + 1.818 · s + 3.939 · s2

1 + 0.472 · s + 1.477 · s2

1 + 0.112 · s + 0.984 · s2

1 + 4.981 · s + 11.36 · s2

1 + 1.037 · s + 2.788 · s2

1 + 0.335 · s + 1.349 · s2

1 + 0.086 · s + 0.988 · s2

n P (s) pour r = 1.0 [dB] = 1.122 ou ε = 0.5089

1 (1 + 0.509 · s)

1 + 0.996 · s + 0.907 · s2

3 (1 + 2.024 · s) ·

1 + 0.497 · s + 1.006 · s2

1 + 2.411 · s + 3.579 · s2

1 + 0.283 · s + 1.014 · s2

5 (1 + 3.454 · s) ·

1 + 1.091 · s + 2.329 · s2

1 + 0.181 · s + 1.012 · s2

1 + 3.722 · s + 8.019 · s2

1 + 0.609 · s + 1.793 · s2

1 + 0.126 · s + 1.009 · s2

7 (1 + 4.868 · s) ·

1 + 1.606 · s + 4.339 · s2

1 + 0.392 · s + 1.530 · s2

1 + 0.092 · s + 1.007 · s2

1 + 5.010 · s + 14.23 · s2

1 + 0.876 · s + 2.934 · s2

1 + 0.276 · s + 1.382 · s2

1 + 0.070 · s + 1.006 · s2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

Réaliser un filtre passe-bas selon les spécifications suivantes : gain statique A0 = 1

ondulation de 1 [dB] dans la bande passante

gabarit :

Hr = 1 [dB] fr = 1 [kHz]ondulation acceptée dans la bande passante

Ha = −40 [dB] fa = 3 [kHz]

Pour ce faire on demande de :1. Calculer l’ordre n du filtre et sa fréquence de coupure fc ;

2. Calculer les fréquences caractéristique et facteur de qualité de chaque cellule ;

3. Calculer le polynôme de réalisation ;

4. Tracer les réponses fréquentielle et temporelle.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

r = 1.12 = + 1 dB

1/r = 0.89 = - 1 dBn = 5

bande d'ondulation

bande passante

0.707 = - 3 dB

Pulsation normalisée ω/ωr

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

1. On a :

= r = 1 [dB] = 1.122 =⇒ ε =

qr2 − 1 = 0.5089

= +40 [dB] = 100

ua =fa

d’où l’on tire :

n ≥log

2 · Aa

ωaωr

rωaωr

2 − 1

2000.5089

q32 − 1

= 3.39 ≈ 4

fc = fr · cosh

n· acosh

= 1 [kHz] · cosh

4· acosh

0.5089

= 1053 [Hz]

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

2. Du tableau, on tire le polynôme normalisé pour une ondulation de 1 [dB] :

P4,n(s) =

1 + 2.411 · s + 3.579 · s2

1 + 0.283 · s + 1.014 · s

On en déduit immédiatement les 2 facteurs de qualité

√3.579

2.411= 0.785 = −2 [dB] Q02 =

√1.014

0.283= 3.56 = +11 [dB]

et les 2 fréquences caractéristiques

f01 =fr

√3.579

= 528 [Hz] f02 =fr

√1.014

= 993 [Hz]

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

3. Effectuant le changement de variable

s →s

2π · fr

= 1.59 · 10−4

sur le polynôme normalisé

P4n(s) =

1 + 2.411 · s + 3.579 · s2

1 + 0.283 · s + 1.014 · s

on obtient le polynôme de réalisation :

P4(s) =

1 + 3.84 · 10−4 · s + 9.066 · 10

−8 · s2

1 + 0.45 · 10

−4 · s + 2.568 · 10−8 · s

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

3. Effectuant le changement de variable (suite)

P4(s) =

1 + 3.84 · 10−4 · s + 9.066 · 10

−8 · s2

1 + 0.45 · 10

−4 · s + 2.568 · 10−8 · s

À ce polynôme correspond la fonction de transfert suivante :

H4(s) =Y (s)

