Cours Rdm - MS2

7/21/2019 Cours Rdm - MS2

1/56

Cours module MS2Organisation du module :

Cours 8hTD 8h

TP 12h (3TP coef 1 = total coef 3)DS 2h (coef 5)

1


2/56

Introduction

2

MS1 introduire les concepts de description du comportement des sections unechelle macroscopique.

M

N

V

!"

#

$ $

!,"

#,$

MS2 introduire les concepts de description du comportement des sections unechelle trs locale.


3/56

Chapitre 1

Caractristiques gomtriques des sections planes

Aire dune section

Moment statique dune section

Moment quadratique dune section Moment quadratique polaire dune

section

Moment quadratique produit dunesection

3


4/56

1. Caractristiques gomtriques des sections planes

Dfinition

Chapitre1

Aire dunesection

Momentdune section statique quadratique quadratique

polaire quadratique

produit

Notation A - Dimensions A=L!Cette grandeur est toujours positive

Echelle microscopique

A cette chelle, soit un lment

de surface infiniment petit dA:

"#

$

%

"$

"%

Echelle macroscopique

Le passage lchellemacroscopique permet de

dfinir la grandeur A pour unesection quelconque:

"#

$

%

"$

"%


5/56


Sens physique de la grandeur

Chapitre1

Aire dunesection

Momentdune section statique quadratique quadratique

polaire quadratique

produit

A1 < A2 < A3

dl1 > dl2 > dl3

Laire dune section est donc unegrandeur lie la capacitdallongement dune picesoumise un effort normal

A est lie la rigidit en dunlment en traction /compression


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Dfinition

Chapitre1

Aire dunesection

Momentdune section

statique

quadratique quadratique

polaire quadratique

produit

Notation S/%- cette grandeur est toujours calcule par rapport un axeDimensions S/%=L3 Cette grandeur peut tre positive ou ngative


A cette chelle, soit un lmentde surface infiniment petit dA:



dfinir la grandeur S/%pourune section quelconque: "#

$

%

"$

"%

%

"#

$

%

"$

"%

xG

%&

$&


7/56


Application : recherche du centre de gravit dune section

Chapitre1

Aire dunesection

Momentdune section

statique


polaire quadratique

produit

80 mm

10 mm

10 mm

60 mm

z

y

y

z

GyG

zG

1

2

G1

G2

Exemple :

yG?zG?


8/56


Application : recherche du centre de gravit dune section

Chapitre1

Aire dunesection

Momentdune section

statique


polaire quadratique

produit

80 mm

10 mm

10 mm

60 mm

z

y

y

z

GyG

zG

1

2

G1

G2

Exemple :

yG= 56000/1400 = 40 mmzG= 70000/1400 = 50 mm


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Dfinition

Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statiquequadratique

quadratiquepolaire

quadratiqueproduit





dfinir la grandeurI!

pour unesection quelconque:

"#

$

%

"$

"%

%

"#

$

%

"$

"%

xG

%&

$&

Notation I!cette grandeur est toujours calcule par rapport un axe

- DimensionsI!=L4 -Cette grandeur est toujours positive


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Exemples

Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statiquequadratique

quadratiquepolaire

quadratiqueproduit

"#

#

#

$$

"$"%

&

'

(

)

#

$

Moments quadratiques dans le repre o,y,z


11/56


Exemples

Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statiquequadratique

quadratiquepolaire

quadratiqueproduit

"#

#

#

$$

"$"%

&

'

(

)

#

$

Moments quadratiques dans le repre G,Y,Z


12/56


Exemples

Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statiquequadratique

quadratiquepolaire

quadratiqueproduit

"#

#

#

$$

"$"%

&

'

(

)

#

$

Moments quadratiques dans le repre G,Y,Z

Pour une section rectangulaire, on retiendrala formule suivante :

IG/%=(base.hauteur3)/12

IGy=(bh3)/12

IGz=(hb3)/12


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Interprtation physique de la grandeur

Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statiquequadratique

quadratiquepolaire

quadratiqueproduit

"

"

#

$

%

&

'

% $

#

#

(%($

Sous le chargement Fz :

Le moment flchissantproduit est My

La rigidit de flexion estproportionnelle IGy=bh3/12

Sous le chargement Fy :

Le moment flchissant

produit est Mz

La rigidit de flexion estproportionnelle IGz=hb3/12

Le moment quadratique est donc en relation directe avec la rigidit de flexion


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Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statique quadratique

quadratique

polaire quadratique

produit

Dfinition

Notation IQcette grandeur est toujours calcule par rapport unpoint - DimensionsIQ=L4 - Cette grandeur est toujours positive



