i Ai ndustrielle Traitement de Signal Appliqué...

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Michel Etique Traitement de Signal Appliqué - p. 1/54

A

i

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Traitement de Signal Appliqué(TSA)

Chapitre 1: Eléments de filtrage analogique

Prof. Michel [email protected]

Prof. Freddy [email protected]

Haute Ecole d’Ingénieurs et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)Département d’électricité et d’informatique

institut d’Automatisation industrielle (iAi)

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mailto:[email protected]

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux

Fonction de transfert

Présentation des fonction de

transfert

Régime permanent sinusoidal

Systèmes fondamentaux

Filtres optimums

Filtres de Butterworth

Filtres de Tchebycheff (type I

Filtres de Bessel

Largeur de bande et durée de la

réponse temporelle

Réalisations des filtres

analogiques

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Forme informatique

Cours, slides et exercices en formats pdf,source LATEX 2ε :

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Fiche d’unité d’enseignementhttp ://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_TSA/admin/fiche/TDS_applique.pdf

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux



transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Introduction

Un filtre électrique opère une modification d’un signal électrique

d’entrée ou d’excitation on u(t), pour produire un signal de sortie ouréponse, y(t). A cette modification du signal temporel u(t) correspond

une modification du spectre U(j · ω) pour produire Y (j · ω).

S y s t è m ed y n a m i q u e y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 3 0 . e p s

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux



transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Introduction

Si le filtre est linéaire, le contenu spectral de Y (j · ω) ne peut être plus

riche que celui de U(j · ω). Le filtre se contente alors d’amplifier oud’attenuer certaines composantes présentes dans U(j · ω). Un filtre

non-linéaire, au contraire, fait apparaître des composantesinexistantes dans U(j · ω). La plupart des filtres sont linéaires. Ce

sont les seuls que nous étudierons ici.


f _ 0 2 _ 3 0 . e p s

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux



transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Introduction

Distinction filtres analogiques / filtre numérique

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux



transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Applications

Multiplexage fréquentiel de signaux, opération qui consiste à combiner en un seul signal une multitude de signauxindépendants, qui occupent dans le signal multiplexé une plage spectrale déterminée. C’est le principe de la transmission hertzienne des signaux radio-TV : le champ électromagnétique qui nous entoure

porte la somme de toutes les émissions radio-TV. C’est aussi le principe de la transmission analogique longue distance de signaux téléphoniques sur paires cuivrées :

afin de minimiser le nombre de câbles à poser, on fait passer plusieurs communications sur le même câble.A la réception, il est donc nécessaire de démultiplexer le signal transmis, afin de reconstituer les signaux de départ. Cecis’effectue en deux étapes :1. Translation du spectre multiplexé, afin de faire correspondre le signal à extraire à une fenêtre spectrale fixée une fois

pour toutes.

2. Filtrage du signal translaté en fréquence, par un filtre (fixé une fois pour toutes) permettant d’éliminer lescomposantes spectrales en dehors de cette fenêtre.

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux



transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Applications

Multiplexage fréquentiel de signaux, opération qui consiste à combiner en un seul signal une multitude de signauxindépendants, qui occupent dans le signal multiplexé une plage spectrale déterminée.

Filtre anti-repliement

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Introduction

Forme informatique

Introduction

Applications

Filtres idéaux



transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Filtres idéaux

H(ω)

ω

-ωc +ωc -ωc +ωc

ω1 ω2−ω2 −ω1 ω1 ω2−ω2 −ω1

ω

ωω

H(ω)

H(ω) H(ω)

Passe-Bas Passe-Haut

Passe-

Bande

Coupe-

Bande

1 1

1 1

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Introduction

Fonction de transfertConvention de notation :

entrée-sortieReprésentation par la fonction

de transfert

H(s) représente le système

Forme de H(s)Pôles et zéros, ordre et degré

relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Convention de notation : entrée-sortie


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Introduction



de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Représentation par la fonction de transfert

u ( t ) = d ( t ) y ( t ) = h ( t )f _ 0 1 _ 5 . e p s

S y s t è m ed y n a m i q u el i n é a i r e

m o n o - v a r i a b l e

y ( t ) = h ( t )

t0

u ( t ) = d ( t )

t0

H(s) = Lh(t)

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Introduction



de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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u ( t ) = d ( t ) y ( t ) = h ( t )f _ 0 1 _ 5 . e p s



y ( t ) = h ( t )

t0

u ( t ) = d ( t )

t0

H(s) = Lh(t)

La fonction de transfert H(s) d’un système dynamique linéaire est latransformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle h(t)

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Introduction



de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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H(s) = Lh(t)

y(t) = h(t) ∗ u(t) −→ Y (s) = H(s) · U(s)

= L−1 (H(s) · U(s))

H(s) =Y (s)

U(s)=

Ly(t)

L u(t)

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de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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U ( s )u ( t )

Y ( s )y ( t )H ( s )

f _ 0 1 _ 6 . e p s


m o n o - v a r i a b l ey ( t )u ( t )

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Introduction



de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Forme de H(s)

Transformée Laplace des 2 membres de l’équation différenti elle (conditions initiales nulles)

an ·dny

dtn+ an−1 ·

dn−1y

dtn−1+ . . . + a1 ·

dy

dt+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

du

dt+ b0 · u(t)

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transfert



Filtres optimums



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Forme de H(s)


an · dnydtn + an−1 · dn−1y

dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

du

dt+ b0 · u(t)

sn · Y (s)

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relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


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Forme de H(s)



dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

du

dt+ b0 · u(t)

sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . .

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transfert



Filtres optimums



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Forme de H(s)



dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

du

dt+ b0 · u(t)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s)

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relatif


transfert



Filtres optimums



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réponse temporelle


analogiques

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Forme de H(s)



dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

du

dt+ b0 · u(t)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s)

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de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Forme de H(s)



dtn−1 + . . . + a1 · dydt

+ a0 · y(t)

= bm ·dmu

dtm+ bm−1 ·

dm−1u

dtm−1+ . . . + b1 ·

du

dt+ b0 · u(t)

an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

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relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


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Forme de H(s)


an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

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relatif


transfert



Filtres optimums



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analogiques

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Forme de H(s)


an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

=⇒ H(s) = fraction rationelle en s

H(s) =Y (s)

U(s)=

bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

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relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


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Forme de H(s)


an · sn · Y (s) + an−1 · s

n−1 · Y (s) + . . . + a1 · s · Y (s) + a0 · Y (s) =

bm · sm · U(s) + bm−1 · s

m−1 · U(s) + . . . + b1 · s · U(s) + b0 · U(s)

=⇒ H(s) = fraction rationelle en s

H(s) =Y (s)

U(s)=

bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Forme factorisée

H(s) =Y (s)

U(s)=

bm

an

·(s − z1) · (s − z2) · . . . · (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . · (s − sn)

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Pôles et zéros, ordre et degré relatif

H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

=bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

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Filtres optimums



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analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

=bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

Pôles s1 à sn, i.e. les valeurs de s pour lesquelles le dénominateur deH(s) s’annule, sont les n pôles de H(s). s1 à sn s’obtiennent en

résolvant l’équation caractéristique :dc(s) = an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0 = 0

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de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)

Zéros z1 à zm sont les valeurs de s annulant le numérateur de H(s). Il

s’agit des m zéros de H(s)

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Introduction



de transfert



relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)



Ordre Il y a n pôles : n est l’ordre du système.

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relatif


transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)= k · (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) · (s − s2) · . . . (s − sn)



Ordre Il y a n pôles : n est l’ordre du système.

