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GELE2511 Chapitre 4 :Transformee de Fourier
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Universite de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 1 / 50
Introduction
Contenu
Contenu
Definition de la transformee de Fourier
Convergence de la transformee de Fourier
Utilisation de la transformee de Laplace
Application
Theoreme de Parseval
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 2 / 50
Introduction
Introduction
Au chapitre precedent, on a vu comment on pouvait representer unefonction periodique par une somme de sinusoıdes.
La transformee de Fourier permet de representer en frequence dessignaux qui ne sont pas periodiques.
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Introduction
Introduction
La transformee de Fourier est un cas special de la transformee deLaplace.
En telecommunications, la transformee de Fourier est plus utile que latransformee de Laplace.
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Derivation de la transformee de Fourier
Derivation de la transformee de Fourier
On peut obtenir la transformee de Fourier a partir de la serie deFourier.
A partir de la definition de la serie de Fourier, on va prendre unsignal, et rendre sa periode infinie.
Rappel (serie de Fourier) :
f(t) =
∞∑n=−∞
Cnejnω0t
ou
Cn =1
T
∫ T/2
−T/2f(t)e−jnω0t dt
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Derivation de la transformee de Fourier
Derivation de la transformee de Fourier
On cherche une serie de Fourier pour un signal aperiodique.
Si on fait tendre la periode T vers l’infini (T →∞), on passe d’unsignal periodique a un signal aperiodique.
On regarde alors les effets sur la serie de Fourier.
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Derivation de la transformee de Fourier
Derivation de la transformee de Fourier
Si T augmente, la separation entre les harmoniques devient de plus enplus petite.
On passe donc d’un spectre qui est seulement definit a quelquespoints a un spectre qui est continu (infinite d’harmoniques).
La difference entre deux points de la serie de Fourier est :
∆ω = (n+ 1)ω0 − nω0 = ω0
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Derivation de la transformee de Fourier
Exemple
t0.2 T
Le pulse dure 0.2s.On augmente Tpour voir l’impactsur la serie deFourier.
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
Fréquence(Hz)
T = 1
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
Fréquence(Hz)
T = 2
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
Fréquence(Hz)
T = 4
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Derivation de la transformee de Fourier
Derivation de la transformee de Fourier
La difference entre 2 harmoniques est tout simplement la frequencefondamentale.
Mais,
ω0 =2π
T
Alors si T →∞, la separation entre les frequences devient de plus enplus petite, et devient dω.
On passe d’un spectre discret a un spectre continu.
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Derivation de la transformee de Fourier
Derivation de la transformee de Fourier
Au fur et a mesure que la periode augmente,
nω0 → ω
Les coefficients de la serie de Fourier deviendront de plus en plusfaibles : Cn → 0 lorsque T →∞.
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Derivation de la transformee de Fourier
Derivation de la transformee de Fourier
Cependant, le produit CnT ne devient pas nul :
CnT =
∫ ∞−∞
f(t)e−jωt dt
Cette equation represente la transformee de Fourier.
Transformee de Fourier
F (ω) = Ff(t) =
∫ ∞−∞
f(t)e−jωt dt
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Derivation de la transformee de Fourier
Transformee inverse
La transformee inverse de Fourier :Transformee inverse de Fourier
f(t) = F−1F (ω) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)ejωt dω
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Derivation de la transformee de Fourier
Exemple
Faire la transformee de Fourierdu pulse suivant.
t
v(t)
−τ/2
Vm
τ/2
En appliquant directement l’equation :
V (ω) =
∫ τ/2
−τ/2Vme
−jωt dt
= Vme−jωt
−jω
∣∣∣∣∣τ/2
−τ/2
=Vmjω
(−2j sin(ωτ/2)) = Vmτ sinc(ωτ
2
)Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 13 / 50
Derivation de la transformee de Fourier
Convergence
Pour que la transformee de Fourier existe, il faut que la fonction f(t)converge.
Les pulses et exponentiels, tres utilises en genie electrique, sont desintegrales qui converges.
Cependant, certains signaux interessants, comme une constante ouune sinusoıde, n’ont pas d’integrale qui converge.