Echelle macroscopiqueLe passage lchelle

macroscopique permet de

dfinir la grandeur IQpour une

section quelconque:"#

$

%

"$

"%

%

"#

$

%

"$

"%

xG

%&

$&

&&


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Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statique quadratique

quadratique

polaire quadratique

produit

Exemple

avec

de plus la symtrie de la section donne

Soit,

C


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Chapitre1

Aire dunesection

Moment dunesection

statique quadratique quadratique

polairequadratique

produit

Dfinition

NotationI

yzcette grandeur est toujours calcule par rapport 2 axes -DimensionsIYZ=L4- Cette grandeur est positive ou ngative

80 mm

10 mm

60 mm

10 mm

y

z

"

#

G2

G1

x$ y

z

zG

yG


17/56

Chapitre 2

Moments quadratiquesChangement de repres

Translation daxes : Thorme deHuyghens

Rotation daxes Cercle de Mohr des inerties

17

Ch


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Rappels du cours prcdent

Chapitre2

Translationdaxes -thorme deHuyghens

Rotationdaxes

Cercle deMohr desinerties

Parmi les grandeurs gomtriques des sections vues au chapitre prcdent nousen avons dfini 2 directement en relation avec les rigidits de traction

(compression) et de flexion :

Aaire dune section

ne dpend

ni dun point,ni dun axe

grandeur lie la

rigidit des lmentssous N

I%moment quadratique

dune section

dpenddun axede calcul

grandeur lie larigidit des lments

sous M

Pour ce dernier il faut donc savoir changer daxe

dobservation (simplement !)

2. Moment quadratique - Changement de repres

Ch i


19/56

Intrt des formules de translation daxes pour I%?

Chapitre2


Rotationdaxes


dA

y

z

G+

80 mm

10 mm

10 mm

60 mm

z

y

y

z

G40 mm

50 mm

1

2

G1

G2

Ex. : On veut calculer lesmoments quadratiques IGZet IGY

de la pice ci-contre


Ch i


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Intrt des formules de translation daxes pour I%?

Chapitre2


Rotationdaxes


80 mm

10 mm

10 mm

60 mm

z

y

y

z

G40 mm

50 mm

1

2

G1

G2

I/G%=base.hauteur3/12

On peut facilement calculer lesmoments quadratiques IGiZet

IGiYde chaque pice :

G1 y

z

10 mm

80 mmOn obtient :IG1Z=10.803/12 = 42,67 cm4

et IG1Y= 80.103/12 = 0,67 cm4y

z

G

Changement daxe :IGZ=IG1Z

IGY= ?

besoin de formules pour lestranslations daxes


Ch i


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Translation daxes - thorme de Huyghens

Chapitre2


Rotationdaxes


z

y

dA

Z

YG

y

yG Y

zzG

ZY = y - yGy = Y+ yG

etZ = z - zGz = Z+ zG

On a :

On suppose IGYet IGZconnus,on cherche Iyet Iz


Ch i


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Chapitre2


Rotationdaxes


z

y

dA

Z

YG

y

yG Y

zzG

ZY = y - yGy = Y+ yG

etZ = z - zGz = Z+ zG

On a :


Ch it


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Chapitre2


Rotationdaxes


z

y

dA

Z

YG

y

yG Y

zzG

Z

Y = y - yG et Z = z - zG

On a :

Le thorme de Huyghens snonce alors :

o "et G!sont deux axes parallles et d reprsente la distance entre

ces axes.


Ch it


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Chapitre2


Rotationdaxes


80 mm

10 mm

10 mm

60 mm

z

y

y

z

G40 mm

50 mm

1

2

G1

G2

Dans notre exemple on a :

sections

lmentaires

A

cm2

IGiZ

cm4

d2

cm4

IGZ

cm4

IGiY

cm4

d2

cm4

IGY

cm4

1 8 42,67 0 42,67 0,67 2,25 18,67

2 6 0,5 0 0,5 18 4 42

14 43,17 60,67

Cette pice sera plus rigide pour unchargement Pz que pour un chargement Py

(1,4 fois plus)

La semelle (1) apporte 99% de la rigidit enflexion sous un chargement Py

Lme (2) apporte 69% de la rigidit enflexion sous un chargement Pz


Ch it


25/56


Chapitre2


Rotationdaxes


Optimisation dun profil pour la flexion au regard du momentquadratique et des considration de masse totale

y

Pz

z

G

PzMy

on mobilise IGy

Plus IGy est grand

et plus la pice est rigide

Pour augmenter IGyil faut augmenter

la hauteur de la pice suivant z

IGy=''z2dA= base.hauteur3

12

Pz

z

yG

Inconvnient :

la masse augmentele prix aussi!

