RDM (2).pdf

S.BENSAADA

RESISTANCE DESMATERIAUX

Y

A B1,B 2 X

Fx

AX

h

C1,C 2

L/2LFy

h

B2

B1 C1

C2

Fx

Fx

B

Z

B(2/4)=D(2/4)

A(3/4)=E(3/4)

C(1/4)Z

Y

X

2SOMMAIRE2. MOMENTS QUADRATIQUES 47

3. ELEMENTS VECTORIELS 51

4. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES ..61

5. E L A S T I C I T E .76

6. HYPOTHESES EN RDM ..102

7. TRACTION 119

8. COMPRESSION 125

9. CISAILLEMENT .129

10. TORSION ..135

11.FLEXION 140

12. TORSEUR DE COHESION ..151

13. POUTRES RECTANGULAIRES AUX ELS.. 167

14. CONTRAINTES PLANES..179

15. DEFORMEE189

16.FLAMBAGE....196

17.SYSTEMES HYPERSTATIQUES...202

18.Ressorts Hlicodaux fil rond..209

19.DEFORMATION PLANE...216

20. ESSAIS MECANIQUE..237

21.TP ELEMENTS FINIS FLEXION......................257

3PREFACE

La gense dune innovation technologique est constitue par lensemble des faits

scientifiques et techniques qui ont concouru sa formation. La connaissance approfondie de

cette phase pralable, difficile observer quand elle est en cours, mais pourrait se reconstituer,

posteriori, est essentielle pour tenter de prvoir et de diriger le flux des changements

techniques tout le long des diffrentes tapes des dveloppements scientifiques

Cet ouvrage traite les fondements de la rsistance des matriaux. Il expose profondment les notions

de tenseurs, une partie trs utile pour les calculs en rsistance des matriaux. Les lments vectoriels

ainsi que la modlisation des actions mcaniques sont introduite aussi dans cet ouvrage.

Les parties essentielles tels que la traction, compression, torsion, flexion sont tudies en dtail et vue

leur importance technique, une partie sur les diffrents essais mcaniques a t introduite. La dernire

partie a t consacre l'tude de la modlisation et du logiciel utilis en RDM.

Ltudiant aura simprgner de lensemble des questions exposes dans ce contexte.

Cependant, travers cet ouvrage, j'ai essay de porter toute lattention et le soin voulus, du point

de vue pdagogique et didactique, afin de vous exposer, de manire utile, les bases fondamentales de

la RDM au service des tudiants de troisime anne hydraulique.

Cet ouvrage na pas dautre but que daider ltudiant dans sa comprhension de lenseignement de la

Rsistance des Matriaux. Il doit permettre de mieux cerner les champs dinvestigation de cette science.

4BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX

La rsistance des matriaux est l'tude de la rsistance et de la dformation des solides (arbres detransmission, btiments, fuses, . .) dans le but de dterminer ou de vrifier leurs dimensions afinqu'ils supportent les charges dans des conditions de scurit satisfaisantes et au meilleur cot(optimisation des formes, des dimensions, des matriaux. . .)

ACTIONS DONNEES NECESSAIRES

Dterminer les dimensions fonctionnelles de la pice Les Actions McaniquesLa nature du matriau

Choisir le matriau constituant la pice Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLe type de vrification

Vrifier la rsistance la "casse" de la pice :Dpassement de la limite la rsistance lastique Re ou larupture Rr du matriau

Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriau

Vrifier la rsistance la "dformation" de la pice :Dpassement de la valeur maximale impose par leC.D.C.F. pour les diffrentes dformations de la pice

Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriauLe C.D.C.F.

Vrifier la rsistance la "fatigue" de la pice :Rupture aprs un certain nombre de cycles de dformationimpose par le C.D.C.F.

Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriau

Vrifier la rsistance au "fluage" de la pice :Dformation continue de la pice, dans le temps, sousl'action d'actions mcaniques constantes qui amne larupture de la pice


Optimiser le cot de la pice par changement des formes,des dimensions, des matriaux, ...


51. Notions de sollicitations

Les sollicitations couramment rencontres :

Traction / Compression Flexion

Torsion Cisaillement

SOLLICITATIONS SIMPLES ET COMPOSEES :Sollicitations simples : Torseur de cohsion comprenant une seule sollicitation.

Sollicitations composes : Torseur de cohsion comprenant plusieurs sollicitations simples (Traction +flexion par exemple).

Tableau regroupant les sollicitations simples les plus courantes

Sollicitations EffortnormalEffort

tranchant

Momentde

torsion

Momentde

flexion

Traction/compression N T =0 Mt =0 Mf =0

Cisaillement (1) N =0 T Mt =0 Mf =0

Torsion N =0 T Mt Mf =0

Flexion pure (2) N T =0 Mt =0 Mf

(1) Suivant l'orientation des sollicitations, l'effort Ty ou Tz peut tre nul.

(2) Suivant l'orientation des sollicitations, le moment Mfy ou Mfz peut tre nul.

62. MOMENTS QUADRATIQUES2.1. MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DESON PLAN

Dfinition

Soit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O, x y, ) de son plan figure.1

Le moment quadratique lmentaire de S par rapport (O,x) not IOX est dfini par :

IOX = y2.S

et pour l'ensemble de la surface (S) :

IOX =( )S y2.S

Figure.1

Remarques :

. L'unit de moment quadratique est le mm4 (ou le m4)

. Un moment quadratique est toujours positif.

. Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donns la fin du cours.

O(S)S

M

y

y

x

72.2 MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXEPERPENDICULAIRE A SON PLAN . MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE

Dfinition

Soit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O, x y z, , ) tel que le plan (O, x y, ) soit

confondu avec le plan de (S) figure.2

Le moment quadratique polaire lmentaire de S par rapport (O,z ) perpendiculaire en O au

plan de la figure et not IO est dfini par :

IO = 2.S

et pour l'ensemble de la surface (S) :

IO =( )S 2.S

Figure.2

Proprit :

Considrons le moment quadratique polaire IO de la surface (S) par rapport (O,z )

perpendiculaire en O son plan figure.3

Notons : IO =( )S 2.S

Soient x et y les coordonnes du point M. On a :2 = x2 + y2

On a donc : IO =( )S 2.S =

( )S x2.S +

( )S y2.S

Soit : IO = IOx + IOy

O (S)

SM

y

x

z

8Figure.3

2.3. MOMENTS QUADRATIQUES A CONNAITRE (O est en G)

bh

G x

y

a

a G x

y

G x

yd

G

y dD

x

I GX I GY I G I O=

bh12

3 hb12

3 bh12

2( b + h )

2

a12

4 a12

4 a6

4

d64

4 d64

4 d32

4

d )64

4 (D4

- d )64

4 (D4

- d )324 (D

4-

Figure.4

Soit une poutre subissant un moment de torsion Mt = 5000 N.mOn considrera trois gomtries de section possibles, mais ayant la mme aire.

O (S)

SM

y

x

z

yx

9Section circulaire

32

4

0

DI

Section rectangulaire

)( 220 12hbbhI

Section en T

I0 = 2033333 mm4

TRAVAIL DEMANDE

Pour chaque type de section :

Calculer le moment quadratique I0 sil nest pas donn,

Section circulaire Section rectangulaire Section en T

I0 = 2033333 mm4

Calculer la valeur de cette contrainte tangentielle en fonction de .


Calculer la contrainte maximale et indiquer au stylo rouge, le o les lieux de cettecontrainte


10

3. ELEMENTS VECTORIELSEn mcanique, les lments vectoriels sont utiliss pour reprsenter :

les actions mcaniques

les actions 1/0, AA

les moments 1/01/0 ),(, BB MAMM

les vitesses 1/0,VV

les acclrations 1/0, Aaa

3.1. VECTEURS

1) Vecteur li - bipoint :

On appelle bipoint AB ou (A, B) l'ensemble ordonn des deux points A et B pris dans cet ordre.

On appelle norme du bipoint AB, la valeur absolue qui dfinit la longueur du segment [AB] ; on

note ||AB|| ou AB

Le bipoint AB peut tre dfini gomtriquement par:

Son origine : A;

Son support: la droite xx;

Son sens de A vers B;

Sa norme ||AB||.

Il existe un seul reprsentant unique

2) Vecteur glissant

On appelle vecteur 1/0A

la classe dquivalence des bipoints quipollents dont le bipoint 1/0A

est un

reprsentant. Fig.4

Le vecteur 1/0A

peut tre dfini gomtriquement par:

Son origine : A

Son support : la droite xx;

Son sens de A vers x

Sa norme (intensit) || 1/0A

|| ou 1/0A

Unit : le Newton (N) Figure.5

11

Il existe une infinit de vecteurs sur xx

3) Vecteur libre

Il existe une infinit de vecteurs sur xx

4) Vecteur libre

On appelle vecteur libre le vecteur dfini comme suit :

Son support

Son sens

Sa norme

Il existe une infinit de vecteurs libres

5) Expression graphique dun vecteur : on reprsentera un bipoint

6) Notion de base orthonorme

Une base orthonorme est constitue de trois vecteurs ayant la mme origine, perpendiculaires

entre eux et de norme (longueur) unitaire x y z =1

Rappel : la norme dun vecteur est sa longueur.

u=

xyz

R

1

1

1

Notation de la base : u x y z12

12

12

x y z, ,

Reprsentation

7) Repre orthonorm

Un repre est constitu :

- dune base

- dun point donn, origine du repre.

Notation : R O x y z, , ,

On trace les deux premiers vecteurs

x y, qui forme le plan (

x y, ). On trace le 3me

vecteurs

z perpendiculairement au plan (

x y, ) et dont le sens est dtermin par la rgle :- des trois doigts- du tire-bouchon

12

7) Expression analytique dun vecteur : figure.6

Les composantes dun vecteur V

sont des grandeurs mathmatiques relles correspondant au

normes des vecteurs composantes ( zVyVxV

,, ) prcdes du signe donn par lorientation des

axes du repre.

composante dans le mme sens que laxe du repre = signe +

composante dans le sens oppos de laxe du repre = signe -

Figure.6

VzVyVx

V

Vx : composante de V

sur laxe xVy : composante de V

sur laxe y

Vz : composante de V

sur laxe zkVzjVyiVxV

...

kVzjVyiVxV

... Vx : composante de V

sur laxe x

Vy : composante de V

sur laxe yVz : composante de V

sur laxe z

VzVyVx

V

13

i j k, , sont les vecteurs unitaires du repre orthonorm ),,( zyx

8) Calcul des composantes dun vecteur figure.7

par projection sur les axes

xV

= projection de V

sur laxe x

yV

= projection de V

sur laxe y

cos.VVx

sin.VVy

Figure.7

coordonnes des points extrmes

Soient les coordonnes des points suivants :

A

A

A

ZYX

A et

B

B

B

ZYX

B

correspondant respectivement lorigine et lextrmit

du vecteur V

dans le repre ),,,( zyxO :

9) Norme dun vecteur

La norme dun vecteur est sa valeur mathmatique dans son repre. Elle est note ||V

|| ou

V telle que :

PourVzVyVx

V

Interprtation graphique :

La norme dun vecteur sera dfinie grce la longueur du vecteur et lchelle des forces

AB

AB

AB

ZZYYXX

V

0sin.cos.

