Distribution déchantillonnage 1 Cours Statistiques Chapitre 1 © Khaled Jabeur 2012.

Distribution d’échantillonnage

1Cours Statistiques

Chapitre 1

© Khaled Jabeur 2012

Cours Statistiques 2

Plan

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

connue)

4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2

inconnue)

6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances


Plan


connue)


inconnue)



Échantillonnage : Terminologie

Une population se définit comme un ensemble d’éléments (individus, entreprises, dossiers, projets, …) qui ont des caractéristiques communes. On note par N la taille de la population.

Un échantillon est tout sous-ensemble de la population. On note par n la taille de l’échantillon.

Un caractère ou une variable statistique c’est l’aspect que l’on désire étudier chez un individu.


Échantillonnage : Terminologie

Pour recueillir des informations concernant les caractéristiques d’une population, on dispose de deux méthodes :

1. La méthode exhaustive ou recensement où chaque individu de la population est étudié selon le (ou les) caractère(s) étudié(s).

2. La méthode des sondages ou échantillonnage qui conduit à n’examiner qu’une fraction de la population, c’est-à-dire un échantillon.


Échantillonnage : Définition et objectif

Définition 1 L’échantillonnage est le processus par lequel une portion de la population (ou un échantillon) est sélectionnée afin d’étudier les caractéristiques d’une population entière.

Objectif de l’échantillonnageL’échantillonnage a pour objectif de tirer des conclusions sur les caractéristiques d’une population à partir des données d’un échantillon. Il est donc essentiel de choisir avec soin l’échantillon de façon à ce qu’il représente fidèlement la population visée.


Échantillonnage : Raisons d’être

On effectue l’échantillonnage essentiellement pour les raisons suivantes :

1. Lorsque la population est infinie

2. Par souci d’économie de coût

3. Si le test est destructif

4. Obtenir l’information le plus rapidement possible

5. …


Échantillonnage : Méthodes

Les méthodes d’échantillonnage peuvent être regroupées en deux grandes catégories :

1. L’échantillonnage non aléatoire (ou non probabiliste) : L’analyste utilise son expérience et ses connaissances personnelles pour choisir parmi les unités de la population celles qui feront partie de l’échantillon et qui, à son avis, représentent adéquatement la population.

2. L’échantillonnage aléatoire (ou probabiliste) : Obtenu par l’intermédiaire d’un mécanisme probabiliste, de sorte que l’on connaisse à l’avance la probabilité (non nulle) qu’une unité quelconque de la population soit incluse dans l’échantillon.


Échantillonnage : Méthode

L’échantillonnage aléatoire simple

Définition : C’est un échantillon choisit de telle sorte que chaque unité de la population ait la même probabilité d’être sélectionnée dans l’échantillon et que chaque échantillon de même taille tiré de la population ait la même probabilité d’être choisi.


Échantillon aléatoire simple


Plan


connue)


inconnue)



Statistiques et distribution d’échantillonnage


Statistiques et distribution d’échantillonnage

Distribution d’échantillonnagePuisque les Xi sont des variables aléatoires, toute statistique est aussi une variable aléatoire et on s'intéresse a sa distribution de probabilité, appelée distribution échantillonnage.

empiriques


Distribution d’échantillonnage de la moyenne

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue)


inconnue)





X

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Cours Statistiques

Solution

1 1

1 2 3 6 8 11( ) ( ) 6

5

N N

X i i ii i

E X x P X x xN

2 2 2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) 6 10.8N

X i ii

Var X E X E X x P X x

( ) 6 ( ) XE X E X 210.8

( ) 5.42

XVar Xn

21


Cours Statistiques

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Cours Statistiques

Exemple 1

Supposons que les tailles des individus dans une population suivent une distribution normale de moyenne μ = 170 cm et de variance σ2 = 25 cm. On tire avec remise un échantillon de taille 25 de cette population. Quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 172 cm ?

Réponse : )25170 2,N(X )1

25

25170

n

2

,N(X

0.0232)P(Z1170-172

P(Z172)XP( )

23


Cours Statistiques

Exemple 2

Supposons que les tailles des individus dans une population de moyenne μ = 185 cm et de variance σ2 inconnue. On tire avec remise un échantillon de taille 36 de cette population. Sachant que la variance de cet échantillon s2 = 40, quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 187 cm ?

Réponse :

)185 2,N(X )11.136

40185

n

s2

,N(X

0.0291.897)P(Z1.0541

185-187P(Z187)XP( )


Distribution d’échantillonnage de la variance

1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue)


inconnue)




Densité de probabilité de la loi de khi-deux



1. La v.a. associée à la loi de khi-deux est une v.a. continue, notée

2. La distribution de khi-deux possède une asymétrie positive.

3. La distribution de khi-deux ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté.

4. Lorsque k augmente, la distribution de khi-deux tend vers une distribution normale.

2

Quelques propriétés de la loi de khi-deux



Calcul des probabilités dans la distribution khi-deux

1. Si alors quelle est la valeur de la probabilité suivante :

2. À l’aide de la table de khi-deux trouver c dans les trois cas suivants :

215Y

71.095.0)( 24 ccP

21.2301.0)( 210 ccP

805.842

53.9008.7905.0)( 2

65

ccP

25.0)25.18( YP

Définition


Distribution d’échantillonnage de la varianceDistribution d’échantillonnage de la variance

2S



2 2( ) 10.8 ( ) XE S Var X



Un échantillon de taille 51 est sélectionné de cette population. Quelle est la probabilité que la variance échantillonnale S2 soit d’au plus égale 112.66.

Réponse :2 2 2

50

(51 1) (51 1)( 112.66) ( 112.66 ) ( 56.33) 0.75

100 100P S P S P


Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue)


connue)


inconnue)




(2 inconnue)


Densité de probabilité de la loi de Student


(2 inconnue)


1. La v.a. associée à la loi de Student t est une v.a. continue, notée Tk

2. La distribution de Student t est symétrique par rapport à l’origine et un peu plus aplatie que la normale centrée réduite N(0, 1).

3. La distribution de Student t ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté.

Quelques propriétés de la loi de Student


(2 inconnue)



(2 inconnue)


).21( dtT

0.2528 )6864,0( TP

0.05 )721,1( TP

Calcul des probabilités dans la distribution de Student


(2 inconnue)



(2 inconnue)


Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances


connue)


inconnue)




Densité de probabilité de la loi de Fisher

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