GoBack - php.iai.heig-vd.chphp.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/chap_01/presentation/... · i A...

GoB

ack

A

i

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Prof.M.Etique Traitement de Signal – 1 / 42

A

i

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Traitement de signal(TS)

(Signaux et Systèmes (M200))

Prof. Michel [email protected]

Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)Département d’électricité et d’informatiqueinstitut d’Automatisation industrielle (iAi)

21 mars 2006

http://iai.eivd.ch/

mailto:[email protected]

http://www.eivd.ch

http://iai.eivd.ch

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Introduction

IntroductionOrganisation ducoursFiche d’unitéd’enseignement

ProgrammeFormeinformatiqueApplications dutraitement designalApplications dutraitement designalTraitement entemps réel de laparole

Traitement par lotTraitement commesystèmeéchantillonnéTraitement commesystèmeéchantillonné

Analyse dessignauxpériodiques

Séries de Fourier

Suite d’impulsions

Reconstruction dessignaux

Quelquesthéorèmes


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Organisation du cours





Séries de Fourier



Quelquesthéorèmes


Traitement de signal 4 périodes par semaine, 8séances, semestre no 5 ?

Théorie (≈50%), exercices (≈50%)2 TEs

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Fiche d’unité d’enseignement


1. http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/fiche_SES.pdf

2. http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/m_200_signaux_et_systemes.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/fiche_SES.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/m_200_signaux_et_systemes.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Programme





Séries de Fourier



Quelquesthéorèmes


Traitement de Signal Périodes Total

4 périodes hebdo. = 32 périodesÉtude des signaux périodiques 12 12Analyse des signaux non périodiques 8 20Éléments d’analyse spectrale numérique 8 281-2 TE + correction 4 32

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Forme informatique


■ Cours, slides et exercices en formats pdf, source LATEX2ε :

http://iai.eivd.ch/users/mee/

■ Fiche d’unité d’enseignement

http ://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_TS/admin/fiche/ficheTS_1_v1.pdf

■ Cours polycopié inspiré à 100% de celui du Prof.F.Mudry de la HEIG-Vd

http://iai.eivd.ch/users/mee/

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_TS/admin/fiche/ficheTS_1_v1.pdf

http://www.eivd.ch

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Applications du traitement de signal


http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/img23.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/img25.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



(applications réalisées grâce au Processeurs de Signaux (DSP))

■ Le traitement de signal, dans sa variante numérique, constitue de nos jour lavaleur ajoutée principale d’un grand nombre de produits

■ Exemples : les équipements médicaux (aides auditives, mesures de paramètresvitaux, etc)

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/applications_02.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ Filtrage numérique classique (filtres FIR et IIR)■ Traitement d’image■ Traitement et le codage de la parole■ Transformée de Fourier rapide (FFT)■ Techniques d’audio digitale (lecteur CD)■ Compression de données (modulations numériques, codage d’image JPEG)■ Applications d’automatisation (régulateur, algorithme de commande de

servo-moteurs)

=⇒ traitement numérique de signal

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Automotive Consumer Control General-PurposeAdaptive ride controlAntiskid brakesCellular telephonesDigital radiosEngine controlGlobal positioningNavigationVibration analysisVoice commands

Digital radios/TVsEducational toysMusic synthesizersPower toolsRadar detectorsSolid-state answeringmachines

Disk drive controlEngine controlLaser printer controlMotor controlRobotics controlServo control

Adaptive filteringConvolutionCorrelationDigital filteringFast Fourier trans-formsHilbert transformsWaveform generationWindowing

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Graphics/Imaging Industrial Instrumentation Medical

3-D rotationAnimation/digitalmapHomomorphic proces-singPattern recognitionImage enhancementImage compression/-transmissionRobot visionWorkstations

Numeric controlPower-line monitoringRoboticsSecurity access

Digital filteringFunction generationPattern matchingPhase-locked loopsSeismic processingSpectrum analysisTransient analysis

Diagnostic equipmentFetal monitoringHearing aidsPatient monitoringProstheticsUltrasound equip-ment

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Military Telecommunications Voice/Speech

Image processingMissile guidanceNavigationRadar processingRadio frequency mo-demsSecure communica-tionsSonar processing

1200- to 19200-bpsmodemsAdaptive equalizersADPCM transcodersCellular telephonesChannel multiplexingData encryptionDigital PBXsDigital speech inter-polation (DSI)Personal digital assis-tants (PDA)

DTMF encoding/de-codingEcho cancellationFaxLine repeatersSpeaker phonesSpread spectrumcommunicationsVideo conferencingX.25 Packet Swit-chingPersonal communica-tions systems (PCS)

Speech enhancementSpeech recognitionSpeech synthesisSpeaker verificationSpeech vocodingVoice mailText-to-speech

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Traitement en temps réel de la parole


http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/cellanimstil.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Traitement par lot


http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/figure7.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Traitement comme système échantillonné


Signaux :

