Gestion du portefeuille04-05 – Sélection du portefeuille

Université LavalGSF 2101

Chapitre 6 à 8

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Plan de la séance

Risque et rendement Courbe d’indifférence Aversion au risque Portefeuille Frontière du portefeuille Portefeuille optimal Courbe de marché des capitaux Allocation du capital Diversification et risque

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Risque et rendement

Tout investisseur recherche un rendement élevé sur sa période de placement

Par contre: en placement, un rendement espéré élevé est normalement accompagné de risques élevés.

Problème : En général, un investisseur aime le rendement mais

n'aime pas le risque. Mais il sait évaluer les deux, donc choisir en maximisant

le rendement espéré et minimisant le risque

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Risque et rendement

Si les rendements futurs d'un titre i sont :

lors le rendement espéré de ce titre est

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Risque et rendement

Les risques que comportent un titre peuvent être représentés par la variance de ses rendements.

Le symbole s2i est utilisé pour représenter la

variance et se calcule comme suit:

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Risque et rendement

La variance mesure la moyenne des écarts au carré entre chaque rendement probable et le rendement moyen.

Les écarts sont mis au carré afin d'obtenir une mesure pratique tout en évitant les valeurs négatives.

En prenant la racine carrée de la variance, nous obtenons une mesure en %. Nous appelons cette mesure l'écart-type

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Risque et rendement

Données historiques : Avec des données historiques, le rendement

moyen est calculé de la façon suivante

et l'écart-type est calculé de la façon suivante:

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Courbe d’indifférence

Définition : Une courbe d'indifférence est une

courbe reliant un ensemble de points dans un plan dont les axes sont le risque d’une part et le rendement d’autre part, entre lesquels un investisseur est indifférent.

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Courbe d’indifférence

Le rendement espéré d'un actif i est représenté par E[ri], et le risque d'un portefeuille est représenté par l’écart-type de ses rendements, soit si.

Important : Deux investisseurs peuvent avoir différentes préférences mais deux

courbes d'indifférence d'un même individu ne peuvent se croiser. Plus l’individu est averse au risque, plus la pente est importante

(beaucoup plus de rendement pour un peu plus de risque)

Hypothèse de non satiété : plus de rendement est toujours préféré à moins de rendement

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Courbe d’indifférence

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E[ri]

sri

a b

p

Aversion au risque

Définition : Un investisseur est averse au risque si :E[ra] = E[rb] et sa < sb

Cela implique que l'investisseur préfère a à b.

Sur un plan avec le risque en abscisse et le rendement en ordonnée, pour tout portefeuille p, tous les portefeuilles situés au nord-ouest de p sont préférables à p et tous les portefeuilles situés au sud-est de p lui sont inférieurs

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Aversion au risque

Définitions : On dit qu'un investisseur est:

Averse au risque si, entre deux actifs ayant le même rendement espéré, il préfère le moins risqué;

Neutre au risque s'il préfère toujours l'actif avec le rendement espéré le plus élevé peu importe le risque;

Amant du risque si, entre deux portefeuilles ayant le même rendement espéré, il préfère celui comportant le plus de risque

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Portefeuille

Si nous avons un portefeuille de titres, pour estimer le risque de celui-ci, il faut tenir compte de la covariance et des corrélations entre les rendements des titres du portefeuille.

Voici les rendements futurs suivants pour deux titres

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Portefeuille

La covariance entre deux titres 1 et 2 :

s dénote les différents états qui peuvent survenir dans l'avenir

ps représente la probabilité de chacun de ces états

L’espérance de rendement : E[r1] = 13.45% et E[r2] = 10.70%

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Portefeuille

La covariance entre les rendements des titres 1 et 2 est donc

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Portefeuille

La corrélation entre deux titres se calcule comme suit:

De par sa construction,

Si l'écart-type du titre 2 = 11:62%, La corrélation entre les titres 1 et 2 est ainsi

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Portefeuille

Remarque 1 :

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Portefeuille

Rendement : Si un portefeuille p est construit avec les titres 1 et 2 avec

les proportions w1 et w2 et w1+w2 = 1, alors le rendement espéré de ce portefeuille est donné par

De la même façon, un portefeuille comprenant n titres avec les proportions w1;w2; … ;wn et w1+w2+…+wn = 1, alors

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Portefeuille

Risque : Si un portefeuille p est construit avec les titres 1 et 2 avec

les proportions w1 et w2 et w1+w2 = 1, alors l’écart-type des rendements de ce portefeuille est donné par

De la même façon, un portefeuille comprenant n titres avec les proportions w1;w2; … ;wn et w1+w2+…+wn = 1, alors

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Portefeuille

Risque d’un portefeuille de 2 actifs

Si p représente un portefeuille composé des actifs x et y et que wx dénote la proportion investie dans x, alors

Question : Comment varie sp étant donné wx et rx,y?

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Inversons les axes

Portefeuille

Rendement d’un portefeuille de 2 actifs

Le rendement espéré de p est donné par

Question : Comment varie E[rp] et rp étant donné wx et rx,y ?

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Frontière du Portefeuille

Approche de Markowitz:

Étant donnés les rendements, écarts-types et corrélations de tous les titres risqués disponibles sur le marché, nous pouvons construire une frontière du portefeuille, i.e. les limites de l'ensemble de toutes les combinaisons ( sp; E[rp] ) réalisables.

