1 Initiation aux statistiques inférentielles Chapitre 1 : les échantillons Chapitre 2 : la loi...

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Initiation aux statistiques inférentielles

• Chapitre 1 : les échantillons

• Chapitre 2 : la loi normale : première loi d’échantillonnage

• Chapitre 3 : l’estimation ponctuelle et par intervalle de confiance

• Chapitre 4 : l’initiation aux tests d’hypothèse

2

INTRODUCTION

A. Les indicateurs des

échantillons

1°) Exemple 1.

2°) Exemple 2.

3°) Exemple 3.

B. Les fluctuations d’échantillonage.

1°) Objectif .

2°) Exemple.

C. Les sondages classiques

1°) Les sondages aléatoires.

2°) les sondages empiriques.

Mises en garde.

CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS

3

Si dans un échantillon de 1 000 personnes, 200 votent pour A alors est-on vraiment certain que A réalisera un score de 20 % lors de l’ élection ?

Par exemple, si le poids moyen des paquets de la production est de 250 grammes, il est

possible de trouver un échantillon de poids moyen 249 grammes

• Le comportement des échantillons est incertain :

• Troisième objectif : comparer deux (ou plus) traitements différents : en ressources humaines, peut-on

affirmer que depuis la création de la crèche d’ entreprise, le taux d’ absentéisme a baissé ; en marketing,

les ventes réalisées sont-elles différentes avec ce nouvel emballage ?

• Deuxième objectif : Vérifier si la production est conforme aux attentes ou spécifications.

• Premier objectif : Connaître les propriétés de la population dont est extrait l’ échantillon.

Les objectifs


4

Incertain et Aléatoire

• Par exemple, si le poids moyen des paquets de la production est de 250 grammes, il est possible de

trouver un échantillon de poids moyen 249 grammes mais avec quelle probabilité ?

• Autre exemple : si dans un échantillon de 1 000 personnes, 200 votent pour A alors est-on vraiment

certain que A réalisera un score de 20 % lors de l’ élection ? Avec quelle certitude ?

entre 19 % et 21 % ?

• On peut penser que, si le sondage est bien fait, A réalisera un score «autour» de 20 % mais la

question devient alors :

entre 17 % et 23 % ?

entre 10 % et 30 % ?

«il va peut-être pleuvoir» et «il y a une probabilité de 30 % qu’il pleuve»

Si je connais cette probabilité, j’adapte mon comportement et je prends ou pas mon parapluie


5

• Parmi ces trois échantillons qui suivent, y en a-t-il qui sont manifestement

gaussiens ?

• L’utilisation de la loi normale dont la caractéristique principale est sa

forme de «courbe en cloche» est fondamentale

Echantillon Gaussien


6

Gaussien ? Oui !


7

Gaussien ? Non !


8

Gaussien ? ?? ?


9

A. Les indicateurs des échantillons

1°) Exemple 1 :

Dans une PME, durant les 25 derniers jours

ouvrés, on a relevé chaque jour le nombre de

salariés en arrêt de travail :

x ni .xini

30 4 1 .........19

3 4 ......93,24

V (x) ni .xi

2ni

x 2 302 4 12 .......9 12

25 3,242

397

25 3,242 5,3824

(x) 5,3824 2,32

la variable est numérique est il est bien difficile de savoir si la représentation est proche d’une courbe en cloche

Nombre de

personnes

en arrêt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre de

jours3 4 3 5 3 2 3 1 0 1


10


2°) Exemple 2 :

Une entreprise a étudié son chiffre d’ affaires sur les derniers jours:

x ni .xini

2 0,5 12 1,5 .........37,5

2 12 ....33,868

V (x) ni .xi

2ni

x 2 2 0,52 12 1,52 .......37,52

2 12 ....3 3,8682

4110,5

250 3,8682 1,486

(x) 1,486 1,219

la variable est numérique et la représentation est proche d’une courbe en cloche

Chiffre

d’affaires[0,1[ [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[ [5,6[ [6,7[ [7,8[

Nombre de

journées2 12 40 88 65 35 5 3

On rappelle que dans le cas d’une série continue, les xi représentent alors les centres de classe


11


12


3°) Exemple 3 :

Dans ce groupe de 135 étudiants, il y a 80 filles : 51 de moins de 21 ans et 29 de plus

de 21 ans et 55 garçons : 25 de moins de 21 ans et 30 de plus de 21 ans.

80

135

51 25

135

51

51 25

Quelle est la proportion de filles ?

Elle est de

Quelle est la proportion d’ étudiants de moins de 21 ans ?

Elle est de

Quelle est la proportion de filles parmi les étudiants de moins de 21 ans ?

Elle est de

Les variables étudiées sont :

le sexe, variable qualitative

l’âge, variable quantitative mais comme l’échantillon est séparé en deux groupes , jeunes et

moins jeunes, la variable est devenue qualitative.


13

Urne :180 blanches et 20 noires

On en tire 10 .

Quelle est la probabilité d’avoir 1 noire ?

Ceci est le point de vue probabiliste .

Quelle est la probabilité d’avoir au moins 3 noires ?



14

Urne : 1000 boules

On en tire 15

Peut-on en déduire le nombre de noires dans l’urne ?

par exemple on en obtient 3 noires soit 20 %

C’est le point de vue du sondeur



15

Urne : beaucoup de boules

On en tire 15

Peut-on en déduire le nombre de noires dans l’urne ?

par exemple on en obtient 3 noires soit 20 %

C’est le point de vue du sondeur

Peut-on en déduire la proportion de noires dans l’urne ?



16

Plage avec beaucoup de grains de sable

On m’affirme 10 % de grains noirs et je prends un échantillon de 80 grains.

Je trouve non pas 8 grains noirs comme attendu mais 9.Que décider ?

C’est le point de vue du contrôleur



17

B. Les fluctuations d’échantillonage

2°) Exemple :

On considère les 5 notes obtenues par un étudiant : 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 14

a) la moyenne : m 7 8 10 1114

510

la variance : 2 72 82 102 112 142

5 102 6

l’écart-type : 6

et parmi ces 5 notes la proportion p de notes supérieure à 12 est p 1

5

Attention

Si on considère que ces 5 notes constituent la population, les indicateurs de la population sont notés :

m, , p

On va prélever dans cette population de 5 notes des échantillons de taille 2


18

Echantillon n° note 1 note 2 Moyenne VarianceEcart-type

proportion de notes supérieures à 12

1 7 7 7 0 0 02 7 8 7,5 0,25 0,5 0

3 7 10 8,5 2,25 1,5 0

4 7 11 9 4 2 0

5 7 14 10,512,2

53,5 0,5

6 8 7 7,5 0,25 0,5 0

7 8 8 8 0 0 0

8 8 10 9 1 1 0

9 8 11 9,5 2,25 1,5 0

10 8 14 11 9 3 0,5

11 10 7 8,5 2,25 1,5 0

12 10 8 9 1 1 0

13 10 10 10 0 0 0

14 10 11 10,5 0,25 0,5 0

15 10 14 12 4 2 0,5

16 11 7 9 4 2 0

17 11 8 9,5 2,25 1,5 0

18 11 10 10,5 0,25 0,5 0

19 11 11 11 0 0 0

20 11 14 12,5 2,25 1,5 0,5

21 14 7 10,5 12,25 3,5 0,5

22 14 8 11 9 3 0,5

23 14 10 12 4 2 0,5

24 14 11 12,5 2,25 1,5 0,5

25 14 14 14 0 0 1

Les 25 échantillons possibles

pour le premier échantillon :

moyenne

variance

proportion

pour le cinquième échantillon :

moyenne

variance

proportion

x1 7 7

27

s12

72 72

2 72 0

f1 0

2

x5 7 14

210,5

s52

72 142

2 10,52 12,25

f5 1

2

Attention

Si on considère que ces 2 notes constituent

un des échantillons, les indicateurs de cet

échantillon sont notés :

x , s, fRemarque : si la population était de N=7 notes et que l'on s'intéressait aux échantillons de taille 3, on aurait obtenu 73 échantillons !


