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7/21/2019 I-4 Srie Fourier
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I-4Espectro de sinais
peridicosA Srie de Fourier
Comunicaes
(11 Maro 2010)
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Sumrio
1. Sinais peridicos1. Sinuside
2. Onda quadrada
2. Espectro de amplitude e de fase
1. Unilateral2. Bilateral
3. Srie de Fourier
4. Clculos
1. Potncia e valor mdio2. Largura de banda
5. Exerccios
6. Outras aplicaes
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ISEL - DEETC -
Comunicaes3
1. Sinais peridicos
)()( okTtxtx
2
0T
2
0T
0T 00
1
Tf
)(txT
Sinais peridicos ou estritamente repetitivos
Repetem-se a cada perodo fundamental To
menor valorde tempo para o qual o sinal se repete
No domnio contnuo ou analgico (perodo To seg) temos
Para o domnio discreto (perodo N amostras) temos
][][ kNnxnx Exemplos: Onda Quadrada Sinuside
k inteiro
relativo.
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1. Sinuside
)2cos()( 0 tfAtvA valor mximo de amplitude
fo frequncia fundamental (n. de perodos por segundo)
To = 1 / fo, o perodo fundamental
fase inicial ( deslocamento no eixo dos tempos, em relao origem)
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1. Sinuside)2cos()(
0
tfAtv
Tem valor mdio nulo
A potncia
apenas depende da amplitude
no depende da frequncia nem da fase
2
2A
Pv
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1. Sinuside
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1. Sinuside
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Aplicao nas
modulaes:
OOK FSK
PSK
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1. A onda quadrada
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http://en.wikipedia.org/wiki/Manchester_code
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Manchester_code.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:NRZcode.png7/21/2019 I-4 Srie Fourier
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1. A onda quadrada
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2. Espectro de amplitude e de fase A sinuside representada por um fasor (fase + vector)
)()(0
0
j
00)cos(
complexalexponenciadarealecorrespondsinusideA
1comsincose
EulerdeFrmula
tjtjAeeAtA
t
jj
http://www.jhu.edu/~signals/phasorlecture2/indexphasorlect2.htm
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2. Espectro de amplitude e de fase
O fasor tem comprimento A Roda a fo rotaes por segundo
Faz um ngulo de radianos com o eixo real, para t = 0
Para descrever o fasor no domnio da frequncia precisamos de lhe associar
a amplitude e a fase
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2. Espectro de amplitude e de fase
Convenes na representao espectral:
Varivel independente a frequncia fem Hz (ciclos/seg)
w=2*pi*f (rad/seg) a frequncia angular
Os ngulos de fase so medidos relativamente a funoco-seno (origem do referencial):
sen(t) = cos (t - 90 ) = cos (t/2 )
A amplitude sempre positiva. Amplitudes negativas soreferidas na fase
A cos(t) = A cos (t +- 180) = A cos (t +-)
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2. Espectro de amplitude e de fase
v(t) = 20 cos (2 1000 t/3)
A sinuside
/3 corresponde a 60
Espectro deAmplitude
Espectro de
Fase
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Soma de sinusides com
componente DC no nula
Domnio do tempo
2. Espectro de amplitude e de fase
Domnio da
frequncia:
Amplitude
Fase (em graus)
)602(sen4
3
202cos107)( tttv
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2. Espectro de amplitude e de fase
)602(sen43202cos107)( tttv
2602cos4
3202cos107
tt
2602cos43
2202cos107
tt
Amplitude sempre
positiva
Co-seno indica a
referncia de fase
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Fasores Conjugados
Espectro bilateral e frequncias negativas
Simetria par
Simetria mpar
*
2 2*
2 2
1 ( )2
cos(2 )2 2
o o
o o
j f t j f tj j
j f t j f tj j
o
z z z
z Ae e z Ae e
A AA f t e e e e