Degré relatif Le nombre d = n − m est appelé le degré relatif de H(s)

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Forme de Bode

Forme de Laplace

Décomposition de H(s) en

facteurs simples



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Présentation des fonctions de transfert : forme de Bode

H(s) =Y (s)

U(s)=

forme quelconquez | bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

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Forme de Bode

Forme de Laplace


facteurs simples



Filtres optimums



Filtres de Bessel


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H(s) =Y (s)

U(s)=


an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

=

forme de Bodez | b0

a0|z

K

·1 + b1

b0· s + b2

b0· s2 + . . . + bm

b0· sm

1 + a1a0

· s + a2a0

· s2 + . . . + an

a0· sn

a0 6= 0

b0 6= 0

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Forme de Bode

Forme de Laplace


facteurs simples



Filtres optimums



Filtres de Bessel


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analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)=

forme de Bodez | b0

a0|z

K

·1 + b1

b0· s + b2

b0· s2 + . . . + bm

b0· sm

1 + a1a0

· s + a2a0

· s2 + . . . + an

a0· sn

a0 6= 0

b0 6= 0

=

forme de Bode factoriséez |

b0

a0· (1 + s · T ∗

1 ) · (1 + s · T ∗2 ) · . . . · (1 + s · T ∗

m)

(1 + s · T1) ·

1 +2 · ζω0

· s +1

ω20

· s2

| z

pas factorisable avec des

coefficients réels

→ pôles complexes

· . . . · (1 + s · Tn)

=b0

a0· (1 + s · T ∗

1 ) · (1 + s · T ∗2 ) · . . . · (1 + s · T ∗

m)

(1 + sω1

) ·

1 + 1

Q0·ω0· s + 1

ω20· s2

· . . . · (1 + s · sωn

)

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Exemples de fonction de transfert sous forme de Bode factorisée :

H(s) = Y (s)U(s)

= 35·s+4

=3

4|z

gain permanent

· 1

1+s·5

4|zconstante de temps

H(s) = Y (s)U(s)

= 3s·(5·s+4)

= 34· 1

s·(1+s· 54)

= 3

4· 1

s+s2· 54

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analogiques

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Présentation des fonctions de transfert : forme de Laplace

H(s) =Y (s)

U(s)

=


an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

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analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)

=


an · sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

=

forme de Laplacez |

bm

an|zk

·sm +

bm−1

bm· sm−1 + . . . + b0

bm

sn +an−1

an· sn−1 + . . . + a0

an

an 6= 0

bm 6= 0

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Filtres de Bessel


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analogiques

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H(s) =Y (s)

U(s)

=

forme de Laplacez | bm

an|z

k

·sm +

bm−1

bm· sm−1 + . . . + b0

bm

sn +an−1

an· sn−1 + . . . + a0

an

an 6= 0

bm 6= 0

=

forme de Laplace factoriséez |

bm

an|zk

· (s − z1) · (s − z2) · . . . (s − zm)

(s − s1) ·

(s + δ)2 + ω

2n

| z

pas factorisable, pôles complexes

· . . . (s − sn)

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Introduction



transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace


facteurs simples



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Exemples : H(s) = Y (s)

U(s)= 3

5·s+4= 3

5· 1

s+ 45

H(s) = Y (s)U(s)

= 3s·(5·s+4)

= 35· 1

s·(s+ 45)

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transfert

Forme de Bode

Forme de Laplace


facteurs simples



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Décomposition de H(s) en facteurs simples

sω1

1 + 1Q0

· sω0

+

s

ω0

2

1 + sω1

1 + 2 · ζ · sω0

+

s

ω0

2

On y trouve : les pulsations caractéristiques ω1 et ω0 ;

le facteur de qualité Q0 ;

le coefficient d’amortissement ζ = 12·Q0

.Voici un exemple d’écriture d’une même fonction de transfert dans les

formes de Bode et de Laplace :

H(s) =Y (s)

U(s)=

1 + sω1

1 + 2 · ζ · sω0

+

sω0

2

H(s) =Y (s)

U(s)=

ω20

ω1· s + ω1

s2 + 2 · ζ · ω0 · s + ω20

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transfert




Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−1

−0.5

0

0.5

1

u(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−1

−0.5

0

0.5

1

régime permanent sinusoïdalrégime transitoire

t [s]

y(t)

L’analyse fréquentielle = étude des propriétés des systèmes enrégime permanent sinusoidal.

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transfert




Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Le signal d’entrée u(t) = sin (ω · t) est : amplifié d’un facteur A(ω) = |H(j · ω)| déphasé d’un angle égal à ϕ(ω) = arg H(j · ω)

H(s)|s=j·ω = H(j · ω)

8<: A(ω) = |H(j · ω)|ϕ(ω) = arg H(j · ω)

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transfert



Système fondamental d’ordre 1


Réponses temporelles d’un

système d’ordre 1


Influence de la position du pôle

s1Réponse harmonique




Réponses temporelles

(influence de ζ et ω0 )


(influence de δ et ωn )

Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Fonction de transfert d’un système fondamental d’ordre 1

H(s) =Y (s)

U(s)=

K

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

=k

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



H(s) =Y (s)

U(s)=

K

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

=k

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

T : constante de temps du système

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



H(s) =Y (s)

U(s)=

K

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

=k

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

T : constante de temps du système s1 = − 1

T: pôle

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transfert

















Réponse harmonique

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Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



H(s) =Y (s)

U(s)=

K

1 + s · T︸︷︷︸

forme de Bode

=k

s − s1︸︷︷︸

forme de Laplace

T : constante de temps du système s1 = − 1

T: pôle

K : gain statique

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Schéma fonctionnel détaillé d’un système d’ordre 1

S-

1 / Td y / d t

y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 3 9 _ 1 . e p s

T ·dy

dt+ y(t) = K · u(t)

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Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Schéma fonctionnel détaillé d’un système d’ordre 1

S-

1 / Td y / d t

y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 3 9 _ 1 . e p s

T ·dy

dt+ y(t) = K · u(t)

S-

1 / Td y / d t

y ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 3 9 _ 2 . e p s

u ( t ) 1 / s

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Réponse harmonique

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Filtres d’ordre 2

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Filtres de Bessel


réponse temporelle

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atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Réponses temporelles d’un système d’ordre

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

5

10

Réponses impulsionnelle, indicielle et en vitesse d’un système fondamental d’ordre 1 G1(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 0.1)

impu

lsio

nnel

le

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.50.6321

1

indi

ciel

le tangente à l’origine

63% de la valeur finale

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

en v

itess

e

t [s]

f_sys_fond_01_1.eps

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Réponse harmonique

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réponse temporelle

JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Système fondamental d’ordre 1 : mode temporel

Les modes d’un système sont obtenus :

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

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Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Les modes d’un système sont obtenus : En obtenant la réponse libre du système,

i.e. en observant son évolution lorsqueses conditions initiales sont non-nulles

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Les modes d’un système sont obtenus : En l’excitant par une impulsion de Dirac

u ( t ) = d ( t ) y ( t ) = g ( t )f _ 0 2 _ 0 4 _ 5 . e p s



y ( t ) = g ( t )

t0

u ( t ) = d ( t )

t0

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réponse temporelle

JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Exemple : fusée pour analyse modale deponts !

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réponse temporelle

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




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Filtres d’ordre 2

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Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

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tom

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tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



En l’excitant par une impulsion de Dirac

Y (s) = H(s) · U(s)︸︷︷︸

Lδ(t)=1

=k

s − s1

y(t) = g(t) = L−1 H(s) = k · es1·t = k · e−t

T

es1·t

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



es1·t

0 1 2 3 4 50

0.5

1

g(t)

Mode apériodique

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

g(t)

0 1 2 3 4 50

50

100

150

t [s]

g(t)

−2 0 2

−10

0

10

Configuration pôle−zéro

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Im

f_mode_exp_1c.eps

T_K.sq

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Influence de la position du pôle s1

es1·t

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

g(t)

Mode apériodique

0 1 2 3 4 50

0.5

1

g(t)

0 1 2 3 4 50

5

10

t [s]

g(t)

−10 −5 0−5

0

5Configuration pôle−zéro

Re

Im

−10 −5 0−5

0

5

Re

Im

−10 −5 0−5

0

5

Re

Im

f_mode_rap_1c.eps

T_K.sq

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Réponse harmonique

10−1

100

101

102

103

−40

−20

−30

20

Diagramme de Bode d’un système fondamental d’ordre 1 G1(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 0.1) (exact et asymptotique)

gain

[dB

]asymptote à −20[dB]/décade

1/T1

asymptote à 0[dB]/décade

atténuation en −1/T1 : −3[dB]