19

On ne retrouve pas dans ces échantillons les indicateurs de la population.

Des outils de probabilité apparaissent rapidement :

La moyenne observée, la variance observée et la proportion observée sont aléatoires (elles

dépendent de l’ échantillon pris au hasard).

Par convention, on conserve les majuscules pour ces variables aléatoires.

moyenne de l’échantillon 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 12 12,5 14 total

pi 0,04 0,08 0,04 0,08 0,16 0,08 0,04 0,16 0,12 0,08 0,08 0,04 1

nombre d’ observations 1 2 1 2 4 2 1 4 3 2 2 1 25

Xi

L’ espérance

est E X pixi 0,04 7 0,08 8 ..... 0,04 14 10

On retrouve une propriété bien pratique pour la suite : la moyenne observée dans un échantillon est une

variable aléatoire.

cette variable aléatoire a pour espérance la moyenne de la population

m E X le même travail fait pour la variance de l’échantillon montre que la variance est aussi aléatoire mais son espérance

n’est pas la variance de la population : il faut y apporter une correction qui dépend de la taille de l’échantillon :

2 n

n 1E S2


20

C. Les sondages classiques1°) Les sondages aléatoires

Les sondages aléatoires simples : on prend au hasard dans la population un échantillon (c’ est facile sur une

fabrication en série ou sur un ensemble de chèques mais c’ est moins facile sur une population humaine : si on

réalise un sondage dans les rues piétonnes le samedi après-midi, je risque de louper des tranches considérables

de la population et de ne trouver que des jeunes et étudiants).

Les sondages par strates : chaque catégorie de la clientèle est considérée comme une population : on étudiera

par exemple la population classée suivant son âge ou bien la population classée suivant son sexe.

2°) les sondages empiriques :

La méthode des quotas : on essaie de conserver dans notre échantillon les proportions de la population : si la

population-mère contient 25 % de femmes de moins de 25 ans, on gardera 25 % de femmes de moins de 25 ans

dans notre échantillon.

• Avantages : la précision est aussi bonne que dans les échantillon aléatoires simples, le coût est faible.

• Inconvénient : il demande beaucoup de dextérité et d’ expérience pour bien relever les variables importantes : le

sexe ? l’ âge ? la CSP ? le milieu rural ou urbain ? le niveau d’ études ? la religion ? le nombre d’ enfants ? les

revenus annuels ? le nombre de salles de cinémas dans un rayon de 20 km ? (c'est une variable importante si

vous réalisez un sondage sur la fréquentation des cinémas !).

En cette période post-électorale, on pourra se demander quelles sont les variables (ou critères) utilisées pour les

sondages politiques et pourquoi celles-là. On pourrait aussi faire une enquête sur la taille des échantillons utilisés.


21

Mises en garde :

1°) On ne s’ intéresse dans la suite qu’aux sondages aléatoires simples où la taille de l’

échantillon est inférieure au dixième de la taille de la population (ce qui permet de négliger la correction

d’ exhaustivité et de pas tenir compte du sondage avec ou sans remise) .

2°) Les sondages ne peuvent s’ appliquer que sur des processus stabilisés : certains voulaient

estimer une moyenne à venir alors que l’ on connaissait les ventes des 4 mois précédents.

Oui, pourquoi pas ?

Quand j'ai su que l’ on comptait lancer une campagne promotionnelle sur ce produit, tout était fortement

déstabilisé.

Quand de plus j'ai appris que ce produit était le CD d'un groupe de musique régional (et donc soumis

aux effets de mode) j'ai renoncé!


22

On suppose que X=NOR(33 ; 5), calculer puis représenter les probabilités

p(X ≤ 38)=

Méthode 1 : 38=33+1*5 donc p(X≤38)=∏(1)=0,8413

Méthode 2 : p(X≤38)=∏((38-33)/5)=∏(1)=0,8413


p(X ≤ 27)=

Méthode 1 : 27=33-1,2*5 donc p(X≤27)=∏(-1,2)=1-∏(1,2)=1-0,8849=0,1151

Méthode 2 : p(X≤27)=∏((27-33)/5)=∏(-1,2)=0,1151

1 écart-type au dessus de la moyenne

1,2 écart-type en dessous de la moyenne

A. Prérequis : la loi normale.

1°) Les intervalles de référence.

Cas d’ un intervalle unilatéral (ayant une borne infinie) a (a)P X m

CHAPITRE 2 : LES LOIS DE L’ECHANTILLONNAGE

23

Déterminer un intervalle du type ]-∞ ; a] qui contienne 80 % de la population

La table de la page 46 donne 0,80=∏(0,840) donc

a= 33+0,840*5=37,2

L’intervalle est donc ]-∞ ; 37,2]

15 % de la population

La table de la page 46 donne 0,15=∏(-1,040) donc

a= 33-1,040*5=27,8

L’intervalle est donc ]-∞ ; 27,8]

La table de la page 46

donne 0,95=∏(1,96)La table de la page 46

donne 0,90=∏(1,65)La table de la page 46

donne 0,05=∏(-1,96)

Cas d’ un intervalle unilatéral

Les pourcentages classiques


24


• p(28 ≤ X ≤ 38)

On remarque que 28=33- 1 *5 et que 38=33+ 1 *5.

cet intervalle est centré sur la moyenne et il y a un écart-type de part et d’autre de la moyenne

p(28 ≤ X ≤ 38)= 2∏(1)-1=2*0,8413-1=0,6826

• p(23 ≤ X ≤ 43)On remarque que 23=33-2 * 5 et que 38=33+ 2 *5.

cet intervalle est centré sur la moyenne et il y a deux écarts-type de part et d’autre de la moyenne

p(23 ≤ X ≤ 33)= 2∏(2)-1=2*0,9772-1=0,954

• p( 30 ≤ X ≤ 42)On remarque que 30=33-0,6*5 et que 42=33+1,8*5.

cet intervalle n’est pas centré sur la moyenne et il faut revenir aux outils classiques :

p 30 X 42 p(X 42) p(X 30)

p(X 42) p(X 30) 42 33

5

30 33

5

42 33

5

30 33

5

1,8 0,6

1,8 0,6 1,8 1 0,6 0,9641 1 0,7258 0,6899

Cas d’ un intervalle bilatéral


25

Si X NOR(m ; )

Si k est un réel positif

alors k.X NOR(k.m ; k. )

Si X1NOR(m1; 1)

Si X2NOR(m2; 2)

Si X1 et X2 indépendantes

Si Y X1X2

alors Y NOR m1m2; 122

2

2°) Les propriétés de la loi normale

a) Théorème 1:

Exemple : Une entreprise vend quotidiennement deux produits A et B. Les ventes de A et B sont

indépendantes et suivent des lois normales de moyennes respectives 100 et 120 et d’écarts-type

respectifs 30 et 40.

