DEFORMATIONS DANS LES POUTRES

INTRODUCTION

Les poutres constituent l'un des éléments essentielles dans la construction. Elles peuvent isostatiques (simplement appuyées, cantilever ou à articulations) ou hyperstatiques (continues).

La sollicitation principale dans les poutres est la flexion, et la déformée résultante est basée sur la démonstration pour le cas de la flexion pure, et élargie à

toutes les autres flexions. L'équation de la déformée élastique est donnée par :

L’expression du moment étant établie en fonction de la seule variable x, la solution de cette équation est obtenue directement par intégration. La résolution donne la rotation et la déflexion en tout point de la poutre.

D’autre méthodes, tant analytiques, géométriques ou énergétiques, mènent aux mêmes résultats, mais avec des avantages et des inconvénients pour les unes, des conditions d’utilisation pour les autres.

Les méthodes les plus couramment utilisées restent les méthodes basées sur le principes de la conservation de l’énergie, à savoir :

- le théorème de Castigliano ou méthode de la force unitaire- les intégrales de Mohr- la méthode de Veretchaguine ou méthode de la multiplication des

diagrammes.avec une préférence pour la dernière, car présentant une très grande simplicité dans son application, mais ne pouvant être utilisées que pour les poutres droites ou portiques composés de barres droites.

Les méthodes énergétiques sont également applicables pour les structures hyperstatiques, et donc pour les poutres continues. Pour le calcul des inconnues supplémentaires, il sera fait appel aux méthodes d’analyse adéquates, à savoir :

- l’équation de Clapeyron pour les poutres continues- la méthode des forces- la méthode des déplacements avec toutes ses variantes

Définition d'une poutre :

Soit C une courbe dans l'espace de point courant G. On note x⃗ la tangente unitaire à

C, x l'abscisse curviligne et P le plan perpendiculaire à x⃗ .Dans le plan P, on

considère une surface S de contour W telle que son centre d'inertie soit en G. On suppose que S est constante ou lentement variable le long de C.

EId2 ydx2

=M x

S xG

Cp o utre

z

y

S

W

sec tio n d ro ite

G

S

GG

Définitions On appelle :

- Poutre l'enveloppe des surfaces S le long de la courbe C.

- Section droite la section S de la poutre au point G.

- Ligne moyenne la courbe C (ou encore le lieu des centres d'inertie des sections droites de la poutre).

La ligne moyenne peut être une courbe quelconque dans l'espace, à condition qu'elle ne présente pas de point singulier. Habituellement, c'est une courbe plane, et souvent une ligne droite. Nous nous limiterons dans ce cours aux poutres droites.Ordre de grandeur : Si on note d le plus grand diamètre de la section droite S, R le plus petit rayon de courbure de la ligne moyenne C et L la longueur de C, on suppose que d reste petit ( ) devant R et L.

OBJECTIFS

1 ère Partie: Déterminer expérimentalement les déformations verticales en certains points

d’une poutre simplement appuyée, en montrant le comportement élastique à partir du tracé des différentes courbes « chargement – déflexion ».

Calculer théoriquement ces mêmes déformations en utilisant une des méthodes étudiées, puis comparer les résultats avec ceux expérimentaux, avec une discussion.

2 ème Partie: Déterminer expérimentalement les déformations verticales en certains points

d’une poutre cantilever (poutre console), en montrant le comportement élastique à partir du tracé des différentes courbes « chargement – déflexion ».

Calculer théoriquement ces mêmes déformations en utilisant une des méthodes étudiées, puis comparer les résultats avec ceux expérimentaux, avec une discussion.