10−1

100

101

102

103

−90

−45

0

45

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

asymptote à 0[deg]/décade

asymptote à 0[deg]/décade

asymptote à −90[deg]/décade

déphasage en −1/T1 : −45[deg]

f_sys_fond_01_2.eps

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Système fondamental d’ordre 2 : fonction de transfert

H(s) =Y (s)

U(s)

=K

1 + s · 2·ζω0

+ s2 · 1ω2

0︸︷︷︸

forme de Bode

=k

(s + δ)2 + ω2n︸︷︷︸

forme de Laplace

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Système fondamental d’ordre 2 : paramètres

Mode temporel :

g(t) = L−1 H(s) =k

ωn

· e−δ·t · sin (ωn · t)

ζ taux d’amortissementω0 pulsation propre non-amortieωn pulsation propre du régime libreδ facteur d’amortissement

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Système fondamental d’ordre 2 : mode oscillatoire

g(t) = L−1 H(s) =k

ωn

· e−δ·t · sin (ωn · t)

0 1 2 3 4 5−10

−5

0

5

10

g(t)

Mode sinusoïdal

0 1 2 3 4 5−20

−10

0

10

20

g(t)

0 1 2 3 4 5−2000

−1000

0

1000

t [s]

g(t)

−2 0 2

−10

0

10

Configuration pôle−zéro

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Im

−2 0 2

−10

0

10

Re

Im

f_mode_sin_1.eps

zeta_wn_K.sq

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Réponses temporelles (influence de ζ et ω0)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

Réponses indicielles d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

n2)=k

2/((s+δ)2+ω

02)

ζ=0.5

ζ=0.1

ζ=0.2

ζ=0.707

ζ=1.0

ωn=2*π [rad/s]=const

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

ωn=2*π ω

n=π ω

n=π/2 ζ=0.5=const

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Réponses temporelles (influence de δ et ωn)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

Réponses indicielles d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

n2)=k

2/((s+δ)2+ω

02)

δ=1 [s−1]=constω

0 variable

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

t [s]

ω0=2⋅ π [rad/s]=const

δ variable

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Réponse harmonique

ω [rad/s]

Réponses harmoniques d’un système fondamental d’ordre 2 G2(s)=Y(s)/U(s)=1/(1+s ⋅ 2 ⋅ ζ /ω

n 1+s2/ω

n2)=k

2/((s+δ)2+ω

02)

−80

−60

−40

−20

0

20

gain

[dB

]

ωn=2⋅ π [rad/s]=constasymptote horizontale 0 [dB/déc.]

asymptote oblique −40 [dB/déc.]ωn

10−1

100

101

102

103

−180

−135

−90

−45

0

phas

e [d

eg]

asymptote horizontale 0 [deg/déc.]

asymptote horizontale 0 [deg/déc.]

asymptote oblique −90 [deg/déc.]

ωn

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Formes normalisées

P1(s) = s + 1

Il est sous-entendu qu’ils correspondent àl’un des deux polynômes suivants :

P1(s) =

s + ω1

1 + sω1

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Formes normalisées

Les polynômes normalisés d’ordre 2s’écrivent quant à eux sous la forme

P2(s) = s2 + 2 · ζ · s + 1

et implicitememt, ils correspondent à l’undes deux polynômes suivants :

P2(s) =

s2 + 2 · ζ · ω0 · s + ω20

1 + 2 · ζ · sω0

+ s2

ω2

0

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Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve :

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Introduction



transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le filtre passe-bas aux bornes de la capacité

HP B(s) =Y (s)

U(s)=

1

1 + 2 · ζ · sω0

+

sω0

2

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transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le filtre passe-bande aux bornes de la résistance

HP∆(s) =Y (s)

U(s)=

2 · ζ · sω0

1 + 2 · ζ · sω0

+

sω0

2

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Introduction



transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le filtre passe-haut aux bornes de l’inductance

HP H(s) =Y (s)

U(s)=

sω0

2

1 + 2 · ζ · sω0

+

sω0

2

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Introduction



transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

Suivant l’endroit où l’on recueille la prélève de sortie, on trouve : le réjecteur de bande aux bornes de l’inductance et de la capacité

HR∆(s) =Y (s)

U(s)=

1 +

sω0

2

1 + 2 · ζ · sω0

+

sω0

2

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Introduction



transfert

















Réponse harmonique

Formes normalisées

Filtres d’ordre 2

Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres d’ordre 2

Passe-

Bande

Passe-

Haut

Passe-

Bas

Coupe-

Bande

u(t)

R

L

C

∆ω ≈ ωs − ωi =ω0

Q0

ω20 = ωs · ωi

où ωi, ωs, ∆ω sont, respectivement, les pulsations de coupureinférieure, supérieure et la bande passante du filtre.

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations

Temps de propagation

Illustration des réponses



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres optimums

passante d'arrêtde transition

Bandes:

f

H

1Hp

Ha

fafp

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http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_tsa//chap_01//Figures/gabarit.pdf

Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres optimums

Un filtre réalisable possède une bande de transition non infiniment

raide entre les bandes passantes et d’arrêt et les spécifications dufiltre sont généralement données à l’aide d’un gabarit. Celui-ci précise

les bandes passantes, bandes de transition et bandes d’arrêtsouhaitées.

A la donnée du gabarit, on peut ajouter des spécifications telles que l’amplitude de l’ondulation acceptée dans les bandes passantes

et/ou d’arrêt

l’uniformité du temps de propagation dans la bande passante(phase linéaire).

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres optimums

Gabarit de transmission téléphonique (Copyright 1975, ATTCompany)

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http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_tsa//chap_01//Figures/gabar_tel.pdf

Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Approximations

Polynômes d’approximation, réalisant des filtres caractérisés par l’une

ou l’autre des propriétés suivantes : une bande passante plate au maximum pour les filtres de

Butterworth ;

un temps de propagation uniforme (ou une phase linéaire) dans labande passante pour les filtres de Bessel ;

une bande de transition étroite obtenue au dépend d’une

ondulation de la réponse fréquentielle dans la bande passante pourles filtres de Tchebycheff de type I .

Les filtres ci-dessus sont des filtres dits tout pôles, car leurnumérateur est d’ordre 0. Leurs fonctions de transfert s’écrivent alors

sous la forme :

H(s) =Y (s)

U(s)=

1

A(s)

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Approximations

D’autres approximations de filtres réels existent comme par exemple : les filtres de Tchebycheff de type II qui n’ont pas d’ondulations

dans la bande passante mais qui en possèdent dans la bande

d’arrêt ;

les filtres elliptiques pour lesquels on accepte des ondulationsdans les bandes passantes et d’arrêt.

Les fonctions de transfert de ces filtres sont alors décrites par unrapport de deux polynômes ;

H(s) =Y (s)

U(s)=

B(s)

A(s)

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Approximations

Butterworth Bessel Tchebycheff I Tchebycheff II

Régularité de la courbe d’ampli-tude

excellente satisfaisante ondulations bonne

Raideur de la transition faible médiocre bonne moyenne

Régularité du temps de propa-gation

faible excellente médiocre faible

Qualité de la réponse tempo-relle

satisfaisante excellente mauvaise bonne

Facteurs de qualité moyens faibles élevés moyens

Disparité des composants faible très faible forte faible

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Systèmes à retard pur

T r t [ s ]0

u ( t )y ( t )

f _ 0 5 _ 1 0 . e p s

Un temps mort, ou retard pur, est l’intervalle de temps Tr comprisentre l’instant où l’on provoque une variation de la grandeur d’entrée

u(t) d’un système et celui où débute la variation corrélative de lagrandeur de sortie y(t).

