Chapitre II

Méthode des forces

1

Calcul des structures hyperstatiques

lundi 14 septembre 2009

Méthode des forces

•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

2

Introduction

C’est une méthode... pas un théorème

Il faut comprendre une démarche de calcul

Chaque problème a une seule solution mais sa résolution peut être réalisée en suivant de multiples chemins

Pas de démonstration, pas de formule magique à apprendre

Pas de difficultés particulières si l’on maîtrise bien les acquis de première année

Technique de calcul bien adaptée à la résolution «à la main» des structures faiblement hyperstatiques (degré 1 ou 2)

Technique de calcul non programmable

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

3

Pré-requis

Savoir calculer le degré d’hyperstaticité d’une structure

Savoir calculer efficacement les sollicitations M (ou N)

Savoir calculer des déplacements avec le TFu

Connaître le principe de superposition

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

4

Principe de superposition

Exemples...

P q

dHext = 3 - 2 = 1

dHint = 3x0 - 0 = 0

dHtot = dHext + dHint = 1

=

Pq

+

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Principe de superposition

Exemples...

P q

dHext = 3 - 2 = 1

dHint = 3x0 - 0 = 0

dHtot = dHext + dHint = 1

=

P/2 q/2

+P/2 q/2

=P/2 q/2

x 2

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Principe de superposition

Exemples...

P q

dHext = 3 - 2 = 1

dHint = 3x0 - 0 = 0

dHtot = dHext + dHint = 1

=

P/2 q/2

+Rc

a b c

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Principe de superposition

Exemples...

P q

dHext = 4 - 3 = 1

dHint = 3x0 - 0 = 0

dHtot = dHext + dHint = 1

=

a b

P q

a b +Rb

a b

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Principe de superposition

Exemples...

P q

dHext = 4 - 3 = 1

dHint = 3x0 - 0 = 0

dHtot = dHext + dHint = 1

=

a b

+P q

a b a b

µa

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Calcul des déplacements TFu

Exemples...

P q

dHext = 3 - 2 = 1

dHint = 3x0 - 0 = 0

dHtot = dHext + dHint = 1

P q

1

a b c

Calcul du déplacement vertical au milieu de la travée ab :

δVab/2 =∫ M.Mu

E.Idl

M

Mu1

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

Considérons une structure hyperstatique de degré n en équilibre statique sous un chargement extérieur quelconque

P q

dHext = nb inconnues de liaison - 3

dHint = 3 x nb cadres fermés - relâchements

dHtot = dHext + dHint = n

n inconnues en trop pour réaliser un calcul avec les équations d’équilibre (interne ou externe)

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

P q

hyper n

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

=

P q

Etat (0) + ?

Première structure isostatique déduite de la structure précédente sur laquelle on applique la totalité du chargement extérieur

On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

P q

hyper n

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

=

P q

Etat (0) + ?

On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale dHext = nb inconnues de liaison - 3

dHint = 3 x nb cadres fermés - relâchements

dHtot = dHext + dHint = n

On réalise donc «n coupures» pour :soit diminuer le nb d’inconnues de liaisonsoit augmenter le nb de relâchements

n coupures

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•Méthode

•Principe

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Méthode des forces

a) Diminuer le nb d’inconnues de liaison

⇒ coupures au niveau des liaison extérieures donc des appuis

① appui simple 1 inconnue de liaison 1 coupure possible

② appui articulé 2 inconnues de liaison 2 coupures possibles

③ appui encastré 3 inconnues de liaison 3 coupures possibles

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•Méthode

•Principe

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Méthode des forces

b) augmenter le nombre de relâchements

⇒ 1 relâchement = une articulation interne, donc une inconnue de moins (Mf = 0)

Mf = 0

Attention les coupures réalisées ne doivent pas transformer la structure en mécanisme (structure instable)

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

P q

hyper n

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

=

P q

Etat (0) + ?

Première structure isostatique déduite de la structure précédente sur laquelle on applique la totalité du chargement extérieur

On obtient cette structure en éliminant n inconnues sur la structure initiale

n coupures

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

P q

hyper n

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...

les états 1 à n correspondent à «n réparations» pour assurer la validité du principe de superposition.

x1xn

Attention le chargement extérieur n’est appliqué qu’une fois

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

P q

hyper n

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...

Les états 1 à n correspondent à «n réparations» pour assurer la validité du principe de superposition. Les réparations consistent à rétablir les efforts supprimés.

x1. xn.

1 1

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•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

P q

hyper n

Principe de la méthode des forces :On va utiliser le principe de superposition pour faire apparaître une somme de structures isostatiques

=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...

X1, X2, ..., Xn sont des inconnues, on a donc toujours n inconnues.

x1. xn.

1 1

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forcesP q

hyper n=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.

1 1

Les coupures réalisées dans l’état(0) produisent des déplacements dans la structure de l’état(0) qui étaient interdis dans la structure initiale.

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forces

Coupures au niveau des liaison extérieures donc des appuis

① appui simple 1 coupure

② appui articulé 1 coupure

③ appui encastré 1 coupure

déplacement autorisé

déplacement autorisé

déplacement autorisé

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•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forcesP q

hyper n=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.

1 1

Les coupures réalisées dans l’état(0) produisent des déplacements dans la structure de l’état(0) qui étaient interdis dans la structure initiale

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Méthode des forces

•Méthode

•Principe

•Exemple

•Pré-requis

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Méthode des forcesP q

hyper n=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.

1 1On peut donc écrire par exemple l’équation suivante :

0 = ∫(M0M1/EI)dl + X1. ∫(M1M1/EI)dl + X2. ∫(M2M1/EI)dl + .... + Xn. ∫(MnM1/EI)dl

0 = δ01 + X1.δ11 + X2.δ21 + ... + Xn.δn1Cette équation s’écrit plus simplement de la forme :

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•Méthode

•Principe

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•Pré-requis

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Méthode des forcesP q

hyper n=

P q

Etat (0) +n coupures

Etat (1) + Etat (n)+...x1. xn.

1 1On peut donc écrire le système suivant :

(n déplacements autorisés dans l’état(0) et interdits dans la structure initiale)

0 = δ01 + X1.δ11 + X2.δ21 + ... + Xn.δn10 = δ02 + X1.δ12 + X2.δ22 + ... + Xn.δn2

0 = δ0n + X1.δ1n + X2.δ2n + ... + Xn.δnn... n équations⎬

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Exemple...

P

a b c =

+

P

a b c

a b c

x11.

Etat(0)

Structure à étudierHyperstatique de degré 1

Etat(1)

l 2l-Pl/4

-2l

-

+

-

On peut donc écrire le système suivant :

0 = δ01 + X1.δ11 ici une seule équation car la structure est hyperstatique de degré 1

Le calcul des δij est réalisé avec les intégrales de Mohr

On trouve donc X1 !!!

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