Dans ces cas, on fait un peu de gymnastique mathematique pourobtenir la transformee de Fourier de ces signaux.
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Transformees fonctionnelles
Exemple : constante
Pour une constante A, son integrale ne converge pas :∫ ∞−∞
A dt =∞
On fait alors l’approximation suivante : f(t) = Ae−|ε|t. Si ε→ 0, alorsf(t)→ A.
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.5
1
e−|t|
e−0.5|t|
e−0.2|t|
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Transformees fonctionnelles
Exemple : constante (2)
La transformee de Fourier de f(t) est :
F (ω) =
∫ 0
−∞Aeεte−jωt dt+
∫ ∞0
Ae−εte−jωt dt
ce qui donne,
F (ω) =A
ε− jω+
A
ε+ jω=
2εω
ε2 + ω2
Et puis, on applique ε→ 0 : ceci donne un pulse δ(ω). L’amplitude dupulse est 2πA. La transformee de Fourier d’une constante est :
F(A) = 2πAδ(ω)
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Transformees fonctionnelles
Exemple : signum
t
sgn(t)
−1
1
sgn(t) = u(t)− u(−t)
Pour obtenir la transformee de Fourier de sgn(t), il faut aussi faire uneapproximation.
sgn(t) = limε→0
(e−εtu(t)− eεtu(−t)
), ε > 0
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Transformees fonctionnelles
Exemple : signum (2)
A partir de la definition de la serie de Fourier,
F (ω) = −∫ 0
−∞eεte−jωt dt+
∫ ∞0
e−εte−jωt dt
= −e(ε−jω)t
ε− jω
∣∣∣∣∣0
−∞
− e−(ε+jω)t
ε+ jω
∣∣∣∣∣∞
0
=−2jω
ω2 + ε2
On prend maintenant la limite ε→ 0 :
F(sgn(t)) = limε→0
−2jω
ω2 + ε2=
2
jω
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Transformees fonctionnelles
Exemple : echelon
Pour faire la transformee de Fourier d’un echelon, il faut reecrire ladefinition :
u(t) = 0.5 + 0.5 sgn(t)
Alors,
Fu(t) = F0.5+ F0.5 sgn(t)
= πδ(ω) +1
jω
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Utilisation de Laplace
Utilisation de la transformee de Laplace
On peut utiliser la transformee de Laplace pour calculer la transformee deFourier, selon quelques regles de base :
Les poles de la transformee de Laplace doivent etre ≤ 0, et reels.
Si f(t) = 0 pour t < 0, la transformee de Fourier est obtenue enremplacant s par jω.
Si f(t) = 0 pour t > 0, la transformee de Fourier est obtenue enfaisant la transformee de Laplace de f(−t), puis en remplacant s par−jω.
Si la fonction est non nulle pour tout t, on calcule 2 transformees :une pour t > 0, et une pour t < 0.
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Utilisation de Laplace
Exemple
Calculer la transformee de Fourier de : e−at cos(ω0t) u(t)
La transformee de Laplace de cette fonction est :
F (s) =s+ a
(s+ a)2 + ω20
Les poles de cette fonction sont negatifs et reels, et f(t) = 0 pour t < 0.On remplace alors s = jω :
F (ω) =jω + a
(jω + a)2 + ω20
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Utilisation de Laplace
Exemple
Calculer la transformee de Fourier de : eat cos(ω0t) u(−t)
Puisque f(t) = 0 pour t > 0, on calcule f(−t) :
f(−t) = e−at cos(ω0t) u(t)
La transformee de Laplace de cette fonction est :
F (s) =s+ a
(s+ a)2 + ω20
Les poles de cette fonction sont negatifs et reels. On remplace alorss = −jω :
F (ω) =−jω + a
(−jω + a)2 + ω20
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Transformee operationnelles
Transformees operationnelles
Comme la transformee de Laplace, la transformee de Fourier possedeelle aussi des transformees operationnelles.
Les transformees operationnelles indiquent comment des operationseffectuees sur f(t) ou F (ω) vont affecter l’autre domaine.
Ces transformees permettent de simplifier le calcul des transformeesde Fourier.