Lx(t − Tr) = X(s) · e−s·Tr e−s·Tr

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Systèmes à retard pur

H(s) =Y (s)

U(s)

=

partie rationnellez | bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0·e−s·Tr

∝ e−s·Tr

e−j·ω·Tr

8<: e−j·ω·Tr

= 1 = 0 [dB]

arg

e−j·ω·Tr

= −ω · Tr

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

u(t)

, u(t

)

Déphasage linéaire

f_dephasage_lin_4.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

u(t)

, u(t

)

Déphasage non−linéaire


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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0

2

t [s]

u 1(t),

y1(t

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

0.5

t [s]

u 3(t),

y3(t

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

0.5

t [s]

u 5(t),

y5(t

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

0

0.2

t [s]

u 7(t),

y7(t

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0

2

t [s]

u(t)

, y(t

)


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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Filtre idéal :

y(t) = A · u(t − Tr)

Y (j · ω) = A · U(j · ω) · e−j·ω·Tr = H(j · ω) · U(j · ω)

H(j · ω) = A(ω) · ej·ϕ(ω) avec8<: A(ω) = |H(j · ω)| = A

ϕ(ω) = arg H(j · ω) = −ω · Tr

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



La distortion de la phase est sans effet perceptible dans les systèmes

électro-acoustiques ou en téléphonie, l’oreille étant peu sensible à laphase. En revanche, la distortion de la phase peut poser de gros

problèmes en transmissions de données ou de signaux de télévision,réception de signaux radar, etc.

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

a(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

m(t

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

a(t)

m(t

)

f_delai_groupe_phase_1_1.eps

ω0 = 166.5

rads

ωa = 2 ∗ π

rads

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

102

103

104

105

−80

−60

−40

−20

0Diagramme de Bode

gain

[dB

]

10−1

100

101

102

103

104

105

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]


H(s) =Y (s)

U(s)=

1

(1 + s · 0.0377)2

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

a(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

m(t

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

a(t)

m(t

)


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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Développement limité à l’ordre 1 (Taylor) de la phase ϕ(ω) au

voisinage de ω = ω0 :

ϕ(ω) = ϕ(ω0) + (ω − ω0) ·dϕ

dω

= −ω0 · tϕ − (ω − ω0) · tg

tϕ = tp = −ϕ(ω0)

ω0

tg = − dϕ

dω

ω=ω0

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

102

103

104

105

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3

ω [rad/s] (log)

Dél

ais

de g

roup

e et

de

phas

e [s

]

tgtp


H(s) =Y (s)

U(s)=

1

(1 + s · 0.0377)2

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Temps de propagation de groupe d’un filtre de Butterworth, après

égalisation par un égaliseur (quadripôle passe-tout) à quatre pôles.Le module "Minimax" de Radiosim a optimisé les paramètres de

l’égaliseur pour obtenir le plafond plat que l’on peut observer sur uneplage de 10 [MHz].

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Illustration des réponses fréquentielles et temporelles

10−1

100

101

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB

]

10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Réponse indicielle

temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_1.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB

]

10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Réponse indicielle

temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_2.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB

]

10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Réponse indicielle

temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_3.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB

]

10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Réponse indicielle

temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_4.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB

]

o Btwx Bsl+ Tchbv 5xRC

10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Réponses indicielles

temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_6.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums

Filtres optimums

Approximations





Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

o Btwx Bsl+ Tchbv 5xRC

Amplitude

pulsation [rad/sec]

Am

plitu

de[/]

0 0.5 1 1.5 2−8

−6

−4

−2

0Phase

pulsation [rad/sec]

Pha

se [r

ad]

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8Temps de propagation

pulsation [rad/sec]

t p [sec

]

f_comparftr_7.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums



Polynômes de Butterworth


Ordre et pulsation

caractéristique d’un filtre

Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB

]o Btwx Bsl+ Tchbv 5xRC

10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_6.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Les filtres de Butterworth sont caractérisés par une réponse en

amplitude extrêmement plate dans la bande passante. Le carré dumodule de cette réponse fréquentielle est décrit par :

|H(j · ω)|2 = H(j · ω) · H(−j · ω) =1

1 +

ωωc

2·n

On notera que cette réponse est normalisée par rapport à la pulsationde coupure ωc pour laquelle le filtre possède une atténuation de√

2 = 3 [dB].

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



H(s) · H(−s) =1

1 + s2·n

Le dénominateur de cette description est un polynôme d’ordre 2 · n

D(s) = 1 + s2·n = 0

dont les racines si sont uniformément réparties sur un cercle de rayonunité. En effet :

1 + s2·n = 0

si = (−1)1

2·n =√−1

1n = e

±j·π2

+2·k·πn = e

±j· π2·n ±j· 2·k·π

n

Solutions possibles

si = (−1)1

2·n

= 1 · ej·π2·n

L’angle entre chaque racine vaut πn

.

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



π/4σ/ωc

jω/ωcn = 4

jω/ωc

σ/ωcπ/5

n = 5

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



H(s) =Y (s)

U(s)=

1

A(s)=

1

1 + a1 · s + a2 · s2 + · · · + an · sn

Calcul de A(s) : il suffit de connaître les pôles correspondant aux

trinômes constitutifs du polynôme. En effet, si l’on a s1,2 = −a ± j · b,il vient :

A(s) =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

(s + a + j · b) · (s + a − j · b)

s2 + 2 · a · s + a2 + b2

s2 + 2 · a · s + 1

avec a2 + b2 = 1 car les racines normalisées par rapport à ωc sesituent sur un cercle de rayon unité.

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Dans le cas d’un polynôme d’ordre 5, ce dernier sera décomposé en

3 polynômes de base provenant du pôle réel et des 2 paires de pôlescomplexes :

Pôles Polynômes

p1 = −1 P1(s) = 1 + s

p2,3 = −0.809 ± j · 0.588 P2(s) = 1 + 1.618 · s + s2

p4,5 = −0.309 ± j · 0.951 P3(s) = 1 + 0.618 · s + s2

Le facteur de qualité correspondant Q0k est donné par l’inverse dudeuxième coefficient. Pour le polynôme d’ordre 5, on aura

Q02 = 11.618

et Q03 = 10.618

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JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



n P (s)

1 (1 + s)

2

1 + 1.414 · s + s2

3 (1 + s) ·

1 + 1.000 · s + s2

4

1 + 1.848 · s + s2

·

1 + 0.765 · s + s2

5 (1 + s) ·

1 + 1.618 · s + s2

·

1 + 0.618 · s + s2

6

1 + 1.932 · s + s2

·

1 + 1.414 · s + s2

·

1 + 0.518 · s + s2

7 (1 + s) ·

1 + 1.802 · s + s2

·

1 + 1.247 · s + s2

·

1 + 0.445 · s + s2

8

1 + 1.962 · s + s2

·

1 + 1.663 · s + s2

·

1 + 1.111 · s + s2

·

1 + 0.390 · s + s2

9 (1 + s) ·

1 + 1.879 · s + s2

·

1 + 1.532 · s + s2

·

1 + 1.000 · s + s2

·

1 + 0347 · s + s2

10

1 + 1.975 · s + s2

·

1 + 1.782 · s + s2

·

1 + 1.414 · s + s2

·

1 + 0.908 · s + s2

·

1 + 0.313 · s + s2

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Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Vérification : pour un filtre de Butterworth d’ordre 2, on a bien

|A(j · ω)|2 =1

|H(j · ω)|2

=

1 + 1.414 · j · ω + (j · ω)2

2=

1 +√

2 · j · ω + (j · ω)2

2=

1 +√

2 · j · ω − ω2

2=

"r(1 − ω2)2 +

√2 · ω

2

#2

=

1 − ω

22 + 2 · ω2

= 1 + ω4

|H(j · ω)|2 =1

1 + ω4

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Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Vérification : pour un filtre de Butterworth d’ordre 2, on a bien

|A(j · ω)|2 =1

|H(j · ω)|2

=1

|H(j · ω) · H(−j · ω)|

=

1 + 1.414 · j · ω + (j · ω)2

·

1 − 1.414 · j · ω + (−j · ω)2

=

1 +√

2 · j · ω + (j · ω)2

·

1 −

√2 · j · ω + (−j · ω)2

=

1 + j · ω ·

√2 −

√2

+ (j · ω)2 ·

1 −

√2 ·

√2 + 1

+ (j · ω)3 ·

√2 −

√2

+ (j · ω)4

=

1 + (j · ω)4

= 1 + ω

4

|H(j · ω)|2 =1

1 + ω4

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Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Ordre et pulsation caractéristique d’un filtre