VV

V

VzVyVxV

14

10) Oprations figure.8

Addition gomtrique de ve

Figure.8

Addition analytique de vecteurs figure.9

Soient 2 vecteurs A

et B

dfinis dans ),,( zyx :

AzAyAx

A

BzByBx

B

Le vecteur C

reprsente la somme :

CBA

et se dfinit

comme suit : Figure.9

FFF

21

Figure.9

15

CzCyCx

C

avec

BzAzCzByAyCyBxAxCx

La somme analytique de vecteurs se rsume la somme des composantes.

La soustraction se rsume une addition en appliquant la mthode :

Figure.10

Proprits laddition est commutative

Laddition peut tre ralise partir dun paralllogramme (rgle du paralllogramme)

laddition est associativ

FFFFF

1221

FFFFF

)( 2121

321321321 FFF)FF(FF)FF(

16

lment neutre

vecteur nul : 0

: FF

0

Multiplication par un scalaire

Soient V

et . .V

est un vecteur W

tel que :

- W

a la mme direction que V

- si 0 , W

le mme sens que V

, contrairement si est ngatif

- norme : VW

.

11) Notion de rsultante

On appelle rsultante dun systme dactions nFFF

,....,, 21 , le vecteur F

dfinit par la

relation :

12) Produit scalaire

Soit le vecteur U reprsent par

le bipoint (OA) et le vecteur V

reprsent par le bipoint (OB)

dans ),,( zyx

Figure.11

Soit B limage de B par

projection orthogonale sur laxe

a

nFFFF

....21

Figure.11

17

Soit A limage de A par

projection orthogonale sur laxe

b

Le produit scalaire VU . est le rel OA x 'OB

Le produit scalaire UV . est le rel 'OA x OB

Proprits :

).()..(

..).(

..

2121

VUbVUb

VUVUVVU

UVVU

Consquence :

Si = 90, alors cos 90 = 0 donc le produit scalaire de deux vecteurs est nul si ces deux

vecteurs sont perpendiculaires.

Expression analytique du produit scalaire

UzUyUx

UVzVyVx

V UzVzUyVyUxVxVU .

Remarque : Le produit scalaire de 2 vecteurs est un nombre re

13) Produit vectoriel

Le produit vectoriel du vecteur

U par le vecteur

V , que lon notera

U

V , est le vecteur

Wdont un reprsentant dorigine A est tel que : fig.12

- son support est perpendiculaire au plan ( , , )A U V

- son sens est tel que ( , , )

U V W soit direct

- sa norme a pour valeur :

UVVUVU .cos...

Le produit scalaire du vecteur A

par levecteur B

not BA

. est gal au produit

des modules (normes) des deuxvecteurs multipli par le cosinus delangle entre leurs directionsrespectives.

18

||

W || = ||

U || . ||

V || . | sin( , )

U V |

Proprits :

nullit : si un des vecteurs nullit : si un des vecteurs = 0 ou si les vecteurs sont

colinaires

antisymtrie :

U

V = - (

V

U )

Expression analytique

Dans une base orthonorm directe ( , , ) x y z , on donne :

V x y z1 1 1 1( , , ) et

V x y z2 2 2 2( , , ) .

Le produit vectoriel

V V1 2 sexprime par

figure.13

14) Notion de torseur

On appelle torseur lensemble dfini dans un repre orthonorm :

dun vecteur notR appel rsultante du torseur T

dun champs vectoriel not

M et vrifiant la condition : RABMM BA

AM est appel le moment du torseur T au point AR et AM sont les lments de rduction du torseur T au point A

V V y z z y x z x x z y x y y x z1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )

Figure13

19

),,( zyxA

A

A

AAA

ANZMYLX

RABMRT

zZyYxXR ... :

ZYX ,, sont les composantes de R dans ),,( zyx

zNyMxLM AAAA ... :

AAA NML ,, sont les composantes de AM dans ),,( zyx au point A

R est appel rsultante du torseur

AM est appel le moment au point A du torseur

15) Changement de centre de rduction du torseur

Soit

AA

A MRT , les lments de rduction en A du torseur , les lments de rduction en B du

mme torseur sexprime par :

BB

B MRT tel que :

),,(),,( zyxB

B

B

BABBBzyx

A

A

A

AAA

ANZMYLX

RBAMR

MR

NZMYLX

MRT

Cas particuliers

Torseur nul : 000

AAA M

RT

Glisseur :

0

AAA M

RT =

RBAMR

BB 0

RBAMM AB

20

Un torseur glisseur est un torseur dont linvariant scalaire est nul : 0. BMR donc la

rsultante est au moment

Torseur couple :

AA

A MRT 0

= BMM

RTBAB

B

0

15) Opration sur les torseurs

On ne peut procder des oprations sur les torseurs que sils sont dfinis au mme point

Somme de torseurs

iM

RiTiAA

avec i = 1 n

n

iAA

n

i

A

n

i iMM

RiRTiT

1

1

1

exemple :

),,(2121

2121

2121

221

21

21

21

2

2

1

121)

zyxAA

AA

AA

ABAAAAAAAAA

AANNZZMMYYLLXX

RABMMRR

MMRR

MR

MRTT

4. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

4.1. Dfinition d'une action mcaniqueD'une faon gnrale, on appelle action mcanique toute cause physique susceptible :

de maintenir un corps au repos,

de crer, de maintenir ou de modifier un mouvement,

de dformer un corps.

4.2. Classification des actions mcaniques

Les actions mcaniques sont classes en deux familles:

Les actions mcaniques distance (champ de pesanteur, champ magntique)

Les actions mcaniques de contact (dans les liaisons mcaniques)

Un ensemble de corps tant dfini (isolement), on distingue les actions mcaniques extrieures des

actions mcaniques intrieures cet ensemble. Figure.14

21

Soient trois solides S1, S2 et S3.

Soit E l'ensemble constitu par les corps S1 et S2 :

E={ S1, S2 }.

Le bilan des actions mcaniques extrieures qui agissent sur

lensemble E stablit ainsi:

Poids de lensemble E (Action Mcanique distance :

Poids de S1 et S2).

Actions mcaniques de contact exerces par S3 sur

lensemble E aux points A, C et D (Actions

Mcaniques de contact).

(S1)(S2)

A

BC

D

(S3)

Figure.14

4.3. Force, Moment et Couple

4.3.1 Notion de force figure.15

On appelle force, l'action mcanique (attraction ou rpulsion) qui s'exerce mutuellement entre deux

solides. Ces deux solides ne sont pas obligatoirement en contact.

Une force sapplique en un point. Laction mcanique exerce par une force sur une pice dpend de :

lintensit de la force,

la direction de la force,

du sens de la force.

Lentit mathmatique Vecteur est, lui, aussi

caractris par sa Norme, sa Direction et son Sens.

Une force sera donc modlise par un vecteur,

associ un Point dapplication

Figure.15

S 1S 2

F ( S 1 S 2 )

P o i n t d app li ca ti on PP

22

Unit : Une force sexprime en Newton

Notation : F (S1S2 )

Ordre de grandeur : Une personne de masse 70 Kg a un poids denviron 700 N, soit, 70 daN.

4.3.2 Notion de moment

4.3.2.1 Moment dune force par rapport un point figure.16

Considrons un utilisateur qui souhaite, laide

dune cl, fixer la jante dun vhicule

automobile.

Il positionne sa main au point A.

Puis il commence par exercer une force F1

intgralement porte par x . Malgr sa bonne

volont, il narrive pas obtenir le serrage de la

vis.

Il dcide, alors, dincliner lgrement son action

mcanique pour obtenir la force F2 porte par

x et z . Le serrage semble samorcer.

Finalement il exerce une force F3 intgralement

porte par z . Son action mcanique semble

tre efficace Pour retirer sa cl, il exercera

une force F4 intgralement porte par y

Figure.16

OA F1

F2F3

x

y

z

F 4

Lexemple prcdent montre que les effets physiques dune A.M. dpendent de la position du point

dapplication et de lorientation dans lespace (direction et sens) de la force F associe cette A.M.

Nous sommes donc conduits introduire la notion de moment de la force F par rapport un point

pour caractriser compltement lA.M. Figure.17

23

On appelle moment par rapport au point A de la

force F applique au point M, le vecteur dorigine

A dfini par la relation :

M A(F) AM F

Unit : Newton mtre (N.m)

Figure.17

Ox

y

z

()

A

Md

_MA(F)

F

(//)

Ce vecteur moment M A(F) sera reprsent par une double flche. Il possde les caractristiquessuivantes :

- Une origine : Le point A

- Une direction : perpendiculaire au plan form par les vecteurs AM et F .

- Un sens : Le tridre (AM, F, MA (F)) est direct.

- Une norme : M A (F) AM . F .sin(AM ,F)

Exercice1

Considrons la force F13122

applique au point A305

et la la force F2073

applique au point B267

.

Les forces sont exprimes en Newtons et les longueurs en millimtres.

Calculez, par la mthode de votre choix, les moments par rapport au point O, origine du repre, de

ces deux forces.

Exercice 2

Une balanoire 3 est articule en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2 reprsentent les poids

respectifs des deux enfants 1 et 2, appliqus respectivement en H1 et H2.

On souhaite calculer les moments par rapport au point O de P1 et de P2 pour, ensuite, les comparer.

Quelle est la mthode de calcul de moments que vous prconisez? Justifiez votre rponse.

Dterminez littralement, les moments par rapport au point O des poids P1 et P2 .