1 + 3.84 · 10−4 · s + 9.066 · 10−8 · s2

1 + 0.45 · 10−4 · s + 2.568 · 10−8 · s2

dont les pulsations caractéristiques, facteurs d’amortissement et de qualité valent :

ω01 =1p

9.066 · 10−8= 3321

ω02 =1p

2.568 · 10−8= 6240

f01 =ω01

2π= 528 [Hz] f02 =

2π= 993 [Hz]

ζ1 =3.84 · 10−4 · ω01

2= 0.637 ζ2 =

0.45 · 10−4 · ω02

2= 0.1405

Q01 =1

= 0.785 = −2 [dB] Q02 =1

= 3.56 = 11 [dB]

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

15Cellule No.1

15Cellule No.2

fréquence [Hz]

f_xplchb_1.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

Bode d’un Tchb PBas d’ordre 4

fréquence [Hz]

0 1000 2000 30000

Tchb PBas d’ordre 4

fréquence [Hz]

f_xplchb_2.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

−1000

−500

2500Réponse impulsionnelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

1.4Réponse indicielle

temps [sec]

f_xplchb_3.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

Filtres de BesselTemps de propagation (filtres

passe-bas)

Fonctions de transfert des filtres

de Bessel

Polynômes de Bessel

Synthèse d’un filtre de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres de Bessel

10−1

Diagrammes de Bode

10−1

−500

−400

−300

−200

−100

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

temps [sec]

f_comparftr_6.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres de Bessel

Réponses indicielles presque sans dépassement . . .

. . . grâce au temps de propagation qui,

dans la bande passante, est pratiquement indépendant de lafréquence.

Réponse fréquentielle en amplitude moins abrupte que Butterworth

ou Tchebycheff

Rappel : un temps de propagation constant (indépendant de la

fréquence)=⇒ toutes les composantes spectrales d’un signal

sont transmises avec le même décalage temporel.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Temps de propagation (filtres passe-bas)

Fonctions de transfert (régime permanent sinusoïdal)

H1(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)=

1 + j · ωω1

H2(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)=

1 + 1Q0

· j · ωω0

j · ω

Déphasage

ϕ1(ω) = − arctan

0B@ ωQ0·ω0

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Déphasage

0B@ ωQ0·ω0

1CA Temps de propagation

tp,1(ω) ≈ −ϕ1(ω)

arctan

tp,2(ω) ≈ −ϕ2(ω)

arctan

ωQ0·ω0

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

tp,1(ω) ≈ −ϕ1(ω)

arctan

tp,2(ω) ≈ −ϕ2(ω)

arctan

ωQ0·ω0

La valeur du temps de propagation est généralement donnée pour

les basses-fréquences (ω → 0) :

tp,1 =1

tp,2 =1

Q0 · ω0

Les temps de propagation s’ajoutent :

Q0,k · ω0,k

avec Q0,k = 1 pour les cellules d’ordre 1.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Fonctions de transfert des filtres de Bessel

Les fonctions de transfert conduisant à un temps de propagationconstant dans la bande passante possèdent un dénominateur

décrit par des polynômes de Bessel

P (s) =1

H(s)= 1 + b1 · s + b2 · s2 + · · · bn · sn

Ses coefficients se calculent de manière itérative

bk =2 · (n − k + 1)

k · (2 · n − k + 1)· bk−1 avec b1 = 1

n P (s)

1 (1 + s)

1 + 1.3614 · s + 0.6178 · s2

3 (1 + 1.3225 · s) ·

1 + 0.9998 · s + 0.4773 · s2

1 + 1.3389 · s + 0.4883 · s2

1 + 0.7738 · s + 0.3885 · s2

5 (1 + 1.5015 · s) ·

1 + 1.1408 · s + 0.4133 · s2

1 + 0.6219 · s + 0.3249 · s2

1 + 1.2224 · s + 0.3891 · s2

1 + 0.9691 · s + 0.3509 · s2

1 + 0.5133 · s + 0.2759 · s2

7 (1 + 1.6840 · s) ·

1 + 1.0946 · s + 0.3396 · s2

1 + 0.8305 · s + 0.3012 · s2

1 + 0.4333 · s + 0.2382 · s2

1 + 1.112 · s + 0.3166 · s2

1 + 0.976 · s + 0.2984 · s2

1 + 0.721 · s + 0.2625 · s2

1 + 0.373 · s + 0.209 · s2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Il n’existe pas d’approche simple pour trouver les pôles de H(s)

On ne peut donc pas déterminer analytiquement la valeur de la pulsation de coupure l’ordre du filtreà partir d’un gabarit.

