Post on 04-Apr-2015
ELG3575
2. La série de Fourier trigonométrique et la
transformée de Fourier
Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe
• Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0.
• Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :
n
T
tfnjT
tnfjT
tnfj
T
tnfjn
XdtetxT
dtetxT
dtetxT
dtetxT
X
o
o
o
o
)(2
2*
*2
*
2*
)(1
)(1
)(1
)(1
La série de Fourier trigonométrique
• Si le signal x(t) est réel, la partie réelle du coefficient Xn est donnée par :
T
o
T
o
T
o
T
oo
T
tnfjn
tdtnftxT
tdtnftxTjtdtnftx
T
dttnfjtnftxT
dtetxT
X o
2cos)(1
2sin)(1
2cos)(1
Re
)2sin2)(cos(1
Re
)(1
Re}Re{ 2
La série de Fourier trigonométrique 2
• Donc la partie imaginaire du coefficient Xn quand x(t) est réel est :
• Nous pouvons exprimer la série de Fourier exponentielle complexe comme :
T
on tdtnftxT
X 2sin)(1
}Im{
1
220
2
)(
n
tnfjn
tnfjn
n
tnfjn
oo
o
eXeXX
eXtx
La série de Fourier trigonométrique 3
• Si x(t) est réel, X-n = Xn*,
110
10
10
)2sin()2cos(
)2sin(}Im{2)2cos(}Re{2
)2sin()2cos(}Im{}Re{
)2sin()2cos(}Im{}Re{)(
non
non
nonon
oonn
noonn
tnfbtnfaa
tnfXtnfXX
tnfjtnfXjX
tnfjtnfXjXXtx
T
onn
T
onn
T
tdtnftxT
Xb
tdtnftxT
Xa
dttxT
Xa
2sin)(2
}Im{2
2cos)(2
}Re{2
)(1
00
Exemple
x(t)
0.25 0.5 0.75 t
A
-A
… …
impaire
4
impaire
4 22)(
nn
ntj
nn
ntj en
Aje
nj
Atx
donc X0 = 0, Re{Xn} = 0 et Im{Xn} = -2A/n pour les valeurs impaires de n. Donc bn = 4A/n pour les valeur impaires de n.
Exemple suite
1
impaire 1
)12(4sin)12(
44sin
4)(
inn
tii
Ant
n
Atx
La sommation représente les N
premières harmoniques de x(t).
N
iN ti
i
Atx
1
)12(4sin)12(
4)(
Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique
2/
0
0
2/
2/
2/
0 )(1
)(1
)(1
T
T
T
T
dttxT
dttxT
dttxT
a
2/
0
0
2/
2/
2/
2cos)(2
2cos)(2
2cos)(2
T
o
T
o
T
T
on tdtnftxT
tdtnftxT
tdtnftxT
a
2/
0
0
2/
2/
2/
2sin)(2
2sin)(2
2sin)(2
T
o
T
o
T
T
on tdtnftxT
tdtnftxT
tdtnftxT
b
Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est paire
• Supposons que x(t) est une fonction paire. • C'est-à-dire que x(t) = x(-t).
• Remplaçons –t par u et dt par –du dans le premier intégral de l’expression
2/
0
0
2/
2sin)(2
2sin)(2
T
o
T
on tdtnftxT
tdtnftxT
b
0
2sin)(2
2sin)(2
2sin)(2
)(2sin)(2
2sin)(2
)(2sin)(2
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
0
2/
T
o
T
o
T
o
T
o
T
o
T
on
tdtnftxT
udunfuxT
tdtnftxT
duunfuxT
tdtnftxT
duunfuxT
b
La série de Fourier trigonométrique d’une fonction paire
1
0 2cos)(n
on tnfaatx
Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est impaire
• Nous pouvons démontrer que si x(t) est une fonction impaire (x(t) = -x(-t)), a0 et an sont 0.
1
2sin)(n
on tnfbtx
Composantes paire et impaire
• Si x(t) est réel et périodique,
)( )(
)2sin()2cos()(11
0
txtx
tnfbtnfaatx
imp
non
non
2
)()()(
txtxtx p
2
)()()(
txtxtxim
Composantes paire et impaire
T
oimn
T
opn
T
p
tdtnftxT
b
tdtnftxT
a
dttxT
a
2sin)(2
2cos)(2
)(1
0
Exemple
… …
x(t)
-2 1 2 4 5 6 t
1
-1
Pour le signal x(t) démontré ci-dessus, trouvez sa série de Fourier trigonométrique.
Solution
• La période de ce signal est T = 4, donc la fréquence fondamentale fo = ¼.