Atténuation (ou affaiblissement) A(j · ω) : inverse de H(j · ω)

A(j · ω) ∝ 1

H(j · ω)

L’atténuation d’un filtre de Butterworth est décrite par

|A(j · ω)|2 = 1 +

ω

ωc

2·n

Comme la connaissance des 2 paramètres n et ωc suffit à

caractériser la réponse fréquentielle d’un filtre de Butterworth, ladonnée d’un gabarit passe-bas à l’aide de 2 coordonnées suffit pour

déterminer complètement le filtre

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Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



f

H

1Hp

Ha

fafp f

H

1Hp

Ha

fafp

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Exemple


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analogiques

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Les atténuations aux points P (fin de la bande passante) et A (début

de la bande d’arrêt) s’écrivent :

|A(j · ωp)|2 ≈ A2p = 1 +

ωp

ωc2·n

(1)

|A(j · ωa)|2 ≈ A2a = 1 +

ωa

ωc

2·n

(2)

Résolution (système de 2 équations à 2 inconnues n et ωc) :

n ≥ 1

2·log

A2

p−1

A2a−1

log

ωp

ωa

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Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


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analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Comme n est arrondi à l’entier supérieur, il y a dès lors 2 possibilités

pour ωc, que l’on peut calculer à partir des deux équationsd’atténuation :

ωc =ωm

[A(ωm)2 − 1]1

2·n

avec

ωm = ωp ou ωm = ωa

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



En choisissant l’une ou l’autre de ces deux pulsationscaractéristiques, la courbe de réponse fréquentielle touchera l’une ou

l’autre partie du gabarit ; ce qui n’est pas satisfaisant.Par contre, en prenant pour ωc la moyenne géométrique

ωc =√

ωp · ωa

des deux valeurs ainsi trouvées, on permettra à la courbe de réponsefréquentielle de ne pas toucher le gabarit.

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

Réaliser un filtre passe-bas de gain unité ne comportant pas d’oscillations dans la bande passante et satisfaisant au gabaritsuivant :

Hp = −1 [dB] fp = 1 [kHz]

Ha = −40 [dB] fa = 3 [kHz]

Pour ce faire on demande de :1. Trouver l’ordre n et la fréquence de coupure fc du filtre ;

2. Calculer les facteurs de qualité et le polynôme de réalisation ;

3. Tracer les réponses fréquentielle et temporelle.

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

1. On a :

Ap =1

Hp

= +1 [dB] = 1.122 ⇒ A2p − 1 = 0.2589

Aa =1

Ha

= +40 [dB] = 100 ⇒ A2a − 1 ≈ 104

d’où l’on tire :

n ≥1

2·

log

0@A2p−1

A2a−1

1Alog

ωpωa

=1

2·

log

0.2589104

log

13

= 4.80 ≈ 5

fc,p =fp

A2p − 1

12·n

=1 [kHz]

0.2589110

= 1.145 [kHz]

fc,a =fa

A2a − 1

12·n

=3 [kHz]

10410

= 1.194 [kHz]

On peut ainsi calculer la fréquence de coupure

fc =

qfc,p · fc,a = 1.17 [kHz]

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

2. D’après le tableau, le polynôme normalisé d’ordre 5 vaut :

P5,n(s) = (1 + s) ·

1 + 1.618 · s + s2

·

1 + 0.618 · s + s

2

On en déduit immédiatement les facteurs de qualité en prenant l’inverse des coefficients d’ordre 1 des deux trinômes :

Q02 =1

1.618= 0.618 = −5.7 [dB]

Q03 =1

0.618= 1.618 = +5.7 [dB]

En remplaçant la variable s par s2π·fc

= 1.36 · 10−4 · s, on obtient le polynôme de réalisation :

P5(s) =

1 + 1.36 · 10−4 · s

·

1 + 2.20 · 10−4 · s + 1.85 · 10−8 · s

2

·

1 + 0.84 · 10

−4 · s + 1.85 · 10−8 · s

2

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

3. Partant du polynôme P5(s), on en déduit H(s) = 1P5(s)

et on peut calculer puis tracer les réponses fréquentielles

de chaque cellule.La somme (en [dB]) de ces 3 réponses donne la réponse fréquentielle du filtre de Butterworth d’ordre 5. Les réponsesimpulsionnelle et indicielle sont également présentées dans la figure.

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transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

102

103

104

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5Cellule No.1

ampl

itude

[dB

]

102

103

104

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5Cellule No.2

fréquence [Hz]10

210

310

4−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5Cellule No.3

f_xplbtw_1.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

102

103

104

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Bode d’un Btw PBas d’ordre 5

fréquence [Hz]

ampl

itude

[dB

]

0 1000 2000 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Btw PBas d’ordre 5

fréquence [Hz]

ampl

itude

[/]

f_xplbtw_2.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Ordre et pulsation


Exemple


Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

−1000

0

1000

2000

3000Réponse impulsionnelle

ampl

itude

[/]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Réponse indicielle

temps [sec]

ampl

itude

[/]

f_xplbtw_3.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums



Filtres de Tchebycheff (type I) :

introductionCalcul de l’ordre d’un filtre de

Tchebycheff

Polynômes de Tchebycheff

(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres de Tchebycheff (type I) : introduction

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r = 1.12 = + 1 dB

1/r = 0.89 = - 1 dBn = 5

bande d'ondulation

bande passante

0.707 = - 3 dB

Pulsation normalisée ω/ωr

ωr

ωc

n = 6

Am

plit

ud

e

Réponse en amplitude présentant une ondulation r dans la bande

passante

Bande passante délimitée par ωr 6= ωc

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB


10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_6.eps

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Introduction



transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Réponse en amplitude présentant une ondulation r dans la bande

passante

|H(j · ω)|2 = H(j · ω) · H(−j · ω) =1

1 + ε2 · C2n ·

ωωr

2·n

Cn = Cn

ω

ωr

=

8>>><>>>:cos

n · arccos

ωωr

si 0 ≤ ω

ωr≤ 1

cosh

n · acosh

ωωr

si ω

ωr> 1

Bande passante délimitée par ωr 6= ωc :

ωc = ωr · cosh

1

n· acosh

1

ε

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transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



L’amplitude ε est liée à l’ondulation r acceptée dans la bande

passante :

1 + ε2 = r

2 ⇔ ε2 = 10

rdB10 − 1

Signification de l’ondulation r (A0 est le gain du filtre pour

ω → 0

rads

) :

Amax

Amin=

p1 + ε2 = r (1)

Amax = A0 ·√

1 + ε2 = r

Amin = A0

9=;n pair (2)

Amax = A0

Amin = A0√1+ε2

= A0r

9=;n impair (3)

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transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Calcul de l’ordre d’un filtre de Tchebycheff

En général :

n ≥ log

√A2

a − 1 +√

A2a − 1 − ε2

− log(ε)

log

ωa

ωr+

rωa

ωr

2

− 1!

Si l’atténuation Aa est plus grande que 10 :

n ≥ log

2 · Aa

ε

log

ωa

ωr+

rωa

ωr

2

− 1

!

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tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Polynômes de Tchebycheff (type I)

Les racines des polynômes réalisant la réponse fréquentielle

|H(j · ω)|2 = H(j · ω) · H(−j · ω) =1

1 + ε2 · C2n ·

ωωr

2·n

se situent sur une ellipse dont le petit diamètre dépend de l’ondulation r.