Temps Amplitude

Continu

0 t 0 t

Discret

0 t 0 t

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_01a_04_1.pdf




Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Traitement comme système échantillonné


Application Fréquence d’échantillon-nage fe = 1

htypique

Régulation 1 [kHz]Télécommunications 8 [kHz]Traitement de la parole 8 . . . 10 [kHz]Traitement audio 40 . . . 48 [kHz]Mise à jour d’écran video 50 . . . 100 [Hz]Mise à jour des pixels 14 [MHz]

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Analyse des signaux périodiques

Introduction


Analyse de FourierDeuxreprésentationspour un seul signal

Séries de Fourier



Quelquesthéorèmesimportants

Réponse d’unsystème linéaire

Réponse d’unsystèmenon-linéaire


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Analyse de Fourier


Analyse harmonique (ou fréquentielle) = instrument majeur de la théorie des signauxet des systèmes

■ Le développement en séries de Fourier (puis la transformation de Fourier)permettent d’obtenir une représentation spectrale des signaux déterministes,i.e. la répartition de

1. l’amplitude2. la phase3. l’énergie4. la puissance

des signaux considérés en fonction de la fréquence.

=⇒ 2 chapitres consacrés à Fourier

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Deux représentations pour un seul signal


x(t) = A · cos (2 · π · f0 · t + α)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x(t) = A · cos (2 · π · f0 · t + α)

+A

−A T

t

Espace temporel

t0

T

f

1/T

Espace fréquentiel

0 01/T

1/T

A

+π

−π

f f

Amplitude Phase

0

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sintf.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x(t) = A · cos(

2 · π · f0 · t −π

2

)

+1

2· A · cos

(

4 · π · f0 · t −π

4

)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x(t) = A · cos(

2 · π · f0 · t −π

2

)

+1

2· A · cos

(

4 · π · f0 · t −π

4

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Sinusoides de fréquences f0 et 2f

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Somme de 2 sinusoides

f_sfour_2.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_sfour_2.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x(t) = A · cos(

2 · π · f0 · t −π

2

)

+1

2· A · cos

(

4 · π · f0 · t −π

4

)

900

f

A

A/2

f0

ff0

450

-450

-900

f

A

A/2

f

2 f0

2 f0

900

450

-450

-900

f

A

f

f0

2 f0

f0

2 f0

900

450

-450

-900

Cosinusoïde d'amplitude A et de phase -900 Cosinusoïde d'amplitude A/2 et de phase -450

Signal périodique non-sinusoïdal

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sina1a2f.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Séries de Fourier

Introduction


Séries de Fourier

Séries de FourierDéfinition de lasérie de FourierSérie de Fourier encosinusSérie de FouriercomplexeRelations entre les3 représentationsSpectresd’amplitudes et dephases





Réponse d’unsystèmenon-linéaireProf.M.Etique Traitement de Signal – 16 / 42

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Séries de Fourier


L’élément fondamental de l’analyse de Fourier est constitué par le faitqu’un signal périodique peut être décomposé en une somme d’ondessinusoïdales

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Séries de Fourier


−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6x

1(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

61+x

1(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6x

2(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

61+x

1(t)+x

2(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6x

3(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

61+x

1(t)+x

2(t)+x

3(t)

f_sfour_3.eps

Le signal résultant est la somme de trois sinusoïdes dont la fréquence est chaque foisun multiple de la fondamentale f0


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Définition de la série de Fourier


Considérons un signal périodique x (t) de période T = 1f0

. Son développement ensérie de Fourier est :

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +

∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

où

■ f0 = 1T

est la fréquence fondamentale du signal■ a0

2 est la valeur moyenne ou composante continue■ ak, bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et sinus :

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Considérons un signal périodique x (t) de période T = 1f0

. Son développement ensérie de Fourier est :

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +

∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

où

■ f0 = 1T

est la fréquence fondamentale du signal■ a0

2 est la valeur moyenne ou composante continue■ ak, bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et sinus :

ak =2

T·∫ + T

2

−T2

x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 0

bk =2

T·∫ + T

2

−T2

x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 1

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6x

1(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

61+x

1(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6x

2(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

61+x

1(t)+x

2(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6x

3(t)

−2 −1 0 1 2−2

0

2

4

61+x

1(t)+x

2(t)+x

3(t)

f_sfour_3.eps

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Série de Fourier en cosinus


Partant la relation trigonométrique :

A · cos (x) + B · sin (x) =√

A2 + B2 · cos

(

x + arctan

(−B

A

))

le développement en série de Fourier

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +

∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

peut également s’écrire :

x (t) = A0 +

∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Partant la relation trigonométrique :

A · cos (x) + B · sin (x) =√

A2 + B2 · cos

(

x + arctan

(−B

A

))

le développement en série de Fourier

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +

∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

peut également s’écrire :

x (t) = A0 +

∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

avec :

A0 =a0

2Ak =

√

a2k + b2

k αk = arctan

(−bk

ak

)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x (t) = A0 +

∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

Remarques :

■ Le développement en série en cosinus revient à considérer que le signal x (t) estcréé de manière équivalente par une infinité de générateurs sinusoïdaux

■ La représentation spectrale correspondante est le spectre unilatéral

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x (t) = A0 +

∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

−0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.5

0

0.5

1

temps

x(t)

et x

c(t)

−0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.5

0

0.5

1

temps

x k(t)

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

frequence [k x f0]

Ak

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2

frequence [k x f0]

α k

f_sfour1_4.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_sfour1_4.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Série de Fourier complexe


■ Série de Fourier :

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

■ Relations d’Euler :

cos (x) =e+j·x + e−j·x

2

sin (x) =e+j·x − e−j·x

2 · j. . .