Dterminez numriquement, les moments en O des poids P1 et de P2 . Vous prendrez

P1 29 daN , P2 32 daN , a = 2 m et b = 1,8 m.

Comparez ces deux moments et concluez. Figure.18

24

O

1 23

ba

H1

P1 P2

0

Figure.18

Exercice 3

Une balance romaine figure.19 se compose dun balancier 2 articul en O sur le crochet de fixation 1, et

dune masse dquilibrage 3 dont la position est rglable sur le balancier. La charge peser 4 est

accroche en B. La pese est effectue en dplaant la masse dquilibrage 3.

En supposant que le M O(P) M O(Pme ) 0 , exprimez la relation dquilibrage entre P et les autres

paramtres du problme.

Dterminez, numriquement, le poids P mesur. Pour ce faire, vous prendrez Pme 5 daN ,

a = 700 mm et b = 100 mm. Dduisez-en la masse M de la charge accroche.

BO

P

1

Pme

2 3

ab

A

Figure.19

25

Exercice 4 figure.20

La force F applique en A, modlise laction mcanique exerce par lutilisateur sur la clef.

Dterminez, littralement, par un calcul vectoriel , le moment M B(F) .

Dterminez, littralement, le moment M B(F) en utilisant la formule du bras de levier.

Dterminez, numriquement, le moment M B(F) . Pour ce faire, vous prendrez: F 150 N ,

a=125, b=14 et 30.

a

A

B

F

Figure.20

Exercice 5 figure.21

Nous souhaitons amorcer ltude de lquilibre

du portique reprsent ci-contre.

Dterminez, littralement, le moment M A(P).

Dterminez, littralement, le moment M B(P).

Dterminez, littralement, le moment M C (P) .

Dterminez, littralement, le moment M O(P).

O

A

Px

y

zOA d.x

OC h.z

AB L.y

AG L2

.y

P P.z

B

C

G

2

1

0

Figure.21

26

4.3.2.2 Application aux problmes Plans

Lorsque nous tudions un problme plan, les vecteurs moments sont ncessairement ports

par laxe perpendiculaire au plan dtude. Nous introduisons donc la notion de moment

dune force par rapport un axe : MOz

(F). Il est judicieux dutiliser la relation dite du Bras

de Levier . En effet, moyennant lutilisation dun peu de trigonomtrie, il est ais de

dterminer la longueur d. figure.22

MBz

(F) d. F

La longueur d sera affecte dun signe plus (+) si la force tend faire tourner le systme dans le

sens positif, du signe moins () dans le cas contraire. Cest donc une grandeur algbrique.

4.3.2.3 Relation fondamentale entre les moments

Soit une force F applique au point M, et deux points quelconques A et B.

Par dfinition, MA (F) AM F et MB (F) BM F

Daprs le relation de Chasles BM BA AM

Do MB (F) (BA AM)F

Soit MB (F) BAF AM F

Finalement MB (F) MA (F) BAF

Cette relation est fondamentale

Ox

y

zB M

d

MB z

(F )

Figure.22

27

4.3.3 Notion de Couple

Notre oprateur souhaite desserrer la

vis bloque installe sur la jante.

Aprs avoir utilis le premier modle

de cl sans grande russite, il prfre

utiliser un modle de type croix . Il

pose ses mains en A et en B et exerce

deux forces FA et FB telles que :

FA FB F F.z

Un rapide calcul lui donne les

moments par rapport au point O de

ces deux forces: figure.23

MO(FA ) F.L2

.y et MO(FB ) F.L2

.y

Le bilan des A.M. exerces par

lutilisateur sur la croix est compos :

OO

A

FA Fx

y

z

FB F L2

L2

dune rsultante des forces : FU FA FB F.z F.z 0

dun moment rsultant par rapport au point O : MO(FU ) MO(FA ) MO(FB ) F.L.y

La rsultante de ces deux forces est nulle. Par contre, ces mmes deux forces gnrent un

moment que lon appellera : un Couple.

4 .4.Torseur associ une action mcanique

4.4.1 Dfinitions

Une A.M. est compltement dfinie lorsque nous connaissons les deux vecteurs F et M A(F) . Nous

allons donc regrouper ces deux vecteurs dans une entit mathmatique appele Torseur.

Le toseur associ laction mcanique exerce en A, par un solide 2 sur un solide 1 sera not :

figure.24

28

(21)

A

R(21)M A (2 1)

=

A

X21 L 21Y21 M21Z21 N21

(x,y,z)

Remarques :

Le point A est un point quelconque.

R(21) et M A (2 1) sont appels lments de rduction au point A du torseur (21) .

4.4.2 Torseurs particuliers

4.4.2.1 Torseur glisseur

On appelle torseur glisseur au point A, tout

torseur associ une action mcanique dont le

moment rsultant est nul en ce point.

(21)

A

R(21) 0M A (2 1) 0

4.4.2.2 Torseur couple

On appelle torseur couple, tout torseur

associ une action mcanique dont la

rsultante est nulle.

(21)

A

R(21) 0M A (2 1) 0

Les lments de rduction dun

torseur couple sont les mmes en tout

point.

4.4.3 Oprations entre torseurs

4.4.3.1 Changement de centre de rduction

Soit : (21) A

R(21)M A (2 1)

Ecriture au point B : (21) B

R(21)M B (2 1) M A (2 1) BAR(21)

Centre de rduction

Composantes de la

Composantes du momentRsultant en A

Base de projectiondes vecteurs

Figure.24

29

4.4.3.2 Somme de deux torseurs

Soient : (21) A

R(21)M A (2 1)

(31)

A

R(31)M A (3 1)

alors : (21) (31) A

R(21)R(31)M A (2 1) M A (3 1)

Pour pouvoir additionner des torseurs, ils doivent tous tre

exprims au mme centre de rduction. Il sera parfois ncessaire

de raliser, au pralable, un changement de centre rduction.

Les vecteurs doivent tre exprims dans la mme base.

Les units doivent tre compatibles entre elles.

4.5. Actions mcaniques particulires

4.5.1 Action mcanique de Pesanteur

Laction mcanique de Pesanteur exerce par notre plante Terre sur un solide S de masse m, est une

action mcanique distance car elle ne rsulte pas dune liaison mcanique entre la Terre et S. figure.25

en un point quelconque A :

(TS )

A

R(T S) pii1

n

P

MA (T S) (AMii1

n

pi)

au centre de gravit G du solide S :

(T S )

G

R(T S) P m.gMG (T S) 0

Figure.25

4.5.2 Action mcanique due la pression dun fluide sur une surface plane

Les actions mcaniques de contact dun fluide sur une surface plane (S) se modlisent par un torseur

glisseur au centre A de la surface (S) tel que : figure.26

G

(S)

Pi Pi

Pi Pi

A

Verticaleascendante

30

n

fluide (S)

Apression p=Cte

R(f

S)

( f s ) A

R (fS) p.S.nMA (f S) 0

avec :

p : pression exerce par le fluide, sur la

surface (S). Le fluide est suppos pression

constante,

S : aire de (S) ;

n : normale la paroi oriente vers le fluide

Figure.26

Units lgale Autres units : Units historiques:

p en Pa p en MPa p en barsS en m2 S en mm2 S en cm2

R(fS) en N R(fS) en N R(fS) en daN 0,1 MPa = 105 Pa = 1 bar

4.6 Torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison parfaite

Une liaison mcanique entre deux pices dite parfaite est caractrise par :

Des volumes gomtriquement parfaits et indformables,

Des ajustements sans jeu,

Des contacts sans frottement.

Ce modle est certes, trs thorique, mais bien pratique pour raliser nos calculs de mcanique.

4.6.1 Mthode

Une Force F , intgralement porte par x , ne pourra tre transmise par une liaison, que si cette

dernire dispose dun obstacle (de la matire en contact) dans cette mme direction x , interdisant la

translation dune pice par rapport lautre.

Un Moment M A , intgralement port par y , ne pourra tre transmis par une liaison, que si celle-ci

dispose dun obstacle dans cette mme direction y , interdisant la rotation dune pice par rapport

lautre.

31

4.6.2 Application: La liaison pivot

Torseur des actions

mcaniques

transmissibles par L01

(x, y,z)

(01)

A

X01 L01Y01 M01Z01 0

4.7. Cas des problmes

admettant un Plan de Symtrie

Dans certains cas, ltude du mcanisme dans lespace peut tre dlicate et longue. On recherche alors

une possibilit de rduire ltude un problme plan, sous certaines hypothses.

4.7.1 Hypothses

La surface de contact possde une gomtrie qui prsente une symtrie par rapport un plan . Il

devra en tre de mme pour les actions mcaniques extrieures.

Nous choisissons alors un repre local dont les axes sont confondus avec les axes du

plan de symtrie.

Figure.28

x

y

z

A1 0

L01 : Liaison pivot parfaite daxe

, z)

Mobilits

Tr000

Rot00Rz

Figure.27

(P) plan de symtrie(P)

A

x

y

zA2

H

Surface de contactentre (S1) et (S2)

f1z

f1y

f1x

A1

f2zf2y

f2x

A1 et A2 (points de contact) etefforts transmissibles, symtriques

par rapport au plan (P)

32

4.7.2 Simplification

Lorsque les hypothses prcdentes sont runies, lcriture du torseur daction mcanique transmissible

par la liaison se simplifie. Il subsiste :

Les composantes de la rsultante contenues dans le plan de symtrie,

La composante du moment porte par laxe perpendiculaire au plan de symtrie .

Dans notre exemple, le plan de symtrie est ),,( yxA .