• La série de Fourier trigonométrique est donc :
110 2
sin2
cos)(n
nn
n ntbntaatx
04
1)(
4
12
1
1
0
2
2
0
dtdtdttxa
Solution
impaireest ,2/
)1(paireest ,0
)2/(sinc
)sin(2
2/
2/sin2
2
1
2/
2/sin)sin(2
2/
2/sin
2
1
2sin
2
2sin
2
2
1
2cos
2cos
2
1
2cos)(
2
1
21
2
1
1
0
2
1
1
0
2
2
nn
nn
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
ntn
ntn
dtntdtntdtnttxa
)/(n-
n
Solution
impaireest et 2 ,/4paireest et 2,0
impaireest ,0)cos(2/cos21
2/
2/cos
2/
)cos(
2/
2/cos1
2
1
2cos
2
2cos
2
2
1
2sin
2sin
2
1
2sin)(
2
1
2
1
1
0
2
1
1
0
2
2
mmnnmmn
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
ntn
ntn
dtntdtntdtnttxbn
ttttt
ntnt
ntx
nn
nn
)/(n-
3sin3
2sin
2
2
5cos
5
2
2
3cos
3
2
2cos
2
2sin
n
4
2cos
2/
)1()(
impaireentier 2/2
impaire 1
21
ttttx
sin
2
2
3cos
3
2
2cos
2)(1
tttttt
tx
3sin3
2sin
2
2
7cos
7
2
2
5cos
5
2
2
3cos
3
2
2cos
2)(2
Introduction à la transformée de Fourier
• Prenons un signal périodique
• Alors
• Si, x(t) est apériodique, la « période » de x(t) est T où T → ∞ et f0 → 0. Donc 1/T devient df, nfo devient f et la sommation devient une intégrale.
n
tnfjn
oeXtx 2)(
tnfj
n
T
T
tnfj oo edtetxT
tx 22/
2/
2)(1
)(
dfefXdfedtetxtx ftjftjftj 222 )()()(
La transformée de Fourier
• La fonction X(f) est la transformée de Fourier de x(t).• X(f) décrit le contenu spectral de x(t).
• X(f) = F{x(t)}
• x(t) = F-1{X(f)} =
dtetx ftj 2)(
dfefX ftj 2)(
Exemple
• Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t).
• Solution• La transformée de x(t) est :
)(sincsin
2
)(2
1
2
1
)()(
2/1
2/1
2
2/1
2/1
22
ff
f
fj
ee
eefj
efj
dtedtetfX
fjfj
fjfjftj
ftjftj
Exemple 2• Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t).• Solution
)(sinc)(
sin
)2(
sin4
)2(
2cos22)(
)2(
1
)2(
2
)2(
1
2
1
)2(
1
2
1
2
1
)2(
1
2
1
2
1
)2(
1
2
1
)2(
1
22
1
)2(
1
22
1
)1()1()()(
22
2
2
2
222
22
22
222
22
222
1
0
22
22
0
1
22
22
1
0
20
1
22
ff
f
f
f
f
fee
ff
ffje
fefj
efj
ef
efj
efjffj
ef
efj
tefj
ef
efj
tefj
dtetdtetdtetfX
fjfj
fjfjfj
fjfjfj
ftjftjftj
ftjftjftj
ftjftjftj
Exemple 3
• Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t).• Solution
1)()(0
22
t
ftjftj edtetfX
Les propriétés de la transformée de Fourier
1. Linéarité • La transformée de Fourier est une fonction linéaire. C'est-
à-dire que si X1(f) =F{x1(t)} et X2(f) = F{x2(t)}, pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), X3(f) = F{x3(t)}=aX1(f) + bX2(f).
2. Décalage temporel
• Supposons que la transformée de Fourier de x1(t) est X1(f). La transformée de Fourier de x2(t) = x1(t-to) est
3. Rééchelonnement temporel • Si F{x(t)} = X(f), F{x(at)} = (1/|a|)X(f/a).
4. Dualité temps-fréquence • Si F{x(t)} = X(f), F{X(t)} = x(-f).
oftjefXfX 212 )()(
Les propriétés de la transformée de Fourier 2
5. Décalage fréquentiel• Si X(f) = F-1{x(t)}, X(f-fo) = F-1{x(t) }
6. Convolution en temps • Si z(t) = x(t)*y(t), Z(f) = X(f)Y(f).
7. Multiplication en temps• Pour z(t) = x(t)y(t), sa transformée de Fourier Z(f) = X(f)*Y(f).
8. Dérivation temporelle • F{ } = 2fX(f)
9. Intégration temporelle
• F
tfj oe 2
dttdx )(
)()0()()(21
21 fXfXdxfj
t
Les propriétés de la transformée de Fourier 3
10.Transformée du conjugué complexe • F{x*(t)} = X*(-f)
Des exemples
• Trouvez la transformée de Fourier du signal x(t) = 2(t-3) + 3(2t).– Solution
• F{(t-3)} = 1×e-j6f (propriété 2) • F{(2t)} = (1/2)sinc(f/2) (propriété 3)• F{2(t-3) + 3(2t)} = 2e-j6f + (3/2)sinc(f/2) (propriété 1)
• On sait que (t) = (t)*(t). Trouvez F{(t)}– Solution
• F{(t)} = sinc(f) × sinc(f) = sinc2(f) (propriété 6)
Des exemples
• Trouvez F{cos(2fot)} et F{sin(2fot)}– Solution
• cos(2fot) =
• F{1}=(f) (propriété 4)
• F{1× } = (f-fo) et F{1× } = (f+fo) (propriété 5)
• Alors F{cos(2fot)} = (1/2)(f-fo) +(1/2)(f+fo) (propriété 1)
• Aussi on peut démontrer que F{sin(2fot)} = (1/2j)(f-fo) - (1/2j)(f+fo)
tfj oe 2
tfjtfj oo ee 2212
21
tfj oe 2