−→ Calcul des polynômes du dénominateur

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tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Normalisation

Butterworth

1

1 + 1Q0·ω0

· s + 1ω20· s2

S −→ s

ω0

1

1 + 1Q0

· sω0

+ s2

ω20

1

1 + 1Q0

· S + S2

Tchebycheff

1

1 + 1Q0·ω0

· s + 1ω20· s2

S −→ s

ωr

1

1 + ωr

Q0·ω0· s

ωr+

ω2r

ω20· s2

ω2r

1

1 + ωr

Q0·ω0· S +

ω2r

ω20· S2

Pour la suite :

S −→ s

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



n P (s) pour r = 0.5 [dB] = 1.059 ou ε = 0.3493

1 (1 + 0.349 · s)

2

1 + 0.940 · s + 0.659 · s2

3 (1 + 1.596 · s) ·

1 + 0.548 · s + 0.875 · s2

4

1 + 2.376 · s + 2.806 · s2

·

1 + 0.330 · s + 0.940 · s2

5 (1 + 2.760 · s) ·

1 + 1.230 · s + 2.097 · s2

·

1 + 0.216 · s + 0.965 · s2

6

1 + 3.692 · s + 6.370 · s2

·

1 + 0.719 · s + 1.695 · s2

·

1 + 0.152 · s + 0.977 · s2

7 (1 + 3.904 · s) ·

1 + 1.818 · s + 3.939 · s2

·

1 + 0.472 · s + 1.477 · s2

·

1 + 0.112 · s + 0.984 · s2

8

1 + 4.981 · s + 11.36 · s2

·

1 + 1.037 · s + 2.788 · s2

·

1 + 0.335 · s + 1.349 · s2

·

1 + 0.086 · s + 0.988 · s2

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tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



n P (s) pour r = 1.0 [dB] = 1.122 ou ε = 0.5089

1 (1 + 0.509 · s)

2

1 + 0.996 · s + 0.907 · s2

3 (1 + 2.024 · s) ·

1 + 0.497 · s + 1.006 · s2

4

1 + 2.411 · s + 3.579 · s2

·

1 + 0.283 · s + 1.014 · s2

5 (1 + 3.454 · s) ·

1 + 1.091 · s + 2.329 · s2

·

1 + 0.181 · s + 1.012 · s2

6

1 + 3.722 · s + 8.019 · s2

·

1 + 0.609 · s + 1.793 · s2

·

1 + 0.126 · s + 1.009 · s2

7 (1 + 4.868 · s) ·

1 + 1.606 · s + 4.339 · s2

·

1 + 0.392 · s + 1.530 · s2

·

1 + 0.092 · s + 1.007 · s2

8

1 + 5.010 · s + 14.23 · s2

·

1 + 0.876 · s + 2.934 · s2

·

1 + 0.276 · s + 1.382 · s2

·

1 + 0.070 · s + 1.006 · s2

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transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

Réaliser un filtre passe-bas selon les spécifications suivantes : gain statique A0 = 1

ondulation de 1 [dB] dans la bande passante

gabarit :

Hr = 1 [dB] fr = 1 [kHz]ondulation acceptée dans la bande passante

Ha = −40 [dB] fa = 3 [kHz]

Pour ce faire on demande de :1. Calculer l’ordre n du filtre et sa fréquence de coupure fc ;

2. Calculer les fréquences caractéristique et facteur de qualité de chaque cellule ;

3. Calculer le polynôme de réalisation ;

4. Tracer les réponses fréquentielle et temporelle.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r = 1.12 = + 1 dB

1/r = 0.89 = - 1 dBn = 5

bande d'ondulation

bande passante

0.707 = - 3 dB

Pulsation normalisée ω/ωr

ωr

ωc

n = 6

Am

plit

ud

e

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transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

1. On a :

Ap =1

Hr

= r = 1 [dB] = 1.122 =⇒ ε =

qr2 − 1 = 0.5089

Aa =1

Ha

= +40 [dB] = 100

ua =fa

fr

= 3

d’où l’on tire :

n ≥log

2 · Aa

ε

log

ωaωr

+

rωaωr

2 − 1

!≥

log

2000.5089

log

3 +

q32 − 1

= 3.39 ≈ 4

fc = fr · cosh

1

n· acosh

1

ε

= 1 [kHz] · cosh

1

4· acosh

1

0.5089

= 1053 [Hz]

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(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

2. Du tableau, on tire le polynôme normalisé pour une ondulation de 1 [dB] :

P4,n(s) =

1 + 2.411 · s + 3.579 · s2

·

1 + 0.283 · s + 1.014 · s

2

On en déduit immédiatement les 2 facteurs de qualité

Q01 =

√3.579

2.411= 0.785 = −2 [dB] Q02 =

√1.014

0.283= 3.56 = +11 [dB]

et les 2 fréquences caractéristiques

f01 =fr

√3.579

= 528 [Hz] f02 =fr

√1.014

= 993 [Hz]

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(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

3. Effectuant le changement de variable

s →s

2π · fr

= 1.59 · 10−4

[s]

sur le polynôme normalisé

P4n(s) =

1 + 2.411 · s + 3.579 · s2

·

1 + 0.283 · s + 1.014 · s

2

on obtient le polynôme de réalisation :

P4(s) =

1 + 3.84 · 10−4 · s + 9.066 · 10

−8 · s2

·

1 + 0.45 · 10

−4 · s + 2.568 · 10−8 · s

2

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(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

3. Effectuant le changement de variable (suite)

P4(s) =

1 + 3.84 · 10−4 · s + 9.066 · 10

−8 · s2

·

1 + 0.45 · 10

−4 · s + 2.568 · 10−8 · s

2

À ce polynôme correspond la fonction de transfert suivante :

H4(s) =Y (s)

U(s)

=1

1 + 3.84 · 10−4 · s + 9.066 · 10−8 · s2

·

1 + 0.45 · 10−4 · s + 2.568 · 10−8 · s2

dont les pulsations caractéristiques, facteurs d’amortissement et de qualité valent :

ω01 =1p

9.066 · 10−8= 3321

"rad

s#

ω02 =1p

2.568 · 10−8= 6240

"

rad

s

#

f01 =ω01

2π= 528 [Hz] f02 =

ω02

2π= 993 [Hz]

ζ1 =3.84 · 10−4 · ω01

2= 0.637 ζ2 =

0.45 · 10−4 · ω02

2= 0.1405

Q01 =1

2ζ1

= 0.785 = −2 [dB] Q02 =1

2ζ2

= 3.56 = 11 [dB]

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(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

102

103

104

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15Cellule No.1

ampl

itude

[dB

]

102

103

104

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15Cellule No.2

fréquence [Hz]

f_xplchb_1.eps

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Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

102

103

104

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Bode d’un Tchb PBas d’ordre 4

fréquence [Hz]

ampl

itude

[dB

]

0 1000 2000 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tchb PBas d’ordre 4

fréquence [Hz]

ampl

itude

[/]

f_xplchb_2.eps

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transfert



Filtres optimums





Tchebycheff


(type I)

Exemple

Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

2500Réponse impulsionnelle

ampl

itude

[/]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Réponse indicielle

temps [sec]

ampl

itude

[/]

f_xplchb_3.eps

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Filtres optimums



Filtres de Bessel

Filtres de BesselTemps de propagation (filtres

passe-bas)

Fonctions de transfert des filtres

de Bessel

Polynômes de Bessel

Synthèse d’un filtre de Bessel


réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres de Bessel

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

Diagrammes de Bode

Mod

ule

[dB


10−1

100

101

−500

−400

−300

−200

−100

0

Pha

se [d

eg]

pulsation [rad/sec]

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps [sec]

Am

plitu

de

f_comparftr_6.eps

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres de Bessel

Réponses indicielles presque sans dépassement . . .

. . . grâce au temps de propagation qui,

dans la bande passante, est pratiquement indépendant de lafréquence.

Réponse fréquentielle en amplitude moins abrupte que Butterworth

ou Tchebycheff

Rappel : un temps de propagation constant (indépendant de la

fréquence)=⇒ toutes les composantes spectrales d’un signal

sont transmises avec le même décalage temporel.

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Temps de propagation (filtres passe-bas)

Fonctions de transfert (régime permanent sinusoïdal)

H1(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)=

1

1 + j · ωω1

H2(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)=

1

1 + 1Q0

· j · ωω0

+

j · ω

ω0

2

Déphasage

ϕ1(ω) = − arctan

ω

ω1


0B@ ωQ0·ω0

1 −

ωω0

2

1CA

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Déphasage


ω

ω1


0B@ ωQ0·ω0

1 −

ωω0

2

1CA Temps de propagation

tp,1(ω) ≈ −ϕ1(ω)

ω=

arctan

ωω1

ω

tp,2(ω) ≈ −ϕ2(ω)

ω=

arctan

ωQ0·ω0

1−

ωω0

2

!