Pz

z

yG

Optimisationdu profilsous Pz


Cha itre


26/56

Intrt des formules de rotation daxes pour I%?

Chapitre2

Section en I

y

z

G

Pz

Py

On sait prsent calculerIGyrigidit mobilise en flexion sous Pz (My)

et IGzrigidit mobilise en flexion sous Py (Mz)

20

y

z

G

P

z

y

Comment calculerIGyet

IGz?

besoin de formulespour les rotations

daxes


Rotationdaxes



Chapitre


27/56

dA

Rotation daxes

Chapitre2


Rotationdaxes


Z

YG

Y

Z

Q

YQ

ZQ

Y =

(

(

(

(ZQ

YQ

Z =

Y.cos( + Z.sin(

-Y.sin(+ Z.cos(


Chapitre


28/56

Rotation daxes

Chapitre2


Rotationdaxes


Formules de trigonomtrie utiles :

sin2#= 2cos#sin# cos!#= (1+cos2#)/2cos2#= cos!# sin!# sin!#= (1-cos2#)/2

On suppose connues les grandeurs IGY, IGZ et IGYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :

Calcul de IGYZ Y = Y.cos(+ Z.sin(

Z = -Y.sin(+ Z.cos(


Chapitre


29/56

Rotation daxes

Chapitre2


Rotationdaxes




On suppose connues les grandeursI

GY,I

GZ etI

GYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :

Calcul de IGYZ

Cette quation a deux solutions #1 et #2=#1+"/2

Recherche de valeurs particulires de IGYZ


Chapitre


30/56

Rotation daxes

Chapitre2


Rotationdaxes





Calcul de IGY Y = Y.cos(+ Z.sin(

Z = -Y.sin(+ Z.cos(



31/56

Chapitre


32/56

Rotation daxes

Chapitre2


Rotationdaxes





Calcul de IGZ Y = Y.cos(+ Z.sin(

Z = -Y.sin(+ Z.cos(


Chapitre


33/56

Rotation daxes

Chapitre2

Translationdaxes -

thorme deHuyghens

Rotationdaxes





Calcul de IGZ


Chapitre


34/56

Rotation daxes

Chapitre2

Translationdaxes -

thorme deHuyghens

Rotationdaxes



Remarques, on a trouv :

et

On constate que la somme des moments quadratiques calculs dans dessystmes daxes orthogonaux obtenus par rotation dangle #autour de

lorigine de repre est invariante : elle est gale au moment quadratiquepolaire.

on a donc...


Chapitre


35/56

Rotation daxes

Chapitre2

Translationdaxes -

thorme deHuyghens

Rotationdaxes


On suppose connues les grandeursI

GY,I

GZ etI

GYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :

Remarques, on a trouv :

Ce systme daxe est caractris par langle # solution de

lquation :

Il existe donc un systme daxes orthogonaux pour lesquels on obtientsimultanment la valeur maximale et la valeur minimale du momentquadratique de la section.

ou


Chapitre


36/56

Rotation daxes

Chapitre2

Translationdaxes -

thorme deHuyghens

Rotationdaxes


Recherche dextremum pour IGYet IGZ

soit Dj vu!

Le systme daxes dorientation #qui donne simultanment unevaleur maximale et minimale des moments quadratiques faitgalement apparatre un moment quadratique produit nul

Le repre associ ce systme daxes particulier est appelrepre principal dinertie et ses axes sont nomms axesprincipaux dinertie


Chapitre


37/56

Cercle de Mohr des inerties : construction gomtrique

Chapitre2

Translationdaxes -

thorme deHuyghens

Rotationdaxes

Cercle de

Mohr desinerties


X

"

#

$

On suppose que le calcul donne :IGY > IGZ etIGYZ


38/56

Chapitre 3Contraintes et dformations dans les sections droiteset planes

Contraintes et dformations normales

Sous N Sous M (flexion uniaxiale)

Flexion bi-axiale

Flexion compose (M et N) Contraintes et dformations tangentielles

38

Chapitre


39/56

Introduction

Chapitre3

Contraintes etdformationsnormales

Sous N Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N

Contraintes etdformationstangentielles

3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes

M

N

V

!"