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2. Espectro de amplitude e de fase
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2. Espectro de amplitude e de fase
Verso bilateral do espectro
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)602(sen43
202cos107)( tttv
2
602cos4
3
2202cos107
tt
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2. Espectro de amplitude e de fase
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Espectro Unilateral Espectro Bilateral
Domnio do Tempo)2cos()( tfAtx o
))2(cos(2
)2cos(2
tfA
tfA
oo
)))(2cos(2
)2cos(2
tfAtfA oo
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2. Espectro de amplitude e fase
Constituem representaes grficas de sinusides nodomnio da frequncia
Uma linha no espectro unilateral representa uma sinuside
Essa mesma sinuside representada por duas linhas noespectro bilateral
O espectro de amplitude fornece indica a distribuio depotncia pelas frequncias
O espectro de fase indica o desfasamento de cadacomponente de frequncia (desvio para t=0)
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Joseph_Fourier.jpg7/21/2019 I-4 Srie Fourier
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3. Srie de Fourier
Qualquer funo ou forma de onda peridica pode ser
expressa pela soma de sinusides com frequnciasmltiplas inteiras (designadas harmnicas) da
frequncia fundamental, com as amplitudes e fases
apropriadas
20
Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768 1830 )
...)22cos()2cos()( 22110 tfAtfAAtx oo
)2cos(1
0 ko
k
k tkfAA
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Joseph_Fourier.jpg7/21/2019 I-4 Srie Fourier
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3. Srie de Fourier
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)2cos()(1
0 ko
k
k tkfAAtx
Espectro Unilateral Espectro Bilateral
)2cos(||)( kok
k tkfctx
0|,|||
0,
2
0,
||
kcc
kA
kA
c
kk
k
k
k0,
0,
k
k
kk
kk
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3. Srie de Fourier (trigonomtrica)
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)2cos()(1
0 ko
k
k tkfAAtx
Espectro Unilateral
))2(sen)(sen)2cos()(cos(
1
0 tkftkfAA okok
k
k
)2(sen)(sen)2cos()cos(11
0 tkfAtkfAA okk
kok
k
k
)2(sen)2cos(11
0 tkfbtkfaa ok
kok
k
0),(cos
0,
kA
kAa
kk
k
k
)(sen kkk Ab
)(sen)(sen)cos()cos()cos( bababa
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3. Srie de Fourier (trigonomtrica)
23
)2cos()(1
0 ko
k
k tkfAAtx
Espectro Unilateral
)2(sen)2cos(11
0 tkfbtkfaa ok
kok
k
0),(cos
0,
kA
kAa
kk
k
k )(sen kkk Ab
22kkk baA
k
kk
a
batan
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3. Srie de Fourier (exponencial 1/2)
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Espectro Bilateral
)2(sen)2cos()(
11
0 tkfbtkfaatx ok
ko
k
k
2
)2exp()2exp(
2
)2exp()2exp(
11
0
j
tkfjtkfjb
tkfjtkfjaa oo
k
koo
k
k
11
0 )2exp(22
)2exp(22
k
okk
k
okk tkfj
bj
atkfj
bj
aa
1
1
0 )2exp(22
)2exp(22
k
okk
k
okk tkfj
bj
atkfj
bj
aa
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3. Srie de Fourier (exponencial 2/2)
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Espectro Bilateral
1
1
0 )2exp(22
)2exp(22
)(
k
okk
k
okk tkfj
bj
atkfj
bj
aatx
k
ok tkfjc )2exp(
22
1
44||
2222
kkk
kkk
Aba
bac
)exp(|| kkk jcc
0,
0,
k
k
kk
kk
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3. Srie de Fourier (exponencial 2/2)
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Coeficientes da Srie de Fourier
)exp(|| kkk jcc
)2exp(),( tkfjtx o
dttkfjtxT
oT
oo
)2exp()(1
dttkftxTjdttkftxToo T
oo
T
oo
)2(sen)(
1
)2cos()(
1
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3. Srie de Fourier
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Frequncia fundamental fo
aquela qual o sinal se
repete
To = 1 / fo
O perodo fundamental To
o mnimo mltiplo comum
dos perodos das vriascomponentes de frequncia
To = mmc( T1, T2, .... )
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28
3. Srie de FourierSntese de sinais peridicos atravs da soma de sinusides
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3. Srie de