Quelle est la loi suivie par Q, quantité de produits vendues quotidiennement ?

b) Théorème 2 : la somme de 2 lois normales indépendantes est une loi normale dont la moyenne est la somme

des moyennes et la variance est la somme des variances.

Quelle est la probabilité que Q soit supérieure à 250 ?

XANOR(100; 30)

XBNOR(120; 40)

XA et XB indépendantes

QXAXB

alors Q NOR 100120; 302402

NOR 220;50

p Q 250 1 p Q 250 1 250 220

50

1 (0,6) 0,2743


26

Si

Xi

NOR(m, ) pour 1 i n

Xi indépendantes

X X1

X2

... Xn

alors

X NOR(m ', ')

m ' nm

' n.

Corollaire : La somme de lois normales indépendantes de mêmes moyennes et de mêmes écarts-type est une loi

normale dont la moyenne est la somme des moyennes et la variance est la somme des variances.

Exemple : Les ventes quotidiennes pour un certain produit sont indépendantes et peuvent être approchées par une loi

normale de paramètre 120 et 30. On dispose d’ un stock de 2500 objets.

a) Quelle est la probabilité que le stock soit épuisé en 20 jours ?

Les ventes totales en 20 jours est bien une variable aléatoire notée VT.

VT est la somme de 20 lois normales de même moyenne (120) , de même écart-type (30) et indépendantes.

D’après le théorème :

VT NOR 20 120, 20 30 NOR(2 400;134)

Le stock est épuisé si les ventes VT ont dépassé ce stock :

p VT 2500 1 2500 2400

134

1 (0,75) 1 0,7737 0,2263


27

La table de la page 46 donne 0,99=∏(2,330)

b) Si on ne tolère la rupture de stock qu’avec une probabilité inférieure à 1 %, au bout de combien de jours doit-

on réapprovisionner ce stock ?

On cherche le stock inconnu (que l’on va noter x) tel que la probabilité que les ventes soient supérieures aux stocks

soit inférieure à 1%.

ou par événement contraire tel que la probabilité que les ventes soient inférieures aux stocks soit supérieure à 99 %

p VT x 0,99 x 2400

134

0,99

x 2400

134

(2,330) x 2400

1342,330 et x 2400 134 2,330 2712,2 On prévoira un stock de 2713 objets


28

Si X1NOR(m1; 1)

Si X2NOR(m2; 2)


Si Y X1 X2

alors Y NOR m1 m2; 122

2

c) Théorème 3 : la différence de 2 lois normales indépendantes est une loi normale dont la moyenne est la

différence des moyennes et la variance est la somme des variances.

Exemple : Une entreprise vend quotidiennement deux produits A et B. Les ventes de A et B sont indépendantes

et suivent des lois normales de moyennes respectives 100 et 120 et d’écarts-type respectifs 30 et 40.

Quelle est la probabilité, un jour fixé, de vendre plus de A que de B ?

On cherche la probabilité que VA soit supérieure à VB c’est à dire

p(VA≥VB)

C’est aussi p(VA-VB≥0)

Notons D=VA-VB alors, d’après le théorème

VANOR(100; 30)

VBNOR(120; 40)

VA et VB indépendantes

Si DVA VB

alors D NOR 100 120 ; 302402

NOR 20 ; 50

p D 0 1 0 ( 20)

50

1 0,4 0,3446

2°) Les propriétés de la loi normale


29

Si

Xi

var iables de même

moyenne m et d’ écart type pour 1 i n

Xi indépendantes

X X1

X2

... Xn

Si n 30

alors

X NOR(m’,’)

m’ nm

' n.

3°) Théorème central limite :

a) Le Théorème : La somme de beaucoup de lois indépendantes de mêmes moyennes et

de mêmes écarts-type peut être approchée par une loi normale dont la moyenne est la somme des

moyennes et la variance est la somme des variances

Ce théorème est un des théorèmes de référence des statistiques inférentielles cependant il faut bien

noter les nuances (importantes) par rapport au théorème vu précédemment :

Les lois utilisées ne sont pas nécessairement normales.

Il faut que l’on additionne beaucoup de lois ( au moins 30)

On a seulement une approximation

b) Exercice de référence : Sur un site internet, on sait que le nombre de visites par minute

a pour moyenne 20 et pour écart-type 30.

1°) Quelle est la loi suivie par le nombre de visites sur une journée de 24 heures soit 1440 minutes ?

On peut considérer que les minutes sont indépendantes alors le théorème central limite donne :

VT NOR 1440 20 ; 1440 30 NOR(28800 ;1138)


30

2) On considère une journée de 1440 minutes qui est la base (ou l’échantillon) pour réaliser une

étude statistique sur le nombre de visites par minute. et en particulier sur le premier indicateur

classique : la moyenne.

Pourquoi la moyenne par minute est-elle une variable aléatoire ?

• La moyenne observée dépend de l’échantillon (qui est pris au hasard), elle est donc aléatoireet se note avec une majuscule.

• Pour calculer une moyenne, il suffit de tout additionner et de diviser par le nombre d’observations

donc :V

VT

1440

1

1440VT

1

1440NOR(28800 ;1138)

V NOR28800

1440;1138

1440

NOR 20 ; 0,79

Donner un intervalle bilatéral qui contienne 90 % des valeurs de cette moyenne.

• Si on cherche un intervalle centré sur la moyenne qui contient un pourcentage ß de la population alors cet intervalle sera du type I=[m-a.s ; m+a.s] avec 2∏(a)-1=ß Ici ß=0,90 donc 2∏(a)-1=0,9 et ∏(a)=0,95. La table donne a=1,65L’intervalle sera donc I= [20-1,65.0,79 ; 20+1,65.0,79]

• L’interprétation est intéressante : dans 90 % des échantillons d’une durée d’une journée, le nombre

moyen de visiteurs par minute sera compris entre 18,70 et 21,30.



31

c) Un corollaire : approximation d’ une loi binomiale par une loi normale :

Si XBIN(n;p)

Si n30

Si np5

Si n(1 p)5

alors XNOR(np; np(1 p))

Exemple : dans une région de 100 000 habitants, 20 % des personnes votent pour A.

On prend un échantillon de 852 personnes et X est la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de personnes

qui votent pour A.

• X est une loi hypergéométrique :

• Première approximation de X :Comme la taille de la population est au moins 10 fois supérieure à la taille de l’échantillon ( N≥10n), on peut approcher X par une loi binomiale :

• Deuxième approximation de X : Comme n=852 est supérieur ou égal à 30 et np=852*0,20=170,4 est supérieur ou égal à 5, cette loi binomiale peut être approchée par une loi normale :

X HYP 100000 ; 852 ; 0,20

X BIN(852;0,20)

X NOR 852 0,20; 852 0,20 (1 0,20) NOR 170,4;11,68



32

Soit F la variable aléatoire qui prend pour valeurs le pourcentage observé de personnes qui votent pour A dans l’

échantillon. Quelle est la loi de F ?