Allure gnrale (3D) : Simplification : Allure simplifie (2D) :

(x, y,z)

(21)

A

X21 L21Y21 M21Z21 N21

(x, y,z)

(21)

A

X21 L21Y21 M21Z21 N21

(x, y,z)

(21)

A

X21 0Y21 00 N21

(6 inconnues) (3 inconnues)

Torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison parfaite

Dsignation

de la liaison

Schmatisation

spatialeMobilits

Torseur

daction

mcanique

transmissible

Torseur daction

mcanique

Simplifi

Schmatisation

plane

Pivot

daxe (A, x )Tr

000

RotRx00 A

X12 0Y12 M12Z12 N12

Symtrie par

rapport

(A, y , z )

A

0 0Y12 0Z12 0

1

2y

z

Glissire

daxe (A, x )Tr

Tx00

Rot000 A

0 L12Y12 M12Z12 N12

Symtrie par

rapport

(A, x , z )

A

0 00 M12

Z12 0

x

z

1

2

33

Pivot glissant

daxe (A, x )

TrTx00

RotRx00

A

0 0Y12 M12Z12 N12

Symtrie par

rapport

(A, y , z )

A

0 0Y12 0Z12 0

1

2y

z

Appui plan

de normale

(A, x )

Tr0

TyTz

RotRx00 A

X12 00 M120 N12

Symtrie par

rapport

(A, x , y )

A

X12 00 00 N12

1

2

y

x

Rotule

de centre ATr

000

RotRxRyRz A

X12 0Y12 0Z12 0

Symtrie par

rapport

(A, x , y )

A

X12 0Y12 00 0

2

1

y

x

Linaire

annulaire

daxe (A, x )

TrTx00

RotRxRyRz

A

0 0Y12 0Z12 0

Symtrie par

rapport

(A, x , z )

A

0 00 0

Z12 0

x

z2

1

Linaire

rectiligne

de normale

(A, x )

Tr0

TyTz

RotRxRy0 A

X12 00 00 N12

Symtrie par

rapport

(A, x , z ) z

x2

1

34

et de contact

(A, y )A

X12 00 00 0

NB : Le torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison glissire hlicodale nest pas

modlisable aussi simplement.

Dans le chapitre suivant, nous mettrons en place un Principe que nous utiliserons pour dterminer (entre

autres) les inconnues de liaisons

5. E L A S T I C I T E5.1. La dformation plastique

L'tude des proprits mcaniques des mtaux et en particulier leurs proprits plastiques a un intrt

pratique considrable. Une grande partie de la recherche en mtallurgie pour but la mise au point

d'alliages rsistance mcanique et tonalit de plus en plus leve. L'effort de traction vitesse

constante d'allongement permet l'tude dtaille des proprits mcaniques de base, mais cette tude

peut tre complte par des observations micrographiques, qui peuvent mettre en vidence les modes de

dformation plastique, l'tape de perfection de la structure cristallise (prsence de dfauts cristallises).

Dans ce contexte, la thorie des dislocations joue un rle important, car elle nous permet de prvoir

quelques donnes essentielles de la dformation plastique. Considrons un monocristal soumis un

effort de traction (fig.29). Diverses familles de plans de glissements sont possibles pour les dislocations,

les plans (111) par exemple dans la structure CFC.

Lorsque la charge de traction est assez leve, on aura une contrainte de cisaillement maximum, qui

provoquera le dplacement et le multiplication des dislocations, ce qui conduit au glissement des

diverses tranches parallles du cristal les unes par rapport aux autres (fig.30).

35

Figure.29

36

Figure.30 Lignes de glissement dans l'aluminium

micrographie optique (150).

5.2 Aspects micrographiques de la dformation plastique

5.2.1 Glissement

La dformation plastique s'effectue essentiellement par glissement suivant le schma de la figure 1

et plus rarement (basse temprature, forte vitesse) par maclage.

5.2.1.1 lignes de glissement

Lobservation au microscope optique montre d'une manire gnrale des faisceaux de lignes

parallles sur la surface, dont le nombre croit avec la dformation plastique. Ces lignes sont en fait des

marches dues au processus de glissement des dislocations. La figure 2 montre l'aspect de ces lignes sur

un monocristal d'aluminium initialement poli lectrolytiquement, puis dform de 5%. Connaissant

l'orientation du cristal, le systme de glissement peut tre dtermin. Cependant, l'observation

37

micrographique normale est parfois trompeuse, et des"bandes" de glissement assez larges, tudies au

microscope lectronique grce la technique des rpliques, apparaissent formes de petits segments de

lignes de glissement fines et droites (fig.31). La distance entre lignes de glissement est de l'ordre de

0.01 1 m et la valeur du glissement (hauteur de la marche): 10 1000 A. Dans les mtaux CC, (le fer

(X en particulier), les lignes de glissement ne sont gnralement pas rectilignes, elles sont sinueuses

(sauf basse temprature). En effet, le fer n'a pas un systme de glissement simple, et, pour une

direction de glissement, plusieurs plans de glissement sont actifs qui appartiennent tous une mme

zone . Ce phnomne peut s'interprter en termes de glissement dvi fig.32.

Figures 31 et 32 Lignes et bandes de glissement

La composante vis de la dislocation pouvant changer de plan de glissement, quand il en existe plusieurs

pour une mme direction de glissement b'. Le glissement peut tre observ galement dans la masse du

mtal, en attaquant une section polie par un ractif mettant en vidence les points d'mergences des

dislocations, les figures d'attaque sont aligns suivant l'intersection du plan de glissement avec la surface

observe. La topographie des rayons X se prte bien l'observation des dbuts du glissement dans un

cristal de haute perfection.

38

5.3. Polycristaux

Les courbes ont gnralement un aspect simple et comprennent un domaine linaire o la

dformation est lastique, un domaine plastique d'allure parabolique, suivi ventuellement d'une

dcroissance de la charge (striction). Les courbes se terminent au point correspondant la rupture de

l'prouvette.

Les diverses caractristiques mcaniques partir de la courbe de traction sont donnes ci dessous

5.3.1. Proprits lastiques

Lorsqu'on exerce une contrainte (force) sur un cristal, celui-ci se dforme. Si le cristal reprend sa

forme initiale lorsque la contrainte est relche, la dformation est dite lastique (absence de

dformation permanente ou plastique). Dans le domaine lastique la dformation est proportionnelle la

contrainte, c'est la loi de Hooke (fig.33)

Figure.33 courbe effort allongement

La courbe releve au cours de l'essai de traction est connue sous le nom de diagramme d'essai de

traction.

- la partie OB correspond une dformation lastique, les allongements sont proportionnels aux

charges.

- Le point B correspond la fin de l'lasticit ou Pe est la charge de limite lastique.

- La partie BC correspond aux dformations permanentes (plastiques), les allongements croissent trs

vite avec la charge.

39

- Le point R correspond au moment de l'apparition de la rupture avec PR charge de la rupture.

En gnral la contrainte normale est dtermine par: = F/ S0 (N / mm2 )

F: la charge instantane

S0 : section initiale de l'prouvette.

L'allongement s'crit alors:

= l / lo = l- lo / llo = longueur initiale

l = longueur aprs allongement.

Tang = E.

= E.

E : module d'lasticit.

: Allongement e x.100%

Le : contrainte limit d'lasticit.

Les contraintes infrieures e produisent pratiquement que des dformations lastiques. La limite

lastique 0.2 correspond la contrainte provoquant une dformation lastique et durant la quelle on

peut observer une chute de la charge lors de l'essai. Il existe la limite lastique suprieure et infrieure.

Pour les matriaux sans variation de limite lastique, on dtermine la limite lastique quivalente 0.2, il

est frquent que la limite lastique est choisie comme une caractristique de la rsistance. La contrainte

laquelle est effectue la rupture s'appelle rsistance la rupture r, donc: r =Fmax /Ao (N/mm2)

Dans ce cas la rupture s'effectue dans la partie ascendante du diagramme, dans le cas o la rupture

s'effectue dans la partie ascendante du diagramme ou:

r =Fr /Ao (N/mm2)

Dans le cas des mtaux plastiques, une fois les contraintes atteignent la valeur de rupture, la dformation

se concentre en un secteur dtermin de l'prouvette o apparat un rtrcissement de la section appele

Striction (fig. 34).

Figure.34

40

La charge diminue brusquement et en certain moment l'prouvette se rompt la valeur r

La striction = So-S / So x 100%Les diagrammes contraintes- allongements diffrent d'un mtal un autre (fig.35).

Fig.35

Modules d'lasticit E (n/mm2)

Diamant : 120.104

Wolfram : 35.104

Acier : 20.104

FGL : 5.104

Porcelaine : 55.103

Alliage Al :70.103

Caoutchouc :

41

Dans un mtal bien recuit on n'observe qu'un petit nombre de dislocations qui sont les traces du rseau

du Frank. Dans un mtal dform la densit de dislocations croit avec la dformation, plus vite dans les

monocristaux que dans les polycristaux. Dans le cuivre et l'argent polycristallins on trouve ainsi

/ ~ 2.1011 cm~2.Une relation tout fait gnrale (poly- et monocristaux) a t tablie entre la contrainte d'coulement et

la densit de dislocations .

5.4.1 modules d'lasticit

Diffrents modules peuvent tre dfinis pour un corps solide isotrope, c'est--dire un solide lastique

idal auquel s'applique par dfinition la loi de Hooke. Voyons brivement les cas de quelques

sollicitations simples.

Traction: la contrainte est la force applique par unit d'aire. La dformation est l'allongement

relatif (l ~ l0)/ l0. La loi de Hooke s'crit:

= E.

O E est le module d'Young. Il vaut environ 200GPa pour l'acier, 100 pour le cuivre, 10 pour le plomb.

La mme dfinition s'applique au cas de la compression. L'allongement est accompagne d'une

contraction latrale gale r / r0 = - ou v est le coefficient de poisson.La variation relative de section est donc:

S / So = 2 r / ro = -2

et la variation relative de volume: V / Vo = L / Lo + S / So = -2

L'exprience montre que v n'est pas gal 1 / 2, mais plutt voisin de 1 / 3, il y a lgre augmentation de

volume au cours de la traction. Dans une prouvette sollicite en flexion plane, une face est en traction,

l'autre en compression; il existe une rgion non dforme appele fibre neutre.

Cisaillement : Dans la traction ou la compression, les contraintes sont normales aux faces sur lesquelles

elles s'exercent; dans le cisaillement elles sont parallles ces faces, c'est--dire tangentielle.

La contrainte est toujours la force par unit d'aire (fig.36): on l'appelle dans ce cas scission ; la

dformation s'exprime en valeur relative par le dplacement par unit d'paisseur, c'est--dire par

l'angle indiqu sur la figure. La loi de Hooke s'crit =

42

O est le module de coulomb.

On dmontre trs facilement que E et sont relis par l'quation:

= E / 2 (1+v)Dans une prouvette sollicite en torsion, la dformation est un cisaillement pur.

Figure.36Cisaillement

O est un facteur de l'ordre de l'unit et une contrainte qui est sensiblement nulle pour les cristaux

CFC.