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ Série de Fourier :

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

■ Relations d’Euler :

cos (x) =e+j·x + e−j·x

2

sin (x) =e+j·x − e−j·x

2 · j. . .

. . . on montre aisément que la série de Fourier peut être transformée en une série deFourier complexe :

x (t) =

∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x (t) =

∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Les coefficients X (j · k) sont alors complexes et valent :

X (j · k) =1

T·∫ + T

2

−T2

x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt −∞ < k < +∞

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x (t) =

∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Remarques :

■ La représentation spectrale graphique correspondante est le spectre bilatéral■ Pour la suite du cours, on retiendra essentiellement cette description car elle est

analytiquement plus intéressante que la forme en cosinus

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x (t) =

∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

2

4

6

8Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

1

2

3

4Spectre unilatéral

Ak

k f0

0 1000 2000 3000 4000 5000−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5000 0 50000

1

2

3

4Spectre bilatéral

|X(jk

)|k f

0

−5000 0 5000−1

−0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / π

k f0

f_ex_SF_1_2_1.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_ex_SF_1_2_1.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Relations entre les 3 représentations de Fourier


X(+jk) ∈C

X(-jk)

Re

Im

+αk

+ak

Ak ∈R

−αk

-bk

+bk/2

-bk/2

+ak/2

x (t) =a0

2+

∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t) (1)

x (t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk) (2)

x (t) =∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t (3)

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/vecteur.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



k = 0 a0

2 A0 X (0)

k > 0 {ak, bk} {Ak, αk} X (±j · k)ak ak +Ak · cos (αk) +2 · <{X (j · k)}bk bk −Ak · sin (αk) −2 · ={X (j · k)}Ak

√

a2k + b2

k Ak 2 · |X (j · k) |αk arctan

(−bk

ak

)

αk arctan

(={X (+j · k)}<{X (+j · k)}

)

X (+j · k) 12 · (ak − j · bk) 1

2 · Ak · e+j·αk X (+j · k)X (−j · k) 1

2 · (ak + j · bk) 12 · Ak · e−j·αk X (−j · k)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



k = 0 a0

2 A0 X (0)

k > 0 {ak, bk} {Ak, αk} X (±j · k)ak ak +Ak · cos (αk) +2 · <{X (j · k)}bk bk −Ak · sin (αk) −2 · ={X (j · k)}Ak

√

a2k + b2

k Ak 2 · |X (j · k) |αk arctan

(−bk

ak

)

αk arctan

(={X (+j · k)}<{X (+j · k)}

)

X (+j · k) 12 · (ak − j · bk) 1

2 · Ak · e+j·αk X (+j · k)X (−j · k) 1

2 · (ak + j · bk) 12 · Ak · e−j·αk X (−j · k)

■ Relation existant entre les coefficients spectraux et la valeur efficace d’unecomposante spectrale :

Ak,eff =Ak√

2=

√2 · |X (j · k) |

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Spectres d’amplitudes et de phases


Spectres unilatéraux

x (t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

−→ fréquences positives ou nulles

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Spectres unilatéraux

x (t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

0 1 2 3

−1

−0.5

0

0.5

1

Signaux

0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8Spectres unilatéraux

0 1 2 3

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3

0

0.5

1

temps0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

fréquence

f_sfour_5.eps


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Spectres bilatéraux

x (t) =∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

2

4

6

8Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

1

2

3

4Spectre unilatéral

Ak

k f0

0 1000 2000 3000 4000 5000−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5000 0 50000

1

2

3

4Spectre bilatéral

|X(jk

)|k f

0

−5000 0 5000−1

−0.5

0

0.5

1/X

(jk)

/ π

k f0

f_ex_SF_1_2_1.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_ex_SF_1_2_1.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Spectres bilatéraux

x (t) =∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

■ Les spectres d’amplitudes sont toujours des fonctions paires car :

|X (+j · k) | = |X (−j · k) | =Ak

2k 6= 0

■ Les spectres de phases sont toujours des fonctions impaires :

6 X (+j · k) = −6 X (−j · k) = αk k 6= 0

■ Pour le cas particulier de la composante continue du signal, on a :

|X (0) | = A0 6 X (0) = {0, π}

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Coefficients spectraux et symétries des signauxSi l’on tient compte des symétries du signal, le calcul des séries de Fourier estsimplifié :

■ une fonction paire est représentée par des cosinus seulement ; on a alors :

αk = {0,±π} ={X (j · k)} = 0

■ une fonction impaire est représentée par des sinus seulement ; on a alors :

αk = ±π

2<{X (j · k)} = 0

■ une fonction à symétrie demi-onde ne possède pas d’harmoniques paires :

X (j · k) = 0 si k est pair

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Coefficients spectraux et symétries des signaux

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f_sfour_6.eps

Les fonctions à symétrie demi-onde sont telles qu’une rotation autour del’abscisse de l’alternance positive ou négative permet de reproduire l’autrealternance.