Fourier
Soma de sinusides
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3. Srie de Fourier
x(t) sinal peridico real com frequncia fundamental fo Espectro de amplitude dado pelos coeficientes ak Espectro de fase definido pelos coeficientes k
A0 o valor mdio do sinal (componente DC)
kfo so as componentes harmnicas do sinal
fo a primeira harmnica30
...)22cos()2cos()( 22110 tfAtfAAtx oo
)2cos(
1
0 ko
k
k tkfAA
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3. Srie de Fourier
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Sequncia de pulsos rectangulares (onda quadrada)
Sinal peridico de potncia
Sntese custa de sinusides
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Espectro da sequncia de pulsos rectangulares
32
3. Srie de Fourier
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Espectro da onda quadrada
Amplitude unitria
Duty cycle d =1/4
33
3. Srie de Fourier
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Espectro da onda quadrada (amplitude unitria)
As linhas do espectro ocorrem sfrequncias mltiplas de f0
Na frequncia 0 temos a componente DC do
sinal f0 a frequncia fundamental
kf0 so as harmnicas
d o duty cycle As amplitudes das harmnicas so dadas
por
Ak = 2d sinc(kd)
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3. Srie de Fourier
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Onda quadrada: soma de sinusides
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3. Srie de Fourier
)2cos()(1
0 ko
k
k tkfAAtx
0
0),(sinc2
0,
k
kkkdAd
kAdA
Nota: nesta representao Ak tomavalores negativos
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A potncia calculada a partir do espectro de
amplitude, recorrendo ao Teorema de Parseval
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4. Clculos
1
22
02k
kx
AAP
)2cos()(1
0 ko
k
k tkfAAtx
Espectro Unilateral
Espectro Bilateral
O valor mdio (ou componente DC) dado pelo
coeficiente A0 =|c0| (contribuio da frequncia 0)
)2cos(||)( kok
k tkfctx
k kx
cP2||
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4. Clculos
A largura de banda (LB) definida como a largura da faixade frequncias ocupada pelo sinal
Frequncias negativas no so consideradas
LB=60 Hz
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4. ClculosUso do MATLAB )5002cos(2)( ttx
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4. ClculosUso do MATLAB )10002cos(10)5002cos(2)( tttx
Pouco detalhe na
representao do
sinal
Baixo nmero de
pontos usado narepresentao
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4. ClculosUso do MATLAB )10002cos(10)5002cos(2)( tttx
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5. ExercciosA figura apresenta o espectro unilateral de amplitude do sinal x(t).
a) Apresente o respectivo espectro bilateral de amplitude
b) Indique a potncia, a largura de banda, a frequncia fundamental e o valor
mdio do sinal
c) Seja y(t)= 3 - x(4t) + 2x(t). Esboce os espectros unilaterais de amplitude e
fase de y(t)
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5. ExercciosConsidere o sinal peridico x(t), de frequncia fundamental 10 kHz, definido por
a) Esboce os espectros unilaterais de amplitude e de fase de x(t).
b) Indique a largura de banda do sinal e a percentagem de potncia contida na
banda de 0 a 15 kHz.
Sejam
a) Esboce o sinal z(t)
b) Calcule Ez, mz e Pw
c) Esboce os espectros dos sinais z(t) e w(t).
/3)t3fcos(25/4)tfcos(25x(t) oo
z(t).)/2-t202sen(51-w(t)e)t102(cos23-z(t)
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6. Outras Aplicaes
DTMF
Dual Tone MultiFrequency
Cada tecla corresponde soma de duas
sinusides
Tabela com pares
de frequncias
utilizadas
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6. Outras Aplicaes
Demonstrao Matlab - phone
Marcao telefnica
DTMF
Dual-ToneMultifrequency
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6. Outras AplicaesNotas musicais = Sinusides organizadas em frequncia
(escalas)
Uma oitava = duplicao de frequncia