La distribution des dislocations n'est pas homogne. Pour de trs faibles dformations, les configurations

sont simples et correspondent des schmas thoriques classiques: diples, multiples, supercrans,

intersections et jonctions, boucles

Si l'nergie de dfaut d'empilement est faible, les dislocations s'accumulent dans leur plan de glissement,

et leur densit augmente continment avec la dformation. Par contre, pour les mtaux de forte nergie

de dfaut, le glissement dvi est possible: ds 1 ou 2% de dformation, les dislocations ont tendance

former des cheveaux. Les annihilations mutuelles, qui constituent un vritable processus de restauration

dynamique, conduisent un quilibre partiel entre dislocations cres, en nombre fonction de la vitesse

de dformation, et dislocations annihiles, en nombre fonction de la temprature. Les cheveaux forment

des parois qui dlimitent des cellules plus ou moins parfaites (fig.37 et 38). Pour E=10%, elles ont un

diamtre d'environ 1m. Au fur et mesure que la dformation progresse, les parois se densifient et la

taille des cellules diminue lgrement. Pour l'aluminium et le cuivre, aprs crouissage lev, une

structure cellulaire est observe, analogue celle qui serait visible dans d'autres mtaux crouis aprs un

43

recuit de restauration. Dans les mtaux plus faible nergie de dfaut d'empilement, les parois sont plus

floues. Dans les alliages trs faible nergie de dfaut (~20mJ.m-2) comme les aciers inoxydables

austnitiques, on n'observe pratiquement jamais de cellules.

Pour observer le mouvement des dislocations et leurs configurations sous contrainte. On effectue des

observations dynamiques, en tractionnant et en chauffant ou refroidissant l'chantillon dans le

microscope lectronique. La ralisation des appareils trs haute tension (1MeV ou plus) permet de

telles observations in situ.

Sur des micro prouvettes de quelques microns d'paisseur: le glissement des dislocations, le glissement

dvi, des sources actives, des ractions de jonction, etc... ont pu tre observs et films, et de nombreux

modles thoriques examins.

Fig.37

Fig.38

44

5.5. Caractristiques mcaniques

La conduite du choix d'un matriau pour un composant devant assurer une fonction donne relve

donc de l'analyse des proprits que doit prsenter ce matriau pour satisfaire le besoin. L'ingnieur

dfinit ainsi un profil matriau.

Parmi ces caractristiques, la limite d'lasticit et la rsistance la traction sont sans nul doute celles

auxquelles l'ingnieur pense en premier lorsqu'il conoit. Rappelons que ces grandeurs sont des

caractristiques conventionnelles dfinies par la norme (norme A3-151 pour les aciers). Elles sont

obtenues partir de la courbe conventionnelle de traction. La duret reprsente galement une

caractristique trs intressante car trs facile mesurer. En outre, elle est troitement lie la limite

d'lasticit du matriau et galement son comportement plastique (crouissage). Toutes ces

caractristiques de rsistance sont troitement lies aux dfauts de la structure cristalline sur lesquels on

reviendra plus tard.

5.5.1. la limite d'lasticit en traction

Pour les mtaux

A l'chelle microscopique, la limite d'lasticit correspond au niveau de contrainte qu'il faut appliquer

pour activer les mouvements de dislocations, dfauts de la structure cristalline, dans un nombre

suffisamment important de grains. La limite d'lasticit d'un matriau polycristallins est en moyenne 1.5

fois suprieure celle du matriau monocristallin. Ici apparat l'intrt des matriaux polycristallins vis

vis de cette caractristique de rsistance. Par dfinition, la limite d'lasticit (note Re) est la valeur de la

contrainte conventionnelle F/S0 correspondant la transition lastique- plastique du comportement du

matriau soumis

la traction uniaxiale. Dans le cas des aciers doux ( faible teneur en carbone), la dformation plastique

dbute par une plastification htrogne. La courbe de traction prsente alors un palier en dent de scie,

appel palier de Piobers-Luders. Il faut alors dfinir une limite d'lasticit haute, note Reh, qui

correspond au pic de traction prcdant le palier.

Ce pic de contrainte traduit la contrainte ncessaire pour amorcer le premier glissement plastique. On

dfinit galement une limite d'lasticit basse, note Rel, et qui correspond la contrainte la plus faible

observe sur ce palier. Pour sa part, la longueur du palier de dformation plastique htrogne est note

Ap%. Pour beaucoup d'autres alliages, la transition lastique- plastique est progressive: c'est le cas en

autre pour les aciers de traitements thermiques, les alliages d'aluminium. La norme dfinit alors pour ces

matriaux une limite d'lasticit conventionnelle correspondant un certain taux de dformation

plastique (dformation permanente), le plus souvent fix 0.2%. Cette valeur est note Rp0.2 (exprime

en MPa). Dans certains domaines de la conception (construction aronautique en autres), les ingnieurs

45

retiennent la limite d'lasticit conventionnelle 0.02% (Rp0.02). La figure 39 ci-dessous illustre ces

conventions.

Figure.39 courbe conventionnelle de traction et limite d'lasticit

Pour les cramiques

Les cramiques et les verres sont peu rsistants en traction et ils sont fragiles: aucune plasticit

n'apparat avant la rupture; la limite d'lasticit et la rsistance la traction sont confondues. Ils se

comportent beaucoup mieux en compression. C'est donc cette caractristique qui sera retenue pour

caractriser le comportement de ces matriaux.

Figure.40 courbe conventionnelle de traction d'une cramique et rupture fragile.

46

Pour les polymres

La limite d'lasticit correspond la limite d'lasticit apparente, c'est--dire la contrainte laquelle la

courbe contrainte-dformation devient clairement non linaire. Cela correspond typiquement une

dformation de l'ordre de 1%. A l'chelle microscopique, cette limite correspond au glissement

irrversible des chanes molculaires (microfissuration) et l'apparition de zones de faible densit qui

diffusent la lumire, faisant apparatre le polymre blanc.

Figure.41courbe de traction conventionnelle pour un polymre.

Pour les composites

Tout comme les cramiques, ces matriaux prsentent un comportement purement lastique. Pour ces

matriaux, la limite d'lasticit conventionnelle peut tre dfinie comme tant la contrainte

correspondant un certain taux de dformation, fix en gnral 0.5%.

5.5.2. Modules d'lasticit

Les modules d'lasticit longitudinal E (ou module de Young) et transversal (G) (module de

Coulomb) et de compressibilit (K) traduisent la raideur d'un matriau. Cette raideur est principalement

lie la nature des liaisons interatomiques assurant la cohsion du rseau cristallin ainsi qu' la densit

de ces liaisons en rapport avec la nature des liaisons. Ces liaisons ont un comportement lastique. La

raideur du matriau est lie son comportement lastique. Ainsi, les modules les plus levs sont

observs pour les matriaux mtalliques caractriss par des empilements atomiques ( la base de la

structure cristalline) extrmement denses (structure cubique faces centres CFC ou hexagonale

47

compacte HC) et des liaisons interatomiques covalentes de grande raideur. A l'oppos, les polymres

prsentent des modules faibles, en rapport avec la raideur des liaisons secondaires liant entre elles les

chanes carbones. Pour un matriau isotrope, hypothse retenu pour les alliages mtalliques observs

l'chelle macroscopique (chelle de l'ingnieur), module longitudinal, transversal et de compressibilit

sont lis entre deux par certaines relations. En ce qui concerne les matriaux

mtalliques, on a en gnral

G~. E /8 et K >> ELe module d'lasticit longitudinal correspond en pratique la pente de la partie linaire de la courbe

conventionnelle de traction (contrainte F/So - allongement relatif L/Lo obtenue partir d'un essai de

traction uniaxial au cours duquel est enregistr le diagramme de traction classique

(force F- allongement ~ l ). Cependant, il est ncessaire d'instrumenter l'essai soit avec des jauges de

dformations directement colles sur la partie calibre de l'prouvette (opration dlicate sur prouvette

cylindrique) soit en utilisant un extensomtre, appareil annexe de trs grande prcision (extensomtre

jauges, extensomtre vise LASER). L'analyse vibratoire ou l'analyse par ondes ultrasonores

constituent d'autres moyens trs prcis de mesurer ce module.

5.5.3. La rsistance la traction

Mme si cette caractristique est beaucoup moins utile pour l'ingnieur (il est rare de dimensionner

la rupture statique) il n'est pas inutile de la rappeler ici.

Pour les mtaux

Elle ne correspond pas la contrainte applique au moment de la rupture, partir de laquelle on voit

apparatre localement un tranglement de la section. Au niveau de contrainte, la dformation plastique,

qui jusque l tait repartie uniformment, se concentre dans cette zone d'tranglement appel zone de

striction. Sur la courbe conventionnelle de traction, elle correspond la valeur maximale de la contrainte

conventionnelle F / So.

A l'chelle microscopique, cela correspond une stabilit plastique li un taux d'endommagement trs

important (densit de dislocation trs importantes avec informations d'amas de dislocations pouvant

constituer des microcavits). A partir de ce niveau de contrainte, un col de striction apparat la vitesse

de dformation augmente. La contrainte relle (effort ramen la section rellement rsistante)

augmente considrablement jusqu' ce que la section rsistante soit insuffisante. Il y'a alors rupture

fragile.

Pour les cramiques

Le comportement fragile des ces matriaux se traduit par le fait que limite d'lasticit et rsistance

la traction sont identiques.

Pour les polymres

48

Il est rare de parler de cette caractristique par les polymres. Elle correspondrait alors la contrainte

rupture.

5.5.4. La duret

Pour les mtaux

La duret caractrise la rsistance que prsente le matriau la pntration d'un indenteur sur lequel

on exerce un effort. Au cours de l'essai de duret, l'effort appliqu sur l'indenteur est suffisamment

important pour laisser une trace la surface de l'chantillon de matriau test. Le rapport de l'effort la

surface de l'empreinte laisse par l'indenteur dfinit cette duret. Bien qu' priori, la duret ait la

dimension d'une contrainte, la norme spcifie des chelles de duret correspondant aux diffrentes

mthodes employes. Citons pour les principales, l'essai Brinell, l'essai Vickers ou l'essai Rockwell.

Chaque technique prsente un domaine d'utilisation et sur le domaine commun, il y a naturellement une

certaine corrlation entre les valeurs fournies par chacune des mthodes. Il est donc important de bien

spcifier l'chelle de duret utilise lorsque l'on veut comparer diffrents matriaux de ce point de vue.