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Exemple de représentations spectrales d’un signal

x (t) = 3+2·cos (2 · π · f0 · t)−3.464·sin (2 · π · f0 · t)+2·sin(

4 · π · f0 · t +π

4

)

Forme en cosinus

x (t) = 3 + 2 · cos (2 · π · f0 · t) − 3.464 · sin (2 · π · f0 · t) + 2 · sin

�4 · π · f0 · t +

π

4

�

= 3 +

p

22 + 3.4642· cos

�

2 · π · f0 · t + arctan

�− (−3.464)

2

��+ 2 · cos

�4 · π · f0 · t +

π

4−

π

2

�

= 3 + 4 · cos

�

2 · π · 1 · f0 · t +π

3

�+ 2 · cos

�2 · π · 2 · f0 · t −

π

4

�

= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Exemple de représentations spectrales d’un signal

x (t) = 3+2·cos (2 · π · f0 · t)−3.464·sin (2 · π · f0 · t)+2·sin(

4 · π · f0 · t +π

4

)

Forme complexe

x (t) = 3+2·e+j·

�

2·π·f0·t+ π3

�

+2·e−j·

�2·π·f0·t+ π

3

�+1·e

+j·

�4·π·f0·t− π

4

�+1·e

−j·

�

4·π·f0·t− π4

�

= 3+2·e+j· π

3 ·e+j·2·π·f0·t

+2·e−j· π

3 ·e−j·2·π·f0·t

+1·e−j· π

4 ·e+j·4·π·f0·t

+1·e+j· π

4 ·e−j·4·π·f0·t

= X (0)+X (+j · 1)·e+j·2·π·f0·t

+X (−j · 1)·e−j·2·πf0+X (+j · 2)·e

+j·4·π·f0·t+X (−j · 2)·e

−j·4·π·f0

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5

0

5

10Signal temporel

x(t)

temps

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5Spectres unilatéraux

Ak

k f0

0 1 2 3 4−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−2 −1 0 1 20

1

2

3

4

5Spectres bilatéraux

|X(jk

)|

k f0

−2 −1 0 1 2−1

−0.5

0

0.5

1/X

(jk)

/ π

k f0

f_spectres_1c.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_spectres_1.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Introduction


Séries de Fourier

Suite d’impulsionsSuite d’impulsionsrectangulaires(SIR)

Suite d’impulsionsrectangulaires(SIR)

Signal carréSuite d’impulsionstriangulairesSuited’exponentiellesdécroissantes




Réponse d’unsystèmenon-linéaireProf.M.Etique Traitement de Signal – 23 / 42

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)


A

t

+T -T 0

x(t)

∆ t

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sirt.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



A

t

+T -T 0

x(t)

∆ t

Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :

X (j · k) =1

T·∫ + T

2

−T2

x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt avec f0 =1

T


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



A

t

+T -T 0

x(t)

∆ t


X (j · k) =1

T·∫ + T

2

−T2


T

Selon la définition de la SIR, il vient :

X (j · k) =A

T·∫ +∆t

2

−∆t2

1 · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

T· −1

j · 2 · π · k · f0·(

e−j·2·π·k·f0·∆t2 − e+j·2·π·k·f0·

∆t2

)


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



A

t

+T -T 0

x(t)

∆ t


X (j · k) =1

T·∫ + T

2

−T2


T


X (j · k) =A

T·∫ +∆t

2

−∆t2

1 · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

T· −1

j · 2 · π · k · f0·(

e−j·2·π·k·f0·∆t2 − e+j·2·π·k·f0·

∆t2

)

Les relations d’Euler permettent de passer de la différence des exponentielles à unsinus et d’écrire ces coefficients sous la forme d’un sinus cardinal :


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



A

t

+T -T 0

x(t)

∆ t


X (j · k) =1

T·∫ + T

2

−T2


T


X (j · k) =A

T·∫ +∆t

2

−∆t2

1 · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

T· −1

j · 2 · π · k · f0·(

e−j·2·π·k·f0·∆t2 − e+j·2·π·k·f0·

∆t2

)

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t= A · ∆t

T· sinc (k · π · f0 · ∆t)


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t= A · ∆t

T· sinc (k · π · f0 · ∆t)

1∆t

A · ∆tT

f0 = 1T

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

f [Hz]

X(j · k)

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sinc_0.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t= A · ∆t

T· sinc (k · π · f0 · ∆t)

1∆t

A · ∆tT

f0 = 1T

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

f [Hz]

X(j · k)

■ L’amplitude du spectre X (j · k) est égale à la valeur moyenne de la SIR(

limx→0sin(x)

x= 1)


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t= A · ∆t

T· sinc (k · π · f0 · ∆t)

1∆t

A · ∆tT

f0 = 1T

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

f [Hz]

X(j · k)

■ Les coefficients de Fourier sont purement réels puisque le signal est pair


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t= A · ∆t

T· sinc (k · π · f0 · ∆t)

1∆t

A · ∆tT

f0 = 1T

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

f [Hz]

X(j · k)

■ Plus les impulsions sont étroites par rapport à la période T , plus le spectres’étale :◆ le premier passage par zéro se fait à la fréquence 1

∆t

◆ la distance entre raies spectrales ne change pas puisqu’elle est égale à l’inverse de la période de la SIR f0 = 1T


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.05

0.1

0.15

0.2

f [Hz]

|X(j · k)|

−15 −10 −5 0 5 10 15

−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

arg{X(j·k)}π

■ Il est fréquent que le spectre d’un signal soit complexe. Dans ce cas, sareprésentation dans un plan ne peut se faire qu’au travers du traçage distinct desspectres d’amplitudes et de phases


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



http ://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts/chap_01/sysquake/SI.exe

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sir_sysquake_1.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts/chap_01/sysquake/SI.exe

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



k = [−N:N ] ;

A = 1 ;T = 1 ;f 0 = 1/T;Delta_t = 0 . 2 ;

X = A∗Delta_t/T∗ s i n c ( p i ∗k∗ f 0∗Delta_t ) ;

t = −2∗T:1∗T/300:2∗T;x = z e r o s ( s i z e ( t ) ) ;f o r l =1: l e n g t h ( k )x = x + X( l ) .∗ exp ( j ∗2∗ p i ∗ f 0∗k ( l )∗ t ) ;endc l fs u bp l o t (211)p l o t ( k∗ f0 ,X, ’ o r ’ )p l o t ( k∗ f0 ,X, ’ r : ’ )l a b e l ( ’ f ␣ [ Hz ] ’ , ’X( j k ) ’ )s u bp l o t (212)p l o t ( t , x , ’ s r ’ )l a b e l ( ’ t ’ , ’ xN( t ) ’ )

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Signal carré


T2

T2

A

−0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x(t)

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sig_carre_0.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Signal carré


T2

T2

A

−0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x(t)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

X(j · k)



Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Signal carré


4π· A

A

−2 −1 0 1 2 3

−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x(t)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

X(j · k)



Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Suite d’impulsions triangulaires


t

0+T+∆t−∆t-T

x(t)

Α

X(jk)

f = k f0

A ∆ t / T

+1/ ∆t-1/ ∆t 0

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sit.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



t

0+T+∆t−∆t-T

x(t)

Α

X(jk)

f = k f0

A ∆ t / T

+1/ ∆t-1/ ∆t 0

■ Afin que les surfaces de la SIR et de la SIT soient égales, la largeur à la base dutriangle est égale à 2 · ∆t


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



t

0+T+∆t−∆t-T

x(t)

Α

X(jk)

f = k f0

A ∆ t / T

+1/ ∆t-1/ ∆t 0

■ Spectre :

X (j · k) = A · ∆t

T·(

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t

)2


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Suite d’exponentielles décroissantes


−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f_sfour3_3.eps

x (t) = A · e− tτ si 0 ≤ t < T


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f_sfour3_3.eps

■ Calcul du spectre :

X (j · k) =1

T·∫ T

0

x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

T·∫ T

0

e−tτ · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

T·∫ T

0

e−t·( 1τ+j·2·πk·f0) · dt

=A

T· e−t·( 1

τ+j·2·π·k·f0)

−(

1τ

+ j · 2 · π · k · f0

)

∣∣∣∣∣

T

0

=A

T· −τ

(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )·[

e−(Tτ

+j·2·π·k·f0·T) − 1]


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f_sfour3_3.eps

■

X (j · k) =A

T· −τ

(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )·[

e−(Tτ

+j·2·π·k·f0·T) − 1]

En admettant que la constante de temps τ soit beaucoup plus petite que lapériode T , l’exponentielle revient "quasiment" à zéro à la fin de chaque période

−→ le premier terme entre crochets �1 :

X (j · k) = A · τ

T· 1

(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f_sfour3_3.eps

■

X (j · k) = A · τ

T· 1

(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

abs(

X(jf

))

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0

fréquence [kHz]

angl

e(X

(jf))

f_sfour3_4.eps



Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■

X (j · k) = A · τ

T· 1

(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

abs(

X(jf

))

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0

fréquence [kHz]

angl

e(X

(jf))

f_sfour3_4.eps

■ On trouve dans ce résultat la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1