• F est la proportion observée donc c’est bien le rapport entre le nombre de cas favorables dans l’échantillon (X) et

le nombre de personnes dans l’échantillon donc

Calculer p(F≥0,22) et interpréter le résultat trouvé

F X

852

1

852NOR 170,4;11,7 NOR (0,20;0,0137

p F 0,22 1 0,22 0,20

0,0137

1 1,46 0,0721

• On a donc environ 7,2 % de chances de trouver un échantillon de 852 personnes qui contiendra plus de 22 % pour A alors que ce pourcentage n’est que de 20 % dans la population.



33

X X1 X2 ....... Xn

n

1

nX1 X2 ....... Xn

• En utilisant le théorème central limite, si n≥30,

X 1

nX1 X2 ....... Xn

1

nNOR n.m; n . NOR

nm

n;

nn

NOR m;

n

• Remarque : si l’échantillon est de taille inférieure à 30 mais chacune des lois est normale, alors le corollaire sur

la somme de lois normales s’applique

Attention :

• Il faut que l’écart-type de la population soit connu.

• Si l’échantillon est de taille inférieure à 30 et si nous ne savons pas si cet échantillon est gaussien,

le théorème ne peut s’appliquer

B. Loi suivie par la moyenne d’ un échantillon prélevé dans une population d’écart-type σ connu.

n

Théorème : Si n≥30 ou si l’ échantillon est gaussien, la moyenne de cet échantillon de taille n prélevé dans une

population de moyenne m et d’ écart-type σ suit une loi normale de paramètres m et

Démonstration :


34

Exercice 1 : Dans une population de moyenne 85 et d’ écart-type 12, on prélève un échantillon de taille 50.

Quelle est la probabilité d’observer un échantillon de moyenne inférieure à 82 ?

Déterminer un intervalle du type ]-∞; a] qui contienne 95 % des moyennes des échantillons de taille 50.

• On a alors ∏(a)=0,95 et la table donne a=1,65

• Cet intervalle sera :

Déterminer un intervalle de centre 85 qui contienne 95 % des moyennes des échantillons de taille 50.

• On cherche un intervalle centré sur la moyenne qui contienne un pourcentage α=95 % alors 2∏(a)-1=0,95 et ∏(a)=0,975 donc a=1,96.

• Cet intervalle sera :

• D’après le théorème précédent, l’échantillon est de taille supérieure à 30, la population est d’écart-type connu donc :

X NOR m;n

NOR 85;12

50

p X 82 82 85

12

50

1,77 1 1,77 0,038

I 85 1,9612

50;85 1,96

12

50

81,67;88,33

I ;85 1,6512

50

;87,80


35

Démonstration :

La fréquence observée (dans l’échantillon) est bien le nombre de cas favorables divisé par la taille de

l’échantillon.

Cette fréquence, notée F, est aussi une variable aléatoire

Appelons X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de cas favorables observé dans

l’échantillon.

• X est une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p.

• X peut être approchée par une loi binomiale de paramètres n et p

• X peut être approchée par une loi normale car on a supposé que l’échantillon est grand.

X NOR np; np(1 p) F

1

nX

1

nNOR np; np(1 p) NOR

np

n;

np(1 p)

n

NOR p;

p(1 p)

n

C. Loi suivie par la fréquence d’ un grand échantillon.

p(1 p)

n

Théorème : La fréquence dans un grand échantillon prélevé dans une population de proportion p suit une loi

normale de paramètres p et


36

Exercice 1: Dans une population, 20 % des individus sont de type B. On prélève un échantillon de taille 210.

Est-il possible d’ observer un échantillon où la fréquence observée d’ individus de type B est inférieure à 15 % ?

• Pourquoi pas !Si oui, avec quelle probabilité?

Déterminer un intervalle du type ]-∞ ; a] qui contienne 95 % des fréquences observées dans des

échantillons de taille 210.

Déterminer un intervalle de centre 20 % qui contienne 95 % des fréquences observées dans des

échantillons de taille 210.

• Nous avons vu précédemment que l’intervalle centré sur la moyenne qui contient 95 % de la

population pour une loi normale était obtenu avec 1,96 écart-type donc

F NOR p;p(1 p)

n

NOR 0,20;

0,20 0,80

210

NOR 0,20;0,0276

p F 0,15 0,15 0,20

0,0276

1,81 1 1,81 0,035

I 0,20 1,960,20 0,80

210;0,20 1,96

0,20 0,80

210

0,146;0,254

• Interprétation : nous savons (avant de prélever l’échantillon) que, dans 95 % des échantillons, le pourcentage observé sera compris entre 14,5 % et 25,5 %

• Comme précédemment, l’intervalle sera : I ;0,20 1,650,20 0,80

210

;0,246


37

Bien entendu, on ne pourra pas donner des probabilités sur ces valeurs car ce ne sont pas des variables aléatoires,

elles sont fixes et dépendent de la population.

On définira alors des intervalles de confiance.

ATTENTION : On distinguera nettement les indicateurs de l’ échantillon et les indicateurs de la population

Nos conventions sont résumées par le schéma suivant

PRESENTATION DU PROBLEME :

PopulationTaille N ?Moyenne m ?Ecart-type σ ?Proportion p ?

EchantillonTaille nMoyenne Ecart-type sProportion f

x

CHAPITRE 3 : L’ESTIMATION

On connaît les caractéristiques f ou et s d’ un échantillon, on voudrait en déduire des caractéristiques p et m et de la population.x

38

A. Estimations ponctuelles

Quelques exemples de «biais statistiques» :

Un premier biais statistique est connu par les sondeurs politiques : l’expérience a montré que lors de

sondages, certains électeurs n’osent pas «avouer» leur préférence.

Ainsi, à l’aide de l’expérience, les sondeurs corrigent ce biais en ajoutant environ 3 % à ce parti politique :

Si dans l’échantillon, ce parti est à 11 % alors les instituts de sondage l’affichent à 14 % !.

D’autres biais statistiques apparaissent dans les sondages, ces biais statistiques peuvent être corrigés de

deux façons : à la louche comme au dessus ou bien à l’aide de définitions mathématiques

1°) Usage : si g est un indicateur que l’ on veut connaître par sondage, on note ĝ la meilleure estimation de g.

Cette estimation s’ appuie sur la valeur observée dans l’ échantillon.

ˆ m

m xE(X) m

2°) Estimation ponctuelles usuelles

Pour m : On sait, d’ après le chapitre 1, que alors la meilleure estimation de m ( que l’ on notera ) est

E(F) p pp f

Pour p : On sait, d’ après le chapitre 1, que alors la meilleure estimation de p ( que l’ on notera )

est

E(S2 ) n 1

n 2

ˆ n

n 1 . s

Pour σ : On sait, d’ après le chapitre 1, que alors la meilleure estimation de σ (que l’ on notera )

est


39

Exemple :

Dans une production de paquets de café, on prélève un échantillon de taille 50. Dans cet échantillon de taille 50,

la moyenne observée est 248 grammes, l’écart-type observé est de1,2 gramme et un paquets sur les 50 pèsent

moins de 245 grammes.