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Transformee operationnelles
Multiplication par une constante
Si la transformee de Fourier de f(t) est F (ω), alors,
FKf(t) = KF (ω)
On multiplie F (ω) par la meme constante.
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Transformee operationnelles
Addition (soustraction)
Si on a
Ff1(t) = F1(ω)
Ff2(t) = F2(ω)
Ff3(t) = F3(ω)
alorsFf1(t) + f2(t)− f3(t) = F1(ω) + F2(ω)− F3(ω)
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Transformee operationnelles
Derivee
Pour une derivee :
F
df(t)
dt
= jωF (ω)
De facon generale,
F
dnf(t)
dtn
= (jω)nF (ω)
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Transformee operationnelles
Integrale
Pour une integrale :
F
∫ t
0f(t) dt
=F (ω)
jω
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Transformee operationnelles
Translation
Dans le temps :
Ff(t− a) = e−jωaF (ω), a > 0
En frequence :Fe−jω0tf(t) = F (ω − ω0)
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Transformee operationnelles
Echelonnage
Si le temps est compresse ou etire :
Ff(at) =1
aF(ωa
), a > 0
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Transformee operationnelles
Convolution
La convolution est simplifiee :
Fh(t) ∗ x(t) = H(ω)X(ω)
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Transformee operationnelles
Modulation
La modulation en amplitude est le processus de faire varier l’amplituded’un signal f(t) avec une sinusoıde cos(ω0t).
Ff(t) cos(ω0t) = 0.5F (ω − ω0) + 0.5F (ω + ω0)
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Transformee operationnelles
Dualite
Si F (ω) est la transformee de Fourier de f(t), alors la transformee deFourier de F (t) est 2πf(−ω) :
F (t)F↔ 2πf(−ω) si f(t)
F↔ F (ω)
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Transformee operationnelles
Exemple
En telecommunications, il est tres commun de multiplier deux sinusoıdes,tels que
g1(t) = 2 cos(200t) g2(t) = 5 cos(3000t)
pour obtenir un signal module
g3(t) = g1(t)g2(t) = 10 cos(200t) cos(3000t)
Calculer le spectre du signal module.
On va utiliser la propriete de modulation. On choisit f(t) = 10 cos(200t).
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Transformee operationnelles
Exemple (2)
On calcule la transformee de Fourier de f(t) :
Ff(t) = 10π(δ(ω + 200) + δ(ω − 200))
Puis on applique la propriete de modulation :
F (ω) = 10(0.5)π(δ(ω + 200− 3000) + δ(ω + 200 + 3000)
+ δ(ω − 200 + 3000) + δ(ω − 200− 3000))
= 5π (δ(ω − 3200) + δ(ω − 2800) + δ(ω + 2800) + δ(ω + 3200))
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 34 / 50
Transformee operationnelles
Exemple(3)
Le spectre :
−3,000 −2,000 −1,000 0 1,000 2,000 3,0000
5
10
15
Frequence (rad/s)
Les composantes sont a ±(f1 ± f2).
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Theoreme de Parseval
Theoreme de Parseval
Le theoreme de Parseval permet de faire le lien entre l’energie d’unsignal dans le temps et l’energie en fonction de la frequence.
Puisque la frequence et le temps sont 2 domaines qui permettent dedecrire completement un signal, il faut que l’energie totale soit lameme dans les deux domaines.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 36 / 50
Theoreme de Parseval
Theoreme de Parseval
Theoreme de Parseval∫ ∞−∞
f2(t) dt =1
2π
∫ ∞−∞|F (ω)|2 dω =
1
π
∫ ∞0|F (ω)|2 dω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 37 / 50
Theoreme de Parseval
Exemple
Le courant dans une resistance de 40 Ω est i(t) = 20e−2t u(t)A. Quelpourcentage de l’energie totale dissipee dans la resistance provient de labande 0 < ω < 2
√3 rad/s ?
L’energie totale dissipee est :
W = R
∫ ∞0
i2(t) dt = 40
∫ ∞0
400e−4t dt = 4000 J
On peut le calculer par la serie de Fourier.