H(j · ω) =Y (j · ω)

X(j · ω)=

A · τT

1 + j · ω · τ


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■

X (j · k) = A · τ

T· 1

(1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )si τ � T

10−2

10−1

100

101

102

103

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f [Hz]

A(f

)

10−2

10−1

100

101

102

103

−100

−80

−60

−40

−20

0

f [Hz]

φ(f)

f_sfour3_8.eps

■ On trouve dans ce résultat la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1

H(j · ω) =Y (j · ω)

X(j · ω)=

A · τT

1 + j · ω · τ


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Reconstruction des signaux

Introduction


Séries de Fourier


Reconstruction dessignauxSynthèse d’unsignal carréPhénomène deGibbsImportance de laphase





Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Synthèse d’un signal carré


x (t) =∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x (t) =∞∑

k=−∞

X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

xN (t) = A · ∆t

T·

+N∑

k=−N

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t

= A · ∆t

T·(

−1∑

k=−N

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t

+sin (0 · π · f0 · ∆t)

0 · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·0·f0·t

++N∑

k=1

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t

)

= A · ∆t

T·(

N∑

k=1

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· e−j·2·π·k·f0·t

+ 1 +

+N∑

k=1

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· e+j·2·π·k·f0·t

)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



xN (t) = A · ∆t

T·(

1 + 2 ·+N∑

k=1

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· cos (2 · π · k · f0 · t)

)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



xN (t) = A · ∆t

T·(

1 + 2 ·+N∑

k=1

sin (k · π · f0 · ∆t)

k · π · f0 · ∆t· cos (2 · π · k · f0 · t)

)

Dans le cas d’un signal carré, le rapport cyclique ∆tT

vaut 0.5 et le sinus cardinals’annule pour k pair. Avec A = 1, il vient alors :

xN (t) =1

2+

2

π·cos (2 · π · f0 · t)−

2

3 · π ·cos (6 · π · f0 · t)+2

5 · π ·cos (10 · π · f0 · t)+. . .

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



xN (t) =1

2+

2

π·cos (2 · π · f0 · t)−

2

3 · π ·cos (6 · π · f0 · t)+2

5 · π ·cos (10 · π · f0 · t)+. . .

−5 0 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N = 0

−5 0 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N = 1

−5 0 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N = 3

−5 0 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N = 5

f_sfour2_4.eps


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Phénomène de Gibbs


■ Reconstruction d’un signal :

x(N) (t) =

N∑

k=−N

X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= A0 +N∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ Reconstruction d’un signal :

x(N) (t) =

N∑

k=−N

X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= A0 +N∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

■ On remarque en général une convergence rapide vers le signal original au fur et àmesure que N augmente

■ Cela n’est plus vrai lorsque le signal possède des discontinuités d’ordre 0 :il apparaît alors, à l’endroit de la discontinuité, des oscillations que l’on désignesous le nom de phénomène de Gibbs

■ L’amplitude du dépassement dû à ces oscillations est égale au 9% de l’amplitudede la discontinuité

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



x(N) (t) =N∑

k=−N

X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= A0 +N∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

xN

(t) avec

N = 3

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

xN

(t) avec

N = 7

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

xN

(t) avec

N = 19

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

xN

(t) avec

N = 79

f_sfour2_5.eps


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Importance de la phase


x(N) (t) =

N∑

k=−N

X (j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= A0 +

N∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk)

■ Il est fréquent en traitement du signal de ne parler que des spectres d’amplitudeset de délaisser quelque peu les spectres de phases

■ Cette attitude est due au fait que lors du filtrage de signaux audio, on secontente de modifier le spectre d’amplitudes car l’oreille est peu sensible auxdistorsions de phase

■ Cependant, lorsque l’on désire conserver la forme d’un signal, en particulier dansle cas du filtrage d’images, il est très important de ne pas négliger le spectre dephases.

■ La phase contient une part importante de l’information concernant la forme d’un

signal

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Importance de la phase


original

module phase

TF inverse du module TF inverse de la phase

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/tffour.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Quelques théorèmes importants

Introduction


Séries de Fourier



QuelquesthéorèmesimportantsThéorème de lapuissance (dit deParseval)

Décalage temporelModulationd’amplitudeRotation d’unsignal autour deson ordonnée




Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Théorème de la puissance (dit de Parseval)


Définition de la puissance moyenne normalisée :

P =1

T·∫ + T

2

−T2

x2 (t) · dt = X2eff

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




P =1

T·∫ + T

2

−T2


■ Cette définition coïncide avec celle du carré de la valeur efficace du signal x (t)■ Les unités de la puissance normalisée ne s’expriment donc pas en [W], mais en

[V2] ou [A2] selon que le signal est une tension ou un courant électrique

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




P =1

T·∫ + T

2

−T2


■ Le théorème de Parseval affirme que la puissance normalisée d’un signal peut secalculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquentiel

■ Dans l’espace des fréquences, le signal x (t) est représenté par des générateursd’amplitude Ak −→ la puissance totale est égale à la somme des puissancesfournies par chaque générateur :

P = X2eff =

∞∑

k=0

Pk = A20 +

∞∑

k=1

(Ak√

2

)2

= A20 +

∞∑

k=1

1

2· A2

k

= Pdc + Pac

= X (0)2

+

∞∑

k=1

1

2· (2 · |X (j · k)|)2 =

+∞∑

k=−∞

|X (j · k)|2

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



On conclut que la puissance peut se calculer dans le domaine temporel ou dans ledomaine fréquentiel avec l’une ou l’autre des relations :

P =1

T·∫ + T

2

−T2

x2 (t) · dt

= A20 +

1

2·

∞∑

k=1

A2k

=

+∞∑

k=−∞

|X (j · k)|2

= X (0)2 + 2 ·+∞∑

k=1

|X (j · k)|2

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



De

P = A20 +

1

2·

∞∑

k=1

A2k

découle le résultat important :

X2eff = X2

dc + X2ac

Le carré de la valeur efficace d’un signal est égal à la somme descarrés des valeurs efficaces de chacune de ses composantes.

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



X(jk)

f = k f0

+1/∆t-1/∆t

0

1/T = f0

A ∆t/T

■ Le premier lobe du spectre d’une SIR contient environ le 90% de la puissancetotale du signal

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/sinc.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ Les puissances des trois signaux les plus usuels que sont le carré, le sinus et letriangle d’amplitude A et à valeur moyenne nulle sont par exemple :

x (t) = A · sqr(2 · π · f · t) =⇒P =A2

1

x (t) = A · sin (2 · π · f · t) =⇒P =A2

2

x (t) = A · tri(2 · π · f · t) =⇒P =A2

3

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Décalage temporel


■ Il est fréquent en analyse des signaux de devoir décaler temporellement un signal

x (t)

On obtient alorsy (t) = x (t + td)

Ce décalage td peut être positif (signal avancé) ou négatif (signal retardé).

x(t)

t

+t1-t1

x(t+t1)

t

-t1

x(t-t1)

t

+t1

td > 0 td < 0

0 0 0

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/decalage.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Décalage temporel


■ On montre alors qu’entre les espaces temps et fréquences, il existe la relationsuivante :

y (t) = x (t + td) ⇐⇒ Y (j · k) = e+j·2·π·k·f0·td · X (j · k)

■ Comme le module du phaseur e+j·2·π·k·f0·td vaut toujours un, il s’ensuit que seulle spectre de phases est modifié par un décalage temporel. On a donc :

|Y (j · k)| = |X (j · k)| βk = αk + 2 · π · k · f0 · td

À un décalage temporel correspond une phase variant linéairementavec la fréquence.

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Modulation d’amplitude


■ En télécommunications, on émet souvent des signaux dont le spectre a étédéplacé dans un spectre de fréquences permettant la transmission par ondesélectromagnétiques

x (t) = m(t)︸︷︷︸

message

· p(t)︸︷︷︸

porteuse

Si p(t) est de type sinus, on peut écrire :

cos (2 · π · fp · t) =e+j·2·πfpt + e−j·2·πfpt

2

Généralisation : multiplication par un phaseur

x (t) = m (t) · p (t) = m (t) · e±j·2·πfp·t

On peut alors montrer :

x (t) = e±j·2·π·fp·t · m (t) ⇐⇒ X (j · k) = M (j · (k · f0 ∓ fp))

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



0 1 2 3

0

0.5

1


m(t

)

0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

p(t)

0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

x(t)

temps

−20 −10 0 10 200

0.2

0.4

|M(jf

)|

Spectres

−20 −10 0 10 200

0.2

0.4

|P(jf

)|−20 −10 0 10 200

0.2

0.4

|X(jf

)|

fréquence

f_sfmodulat_2.eps

À une multiplication par un phaseur dans le domaine temporelcorrespond un décalage dans l’espace des fréquences

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/f_sfmodulat_2.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Rotation d’un signal autour de son ordonnée


■ La rotation d’un signal autour de son ordonnée est décrite par :

y (t) = x (−t)

■ On montre que

y (t) = x (−t) ⇐⇒ Y (j · k) = X (−j · k) = X∗ (j · k)

À une rotation du signal temporel autour de l’ordonnéecorrespond le conjugué complexe dans le domaine fréquentiel.