Donner des estimations ponctuelles de la masse moyenne d’un paquet de café, de l’écart-type de la masse d’un

paquet de café et de la proportion de paquets de café pesant moins de 245 grammes

• D’après les formules précédentes , on a

m x 248

n

n 1s

50

491,2 1,212

p f 1

50



40

Problème de fiabilité :

Illustration : Supposons que dans la production, la proportion de paquets de café défectueux soit de 4 %. Prenons

un lot de 50 paquets de café et X est la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de défectueux dans le

lot.

• X suit une loi hypergéométrique : X=HYP(N ; 50 ; 0,04)

• X peut être approchée par une loi binomiale : X=BIN(50 ; 0,04)

• X peut être approchée par une loi de Poisson : X=POI(2) en effet n est grand ( ≥30) et np est petit (≤5)

A l’aide de la table de la loi de Poisson de paramètre 2, comparons les probabilités d’avoir dans ce lot 1 défectueux,

puis 2. k 0 1 2 3 4 5p(X=k) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361

p(X=1)=0,2707

p(X=2)=0,2707

Conclusion : il y avait autant de chances d’avoir 1 paquet défectueux que d’avoir 2 paquets défectueux.

Réciproquement, supposons que la proportion dans la population n’est pas connue ( c’est bien le principe de

l’estimation) et que le sondeur ait la même probabilité d’avoir 1 défectueux que 2 alors l’estimation ponctuelle peut

prendre plusieurs valeurs :

dans le premier cas j’aurais dit que la proportion estimée est de 1 sur 50 soit 2 %

dans le deuxième cas, j’aurais dit que la proportion estimée est de 2 sur 50 soit 4 %

Enfin p(X=5)=0,0361

Enfin, il était possible d’avoir 5 paquets défectueux (probabilité de 0,036) et dans ce cas , j’aurai déclaré que la

proportion estimée est 5 sur 50 soit 10 %.



41

B) Estimation par intervalle de confiance d’ un indicateur statistique :

Stratégie :

On a vu dans le chapitre précédent, les indicateurs statistiques des échantillons sont aléatoires (ils

dépendent de l’ échantillon pris au hasard) et suivent les lois d’ échantillonnage.

Appelons l’ indicateur Ge de l’ échantillon correspondant à l’ indicateur gp de la population. On sait que

Ge est une variable aléatoire.

Si gp est connu, alors il y a une probabilité α que l’ indicateur Ge soit dans un intervalle de centre gp

c’est à dire :

e p eG g G

p e pP g G g

C’est à dire que la distance entre gp et Ge est inférieure à ∆ avec une probabilité α.

Et donc, on peut mesurer la distance entre gp et Ge.

On obtient donc un encadrement du type

La stratégie de l'estimation par intervalle de confiance est de remplacer la variable aléatoire Ge par la valeur

observée dans l'échantillon notée ge.

α n’ est plus une probabilité car gp n’est pas aléatoire, α est appelé niveau de confiance


42

Comment faire en pratique ? L’ énoncé donne les caractéristiques de l’ échantillon : sa taille, sa moyenne,

son écart-type et la proportion observée

Dans une population normale d’écart-type 9, on a prélevé un échantillon de taille 51 et de moyenne observée

30 . Donner un intervalle de confiance de la moyenne de la population au niveau de confiance 82 %

Première étape : On donne les estimations ponctuelles. m x 30Deuxième étape : On construit l’intervalle de confiance

a) On donne la loi suivie par l’indicateur de l’échantillon. X NOR m;n

NOR m;9

50

b) On donne, sous forme d’ encadrement, un intervalle centré qui contienne un pourcentage α= 82 % des

indicateurs de l’ échantillon.

2∏(a)-1=0,82

2∏(a)=1,82

∏(a)=0,91

a=1,340

m 1,3409

50X m 1340

9

50

On permute dans cet encadrement l’indicateur de la population et celui de l’échantillon avec les propriétés des

encadrements

X 1,3409

50m X 1,340

9

50c) Enfin on remplace dans cet intervalle la variable aléatoire de l’échantillon par la valeur estimée.

30 1,3409

50m 30 1,340

9

50IC(m; 82%) 28,29 ; 31,71

Interprétation : la valeur de m cherchée est comprise entre 28,29 et 31,71 avec une méthode fiable à 82 %


m est inconnue


43

Exercice 1 : Dans une population normale d’ écart-type 38, on a prélevé un échantillon de taille 15, de moyenne

observée 30. Donner un intervalle de confiance de la moyenne de la population au niveau de confiance 98 %.

Estimation ponctuelle : m x 30

X NOR m;n

NOR m;38

15

b) 2∏(a)-1=0,98

2∏(a)=1,98

∏(a)=0,99

a=2,33

m 2,3338

15X m 2,33

38

15

X 2,3338

15m X 2,33

38

15

c) Enfin on remplace dans cet intervalle la variable aléatoire de l’échantillon par la valeur estimée.

30 2,3338

15m 30 2,33

38

15IC(m; 98%) 7,14 ; 52,86

Commentaires : pourquoi un intervalle aussi large :

• A cause de l’écart-type de la population (grand)

• A cause du niveau de confiance élevé

• A cause de la taille de l’échantillon ( petite)


Intervalle de confiance de m au niveau de confiance 98 % :

a) Loi suivie par : X m est inconnue


44

Exercice 2 : Dans une population, on a prélevé un échantillon de taille 200, et parmi ces 200 individus, 48 possède

une caractéristique notée C. Donner un intervalle de confiance de la proportion d’ individus présentant la

caractéristique C dans la population au niveau de confiance 94 %.

• Estimation ponctuelle :

• Intervalle de confiance de p au niveau de confiance 94 % :

a) Loi suivie par F :

b) Intervalle de centre p qui contient 94 % des valeurs de F :

c) Intervalle de confiance de p :

Par permutation :

p f 48

2000,24

F NOR p ;p(1 p)

n

NOR p ;

p(1 p)

200

2∏(a)-1=0,94

2∏(a)=1,94

∏(a)=0,97

a=1,88

p 1,88p(1 p)

200F p 1,88

p(1 p)

200

F 1,88p(1 p)

200pF 1,88

p(1 p)

200

On sait que l’on remplacera F par la valeur observée dans l’échantillon mais p est inconnue. Deux stratégies s’opposent :

- la première, très rigoureuse, utilise le fait que pour toute valeur de p entre 0 et 1 et on a alors :p(1 p) 0,5

F 1,880,5

200pF 1,88

0,5

200

- la deuxième remplace la valeur de p par son estimation ponctuelle : c'est la méthode fréquemment utilisée

F 1,88p(1 p)

200pF 1,88

p(1 p)

200

- Premier cas :

- Deuxième cas :

IC p;94% 0,24 1,880,5

200;0,24 1,88

0,5

200

0,175;0,305

0,24 0,76 0,24 0,76( ;94%) 0,24 1,88 ;0,24 1,88 0,184;0,296

200 200IC p


45

Exercice 3 où il y danger : Dans une population normale, on a prélevé un échantillon de taille 300, de moyenne 51 et

d’ écart-type 9. Donner un intervalle de confiance de la moyenne de la population au niveau de confiance 95 %.