La trace laisse par l'indenteur aprs dcharge provient de la dformation plastique occasionne par l'tat

de contrainte local cre par la charge applique sur l'indenteur. On comprend donc que la duret soit

extrmement lie:

- d'une part, la limite d'lasticit du matriau: la contrainte locale doit conduire la plastification du

matriau;

- d'autre part, la capacit d'crouissage du matriau: plus on dforme plastiquement, plus il faut

augmenter la contrainte pour pouvoir poursuivre la dformation.

Il n' y a pas de rgles simples reliant la duret et les autres caractristiques de rsistance mcanique.

Cependant certaines lois empiriques ont t proposes. On peut citer celle de Tabor que relie la duret de

Vickers la contrainte de traction provoquant une dformation totale de 8%; Hv = 3 0,08 ou celle de

propose par l'IRSID pour les matriaux faible coefficient d'crouissage reliant la duret de Brinell et

la rsistance la traction: HB = 3 Rm.

5.5.5. La tnacit (rsistance en rupture)

La tnacit est une caractristique mcanique de rsistance qui relve de la mcanique de la rupture,

c'est--dire de la mcanique des pices initialement fissures. Elle exprime la rsistance du matriau la

propagation d'une fissure. Elle est dfinie soit par le facteur d'intensit de contrainte critique Kc soit par

l'nergie de rupture Gc.

Le chargement d'une pice fissure induit une modification du champ de contrainte fond d'entaille

(cela rappelle la notion de concentration de contrainte pour les formes discontinues des pices

mcaniques). On dfinit alors le facteur d'intensit de contrainte K. Il caractrise l'intensit de la

singularit du champ de contrainte la pointe de la fissure. Ce facteur d'intensit de contrainte dpend:

49

du mode de sollicitation de la fissure.

mode 1: en traction-sollicitation normale au plan de a fissure (direction y).

mode 2: en cisaillement plan-cisaillement suivant x.

mode 2: en cisaillement antiplan-cisaillement suivant z. de la gomtrie de la fissureet de la pice.

Figure.42. Conventions pour les diffrents modes de chargement d'une pice fissure.

Si l'on augmente le niveau de chargement, la fissure s'agrandit jusqu' une taille critique partir de

laquelle elle se propage brutalement entranant la rupture de la pice. A cette taille critique correspond

une valeur du facteur d'intensit de contrainte note Kc appele de ce fait facteur d'intensit de

contrainte critique. Ce facteur dpend bien sr du mode de chargement mais galement du matriau.

L'unit de cette caractristique est le MPa.m1/2. la rupture d'une pice fissure peut tre occasionne par

une augmentation statique du chargement. Elle peut galement provenir du fait d'un chargement

cyclique dont le niveau maximal n'aurait pas entran la rupture si le chargement avait t statique. Il

'agit l d'un phnomne de plastification locaux.

50

La rupture des mtaux n'est pas un phnomne simple. Elle dpend du matriau, de la temprature, du

mode de sollicitation (traction, flexion, fatigue,) et de la vitesse d'application des contraintes.

5.5.6. Types de ruptures

Diffrents critres sont utiliss pour diffrencier les types de rupture, ductile et fragile:

Un critre macroscopique ou mcanique: prsence ou absence de dformation plastique avant la rupture;

voir par exemple la figure 43 pour le cas de l'essai de traction.

Un critre microscopique, fond sur l'observation du facis de rupture, et qui peut dpendre de l'chelle

laquelle est observ la cassure.

Figure.43 rupture ductile ( droite); et rupture fragile ( gauche)

Aussi un facis microfractographique ductile peut-il se rencontrer en gnral aprs une rupture ductile,

mais aussi aprs des ruptures fragiles au sens de la mcanique de la rupture (par exemple alliages CFC

haute rsistance). Inversement, il est possible d'observer des clivages sur des ruptures ductiles, c'est--

dire prcdes d'un allongement macroscopique apprciable.

Facis fractographique

La rupture fragile peut correspondre soit une dcohsion intergranulaire (fragilit intergranulaire

froid de certains alliages), soit une rupture des grains suivant des plans cristallo-graphique simples:

c'est le clivage, la surface de rupture prsente un aspect caractristique de petites facettes (une par grain)

qui rflchissent la lumire, do le nom facis "grains" ou "cristallin".

51

Au contraire, une surface de rupture ductile prsente gnralement un aspect gristre et granuleux, dit "

nerf", d la forte irrgularit du profil l'chelle microscopique. Sur des prouvettes de traction, on

observe la rupture en coupelle, qui se forme dans la zone de striction par dchirure interne

perpendiculairement l'axe de traction et s'achve par cisaillement oblique dans les parties marginales.

A temprature leve, on peut aussi observer une rupture en pointe, sans surface de rupture proprement

dite, par suite de striction complte. L'examen oculaire des surfaces de rupture peut tre assez trompeur.

Souvent il y a mlange de facis de rupture ductile et fragile et le microscope lectronique

transmission, par la technique des rpliques, et le microscope lectronique balayage permettent un

examen srieux des cassures (microfractographie lectronique (fig.44a). c'est cet examen qui permet de

dcider du caractre rellement fragile (fig.44.b) ou (fig.44.c) de la rupture, plutt que le critre de la

dformation plastique pralable. La rupture fragile en ce sens peut donc se produire aprs une certaine

dformation plastique. Elle peut coexister dans un mme chantillon avec des zones de rupture ductile.

Figure.44 a

52

Figure.44 b

Figure.44 c

5.5.7. Rupture ductile.

a) Mtaux industriels.

- Dans les mtaux industriels la surface d'une rupture se prsente, quel que soit le ct de la cassure

examin, comme une juxtaposition de "cupules" au fond desquelles on observe souvent un prcipit ou

une inclusion. La rupture peut alors s'expliquer par la succession de trois stades (fig.45).

53

- formation de fissures l'interface des particules prsentes dans le mtal, car si celles-ci sont plus dures

que la matrice, elles ne se dforment pas;

- croissance partir de ces fissures de trous qui s'allongent dans le sens de la dformation;

- rupture des pdoncules de mtal sparant les trous par striction complte ou par cisaillement. C'est ce

mcanisme qui joue dans la rupture en coupelle dont nous avons parl plus haut. En fait le facis en

cupules, observ par micrographie lectronique, est le facis typique de la rupture ductile.

La ductilit du mtal, mesure par exemple par la striction, dpend donc de la fraction en volume des

particules. On a montr au moyen d'alliages synthtiques contenant de fines dispersions d'inclusion, que

la ductilit varie peu comme l'inverse de cette fraction.

Figure.45 Mcanismes de la rupture ductile

b) Monocristaux.

Le mcanisme prcdent n'agit gnralement pas dans les monocristaux du fait de leur puret. Dans

les cristaux CC ou CFC, l'existence de plusieurs systmes de glissement rend possible la striction, et

l'prouvette se rompt par striction complte (rupture en pointe ou en ciseau).

54

Dans les monocristaux HC ceci n'est pas possible si le glissement basal est seul actif. La rupture peut

se produire alors par cisaillement complet de l'chantillon suivant un plan de glissement.

5.5.8. Rupture fragile par clivage.

Les mtaux CC, contrairement aux CFC, sont sensibles la rupture fragile. Il doit donc s'agir d'une

proprit intrinsque de cette structure. En fait, d'une manire gnrale, les mtaux CC sont fragiles

basse temprature, et il existe une zone de temprature vers 0.27TF o se fait la transition d'un

mode de rupture l'autre. On la caractrise par une "temprature de transition" fonde plus ou moins

arbitrairement sur la mesure d'une proprit mcanique (allongement de rupture, striction, rsilience,

etc.) ou sur le facis de la cassure. Cette proprit des mtaux CC a une importance technologique

considrable, tout spcialement dans le cas des aciers ou la temprature de transition peut se situer

en voisinage de l'ambiante. Elle se trouve trs sensible la composition, aux traitements thermiques

et la vitesse de sollicitation (fig.46). Le risque de rupture fragile est particulirement li la

temprature. Aux dfauts et aux concentrations locales de contrainte. Les essais classiques de

rupture fragile sont effectus vitesse de sollicitation leve et sur des prouvettes entailles de

manire relever la temprature de transition

Figure.46

55

Dans les cristaux HC basse temprature, la rupture se produit galement par clivage. Le zinc peut

tre cliv ds la temprature ambiante, plus ou moins facilement suivant son orientation, mais -195c

sa rupture procde toujours par clivage. Le clivage se produit suivant des plans cristallographiques

simples: (001) dans les mtaux CC, (0001) dans le zinc.

Il est facile de calculer thoriquement la contrainte de traction critique aR pour produire la dcohsion

suivant le plan de clivage. En effet, la rupture fait apparatre deux surfaces libres et:

6r=(YE/a)1/2

O y est nergie superficielle, E le module d'Young, a le paramtre. Avec E=100 GPa

y=1J/m2, a=3A, on trouve ~ R ~ 10GPa. Or, la contrainte normale de dcohsion par clivagedans les monocristaux est de quelques dizaines ou certaines de MPa (Fe(x -185C, aR=280MPa). On

se retrouve devant une difficult qui rappelle le problme de la limite d'lasticit thorique: un processus

de propagation des fissures partir de certains dfauts, les microfissures prsentes initialement ou

formes au cours de la dformation. C'est le problme de la rupture fragile. Au sens microscopique du

terme.

5.5.9.La rsistance en fatigue

La rsistance en fatigue d'un matriau traduit sa capacit subir un cycle de chargement rgulier ou

alatoire. Si l'on fait subir une pice mcanique un chargement non constant dans le temps dont le

niveau maximal ne dpasse pas la rsistance la traction du matriau, on peut observer la rupture de la

pice au d'un nombre plus ou moins grand de cycles.