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantesdécrite par

x (t)|T = A · e+ tτ si 0 ≤ t < T

son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentiellesdécroissantes

xo (t)|T = A · e− tτ si 0 ≤ t < T

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




x (t)|T = A · e+ tτ si 0 ≤ t < T


xo (t)|T = A · e− tτ si 0 ≤ t < T

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f_sfour3_3.eps


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




x (t)|T = A · e+ tτ si 0 ≤ t < T


xo (t)|T = A · e− tτ si 0 ≤ t < T

Xo (j · k) = A · τ

T· 1

1 + j · 2 · π · k · f0 · τsi τ � T

On voit en effet que l’on ax (t) = xo (−t)

donc

X (j · k) = Xo (−j · k) = A · τ

T· 1

1 − j · 2 · π · k · f0τsi τ � T

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Réponse d’un système linéaire

Introduction


Séries de Fourier




Réponse d’unsystème linéaireRéponse d’unsystème linéaire



Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ Filtre de fonction de réponse fréquentielle G (j · ω) soumis à une SIR■ x(t) périodique =⇒ y(t) périodique

Y (j · k) = X (j · k) · G (j · ω)|ω=2·π·k·f0

x(t)

t

G(jω)x(t) y(t)

y(t)

t

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/repsir.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ x(t) périodique =⇒ y(t) périodique

Y (j · k) = X (j · k) · G (j · ω)|ω=2·π·k·f0

■ Les systèmes linéaires conservent la fréquence des signaux appliqués

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

fréquence [Hz]

|X(jk)||G(jf)||Y(jk)|

f_sfour3_7.eps


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Réponse d’un système non-linéaire

Introduction


Séries de Fourier





Réponse d’unsystèmenon-linéaireRéponse d’unsystèmenon-linéaireDistorsion due àune diode


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ La caractéristique remarquable des systèmes non-linéaires est de déformer lessignaux sinusoïdaux

■ Le signal de sortie d’un système non-linéaire qui serait ainsi soumis à une entréesinusoïdale pure est donc, tout en restant périodique, non-sinusoïdal

■ Le spectre du signal de sortie est constitué d’un grand nombre de raies spectrales,alors qu’à l’entrée il n’y avait qu’une seule raie

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ La caractéristique remarquable des systèmes non-linéaires est de déformer lessignaux sinusoïdaux

■ Le signal de sortie d’un système non-linéaire qui serait ainsi soumis à une entréesinusoïdale pure est donc, tout en restant périodique, non-sinusoïdal

■ Le spectre du signal de sortie est constitué d’un grand nombre de raies spectrales,alors qu’à l’entrée il n’y avait qu’une seule raie

■ On mesure cette déformation à l’aide du taux de distorsion harmonique (TDH).

TDH =Xeff (k > 1)

Xeff (k = 1)=

√

X(2)2 + X(3)2 + X(4)2 + . . .

X(1)2

■ Le TDH est défini comme le rapport de la valeur efficace des harmoniques d’ordresupérieur à 1 avec la valeur efficace du premier harmonique

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Distorsion due à une diode


uD(t)

∆(t)

U0

i(t)

u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)

ID = IS ·(

eUD

n·VT − 1

)

(Loi exponentielle)

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/diode.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



uD(t)

∆(t)

U0

i(t)

u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)

ID = IS ·(

eUD

n·VT − 1

)

U0 = 0.5 [V] A = 0.05 [V] f0 = 100 [Hz]IS = 10 [pA] n = 1 VT = 26 [mV]


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



uD(t)

∆(t)

U0

i(t)

u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)

ID = IS ·(

eUD

n·VT − 1

)

1. Calcul de I0, Imax et Imin

2. Esquisse de u (t) et i (t)3. Calcul de U (j · k) et I (j · k)4. Calcul le TDH du courant


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ Le calcul de I0, Imax et Imin se fait par simple application numérique de

l’équation de la diode ID = IS ·(

eUD

n·VT − 1

)

:

1. Courant au point de fonctionnement I0 = 2.54 [mA]2. Valeur maximum Imax = 17.2 [mA]3. Valeur minimum Imin = 0.36 [mA]

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ La simulation temporelle avec Spice donne :

On y voit que la variation sinusoïdale de la tension u(t) de la diode (50 [mV])autour du point de fonctionnement (500 [mV]) entraîne une variation nonsinusoïdale du courant i(t) caractérisé par les valeurs calculées

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/ttdiode.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle



■ L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :

1. La tension de la diode ne contient que 2 raies spectrales :

(a) La composante DC : Udc = 0.5 [V](b) La composante AC : U1 = 50 [mV]

http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts//chap_01//Figures/fftdiode.pdf

Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




2. Le courant non sinusoïdal est composé d’un grand nombre de raies spectralesdont les 10 premières sont les plus significatives. On y trouve en particulier

(a) La composante DC : Idc = 5.41 [mA](b) La composante fondamentale : I1 = 7.43 [mA]


Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle




■ Calcul du taux de distorsion :

TDH =Xeff (k > 1)

Xeff (k = 1)=

√

X(2)2 + X(3)2 + X(4)2 + . . .

X(1)2

=

√

3.142 + 0.942 + 0.222 + 0.0412 + 0.00652 + . . .

7.432

= 44%

= forte déformation !


GoBack - php.iai.heig-vd.chphp.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/chap_01/presentation/... · i A...

Documents

Transcript of GoBack - php.iai.heig-vd.chphp.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/chap_01/presentation/... · i A...