Estimation ponctuelle :

Si l’échantillon est grand et si l’écart-type de la population est inconnu, on démontre que l’ on peut

utiliser l’estimation ponctuelle de cet écart-type.

m x 51

Intervalle de confiance de m au niveau de confiance 95 % :

a) Loi suivie par : X NOR m;n

NOR m;15

Attention : l’écart-type de la population n’est pas donné, on donne l’écart-type de l’échantillon !b) 2∏(a)-1=0,95

2∏(a)=1,95

∏(a)=0,975

a=1,96

m 1,96300

X m 1,96300

Par permutation : X 1,96300

m X 1,96300

c) Enfin on remplace dans cet intervalle la variable aléatoire de l’échantillon par la valeur estimée.51 1,96

300

m 511,96300

51 1,96300

m 511,96300

n

n 1s

300

2999 9,015

51 1,969,015

300m 511,96

9,015

300 ( ;95%) 49,98;52,02IC m


46

L'estimation par intervalle de confiance sous un aspect pédagogique :

Dans la dernière minute du cours d'amphi, demander aux 140 étudiants présents le travail suivant pour la prochaine fois :

Lancer 100 fois une pièce de monnaie (la même, par exemple de 1€) et de noter la série de résultats obtenus sous la forme P, F, P,

F, F....

Lors du cours suivant, vérifier que tout le monde l' a fait (et faire confiance), passer un léger savon à ceux qui ont recopié ou fait

ensemble (Comme il y avait 2100 ≈1,26×1030 séries possibles, quelle est la probabilité d'avoir le même résultat que le voisin ?)

Demander aux étudiants de compter le nombre de piles obtenus, puis de calculer la fréquence de piles obtenus noté f)

Calculer les bornes de l'intervalle

Attention aux parenthèses !

J'affirme alors que 90 % des étudiants ont la valeur 0,5 dans cet intervalle et donc que 10 % n'ont pas la valeur 0,5 dans cet

intervalle.

Je demande aux 14 attendus (soit 10 % de 140) de lever la main.

Je constate que je ne suis pas loin des 14.

Remarques : je n'ai pas travaillé avec les 2100 échantillons mais avec seulement 140 (mais statistiquement, ces deux nombres sont

grands).

Définition : Je constate que 90 % des intervalles construits de cette façon contiennent la vraie valeur de p : j'ai construit un intervalle

de confiance de p avec un niveau de confiance de 90 %.

Enfin, on peut recommencer avec les 50 premiers lancers (on divise par 50) et constater que les résultats restent vrais mais

l'amplitude de l'intervalle est plus large.

L'expérience a montré que cela reste valable avec des effectifs plus petits ( on peut même descendre à 20 étudiants, en prenant un

peu de marge : entre 1 et 3 n'auront pas la vraie valeur de p dans leur intervalle).

f 1,65 f (1 f )

100; f 1,65

f (1 f )

100


47

CHAPITRE 4 : L’INITIATION AUX TESTS D’HYPOTHESES

48

Premier exercice de référence :

Un médecin sait que chez les personnes en bonne santé, le taux X de .. suit une loi normale de paramètre 1,5 et

0,4. Dans sa pratique, il a décidé que si le taux observé chez un patient est inférieur ou égal à 2,2 alors il déclare

ce patient non malade.

Question 1 : Un patient en bonne santé se présente, quelle est la probabilité que le médecin ne le déclare pas

malade ?

En rendant sa décision, le médecin a commis un risque dit de 1° espèce noté α : c’est la probabilité que le médecin

le déclare malade alors qu’il ne l’est pas ( le patient est en bonne santé)

Quelle est la probabilité qu’il soit déclaré malade ?

T NOR(1,5;0,4)

P T 2,2 2,2 1,5

0,4

1,75 0,96

p T 2,2 0,04


49

En fait, ce médecin ne sait pas que pour un malade, ce taux suit une loi normale de paramètre 2,5 et 0,4.

Question 2 : Un patient malade se présente. quelle est alors la probabilité que le médecin le déclare non malade ?

En rendant sa décision, le médecin a commis une erreur dite erreur de 2° espèce notée ß : c’est la probabilité de le

déclarer pas malade alors qu’il l’est.

La puissance du test est 1-ß=77 %

T ' NOR 2,5;0,4 p T ' 2,2 2,2 2,5

0,4

0,75 1 0,75 0,23


50

Décision

Etat de santé inconnu

Pas de symptôme symptôme

pas maladeOK α = probabilité de rejeter H0 alors

queH0 est vraie

maladeß = probabilité d’accepter H0 alors que H1 est vraie

OK

Codage des informations :

H0 : t 1,5 ; H1 : t 2,5

En fait, si l’information initiale pour un patient non malade est correcte, l’affirmation pour un malade est sujette à

caution et d’autres affirment que pour un malade, ce taux suit alors une loi normale de paramètres 2,8 et 0,3.

Quelle est alors le risque de 2° espèce ? Quelle est la puissance du test ?

T ' NOR 2,8;0,3 p T ' 2,2 2,2 2,8

0,3

2 1 2 0,02

Le risque de 2° espèce est de 2 %

La puissance du test est de 98 %

H0 : t 1,5 ; H1 : t 2,8


51

Deuxième exercice de référence :

Une pièce m’est affirmée bien équilibrée. Je décide de la lancer 100 fois et si elle tombe entre 45 et 55 fois sur pile,

j’accepte l’affirmation.

X est la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de fois où pile apparait sur les 100 lancers.

Quelle est la loi de X ?

Donner une approximation de X.

Quel est le risque de 1° espèce ?

C’est la probabilité de rejeter l’affirmation alors qu’elle

est vraie c’est-à-dire si le nombre de pile obtenus n’est

pas compris entre 45 et 55 :

α= 1- 0,68=0,32

Quelle est la probabilité que j’accepte l’affirmation ?

X BIN 100;1

2

X NOR 100 1

2; 100

1

2 1

1

2

NOR 50 ; 5

p 45 X 55 2 1 1 0,68


52

La personne qui m’ a donnée cette pièce sait que en fait la probabilité qu’elle tombe sur pile est 1/3.

Y est la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de fois où pile apparait sur les 100 lancers.

Quelle est la loi de Y ?

Le risque de 2° espèce est 0,007

La puissance du test est 0,993

Donner une approximation de Y.

Y BIN 100;1

3

Y NOR 100 1

3; 100

1

3 1

1

3

NOR 33,3; 4,71

p 45 Y 55 55 33,3

4,71

45 33,3

4,71

4,61 2,48 1 0,993 0,007

Codage des informations : H0 : p 1

2; H1 : p

1

3La pièce n’est pas truquée ; la pièce est truquée

Décision

Etat de la pièce

Pas truquée Truquée

Pas truquée OK α=0,32

Truquée ß=0,007 OK


53

Généralisation :

• Le risque de 1° espèce est donné par énoncé : en général 10 %, 5% ou 1%.• L’hypothèse nulle notée H0 est celle qui permet de faire les calculs et de construire un intervalle de décision I.

• Je décide :Soit la valeur observée dans l’échantillon est dans I et j’accepte H0 ( avec un risque ....Soit la valeur observée dans l’échantillon n’est pas dans I et je rejette H0 (avec un risque α)

En réalité, nous n'avons qu'une seule envie : celle de rejeter H0 mais parfois l'échantillon ne me permet pas de la rejetter alors, contraint et forcé, j'accepte H0

• Bien souvent, l’hypothèse alternative H1 n’est pas explicite et on se contentera de la négation

de H0 et en ce cas, on n'étudiera plus le risque de seconde espèce ni la puissance du test.