Cette frontière aura la même forme que les courbes tracées précédemment lorsque la corrélation était imparfaite

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Frontière du Portefeuille

Approche de Markowitz

Seulement la partie supérieure (au-dessus du rendement espéré correspondant au portefeuille ayant le niveau de risque minimal) du graphique précédent nous intéresse.

Cette portion du graphique représente la frontière efficiente du portefeuille.

Chaque point sur la frontière efficiente représente le portefeuille atteignant le rendement espéré le plus élevé pour un niveau de risque donné.

Peu importe leur tolérance au risque, les investisseurs ne devraient détenir que des portefeuilles d'actifs risqués situés sur la frontière efficiente.

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Frontière du Portefeuille

Remarque : frontière efficiente et courbes d’indifférences

S'il n'existe aucun actif sans risque, les investisseurs se choisiront différents portefeuilles risqués sur la frontière

efficiente. Le choix de chaque individu s'arrêtera au portefeuille se

situant sur la plus haute courbe d'indifférence atteignable

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Portefeuille Optimal

Qu'arrive-t-il s'il est possible de prêter et d'emprunter à l'aide d'un actif sans risque avec un rendement rf ?

Le portefeuille d'actifs risqués est le même pour tous les investisseurs et est représenté par m soit le portefeuille du marché, (market portfolio).

Le portefeuille optimal du marché m est le portefeuille ayant le ratio de Sharpe le plus élevé

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Courbe du marché des capitaux - CML

Si le portefeuille m représente le portefeuille détenu par l'investisseur moyen, un portefeuille pondéré selon la capitalisation boursière, alors la droite passant par l'actif sans risque f et le portefeuille m représente la courbe du marché des capitaux (capital market line (CML)).

En théorie, le portefeuille d'actifs risqués de tout investisseur devrait être m et le portefeuille de tout investisseur devrait se situer sur la CML.

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Allocation du capital

Lorsque le portefeuille de tout investisseur est composé de l'actif sans risque et d'un portefeuille d'actifs risqués dans un monde sans contrainte, le portefeuille d'actifs risqués est le même pour tous les investisseurs.

La tolérance au risque de chaque investisseur détermine quelle proportion du portefeuille est placée dans l'actif sans risque et dans le portefeuille risqué pour constituer son portefeuille entier

wp dans le portefeuille d'actifs risqués et 1- wp dans l'actif sans risque

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Courbe d’allocation du capitalE[ri]

sri

E[rp]

E[rc]

rf

Portefeuille entier c

Portefeuille risqué p

Titre sans risque

sp

Allocation du capital

La courbe d'allocation du capital (capital allocation line (CAL)) représente toutes les combinaisons risque-rendement qu'un portefeuille constitué de l'actif sans risque et d'un titre risqué peut procurer.

Nous faisons l'hypothèse ici qu'il est possible d'emprunter au taux sans risque afin de placer plus que ce que l'on possède dans le titre risqué

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Allocation du capital

L'actif sans risque a un rendement espéré rf avec un écart-type sf = 0 et le titre risqué a un rendement espéré E[rp] avec un écart-type sp.

Si la proportion investie dans p est donnée par wp, alors le rendement espéré du portefeuille entier (c) est donné par

et le risque du portefeuille est donné par

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Allocation du capital

Remarques : Notez que nous pouvons exprimer wp en fonction

de sp et sc:

et nous pouvons décrire le rendement espéré de c de la façon suivante:

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Allocation du capital

La courbe d'allocation de capital (CAL)

représente toutes le possibilités risque-rendement du portefeuille c.

Cette courbe est une droite ayant rf comme ordonnée à l'origine et une pente de

Le terme est le ratio de Sharpe du portefeuille p, soit le rendement excédentaire par unité de risque de p

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Allocation du capital

La courbe d'allocation de capital (CAL)

représente toutes le possibilités risque-rendement du portefeuille c.

Cette courbe est une droite ayant rf comme ordonnée à l'origine et une pente de

Le terme est le ratio de Sharpe du portefeuille p, soit le rendement excédentaire par unité de risque de p

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Courbe d’allocation du capitalEmprunt et placement

E[ri]

sri

E[rp]

rf

Portefeuille risqué p Portefeuille

avec emprunt à rf

Portefeuille avec placement à rf

sp

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E[ri]

sri

E[rp]

rf

Portefeuille emprunteur

sp

Portefeuille préteur

Courbe d’allocation du capitalEmprunt et placement

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Courbe d’allocation du capitalEmprunt et placement

E[ri]

sri

E[rp]

r placement

Portefeuille risqué p Portefeuille à

remprunt

Portefeuille à rplacement

r emprunt

sp

Diversification et risque

Définitions : Le risque systématique, de marché ou non

diversifiable correspond au risque dont on ne peut se débarrasser en mélangeant plusieurs titres ensemble.

Le risque non systématique, unique ou diversifiable correspond au risque qui tend à disparaître quand plusieurs titres sont mélangés ensemble

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Diversification et Risque

Nombre d’actions

Risque sri

Risque diversifiable

Risque Systématique

Restrictions du modèle

Restrictions sur les ventes à découvert

Impossibilité d'emprunter au taux sans risque

Taux d'emprunt plus élevé que le taux d'épargne

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