Pour les mtaux

Ce comportement est li aux dplacements des dislocations dans quelques grains, surtout, situs en

surface de la pice car c'est en surface que l'on observe les niveaux maxima des contraintes (chargement

gradient de contrainte, type flexion, et/ou zone de concentration de contrainte). Ces grains sont en fait

favorablement orients par rapport au chargement pour que l'tat de contrainte qui y rgne entrane la

plastification du grain. Le chargement changeant sans cesse de direction, ces mouvements de

dislocations finissent par dboucher en surface et crent des microfissurations qui finiront par coalescer

pour donner naissance une macrofissure (sur plusieurs grains) qui se propagera jusqu' atteindre une

taille critique entranant la rupture brutale de la pice. Les principaux paramtres influant sur ce

comportement sont la contrainte moyenne (moyenne des contraintes appliques au cours du cycle) et la

contrainte alterne (demi-amplitude du cycle de contrainte). Lorsqu'un mtal est soumis des

sollicitations mcaniques qui varient avec le temps, la rupture peut se produire pour des valeurs de la

contrainte maximale bien infrieures la rsistance la rupture ou mme la limite d'lasticit du

matriau: c'est la rupture en fatigue.

56

En pratique il s'agit de sollicitations priodiques frquence leve (moteurs, vhicules) ou faibles

(cellules d'avion, constructions mtalliques soumises au vent). On appelle fatigue ou endommagement

par fatigue la modification des proprits des matriaux constrictive l'application de cycles de

contrainte rpts et endurance la capacit de rsistance la fatigue.

5.5.10. Aspects macroscopiques

Les essais de fatigue se traduisent par la courbe de Whler qui reprsente pour chaque valeur de la

contrainte maximale applique le nombre de cycles rupture La courbe de Whler permet de distinguer

trois domaines:

1.- fatigue plastique oligocyclique

Sous forte contraintes suprieures la limite d'lasticit macroscopique. Le nombre de cycles rupture

NR (entre 1 et 105) est reli la dformation plastique lmentaire P accompagnant chaque cycle par

la loi de coffin: N R1/2.P = cte.

2.-fatigue ou endurance limite

la rupture apparat aprs un nombre limit de cycles,~105 107. Le nombre de cycles rupture NR

crot lorsque l'amplitude de la contrainte priodique dcrot:

N r (-D )n ~ cte,D est la limite d'endurance.

3.- endurance limite ou zone de scurit, sous faible contrainte

La rupture ne se produit pas avant un nombre donn de cycles, 107ou plus; les microfissures ne

peuvent pas se former, ou encore ne peuvent pas atteindre un stade de dveloppement critique. Pour

certains mtaux comme l'aluminium le passage entre les domaines de fatigue et de scurit est trs

progressif, parfois il n'apparat pas de limite d'endurance asymptotique. Pour les aciers ferritiques, la

courbe prsente un coude accentu qui permet la dtermination d'une limite d'endurance.

Les courbes de Wohler sont en outre sensibles la valeur de la contrainte moyenne applique, la

frquence et la nature de la sollicitation, l'tat de surface, au milieu ambiant (dure de vie beaucoup

plus leve sous vide qu' l'air) et la temprature.

57

5.5.11.Dure de vie et volution structuraleAu cours de la dure de vie d'une prouvette on peut

distinguer plusieurs stades:

1/ l'accommodation au cours duquel la microstructure volue; 2/ l'endommagement qui recouvre des

stades d'amorage, puis de propagation de fissures; 3/ la rupture finale.L'importance de ces divers

processus dpend videmment du niveau de contrainte ou de dformation impose. C'est ainsi que le

nombre de cycles passs au stade d'amorage est d'autant plus grand, que le nombre de cycles rupture

est lui-mme plus grand

.a) accommodation.

Ce stade correspond au petit nombre de cycles. Il revt une importance particulire, et se prte bien

l'tude, dans les cas de la fatigue plastique ou oligocyclique: il correspond la partie la plus gauche de

la courbe de Wblher.En fatigue plastique, le matriau est soumis une dformation plastique alterne

rpte; onobserve des cycles d'hystrsis successifs c r, c, au cours desquels la contrainte volue

(accommodation) avant de stabiliser au bout de quelques milliers de cycles: on atteint un tat de rgime

o les cycles se superposent. Pour chaque valeur de la dformation c, ou mieux de la dformation

plastique sP, on obtient une contrainte de rgime ou de saturation aS. Le lien des points aS, sP dfinit

une courbe de durcissement par crouissage cyclique. Dans les polycristaux elle peut tre reprsente

par une loi parabolique, comme la courbe de "durcissement monotone" (obtenue en traction simple). Par

rapport cette dernire, on observe suivant les matriaux, un durcissement ou un adoucissement.

Dans las monocristaux, la courbe d'crouissage cyclique prsente un palier partir d'une certaine

dformation seuil: au dessous de celle-ci les dislocations rarrangent en cheveaux ou veines. Au dbut

du palier apparaissent des bandes de dformation localises, parallles au lan de glissement, appeles

"bandes persistantes" o la dformation est trs leve (10-5 10), alors qu'elle est cent fois plus faible

dans le reste du mtal (fig.47). Si l'on accrot la dformation impose, les bandes persistantes occupent

progressivement toute l'prouvette.

p

58

Figure.47. Bandes de glissement persistantes dans un monocristal de cuivre soumis une dformation

plastique oligocyclique gale 1.5.10-3. En haut, relief superficiel observ par microscopie

lectronique balayage. En bas, micrographie lectronique en transmission : M matrice crouie,

P.S.B bande de glissement persistante (le plan de glissement est perpendiculaire au plan de le

micrographie). D'aprs H.Mughrabi (Max Planck Institut).

Ces bandes prsentent une microstructure en canaux allongs dans le plan de glissement, spars par

des murs de dislocations, visibles par la tranche sur la micrographie de la figure 34. Les bandes

persistantes sont trs visibles dans les mtaux CFC, o elles sont favorises par une forte valeur de

l'nergie de dfaut d'empilement (facilit du glissement dvi). Elles sont plus diffuses dans les alliages

CC. Dans les alliages, le cisaillement des prcipits par les dislocations favorise la formation des bandes

persistantes. Dans les polycristaux, la fatigue oligocyclique produit une microstructure en cellules

(diamtre ~ze m), aux parois d'autant plus fines que la dformation est plus leve, et d'autant mieux

dfinies que l'nergie de dfaut d'empilement est plus forte.

59

b) Amorage et propagation des fissures

La figue 48 montre des courbes de propagation d'une fissure pour diverses valeurs de la contrainte

et fait apparatre la limite d'endurance a1 telle que la fissure ne se propage pas. Les observations

macroscopiques et microscopiques permettent de distinguer 3 stades (diagramme de Forsyth.fig.48).

Figure.48 Longueur l d'une fissure de fatigue en fonction du nombre de cycles N pour

diverses valeurs de la contrainte maximale.

Amorage:

Une dformation plastique localise est ncessaire pour amorcer une microfissure. Elle se produit en

des points ou existe une concentration de contrainte, par suite des irrgularits de surface, des inclusions,

des jonctions de plusieurs joints de grains. Cet effet peut tre exalt en surface par des facteurs

macroscopiques tels que les rayures, les entailles, les filets, les raccordements sans cong. Localement

on se trouve en prsence de fatigue plastique. Pour comprendre le mcanisme d'amorage, on s'adresse

donc aux examens de matriaux de monoou polycristallins, dforms en sollicitation oligocyclique. Le

va et vient des dislocations dans les bandes persistantes produit des dfauts ponctuels, do un

accroissement de volume et parfois la formation de pores, et des irrgularits de surface, sous forme

d'extrusions et d'intrusions. Les intrusions servent d'amorcer de microfissures qui se dveloppent par

dcohsion en cisaillement. Tous les facteurs mtallurgiques qui favorisent des bandes de glissement

localises rduisent la dure du stade d'amorage. Les microfissures peuvent ainsi tre amorces aux

inclusions et aux jonctions de plusieurs joints de grains.

60

Stade I de la propagation

Les microfissures formes par les divers mcanismes voqus au paragraphe prcdent, progressent

en restant dans le plan de glissement initial o elles sont apparues, et en s'tendant au plus dans quelques

grains vitesse lente (quelques A par cycle). La dformation en tte de fissure, et la vitesse de

propagation, dpendent troitement de l'aptitude au glissement dvi (formation de cellules ou structures

planaires). Dans les matriaux techniques le stade I peut ne pas apparatre, car la prsence d'entailles,

d'inclusions qui se fissurentconduit tout de suite au stade II

Stade II de propagation

La fissure progresse dans le plan o la contrainte normale est maximale, donc suivant une section

droite pour une sollicitation uniaxiale. La fissure est transcristalline et conserve une direction gnrale

avec des ramifications et des changements de directions locaux. La dformation accompagnant chaque

cycle se localise l'extrmit de la fissure, par suite de concentration de contrainte. La fissure progresse

travers une zone dforme qui la prcde et qui possde une structure double: une zone centrale qui

subit un crouissage cyclique, une zone priphrique (jusqu' - 1mm) dans laquelle la dformation,

monotone et faible, se produit l'ouverture de la fissure. La microscopie lectronique a confirm

l'existence de cette double zone plastifie.

Figure.49 Schma de Forsyth. Propagation d'une fissure de fatigue dans

une prouvette polycristalline. Le stade d'amorage n'est pas montr.

61

Le mcanisme de progression est schmatis sur la figure 50. L'extrmit de la fissure s'ouvre durant

l'augmentation de la charge, et se referme partiellement par dformation plastique durant la dcharge. Ce

processus donne souvent lieu un facis stri de la cassure, observable en microscopie lectronique

(fig.123) chaque strie correspondant un cycle. Le milieu ambiant joue un rle important (notamment

par oxydation des surfaces faiblement ouvertes: absence de stries sous vide).

Figure.50.Propagation d'une fissure de fatigue (a) au cours des cycles schmatiss en (b).

La mcanique de la rupture s'applique ce stade: elle permet de prvoir le rayon de la zone

plastifie cyclique rc et de la vitesse de fissuration:

Figure.51 rupture par fatigue d'un arbre d'acier (04cm). La fissure a t amorce en

surface, ( la partie droite de la photographie).

62

O AK est la variation du facteur d'intensit de contrainte correspondant aux contraintes appliques

maximales et minimales, Re la limite d'lasticit, c la longueur de fissure. La loi de paris est

gnralement bien suivie, partir d'un certain seuil; dans les aciers m-4.

c) rupture finale

Lorsque la fissure atteint une dimension telle que K=Kc.

La rupture brutale de la pice intervient. Les deux parties de la cassure, correspondant au stade II et la

rupture brutale se distinguent bien l'il.

Remarque: le diagramme classique de Wbhler peut tre complt par des courbes correspondant des

contraintes seuils pour l'amorage, le stade I ou la stade II- ce qui permet de faire la jonction avec le

processus de fatigue plastique qui se produisent en tte de fissure.