La phrase-type associée est alors : « Si H0 est vraie alors dans 90 % (ou 95 % ou 99%) des

échantillons l'indicateur statistique observé est dans I »


54

B. Deux exercices classiques

1°) Test bilatéral ou unilatéral ?

Le test bilatéral teste une égalité contre une différence mais il peut présenter certaines difficultés :

Si par exemple, on me promet dans une production moins de 8 % de défectueux, je serai contraint avec

bon sens d’ accepter toutes les livraisons avec un pourcentage inférieur à 8 % (et même 0 % qui est très loin de

l’affirmation !) et je devrai même accepter les livraisons où le pourcentage est “légèrement” supérieur à 8 %.

Ou bien, cette étiquette :

Ce qui est écrit n’est pas la valeur exacte: c’est une valeur promise pour la moyenne par le fabricant,

cependant, si à des fins de contrôle, un échantillon affiche une moyenne de 800 g, je ne vais pas me fâcher !

• On se souviendra que l’égalité doit se trouver dans l’hypothèse nulle.

• On se souviendra aussi que si on veut tester l’affirmation «l’écart-type est inférieur à 8», il faut entendre

«l’écart-type est significativement inférieur à 8 (au risque de ...%)»


55

Le sens statistique de significatif :

Première approche : Un hypermarché a étudié les ventes quotidiennes d'un produit et a on a observé une moyenne

quotidienne de 50 produits.

Le fournisseur décide de changer l'emballage (dans quel but ?) et lors des 30 jours suivants, la moyenne

quotidienne observée est de 52 produits.

On peut se demander si 52 est vraiment loin de 50 et on pourrait en déduire que la différence n'est pas significative.

Si par contre, la moyenne de ces 30 jours était passée à 94, on pourrait penser qu'elle l'est.

Cependant :

On sait qu'une moyenne est souvent un outil insuffisant et qu'il faut lui associer l'écart-type.

On travaille sur un échantillon de 30 jours et les clients n'étaient peut être pas d'humeur et un autre échantillon

aurait pu donner une autre moyenne observée que 52.

On sait que le comportement des indicateurs des échantillons est aléatoire, que l'on peut y associer des lois et

donc calculer des probabilités ( et des risques)


56

Donner la loi suivie par cet indicateur statistique en rappelant les conditions d’application.

Schéma :

X NOR m;

n

NOR 30;0,1

10

• L’échantillon n’est pas de taille supérieure à 30 mais la population est supposée normale.• L’écart-type de la population est connu.

Le risque est 5 % et l’hypothèse alternative contient le signe ≠ donc l’intervalle est bilatéral

2∏(a)-1=0,95 donc 2∏(a)=1,95 donc ∏(a)=0,975 et a=1,96

Dans 95 % des échantillons, la moyenne observée vérifie

30 1,960,1

10X 30 1,96

0,1

10donc 29,938 X 30,062

L’intervalle de décision est donc I=[29,938 ; 30,062]

Décision : la moyenne observée (de 29,95 l) est dans I et j’accepte H0 avec un certain risque ß que H0 soit fausse. En fait j'accepte

H0 parce que je ne peux pas la rejetter !

2°) Exercice 1 : Une étude a été réalisée auprès de quelques stations-services sur des pleins de 30 litres et dans l’ une d’elle, on a

réalisé 10 pleins de 30 litres et on a relevé sur ces pleins une moyenne de 29,95 litres. On sait que l’écart-type est de 0,1 litre. On sait

que le volume distribué suit une loi normale. On veut tester différentes affirmations au risque de 5%

a) Le gérant de la station service affirme que la moyenne est de 30 litres. Sur quel indicateur statistique est posée la question ?

• La question est posée sur la moyenne des pleins.

Ecrire les deux hypothèses H0 et H1.

• H0 : m=30 ; H1 : m≠30


57

b) Une association de consommateurs affirme que la moyenne est inférieure à 30 litres.


• H0 : m<30 ; H1 : m≥30Une difficulté apparait ici : le signe = doit se trouver dans H0

On est obligé de permuter les hypothèses :

• H0 : m≥30 ; H1 : m<30

• H0 : m=30 (et m>30) ; H1 : m<30

Le risque est 95 % et l’hypothèse alternative contient le signe < donc l’intervalle est unilatéral : il contient une borne

infinie.

Laquelle ? +∞ ou -∞

Ici, c’est +∞ car on accepte ≥

∏(a)=0,95 donc a=1,65

Dans 95 % des échantillons, la moyenne observée vérifie

30 1,650,1

10X donc 29,947 X

L’intervalle de décision est donc I=[29,947 ; +∞[

Décision : la moyenne observée (de 29,95 l) est dans I et j’accepte H0 m≥30 (ou plus exactement, je

ne peux pas la rejetter).

Je ne peux pas accepter le point de vue des consommateurs qui déclaraient m<30

2°) Exercice 1 :


58

c) les textes prévoient que la moyenne soit supérieure ou égale à 30 litres.


• H0 : m≥30 ; H1 : m<30

• H0 : m=30 (et m>30) ; H1 : m<30

•Les hypothèses sont inchangées par rapport au b) et l’intervalle de décision aussi :

L’intervalle de décision est donc I=[29,947 ; +∞[

Décision : la moyenne observée (de 29,95 l) est dans I et j’accepte H0 m≥30. ( en fait, je ne peux rejetter H0)

Commentaire : avec une moyenne sur l’échantillon de 29,95 litres, le gérant ne peut être pénalisé : il est conforme au

texte (au risque de 5 %).

Certaines enseignes réussissent ainsi à gagner 0,05 litre par plein

(et 150 000 pleins par an !)

d) Pour conclure

On constate que le choix de l'hypothèse nulle n'est pas sans conséquence et l' association de consommateurs pourraient

émettre l'hypothèse H0: m ≤ 29,9 et le calcul montre que H0 est acceptée (ou plus exactement, je ne peux pas la rejeter)

Le cas le plus classique est donné par l'usine de traitement de déchets radioactifs de la Hague :

Pendant de nombreuses années, cette usine a rejeté de l'eau en bas de la falaise et les riverains et les écologistes l'ont

soupçonné

de favoriser le développement de certains types de cancers (il y en avait plus dans la région que dans d'autre régions)

mais au sens statistique, la différence n'était pas significative (au risque de 1 % souvent utilisé en médecine).

Depuis, cette usine a construit un long tuyau de plus d'un kilomètre lui permettant de rejeter ses effluents beaucoup plus

loin en mer ...


59

3°) Exercice 2 : « Ce nouveau procédé de fabrication va nous permettre de modifier la proportion d’ objets

défectueux qui est aujourd’hui de 3 % »

Sur 300 nouveaux objets testés, 10 sont défectueux. Décider au risque de 5% suivant les 3 points de vue

•le point de vue de l’installateur de la machine qui prévoit une diminution.

•le point de vue du sceptique : gestionnaire de l’entreprise qui prévoit une augmentation

•le point de vue de l’indifférent.