F (ω) =20
2 + jω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 38 / 50
Theoreme de Parseval
Exemple (2)
L’amplitude de la serie de Fourier est :
|F (ω)| = 20√4 + ω2
et l’energie totale est :
W =40
π
∫ ∞0
400
4 + ω2dω =
16000
π
(1
2tan−1
ω
2
) ∣∣∣∣∣∞
0
= 4000 J
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 39 / 50
Theoreme de Parseval
Exemple
L’energie dans la bande 0 < ω < 2√
3 rad/s est :
Wx =40
π
∫ 2√3
0
400
4 + ω2dω =
16000
π
(1
2tan−1
ω
2
) ∣∣∣∣∣2√3
0
= 2666.67 J
Le pourcentage de l’energie totale dans cette bande est :
2666.67
4000= 66.67%
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 40 / 50
Densite spectrale
Densite spectrale d’energie
La densite spectrale d’energie est une mesure de la distributiond’energie d’un signal en fonction de la frequence.
On la calcule selon :
Ef =1
π|F (ω)|2 =
1
πF (ω)F (ω)∗
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 41 / 50
Densite spectrale
Densite spectrale de puissance
La densite spectrale de puissance est une mesure de la distribution depuissance d’un signal en fonction de la frequence.
S’applique aux signaux periodiques.
On la calcule selon :
Pf (ω) = limT→∞
1
T|FT (ω)|2
ou FT est la transformee de Fourier d’une periode du signal.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 42 / 50
Densite spectrale
Puissance d’un signal
La puissance d’un signal peut etre calculee a partir de la transformeede Fourier :
P =1
4π2|F (0)|2 +
1
2π2
∞∑n=1
|F (nω0)|2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 43 / 50
Signaux periodiques
Transformee de Fourier d’un signal periodique
On peut faire la transformee de Fourier d’un signal periodique.
Rappel : la serie de Fourier d’une fonction periodique est :
f(t) =
∞∑n=−∞
Cnejnω0t
ou
Cn =1
T
∫Tf(t)e−jnω0t dt
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 44 / 50
Signaux periodiques
Transformee de Fourier d’un signal periodique
On applique la definition de la serie de Fourier a la transformee deFourier :
F (ω) =
∫ ∞−∞
( ∞∑n=−∞
Cnejnω0t
)e−jωt dt
=
∞∑n=−∞
Cn
∫ ∞−∞
ejnω0te−jωt dt
A l’aide de la propriete de linearite, on obtient :
F
∞∑n=−∞
Cnejnω0t
= 2π
∞∑n=−∞
Cnδ(ω − nω0)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 45 / 50
Signaux periodiques
Transformee de Fourier d’un signal periodique
Le spectre d’un signal periodique est une serie d’impulsions qui setrouvent a des multiples de la frequence fondamentale.
L’amplitude de chaque impulsion est le coefficient de la serie deFourier multiplie par 2π.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 46 / 50
Signaux periodiques
Transformee de Fourier d’un signal periodique
On peut rearranger l’expression de la transformee de Fourier d’unsignal periodique sous une autre forme :
F (ω) =
∞∑n=−∞
ω0G(nω0)δ(ω − nω0)
ou G(ω) est la transformee de Fourier d’une periode du signal.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 47 / 50
Signaux periodiques
Exemple
Faire la transformee de Fourierdu signal periodique suivant.
t
v(t)
−T2
A
T2−T0 T0
Le signal g(t) est une periode de v(t) :
t
g(t)
−T2
A
T2
La transformee deFourier de g(t) est : G(ω) = AT sinc(Tω/2)
La transformee de Fourier de v(t) est :
F (ω) =
∞∑n=−∞
ATω0 sinc(nω0T/2)δ(ω − nω0)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 48 / 50
Signaux periodiques
Exemple (2)
Le spectre (si A = 1, T = 0.5s, T0 = 8s) :
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
0.2
0.4
Frequence (rad/s)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 49 / 50
Conclusion
Conclusion
Les points cles de ce chapitre sont :
Calcul de la transformee de Fourier.
Utilisation des proprietes de la transformee de Fourier.
Calcul de la transformee de Fourier de signaux periodiques.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 50 / 50