5.5.12. La rsistance au fluage

Le fluage est un phnomne observ lorsque l'on emploie les matriaux au dessus d'une certaine

temprature. Pour les mtaux, ce phnomne est sensible partir du 1/3 de la temprature absolue de

fusion. Pour les polymres, il peut tre observ temprature ambiante (les 2/3 de la temprature de

transition vitreuse Tg). Il de traduit par la dformation lente et irrversible (dformation visco-plastique)

du matriau lorsque celui-ci est soumis une contrainte. La figure 52 ci-dessous reprsente l'allure

typique d'une courbe de fluage classique.

Figure.52 courbe de fluage diffrentes contraintes pour le superalliage IN 100 1000C

63

Ces courbes mettent en vidence trois phases:

- une phase de fluage primaire au cours de laquelle l'crouissage du matriau engendre une

diminution de la vitesse de fluage initialement trs grande; cette phase est assez bien reprsente

par la loi d'Andrade: E = At I/Q I ou A et q sont des paramtres du matriau fonction de la

temprature;

- une phase de fluage secondaire caractrise par une vitesse de fluage constante fonction de la

contrainte qu'exprime la loi de Norton:

E p = ( / )O et N sont d'autres paramtres du matriau qui dpendent de la temprature;.

- une phase de fluage tertiaire caractrise par une augmentation rgulire de la vitesse de fluage et

conduisant la rupture (R) .

5.5.13. Rsistance lusure

En technologie, on diffrencie entre l'usure morale et l'usure physique. On caractrise les machines,

appareils, quipements, etc., comme usure morale, si elles sont poses extrieurement des ateliers de

fabrication, elles peuvent tre encore fonctionnelles cause

- Du dveloppement technique, et par suite, elles seront remplaces.

- De manque de productivit.

- Par manque de maintenance technique

L'usure physique dans le sens technique, est dfinit comme un processus caractris par une attaque

mcanique, en premire ligne par un frottement conduisant un perte progressive de matire en

surface d'un corps solide par sparation de petites particules, donc cest un changement de forme non

voulue de la surface. L'usure peut avoir lieu dans un mouvement relatif entre un objet et son milieu

gazeux liquide ou solide. Le plus souvent l'usure est accompagne par des phnomnes de corrosion

o ces derniers ne sont pas clairs sparer de l'usure. Mme les connaissances et rsultats obtenus

pour les phnomnes d'usure n'ont pas une validit gnrale pour simplifier le danger de ce

phnomne.Les pertes occasionnes par l'usure dans lindustrie mondiale s'lvent annuellement

plusieurs millions de tonnes de mtaux. A cause de l'usure, beaucoup de machines et quipements sont

remplacs, le plus souvent, avec d'normes dpenses. Par exemple, aux Etats Unis, on estime ces

pertes 2,3 kg d'acier pour chaque tonne de minerais traite. Il nest pas possible d'indiquer par

lintermdiaire d'une certaine valeur caractristique la tenue lusure d'un mtal vis--vis des

diffrentes contraintes ou sollicitations d'usure. L'utilisation conomique d'un mtal est dfinit

seulement par les diffrents essais d'usure et pour des sollicitations bien dtermines.

64

Une analyse du processus indique que la tenue l'usure ou le phnomne dusure sont influencs

par

- Les mtaux accoupls.

- La rugosit des couches limites (surface, lubrification).

- Le type de mouvement (glissement, roulement, coulement, chocs, etc.). - La vitesse

du mouvement.

- L'enlvement des particules solides.

6. HYPOTHESES EN RDM6.1. Buts de la rsistance des matriaux

La rsistance des matriaux a trois objectifs principaux :

la connaissance des caractristiques mcaniques des matriaux. (comportement sous

leffet dune action mcanique) l'tude de la rsistance des pices

mcaniques.(rsistance ou rupture)

l'tude de la dformation des pices mcaniques.

Ces tudes permettent de choisir le matriau et les dimensions d'une pice mcanique en fonction

des conditions de dformation et de rsistance requises.

6.2. Dfinition et hypothses

Homognit

On admet que les matriaux ont les mmes proprits mcaniques en tous points.

L'isotropie

On admet que les matriaux ont, en un mme point, les mmes proprits mcaniques dans

toutes les directions, L'isotropie est vrifie pour les aciers non fibrs (les aciers lamins et

forgs ne sont pas isotropes), Elle n'est pas vrifie pour les matriaux fibrs (bois, matriaux

composites...) figure.53

Figure.53

65

Contraintes (unit : MPa)

Elles caractrisent les actions mcaniques de cohsion qui existent entre les grains de matire.

Dformations

Elles rsultent et varient avec les charges appliques sur les objets, Elles sont mises en vidence

par la variation des dimensions, et peuvent tre lastiques ou plastiques.

Elasticit

Elle caractrise l'aptitude qu'a un matriau reprendre sa forme et ses dimensions initiales aprs

avoir t dform. Un ressort charg normalement a un comportement lastique.

Plasticit

Un matriau qui ne reprend pas sa forme et ses dimensions initiales aprs avoir t dform est

dit plastique. La pte modeler a un comportement plastique.

Poutres

EX.1. Une poutre est un solide engendr par une surface plane S (ou section droite de la poutre)

dont le C.D.G. dcrit une courbe C, appele ligne moyenne.

Le repre RS = zyxGS ,,, est construit en prenant :

L'axe X

tangent en GS la courbe C, soit normal la section S,

Les axesY et

Z appartenant la section S.

Les solides idaux sont des poutres prsentant:

- des sections droites constantes ou variables lentement en dimensions et en forme

- des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimensions transversales (L > 4 ou 5

D)La poutre possde un plan de symtrie soit X Y, , soit

X Z, . Figure.54

Figure.54

66

EX.2 : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendr par une surface plane (S) dont le centre de

surface G dcrit une courbe plane (C) appele ligne moyenne. Figure.55a

Les caractristiques de la poutre sont :

ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure.

section droite (S) constante ou variant progressivement.

grande longueur par rapport aux dimensions transversales.

existence d'un plan de symtrie.

G

G

G

(C) Ligne moyenne

(S)

Figure.55a

EX.3

Les notions abordes dans ce cours ne sont valables que pour des solides ayant une forme de poutre ;

cest dire un solide pour lequel : figure.55b

il existe une ligne moyenne, continue, passant par les barycentres des sections du solide ;

la longueur L est au moins 4 5 fois suprieure au diamtre D ;

il ny a pas de brusque variation de section (trous, paulements) ;

le solide admet un seul et mme plan de symtrie pour les charges et la gomtrie.

67

Figure.55b

Exemples de poutres :

Exemples de poutres ne satisfaisant pas lhypothse de symtrie :

Figure.55c

D

A xx xG B

Plande symtrie de lapoutre

L

Sectiondroite Lignemoyenne

Lm

d

68

Les actions mcaniques

Les actions mcaniques, appliques en un point, sont des vecteurs glissants. Il est

impossible de les remplacer par un systme d'actions mcaniques "vectoriellement"

quivalent (mme rsultante et mme moment en un point A) car les effets physiques

(sollicitations) sont diffrents.

Le chargement de la poutre se fait dans le plan de symtrie de celle-ci.

Le chargement se fait lentement et rgulirement.

Il n'existe que deux types de chargement, soit une Action Mcanique :

Localise (ou concentre) reprsente par un glisseur

Rpartie reprsente par sa densit linique qL en N/m ou surfacique qs en N/m2

Exemple : Rpartition uniforme de la neige sur un toit (charge surfacique) et glisseur

quivalent au C.D.G. de la surface enneige (charge localise). Figure.56

Figure.56

Hypothses sur l'influence des dformations

Dans le domaine lastique, les dformations sont trs faibles, elles ne modifient pas les actions

mcaniques calcules par la statique (hypothse des solides indformables).

Hypothse de Navier-Bernouilli

Les sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant dformation, restent planes et

droites aprs dformation (normales ligne moyenne dforme). Figure.57

Figure.57

69

Hypothse de Barr de Saint-Venant

Dans une section droite (S) loigne de la zone o les charges sont appliques (/ > d), la

rpartition des dformations et des contraintes ne dpend que des lments de rduction du

torseur des actions mcaniques appliques. Figure.58

Figure.58

Dans une section droite (S) proche de la zone o les charges sont appliques ( /< d), la rpartition

des dformations et des contraintes dpend de la rpartition des charges appliques.

SUPERPOSITION DES DEFORMATIONS

La dformation en un point M de la poutre due plusieurs A.M. est gale la somme des

dformations dues chaque A.M. prises isolment.

SUPERPOSITION DES CONTRAINTES

La contrainte en un point M de la poutre due plusieurs A.M. est gale la somme des

contraintes dues chaque A.M. prises isolment.

Dfinition des liaisons poutre/bti

Il n'existe technologiquement que quatre appuis principaux :

70

TYPE D'APPUI RESULTANTE MOMENT

Un appuis simple d'axeY ou

Z Perpendiculaire

X Nul

Un pivot d'axeY ou

Z Appartenant

X Y, ou

X Z,

SurX (ou nul si problme

plan)

Une rotule Appartenant X Y, ou

X Z, Nul

Un encastrement Quelconque Quelconque

. Les forces extrieures

Plan de symtrie : les forces extrieures seront situes dans le plan de symtrie de la poutre ou

alors disposes symtriquement par rapport ce plan.

Types d'actions mcaniques extrieures : deux types d'actions mcaniques peuvent

s'exercer sur la poutre (voir fig59) :

charges concentres (F1 ou moment

MC )

charges rparties p sur DE. (exprimes en N/m).

71

F1Mc

CA B

D E

pFigure.59

Les dformations

Les dformations tant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerant sur celle-ci

seront calcules partir du principe fondamental de la statique.

Les supports des forces seront eux considrs comme constants.figure.60

Figure.60

Navier & Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant dformation demeurent planes et

normales aux fibres aprs dformation.

O A

fig.4

72

Barr de St Venan : Les rsultats obtenus par la RDM ne s'appliquent valablement qu' une distance

suffisamment loigne de la rgion d'application des efforts concentrs. Figure.61

Figure.61

TORSEUR DES EFFORTS DE COHESIONDfinition

Soit une poutre (E) en quilibre sous l'action de n actions e

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