On se contente alors d’une approche itérative conduisant à vérifiersi un filtre donné (ordre et pulsation de coupure) entre bien dans le

gabarit spécifié

La synthèse se résume donc à définir la bande passante (−3 [dB]) désirée à choisir un ordre du filtre suffisamment élevé pour atteindre

l’atténuation souhaitée.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtre de Bessel d’ordre 6

Pulsation de coupure ωc = 1

Tableau =⇒ polynôme normalisé par rapport à la pulsation de

coupure ωc

Comme ωc = 1

H(s) =

1 + 1.2224 · s + 0.3891 · s2

1 + 0.9691 · s + 0.3509 · s2

1 + 0.5133 · s + 0.2759 · s2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Trois cellules d’ordre 2 caractérisées par :

ω01 =1√

0.3891= 1.60

Q01 =1

1.2224 · ω01= 0.51

ω02 =1√

0.3509= 1.69

0.9691 · ω02= 0.61

ω03 =1√

0.2759= 1.90

0.5133 · ω03= 1.02

Temps de propagation total = somme des temps de propagation de

chaque cellule

Q0k · ω0k

= 1.22 + 0.97 + 0.51 = 2.70 [s]

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

10−1

10Réponse fréquentielle

ω / ω c

f_bslsyn0_1.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Réponse indicielle

ω c⋅ t

f_bslsyn0_2.eps

Temps nécessaire pour atteindre le 50% de la réponse indicielle = au

temps de propagation du filtre

Q0k · ω0k

= 1.22 + 0.97 + 0.51 = 2.70 [s]

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

passe-bas)

de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

4Phase et temps de propagation

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 22.62

t p (ω

ω / ω c

f_bslsyn0_3.eps

Dans la bande passante, la phase varie linéairement et que le temps

de propagation est pratiquement indépendant de la pulsation

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

Exigences contradictoires

analogiques

Largeur de bande et durée de la réponse temporelle

Les exigences simultanées

1. une bande passante étroite

2. un régime transitoire rapide

sont contradictoires !

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

15Tchbycheff, Passe−Bande, n=6

pulsation [rad/sec]

f_passebande_1.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

80Diagramme de Bode

−180

−135

ω [rad/s]

f_ex_FA_7_2.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−200

−100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−0.2

−0.1

f_ex_FA_7_3.eps

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Exigences contradictoires : illustration

Exemple : filtre passe-bande de pulsation caractéristique ω0 et

facteur de qualité Q0 :

H(s) =Y (s)

· sω0

1 + 1Q0

· sω0

Q0 et ω0 reliés par

∆ω =ω0

H(s) =Y (s)

∆ω · ss2 + ∆ω · s + ω2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

H(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)=

· j·ω

1 + 1Q0

· j·ω

D0 = 1Q0

Ω = ωω0

=D0 · j · Ω

1 + D0 · j · Ω + (j · Ω)2

1 + 1D0·j·Ω

+ j·ΩD0

1 + j · 1D0

Ω − 1

|H(j · Ω)|2 =

1 + 1D2

Ω − 1

2|H(j · Ω1,2)|2 =

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

|H(j · Ω1,2)|2 =1

1 + 1D2

Ω1,2 − 1

Ω − 1

Ω= ±D0

Ω2 ± D0 · Ω − 1 = 0

Ω1,2 =∓D0 ±

Solutions positives

0 + 4 > D0 ∀ D0 :