#

$ $

!,"

#,$

Notion de contraintes : reprsentation des effort internes en tout pointsdune section

Notion de dformations : reprsentation locale de leffet des effort internesen tout points dune section

Contraintes normales : ! Contraintes tangentielles : #

Dformations normales : " Dformations Tangentielles :$

Chapitre


40/56


Les contraintes et les dformations normales sont lies N, My et Mz

x

z

y

G

N N

MyMy

dxComment a marche?

Les sections droites restent droitesHypothses de Navier-Bernoulli

effet de N effet de M


Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N


Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes

Chapitre


41/56


Comment a marche?

Les sections droites restent droitesHypothses de Navier-Bernoulli

effet de N effet de M

x

z

G

Ncessairement la dformation globale est de la forme :

En lasticit on observe une proportionnalit entre cause et effet :

Les contraintes sont donc de la forme :


Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N



Chapitre


42/56

Contraintes et dformations normales sous N


Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N


"

#

$#%

"

%'

&(

&)*!&(


Chapitre


43/56



Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N


"

#

$#%

"

%'

&(

&)*!&( "

!#$"%

"

!#$"%

Reprsentation

des dformations

Reprsentation

des contraintes


Chapitre


44/56



Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N


"

#

$#%

"

%'

!

Calcul des dformations sous N

E est appel module dYoungcest une constante pour un matriau

donn qui traduit la rigidit du matriau

Calcul de lallongementdune pice :


Chapitre


45/56



Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N


Bilan :"

#

$#%

"

%'

&(

&)*!&("

!#$"%

"

!#$"%

Convention :

est la rigidit de traction/compression


Chapitre


46/56

Contraintes et dformations normales sous M (flexion uniaxiale)


Sous NSous M

Flexion bi-axiale

Flexioncompose

M et N


"

#$

%#

"

$&

%'

%()!%'

*+

avec!

0= 0!

on a donc

C ap t3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes

Chapitre


47/56



Sous NSous M

Flexion bi-axiale

Flexioncompose

M et N


"

#$

%#

"

$&

%'

%()!%'

*+

avec !0= 0!avec

soit"

#$

%#

"

$&

%'

%()!

%'*$+

,

,&&

,&

"%"

p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes

Chapitre


48/56



Sous NSous M

Flexion bi-axiale

Flexioncompose

M et N


"

#$

%#

"

$&

%'

%()!%'

*$+

,,&&

,&

"%"

MS3


Chapitre


49/56



Sous NSous M

Flexion bi-axiale

Flexioncompose

M et N


Convention de signe : Fd

Si My>0 Si My>0

"#$%&

'

(

)*

"

!#$"%

&

'

(

"#$%&

'(

)*

"

!#$"%

&'

(


Chapitre


50/56



Sous NSous M

Flexion bi-axiale

Flexioncompose

M et N


Convention de signe : FgSi My>0 Si My>0

"

!#$"%

&

'

(

"

!#$"%

&'

(

"#$%&

'(

)* "#$%&

'

(

)*


Chapitre


51/56

Contraintes et dformations normales en flexion bi-axiale


Sous N

Sous MFlexion bi-axiale

Flexioncompose

M et N


fd fg

y

z

G

Pz

Py


Chapitre


52/56

Contraintes et dformations normales en flexion compose


Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et N


fd fg

y

z

G

Pz

Py x Px


Chapitre


53/56

Contraintes et dformations tangentielles


Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose

M et NContraintes etdformationstangentielles


"

#

$

%#

"

$&

%'!%'

(&$)* *&

"

+

+#

($)

%,-!%' %'

"%'

"%'

.&."

!#$

%&"'

y

G

!"#$""# ""#

R R

"%

& &$

'$'

"#$%

A

Chapitre


54/56



Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose



!"#$""# ""#

R R

"%

& &$

'$'

"#$%

A

Formule de Jouravski

Chapitre


55/56



Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose



"

#$

%

&

A

"

Cas dune section rectangulaire :

"

#

!$"%

Chapitre


56/56



Sous N

Sous M Flexion bi-

axiale

Flexioncompose



!"#$

#

%

"

&%

O G est appel module cisaillement ouencore module dlasticit transverse, cestune caractristique intrinsque du matriauconstitutif.

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