Sur quel indicateur statistique est posée la question ?

La question est bien posée sur une proportion de pièces défectueuses


On rappelle que pour la fréquence observée dans un échantillon de taille supérieure à 30 :

F NOR p ;p(1 p)

n

NOR 0,03;

0,030,97

300

a) H0 : p<0,03 ; H1 : p≥0,03 H0 : p≥0,03 ; H1 : p<0,03

b) H0 : p>0,03 ; H1 : p≤0,03 H0 : p≤0,03 ; H1 : p>0,03

c) H0 : p=0,03 ; H1 : p≠0,03

Unilatéral avec pour borne +∞ Unilatéral avec pour borne -∞ Bilatéral

risque 0,05 donc

∏(a)=0,95 donc a=1,65

risque 0,05 donc

∏(a)=0,95 donc a=1,65

risque 0,05 donc

2∏(a)-1=0,95 donc a=1,96


60

I 0,03 1,650,030,97

300;

I 0,0137 ;

I ; 0,031,650,030,97

300

I ;0,0463

I 0,03 1,960,030,97

300; 0,031,96

0,030,97

300

I 0,0107 ; 0,0493

: j’accepte H0 : j’accepte H0 : j’accepte H0

Décision : la fréquence observée est de 10 sur 300 soit f= 0,033

3°) Exercice 2 :

Là encore, l'écritue de l'hypothèse nulle n'est pas sans effet car tout le monde a raison (ou plus exactement, je ne

sais pas prouver que quelqu'un à tort).

Mais :

a) l'installateur connait-il vraiment les tests statistiques et qui lui permettraient de sortir de l'épineuse situation ?

Une phrase du type : «on va refaire une série car l'échantillon est vraiment mauvais» serait du plus mauvais goût

b) le gestionnaire fera-t-il confiance si l'échantillon affiche plus que promis ?

f If If I


61

C. Un exercice sur les tests de comparaison d’échantillons indépendants :

On a prélevé dans deux fabrications différentes et supposées normales, d’ écarts types respectifs 5 et 8, deux

échantillons de tailles respectives 50 et 80 et de moyennes observées 248 et 261. Au risque de 5 %, la

différence des moyennes est-elle significative ?

Ecriture des hypothèses :

On rappelle que l’hypothèse nulle doit contenir l’égalité, on va donc supposer que les moyennes sont égales.

• H0 : m1=m2 ; H1 : m1≠m2

• H0 : m1-m2=0 ; H1 : m1-m2≠0

Donner la loi suivie par la moyenne observée dans le premier échantillon.

La population est normale et l’écart-type est connu donc X1 NOR m1 ; 1

n1

De même, la moyenne du deuxième échantillon suit X2 NOR m2 ; 2

n2

Rappeler le théorème sur la différence de 2 lois normales

Si X1NOR(m1; 1)

Si X2NOR(m2; 2)


Si Y X1 X2

alors Y NOR m1 m2; 122

2

c) Théorème 3 : la différence de 2 lois normales indépendantes est une loi normale dont la moyenne est la

différence des moyennes et la variance est la somme des variances.


62

Mais on a supposé que m1-m2=0 et par simplification :

Donner la loi suivie par la différence des moyennes.

X1 X2 NOR m1 m2 ; 1

n1

2

2

n2

2

L’intervalle est bilatéral, le risque est de 5% donc la valeur de a est 1,96 et l’intervalle de

décision est

X1 X2 NOR 0; 1

2

n1

2

2

n2

I 0 1,96 1

2

n1

2

2

n2

; 0 1,96 1

2

n1

2

2

n2

I 0 1,96 52

50

82

80; 0 1,96

52

50

82

80

[ 2,24 ; 2,24]

Interprétation : si H0 est vraie alors dans 95 % des cas, la différence des moyennes observées

dans les échantillons se trouve dans l’ intervalle de décision.

Décision : ici la différence des moyennes observées est 261-248=13 qui n’appartient pas à I.

Je rejette H0 et j’accepte H1 avec un risque inférieur à 5 % que H0 soit vraie.

C. Un exercice sur les tests de comparaison d’échantillons indépendants :


63

D. Tests de comparaison de moyennes d’ échantillons appariés.

On veut évaluer les différences de notation sur deux correcteurs ayant corrigé les mêmes copies :

n° de la copie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

note A 13 12 10 11 10 9 8 6 8 5 3 10 9 6 10 12

note B 14 11 10 12 12 8 7 5 9 4 2 12 10 6 11 12

n° de la copie 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

note A 15 16 9 3 5 11 4 10 9 8 10 11 13 15 16 11

note B 16 18 8 4 5 10 5 8 11 11 9 12 13 15 17 12

Au risque de 5 %, la différence des moyennes est-elle significative ?

On travaille sur un seul échantillon mais on évalue sur cet échantillon deux traitements différents : on parle

d’échantillons appariés.

Si il n’ y a pas de différence de notation alors la différence observée entre A et B doit être nulle en moyenne.

Ecrire les hypothèses :

• H0 : la différence est nulle en moyenne ; H1 : la différence n’est pas nulle en moyenneou bien

• H0 : la moyenne de la différence est nulle ; H1 : la moyenne de la différence n’est pas nulle

n° de la copie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

note A 13 12 10 11 10 9 8 6 8 5 3 10 9 6 10 12

note B 14 11 10 12 12 8 7 5 9 4 2 12 10 6 11 12

différence -1 1 0 -1 -2 1 1 1 -1 1 1 -2 -1 0 -1 0n° de la copie 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

note A 15 16 9 3 5 11 4 10 9 8 10 11 13 15 16 11

note B 16 18 8 4 5 10 5 8 11 11 9 12 13 15 17 12

différence -1 -2 1 -1 0 1 -1 2 -2 -3 1 -1 0 0 -1 -1


64

∆=note A-note B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

effectifs 0 1 4 11 6 9 1 0 0

Calculons la moyenne, la variance et l’écart-type de cet échantillon :

x 1( 3) 4 ( 2) 11( 1) 6 0 9 112

32

11

32 0,34375

s2 1( 3)2 4 ( 2)2 11( 1)2 6 02 9 12 122

32 ( 0,34375)2 1,41

L’écart-type de ∆ n’est pas connu mais comme l’échantillon est de taille supérieure à 30, on peut utiliser son estimation ponctuelle :

On a supposé dans H0 que m∆ =0 donc

L’intervalle est bilatéral, le risque est de 5% donc la valeur de a est 1,96 et l’intervalle de décision est

Interprétation : si il n’ y a pas de différence de notation des copies alors dans 95 % des échantillons, la différence des notes

présente sa moyenne dans I.

Décision : dans notre échantillon, la moyenne observée est -0,34375 qui appartient à I : j’accepte H0 et je ne peux pas conclure à

une différente de notation.

1,41 1,19s

;NOR mn

1,210;

32NOR

Donner la loi suivie par la moyenne de la différence.

L’échantillon est de taille supérieure à 30 donc la normalité de ∆ n’est pas nécessaire.

32ˆ 1,19 1,21

1 31

ns

n

1,21 1,210 1,96 ;0 1,96 0,42; 0,42

32 32I


1 Initiation aux statistiques inférentielles Chapitre 1 : les échantillons Chapitre 2 : la loi...

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