Ω1,2 =∓D0 +

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

∆Ω = Ω2 − Ω1 =D0 +

D20 + 4

2− −D0 +

∆Ω =∆ω

ω0= D0 =

∆ω =ω0

De plus

Ω1 · Ω2 =

−D0 +

0 + 4 − D20

ω0· ω2

ω0= 1

ω1 · ω2 = ω20

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Pôles de H(s) :

p1,2 = −∆ω

s∆ω

− ω20

= −∆ω

q1 − 4 · Q2

Si le filtre passe-bande est sélectif, Q0 est élevé :

p1,2 ≈ −∆ω

2± j · ω0

Réponse impulsionnelle du filtre :

yh(t) = h(t) = A1 · es1t + A2 · es2t = A · e(−∆ω2

·t) · cos (ω0 · t + α)

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Réponse oscillante amortie dont l’enveloppe a pour constante de

∆ω=

π · ∆f

Durée du régime transitoire ≈3 constantes de temps :

∆t ≈ 3 · τ =3

π · ∆f≈ 1

L’on ne peut pas avoir simultanément : Une grande sélectivité

∆f petit

Un régime transitoire court

∆t petit

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

Filtres normalisésTransformations d’un filtre

normaliséCircuits de Sallen et Key à gain

fixeCircuits de Sallen et Key à gain

variable

Filtres électriques passifs/actifs

Filtres normalisés

Formes normalisées

P1(s) = 1 +s

P2(s) = 1 +1

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Filtres normalisés

Caractérisation un filtre d’ordrequelconque :

les1. Pulsations caractéristiques ω0,r

2. Facteurs de qualité Q0

de chaque cellule sont des informationssuffisantes.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Filtres normalisés

Pulsation de normalisation

Butterworth et Bessel =Pulsation decoupure ωc (3 [dB] d’atténuation)

Tchebycheff =Bande dans laquelle onaccepte une ondulation r, e.g. r = 0.5 [dB] =⇒ 5.9% d’ondulation r = 1.0 [dB] =⇒ 12.2% d’ondulation

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Filtres normalisés

Ordre Cellules Btw (1) Bessel Tchb. 0.5 [dB] Tchb. 1 [dB]

Qkωkωc

ω0.5dBQk

ωkω1dB

1 1 1.000 2.8628 1.9652

2 1 0.7071 1.2723 0.5774 1.2313 0.8637 1.0500 0.9565

3 1 1.3225 0.6265 0.4942

2 1.0000 1.4474 0.6910 1.0689 1.7062 0.9971 2.0177

4 1 0.5412 1.4310 0.5219 0.5970 0.7051 0.5286 0.7845

2 1.3066 1.6043 0.8055 1.0313 2.9406 0.9932 3.5590

5 1 1.5015 0.3623 0.2895

2 0.6180 1.5555 0.5635 0.6905 1.1778 0.6552 1.3988

3 1.6180 1.7545 0.9165 1.0177 4.5450 0.9941 5.5564

6 1 0.5176 1.6030 0.5103 0.3962 0.6836 0.3531 0.7609

2 0.7071 1.6882 0.6112 0.7681 1.8104 0.7468 2.1980

3 1.9319 1.9037 1.0233 1.0114 6.5128 0.9954 8.0037

7 1 1.6840 0.2562 0.2054

2 0.5550 1.7160 0.5324 0.5039 1.0916 0.4801 1.2969

3 0.8019 1.8221 0.6608 0.8227 2.5755 0.8084 3.1559

4 2.2470 2.0491 1.1263 1.0080 8.8418 0.9963 10.8987

(1)Pour toutes les cellules des filtres de Butterworth, on aωkωc

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Filtres normalisés

Ordre Cellules Btw (1) Bessel Tchb. 0.5 [dB] Tchb. 1 [dB]