ω

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




tp,1(ω) ≈ −ϕ1(ω)

ω=

arctan

ωω1

ω

tp,2(ω) ≈ −ϕ2(ω)

ω=

arctan

ωQ0·ω0

1−

ω

ω0

2

!ω

La valeur du temps de propagation est généralement donnée pour

les basses-fréquences (ω → 0) :

tp,1 =1

ω1

tp,2 =1

Q0 · ω0

Les temps de propagation s’ajoutent :

tp =

X

k

1

Q0,k · ω0,k

avec Q0,k = 1 pour les cellules d’ordre 1.

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Fonctions de transfert des filtres de Bessel

Les fonctions de transfert conduisant à un temps de propagationconstant dans la bande passante possèdent un dénominateur

décrit par des polynômes de Bessel

P (s) =1

H(s)= 1 + b1 · s + b2 · s2 + · · · bn · sn

Ses coefficients se calculent de manière itérative

bk =2 · (n − k + 1)

k · (2 · n − k + 1)· bk−1 avec b1 = 1

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JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



n P (s)

1 (1 + s)

2

1 + 1.3614 · s + 0.6178 · s2

3 (1 + 1.3225 · s) ·

1 + 0.9998 · s + 0.4773 · s2

4

1 + 1.3389 · s + 0.4883 · s2

·

1 + 0.7738 · s + 0.3885 · s2

5 (1 + 1.5015 · s) ·

1 + 1.1408 · s + 0.4133 · s2

·

1 + 0.6219 · s + 0.3249 · s2

6

1 + 1.2224 · s + 0.3891 · s2

·

1 + 0.9691 · s + 0.3509 · s2

·

1 + 0.5133 · s + 0.2759 · s2

7 (1 + 1.6840 · s) ·

1 + 1.0946 · s + 0.3396 · s2

·

1 + 0.8305 · s + 0.3012 · s2

·

1 + 0.4333 · s + 0.2382 · s2

8

1 + 1.112 · s + 0.3166 · s2

·

1 + 0.976 · s + 0.2984 · s2

·

1 + 0.721 · s + 0.2625 · s2

·

1 + 0.373 · s + 0.209 · s2

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Il n’existe pas d’approche simple pour trouver les pôles de H(s)

On ne peut donc pas déterminer analytiquement la valeur de la pulsation de coupure l’ordre du filtreà partir d’un gabarit.

On se contente alors d’une approche itérative conduisant à vérifiersi un filtre donné (ordre et pulsation de coupure) entre bien dans le

gabarit spécifié

La synthèse se résume donc à définir la bande passante (−3 [dB]) désirée à choisir un ordre du filtre suffisamment élevé pour atteindre

l’atténuation souhaitée.

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Filtre de Bessel d’ordre 6

Pulsation de coupure ωc = 1

rads

Tableau =⇒ polynôme normalisé par rapport à la pulsation de

coupure ωc

Comme ωc = 1

rads

H(s) =

Y (s)

U(s)

=1

1 + 1.2224 · s + 0.3891 · s2

·

1 + 0.9691 · s + 0.3509 · s2

·

1 + 0.5133 · s + 0.2759 · s2

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Trois cellules d’ordre 2 caractérisées par :

ω01 =1√

0.3891= 1.60

rads

Q01 =1

1.2224 · ω01= 0.51

ω02 =1√

0.3509= 1.69

rads

Q02 =

1

0.9691 · ω02= 0.61

ω03 =1√

0.2759= 1.90

rads

Q03 =

1

0.5133 · ω03= 1.02

Temps de propagation total = somme des temps de propagation de

chaque cellule

tp =

3Xk=1

· 1

Q0k · ω0k

= 1.22 + 0.97 + 0.51 = 2.70 [s]

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Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



10−1

100

101

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Réponse fréquentielle

HdB

(ω)

ω / ω c

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Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Réponse indicielle

y(t)

ω c⋅ t

f_bslsyn0_2.eps

Temps nécessaire pour atteindre le 50% de la réponse indicielle = au

temps de propagation du filtre

tp =

3Xk=1

· 1

Q0k · ω0k

= 1.22 + 0.97 + 0.51 = 2.70 [s]

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Filtres de Bessel


passe-bas)


de Bessel




réponse temporelle


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−2

0

2

4Phase et temps de propagation

∠ H

(jω)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 22.62

2.64

2.66

2.68

2.7

2.72

2.74

t p (ω

)

ω / ω c

f_bslsyn0_3.eps

Dans la bande passante, la phase varie linéairement et que le temps

de propagation est pratiquement indépendant de la pulsation

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle

Exigences contradictoires


analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Largeur de bande et durée de la réponse temporelle

Les exigences simultanées

1. une bande passante étroite

2. un régime transitoire rapide

sont contradictoires !

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



102

103

104

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15Tchbycheff, Passe−Bande, n=6

pulsation [rad/sec]

H [d

B]

f_passebande_1.eps

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



102

103

104

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80Diagramme de Bode

gain

[dB

]

102

103

104

−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ex_FA_7_2.eps

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réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−200

−100

0

100

200

Rép

onse

impu

lsio

nnel

le

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

t[s]

Rép

onse

indi

ciel

le

f_ex_FA_7_3.eps

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Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Exigences contradictoires : illustration

Exemple : filtre passe-bande de pulsation caractéristique ω0 et

facteur de qualité Q0 :

H(s) =Y (s)

U(s)=

1Q0

· sω0

1 + 1Q0

· sω0

+

sω0

2

Q0 et ω0 reliés par

∆ω =ω0

Q0


H(s) =Y (s)

U(s)=

∆ω · ss2 + ∆ω · s + ω2

0

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



H(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)=

1Q0

· j·ω

ω0

1 + 1Q0

· j·ω

ω0+

j·ω

ω02

D0 = 1Q0

Ω = ωω0

=D0 · j · Ω

1 + D0 · j · Ω + (j · Ω)2

=1

1 + 1D0·j·Ω

+ j·ΩD0

=1

1 + j · 1D0

·

Ω − 1

Ω

|H(j · Ω)|2 =

1

1 + 1D2

0·

Ω − 1

Ω

2|H(j · Ω1,2)|2 =

1

2

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



|H(j · Ω1,2)|2 =1

1 + 1D2

0·

Ω1,2 − 1

Ω1,2

2 =1

2

1

D20

·

Ω − 1

Ω

2

= 1

Ω − 1

Ω= ±D0

Ω2 ± D0 · Ω − 1 = 0

Ω1,2 =∓D0 ±

pD2

0 + 4

2

Solutions positives

pD2

0 + 4 > D0 ∀ D0 :

Ω1,2 =∓D0 +

pD2

0 + 4

2

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



∆Ω = Ω2 − Ω1 =D0 +

p

D20 + 4

2− −D0 +

pD2

0 + 4

2= D0

∆Ω =∆ω

ω0= D0 =

1

Q0

∆ω =ω0

Q0

De plus

Ω1 · Ω2 =

D0 +

pD2

0 + 4

2

!·

−D0 +

pD2

0 + 4

2

!

=D2

0 + 4 − D20

4ω1

ω0· ω2

ω0= 1

ω1 · ω2 = ω20

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Pôles de H(s) :

p1,2 = −∆ω

2±

s∆ω

2

2

− ω20

= −∆ω

2·

1 ±

q1 − 4 · Q2

0

Si le filtre passe-bande est sélectif, Q0 est élevé :

p1,2 ≈ −∆ω

2± j · ω0

Réponse impulsionnelle du filtre :

yh(t) = h(t) = A1 · es1t + A2 · es2t = A · e(−∆ω2

·t) · cos (ω0 · t + α)

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


réponse temporelle



analogiques

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Réponse oscillante amortie dont l’enveloppe a pour constante de

temps

τ =2

∆ω=

1

π · ∆f

Durée du régime transitoire ≈3 constantes de temps :

∆t ≈ 3 · τ =3

π · ∆f≈ 1

∆f

L’on ne peut pas avoir simultanément : Une grande sélectivité

∆f petit

Un régime transitoire court

∆t petit

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés

Filtres normalisésTransformations d’un filtre

normaliséCircuits de Sallen et Key à gain

fixeCircuits de Sallen et Key à gain

variable

Filtres électriques passifs/actifs

JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres normalisés

Formes normalisées

P1(s) = 1 +s

ω1

P2(s) = 1 +1

Q0·

s

ω0+

(s

ω0

)2

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres normalisés

Caractérisation un filtre d’ordrequelconque :

les1. Pulsations caractéristiques ω0,r

2. Facteurs de qualité Q0

de chaque cellule sont des informationssuffisantes.