APPAREILLAGE

Poutre simplement appuyée

Poutre cantilever

1. Bâti2. Appui double3. Appui simple4. Encastrement5. Barre d’essai en acier de dimensions 25mmx5mm et E = 205kN/mm2.6. Jauges de mesures.7. Supports réglables pour jauges8. Accroches-poids de chargement

100cm

25cm25cm

50cm

23

5

4

66

6

6

5

77

7

7

8

8

1

25cm25cm25cm 25cm

Equilibre d'une poutre :Soit une poutre soumise aux actions extérieures suivantes :

F⃗ i les charges concentrées aux points Ai

C⃗ i les moments concentrés aux points Ai

p⃗( xi) les forces réparties

F⃗k les résultantes de liaison aux points Bk

C⃗k les moments de liaison aux points Bk

D'après le principe de la statique, la poutre est en équilibre si le torseur résultant des efforts extérieurs est nul. Ceci s'écrit mathématiquement :

∑i

F⃗ i+∑k

F⃗k+∫ p⃗¿dx=0 ¿

∑i

O⃗A i∧F⃗ i+∑i

C⃗ i+∑k

O⃗Ak∧F⃗k+∑k

C⃗k +∫ O⃗G∧ p⃗ ¿dx ¿

Ces deux équations vectorielles fournissent 6 équations scalaires (3 dans le plan : 2 équations de forces et une équation de moments).

Rappels théorique   : Définition   : les poutres sont des element porteurs horizontale en biton armée avec

des armature (acier) incoporées .les type des poutre sont – poutre logitermidiare- - poutre logitidinale—poutre transversale.

Deformation absolue par allongement . Deformation relative racconissement.Type déformation :la déformation logitidinale et la déformation transversale il exite une relation exprimant entre la déformation logitidinale la déformation

transversale ξyξx

=-u

h

l

Procedure   : p

I II

RA RB

Traçon I : 0<x<L/2 traçon II : L/2<x<L

Section I   : 0<x<L/2

⅀ Fx=0 y T1⅀ Fy=0 M1⅀M/gi=0

RA X

Méthode analytique   :

Soit l’équation : Eiy ‘’=M → M=1/2 Px

EIy=∫M(x) dx+c1=p/2*x2/2+c1=p/4x2+c2

EIy=p/2*x3/6+c1x+c2

Dans les condition initiale :

X=0 c2=0

Y=0

dydx

=y’ =tgθ . sin x =L/2 , Mmax=1/2PL Y’=0

p/2((p/2)2/2)+c1=0 c1= - Pl2/16

** L/2<x<L

EIy’’=M2=RAX-P ((x-p/2)/2)2+c3

EIy=RAx3 /6-p(x-0.5L)3 +c3x+c4

A x=L/2 y1=y2 c1=-PL3/16 c4=0

X=L/2 y1=i/EI(-PL3 /16) ; E=210*103 n/mm2 L=1000 mm

X=L/4 y2=1/EI(-11p(L/4)/12)

⅀FX=0 RA=0

⅀Fy=0 RAx-T1=0 T1=p/2

⅀M=0 RAX-M2=0 M1=RaX

X=L/2 , M1=pL/4

X=0 , M1=0

Section II

⅀ Fx=0 , RA=0 y P T1⅀ Fy=0 ,T2= -1/2p M1⅀M/gi=0 , M2=1/2p(x)- p (x-L/2)=0

X=L/2 , M = pL/4X=L ,M=0

Diagrame   :

L/2 L/2

1/2PL

-1/2PL

PL/4

--

- +

+

Charge (N) théorisue expérimental

Y1

X=25 cm

Y2

X=50 cm

Y1

X=25 cm

Y2

X=50 cm

5 1.1 0.71 0.47 0.92

10 2.2 1.42 0.8 2.83

15 3.3 2.13 1.31 3.96

20 4.4 2.84 1.72 4.67

25 5.5 3.55 2.19 5.6

30 6.6 4.26 2.65 6.54

35 7.7 4.97 3.1 7.44

40 8.8 5.68 3.57 8.3

45 9.9 6.39 4.02 9.9

Obsarvation   :

On observe sue les valeurs de y1exp et y1théo convergence , mais les valeurs de y2 il ne prend pas les mémes valeurs. Par exemple a p=45 et y2=25 on trouve y2exp=4.02 et y2théo= 9.9

Conclusion   :

Diagrame A : on remarsue sue la flèche attent son max aux centre de la barre ce que fait vent dire sue le centre représonte une zone de danger.

Diagrame A : nous concluons que sur la distance L/4=250 mm , la flèche de la poutre attaint une déplacement verticale plus bas que sur la distance L/2 =500mm

5 10 15 20 25 30 35 40 450

2

4

6

8

10

12

expthéo

5 10 15 20 25 30 35 40 450

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

theoexp