Qkωkωc

ω0.5dBQk

ωkω1dB

8 1 0.5098 1.7772 0.5060 0.2967 0.6766 0.2651 0.7530

2 0.6013 1.8308 0.5596 0.5989 1.6107 0.5828 1.9565

3 0.8999 1.9518 0.7109 0.8610 3.4657 0.8506 4.2661

4 2.5629 2.1872 1.2257 1.0059 11.5308 0.9971 14.2405

9 1 1.8570 0.1984 0.1593

2 0.5321 1.8788 0.5197 0.3954 1.0664 0.3773 1.2600

3 0.6527 1.9483 0.5895 0.6727 2.2131 0.6622 2.7129

4 1.000 2.0808 0.7606 0.8885 4.4780 0.8806 5.5266

5 2.8794 2.3228 1.3219 1.0046 14.5793 0.9976 18.0286

10 1 0.5062 1.9412 0.5039 0.2372 0.6734 0.2121 0.7495

2 0.5612 1.9790 0.5376 0.4878 1.5347 0.4761 1.8645

3 0.7071 2.0606 0.6205 0.7293 2.8913 0.7215 3.5605

4 1.1013 2.2021 0.8098 0.9087 5.6114 0.9025 6.9367

5 3.1962 2.4487 1.4153 1.0037 17.9871 0.9980 22.2630

(1)Pour toutes les cellules des filtres de Butterworth, on aωkωc

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Transformations d’un filtre normalisé

A partir des caractéristiques des filtres passe-bas, on construit celles

des filtres passe-haut

passe-bande

réjecteur de bande

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

A partir des caractéristiques des filtres passe-bas, on construit celles

des filtres passe-haut

passe-bande

réjecteur de bande

Filtre désiré Caractéristiques Variable

passe-bas ωks

passe-haut ωkωk

passe-bande ω0 =√

ωi · ωs B0 = ωs−ωi

coupe-bande ω0 =√

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Filtre désiré Caractéristiques Variable

passe-bas ωks

passe-haut ωkωk

passe-bande ω0 =√

coupe-bande ω0 =√

La transformations passe-bas vers passe-haut est aisée

Les transformations passe-bas vers passe-bande et coupe-bande

sont fastidieuses=⇒MATLAB

Passe-bas d’ordre n =⇒ filtre équivalent passe-bande ou

coupe-bande sera d’ordre 2 · n

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Circuits de Sallen et Key à gain fixe

SK_gain_fixe.pdf

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Fonctions de transfert

HP B(s) =Y (s)

1 + C2 · (R1 + R2) · s + C1 · C2 · R1 · R2 · s2

Identification des termes de la forme canonique

ω20 =

C1 · C2 · R1 · R2

Q0,P B =

vuut C1 · R1 · R2

C2 · (R1 + R2)2

Nombre d’éléments indéterminés (4) plus grand que le nombre d’équations (2) =⇒ 2 choisis au préalable

Pour que à Q > 0.5 :

R1 = R2 = R

d’où

ω0 =1

C · RQ0 =

vuutC1

2 · Q0 · ω0 · RC1 = 4 · Q

20 · C2

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Circuits de Sallen et Key à gain variable

SK_gain_var.pdf

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

K =R3 + R4

= 1 +R4

Fonctions de transfert

HP B(s) =Y (s)

U(s)= K ·

1 + (3 − K) · sRC + (sRC)2

Identification des termes de la forme canonique

ω0 =1

= 3 − K = 2 −R4

Nombre d’éléments indéterminés (4) plus grand que le nombre d’équations (2) =⇒ 2 choisis au préalable

ω0 · C(6)

R4 = R3 ·

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

On notera que le gain en tension des cellules passe-bas et

passe-haut vaut

AU,P B = AU,P H = K = 3 − 1

Q0≈ 3

alors que celui du filtre passe-bande

AU,·P∆ =K

3 − K= 3 · Q0 − 1 ≈ 3 · Q0

est proportionnel au facteur de qualité ; il peut ainsi atteindre des

valeurs très importantes. On préfère alors, pour ce type de filtre,utiliser la cellule à gain fixe.

Introduction

transfert

Filtres optimums

Filtres de Bessel

réponse temporelle

analogiques

Filtres normalisés

variable

Filtres actifs limités en fréquence (AO) =⇒ applications audio

Avec des composants passifs, on peut monter jusqu’à 500 [MHz]

Composants actifs nécessitent une source d’énergie

Filtres actifs limités à des amplitudes de l’ordre du [V]

Miniaturisation −→ élimination des inductances =⇒ utilisation de filtres actifs (à AO)

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