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres normalisés

Pulsation de normalisation

Butterworth et Bessel =Pulsation decoupure ωc (3 [dB] d’atténuation)

Tchebycheff =Bande dans laquelle onaccepte une ondulation r, e.g. r = 0.5 [dB] =⇒ 5.9% d’ondulation r = 1.0 [dB] =⇒ 12.2% d’ondulation

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transfert



Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres normalisés

Ordre Cellules Btw (1) Bessel Tchb. 0.5 [dB] Tchb. 1 [dB]

Qkωkωc

Qkωk

ω0.5dBQk

ωkω1dB

Qk

1 1 1.000 2.8628 1.9652

2 1 0.7071 1.2723 0.5774 1.2313 0.8637 1.0500 0.9565

3 1 1.3225 0.6265 0.4942

2 1.0000 1.4474 0.6910 1.0689 1.7062 0.9971 2.0177

4 1 0.5412 1.4310 0.5219 0.5970 0.7051 0.5286 0.7845

2 1.3066 1.6043 0.8055 1.0313 2.9406 0.9932 3.5590

5 1 1.5015 0.3623 0.2895

2 0.6180 1.5555 0.5635 0.6905 1.1778 0.6552 1.3988

3 1.6180 1.7545 0.9165 1.0177 4.5450 0.9941 5.5564

6 1 0.5176 1.6030 0.5103 0.3962 0.6836 0.3531 0.7609

2 0.7071 1.6882 0.6112 0.7681 1.8104 0.7468 2.1980

3 1.9319 1.9037 1.0233 1.0114 6.5128 0.9954 8.0037

7 1 1.6840 0.2562 0.2054

2 0.5550 1.7160 0.5324 0.5039 1.0916 0.4801 1.2969

3 0.8019 1.8221 0.6608 0.8227 2.5755 0.8084 3.1559

4 2.2470 2.0491 1.1263 1.0080 8.8418 0.9963 10.8987

(1)Pour toutes les cellules des filtres de Butterworth, on aωkωc

= 1

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Filtres de Bessel


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analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Filtres normalisés

Ordre Cellules Btw (1) Bessel Tchb. 0.5 [dB] Tchb. 1 [dB]

Qkωkωc

Qkωk

ω0.5dBQk

ωkω1dB

Qk

8 1 0.5098 1.7772 0.5060 0.2967 0.6766 0.2651 0.7530

2 0.6013 1.8308 0.5596 0.5989 1.6107 0.5828 1.9565

3 0.8999 1.9518 0.7109 0.8610 3.4657 0.8506 4.2661

4 2.5629 2.1872 1.2257 1.0059 11.5308 0.9971 14.2405

9 1 1.8570 0.1984 0.1593

2 0.5321 1.8788 0.5197 0.3954 1.0664 0.3773 1.2600

3 0.6527 1.9483 0.5895 0.6727 2.2131 0.6622 2.7129

4 1.000 2.0808 0.7606 0.8885 4.4780 0.8806 5.5266

5 2.8794 2.3228 1.3219 1.0046 14.5793 0.9976 18.0286

10 1 0.5062 1.9412 0.5039 0.2372 0.6734 0.2121 0.7495

2 0.5612 1.9790 0.5376 0.4878 1.5347 0.4761 1.8645

3 0.7071 2.0606 0.6205 0.7293 2.8913 0.7215 3.5605

4 1.1013 2.2021 0.8098 0.9087 5.6114 0.9025 6.9367

5 3.1962 2.4487 1.4153 1.0037 17.9871 0.9980 22.2630

(1)Pour toutes les cellules des filtres de Butterworth, on aωkωc

= 1

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Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Transformations d’un filtre normalisé

A partir des caractéristiques des filtres passe-bas, on construit celles

des filtres passe-haut

passe-bande

réjecteur de bande

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



A partir des caractéristiques des filtres passe-bas, on construit celles

des filtres passe-haut

passe-bande

réjecteur de bande

Filtre désiré Caractéristiques Variable

passe-bas ωks

ωk

passe-haut ωkωk

s

passe-bande ω0 =√

ωi · ωs B0 = ωs−ωi

ω0

sω0

+ω0s

B0

coupe-bande ω0 =√


ω0

B0s

ω0+

ω0s

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Filtres normalisés




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JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Filtre désiré Caractéristiques Variable

passe-bas ωks

ωk

passe-haut ωkωk

s

passe-bande ω0 =√


ω0

sω0

+ω0s

B0

coupe-bande ω0 =√


ω0

B0s

ω0+

ω0s

La transformations passe-bas vers passe-haut est aisée

Les transformations passe-bas vers passe-bande et coupe-bande

sont fastidieuses=⇒MATLAB

Passe-bas d’ordre n =⇒ filtre équivalent passe-bande ou

coupe-bande sera d’ordre 2 · n

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Circuits de Sallen et Key à gain fixe

SK_gain_fixe.pdf

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Filtres optimums



Filtres de Bessel


réponse temporelle


analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Fonctions de transfert

HP B(s) =Y (s)

U(s)=

1

1 + C2 · (R1 + R2) · s + C1 · C2 · R1 · R2 · s2

Identification des termes de la forme canonique

ω20 =

1

C1 · C2 · R1 · R2

Q0,P B =

vuut C1 · R1 · R2

C2 · (R1 + R2)2

Nombre d’éléments indéterminés (4) plus grand que le nombre d’équations (2) =⇒ 2 choisis au préalable

Pour que à Q > 0.5 :

R1 = R2 = R

d’où

ω0 =1

C · RQ0 =

1

2·

vuutC1

C2

C2 =1

2 · Q0 · ω0 · RC1 = 4 · Q

20 · C2

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variable


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ut

d

'

nd

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trie

lle



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http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_tsa//chap_01//Figures/SK_gain_fixe_ph_1.pdf

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Filtres optimums



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analogiques

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nd

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trie

lle



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analogiques

Filtres normalisés




variable


JI

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tit

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d

'

nd

us

trie

lle


Circuits de Sallen et Key à gain variable

SK_gain_var.pdf

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analogiques

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variable


JI

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n

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tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Gain

K =R3 + R4

R3

= 1 +R4

R3

Fonctions de transfert

HP B(s) =Y (s)

U(s)= K ·

1

1 + (3 − K) · sRC + (sRC)2

Identification des termes de la forme canonique

ω0 =1

RC(4)

1

Q0

= 3 − K = 2 −R4

R3

(5)

Nombre d’éléments indéterminés (4) plus grand que le nombre d’équations (2) =⇒ 2 choisis au préalable

R =1

ω0 · C(6)

R4 = R3 ·

2 −

1

Q0

!

(7)

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JI

Ai iu

tom

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n

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'

nd

us

trie

lle



On notera que le gain en tension des cellules passe-bas et

passe-haut vaut

AU,P B = AU,P H = K = 3 − 1

Q0≈ 3

alors que celui du filtre passe-bande

AU,·P∆ =K

3 − K= 3 · Q0 − 1 ≈ 3 · Q0

est proportionnel au facteur de qualité ; il peut ainsi atteindre des

valeurs très importantes. On préfère alors, pour ce type de filtre,utiliser la cellule à gain fixe.

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n

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tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Filtres actifs limités en fréquence (AO) =⇒ applications audio

Avec des composants passifs, on peut monter jusqu’à 500 [MHz]

Composants actifs nécessitent une source d’énergie

Filtres actifs limités à des amplitudes de l’ordre du [V]

Miniaturisation −→ élimination des inductances =⇒ utilisation de filtres actifs (à AO)

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i Ai ndustrielle Traitement de Signal Appliqué...

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