Distribution d’échantillonnage

1Cours Statistiques

Chapitre 1

© Khaled Jabeur 2012

Cours Statistiques 2

Plan

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

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Plan

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

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Échantillonnage : Terminologie

Une population se définit comme un ensemble d’éléments (individus, entreprises, dossiers, projets, …) qui ont des caractéristiques communes. On note par N la taille de la population.

Un échantillon est tout sous-ensemble de la population. On note par n la taille de l’échantillon.

Un caractère ou une variable statistique c’est l’aspect que l’on désire étudier chez un individu.

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Échantillonnage : Terminologie

Pour recueillir des informations concernant les caractéristiques d’une population, on dispose de deux méthodes :

1. La méthode exhaustive ou recensement où chaque individu de la population est étudié selon le (ou les) caractère(s) étudié(s).

2. La méthode des sondages ou échantillonnage qui conduit à n’examiner qu’une fraction de la population, c’est-à-dire un échantillon.

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Échantillonnage : Définition et objectif

Définition 1 L’échantillonnage est le processus par lequel une portion de la population (ou un échantillon) est sélectionnée afin d’étudier les caractéristiques d’une population entière.

Objectif de l’échantillonnageL’échantillonnage a pour objectif de tirer des conclusions sur les caractéristiques d’une population à partir des données d’un échantillon. Il est donc essentiel de choisir avec soin l’échantillon de façon à ce qu’il représente fidèlement la population visée.

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Échantillonnage : Raisons d’être

On effectue l’échantillonnage essentiellement pour les raisons suivantes :

1. Lorsque la population est infinie

2. Par souci d’économie de coût

3. Si le test est destructif

4. Obtenir l’information le plus rapidement possible

5. …

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Échantillonnage : Méthodes

Les méthodes d’échantillonnage peuvent être regroupées en deux grandes catégories :

1. L’échantillonnage non aléatoire (ou non probabiliste) : L’analyste utilise son expérience et ses connaissances personnelles pour choisir parmi les unités de la population celles qui feront partie de l’échantillon et qui, à son avis, représentent adéquatement la population.

2. L’échantillonnage aléatoire (ou probabiliste) : Obtenu par l’intermédiaire d’un mécanisme probabiliste, de sorte que l’on connaisse à l’avance la probabilité (non nulle) qu’une unité quelconque de la population soit incluse dans l’échantillon.

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Échantillonnage : Méthode

L’échantillonnage aléatoire simple

Définition : C’est un échantillon choisit de telle sorte que chaque unité de la population ait la même probabilité d’être sélectionnée dans l’échantillon et que chaque échantillon de même taille tiré de la population ait la même probabilité d’être choisi.

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Échantillon aléatoire simple

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Échantillon aléatoire simple

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Échantillon aléatoire simple

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Échantillon aléatoire simple

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Plan

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

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Statistiques et distribution d’échantillonnage

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Statistiques et distribution d’échantillonnage

Distribution d’échantillonnagePuisque les Xi sont des variables aléatoires, toute statistique est aussi une variable aléatoire et on s'intéresse a sa distribution de probabilité, appelée distribution échantillonnage.

empiriques

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

X

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

20

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

Cours Statistiques

Solution

1 1

1 2 3 6 8 11( ) ( ) 6

5

N N

X i i ii i

E X x P X x xN

2 2 2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) 6 10.8N

X i ii

Var X E X E X x P X x

( ) 6 ( ) XE X E X 210.8

( ) 5.42

XVar Xn

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

Cours Statistiques

Exemple 1

Supposons que les tailles des individus dans une population suivent une distribution normale de moyenne μ = 170 cm et de variance σ2 = 25 cm. On tire avec remise un échantillon de taille 25 de cette population. Quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 172 cm ?

Réponse : )25170 2,N(X )1

25

25170

n

2

,N(X

0.0232)P(Z1170-172

P(Z172)XP( )

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

Cours Statistiques

Exemple 2

Supposons que les tailles des individus dans une population de moyenne μ = 185 cm et de variance σ2 inconnue. On tire avec remise un échantillon de taille 36 de cette population. Sachant que la variance de cet échantillon s2 = 40, quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 187 cm ?

Réponse :

)185 2,N(X )11.136

40185

n

s2

,N(X

0.0291.897)P(Z1.0541

185-187P(Z187)XP( )

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Distribution d’échantillonnage de la variance

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 25

Distribution d’échantillonnage de la variance

Cours Statistiques 26

Distribution d’échantillonnage de la variance

Densité de probabilité de la loi de khi-deux

Cours Statistiques 27

Distribution d’échantillonnage de la variance

1. La v.a. associée à la loi de khi-deux est une v.a. continue, notée

2. La distribution de khi-deux possède une asymétrie positive.

3. La distribution de khi-deux ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté.

4. Lorsque k augmente, la distribution de khi-deux tend vers une distribution normale.

2

Quelques propriétés de la loi de khi-deux

Cours Statistiques 28

Distribution d’échantillonnage de la variance

Cours Statistiques 29

Distribution d’échantillonnage de la variance

Calcul des probabilités dans la distribution khi-deux

1. Si alors quelle est la valeur de la probabilité suivante :

2. À l’aide de la table de khi-deux trouver c dans les trois cas suivants :

215Y

71.095.0)( 24 ccP

21.2301.0)( 210 ccP

805.842

53.9008.7905.0)( 2

65

ccP

25.0)25.18( YP

Définition

Cours Statistiques 30

Distribution d’échantillonnage de la variance

Cours Statistiques 31

Distribution d’échantillonnage de la varianceDistribution d’échantillonnage de la variance

2S

Cours Statistiques 32

Distribution d’échantillonnage de la variance

Cours Statistiques 33

Distribution d’échantillonnage de la variance

2 2( ) 10.8 ( ) XE S Var X

Cours Statistiques 34

Distribution d’échantillonnage de la variance

Cours Statistiques 35

Distribution d’échantillonnage de la variance

Un échantillon de taille 51 est sélectionné de cette population. Quelle est la probabilité que la variance échantillonnale S2 soit d’au plus égale 112.66.

Réponse :2 2 2

50

(51 1) (51 1)( 112.66) ( 112.66 ) ( 56.33) 0.75

100 100P S P S P

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue)

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 37

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

Cours Statistiques 38

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

Cours Statistiques 39

Densité de probabilité de la loi de Student

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

Cours Statistiques 40

1. La v.a. associée à la loi de Student t est une v.a. continue, notée Tk

2. La distribution de Student t est symétrique par rapport à l’origine et un peu plus aplatie que la normale centrée réduite N(0, 1).

3. La distribution de Student t ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté.

Quelques propriétés de la loi de Student

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

Cours Statistiques 41

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

Cours Statistiques 42

).21( dtT

0.2528 )6864,0( TP

0.05 )721,1( TP

Calcul des probabilités dans la distribution de Student

Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne

(2 inconnue)

Cours Statistiques 45

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 46

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 47

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 48

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Densité de probabilité de la loi de Fisher

Cours Statistiques 49

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

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Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 51

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 52

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 53

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 54

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances

Cours Statistiques 55

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances