Post on 20-Oct-2021
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 1 sur 31
CINÉMATIQUE GÉNÉRALITÉS TRAJECTOIRES
Objectifs.
- Présenter la cinématique.
- Définir les notions de solide ou repère de référence, de mouvements absolu et relatif.
- Introduire les principaux mouvements de solides, la notion de points coïncidents et de
trajectoire.
- Définir les principales grandeurs cinématiques : vecteur-position, vecteur-déplacement,
vitesse et accélération d’un point. Fournir des éléments concernant le repérage des
solides.
La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement des corps,
indépendamment des forces qui les produisent. Les grandeurs étudiées s’appellent mouvement,
déplacement, trajectoire, vitesse et accélération. Le mot cinématique dérive du grec kinema,
qui signifie mouvement.
Remarque : en cinématique, les solides étudiés sont supposés indéformables. Un solide peut
être défini comme un ensemble de points dont les distances respectives restent inchangées au
cours du temps.
1. Solide ou repère de référence – Référentiel :
1.1. Repère et solide de référence :
En cinématique, le mouvement d’un solide peut être défini par rapport à un autre solide choisi
comme référence et appelé solide de référence. Un repère de référence est un repère d’espace
(exemples : repères cartésiens (0 ; x, y) ou (0 ; x, y, z)) lié ou “collé” au solide de référence,
permettant de repérer avec précision la position et le mouvement du solide.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 2 sur 31
Exemple :
Si l’on considère le mouvement de l’avion (1) par rapport au
sol (0), noté Mvt1/0, le sol est le solide de référence. Un
observateur, immobile au sol, voyant l’avion évoluer dans le
ciel, peut servir d’origine à un repère de référence lié à (0).
Mvt0/1 définit le mouvement inverse, l’avion est le solide de
référence. Le pilote, immobile dans l’appareil, Figure 1
voit le sol défiler sous ses yeux et peut servir d’origine à un repère de référence lié à (1).
1.2. Repère de temps :
Figure 2
En mécanique classique, le temps est’ considéré comme absolu et uniforme. Chaque moment,
chaque fragment de temps est identique au suivant. Le temps peut être schématisé par une
droite, orientée du passé vers l’avenir, avec au besoin une origine des temps (t = 0). L’image
équivalente de cet espace est une montre ou un chronomètre. La lettre t, appelée date, symbolise
un point de cet espace.
Unité : la seconde, symbole s, est l’unité de base légale (unité SI) du temps. Les autres unités
usuelles sont également utilisables : minute, heure, jour, année, etc.
1.3. Système de référence ou référentiel :
Un système de référence est l’addition ou la combinaison d’un repère de référence et d’un repère
de temps.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 3 sur 31
Référentiel ou
Système de référence
=
+
Figure 3
Remarque : en cinématique, le mouvement des solides sera défini par rapport à un système de
référence.
2. Mouvements absolu et relatif :
2.1. Mouvement absolu :
Le mouvement d’un solide est dit absolu s’il est défini ou décrit par rapport à un référentiel
absolu. Un référentiel absolu (ou galiléen) est un référentiel au repos absolu dans l’univers.
En mécanique industrielle, la Terre peut être assimilée, avec une très bonne approximation, à
un référentiel absolu.
Remarque : à la notion de mouvement absolu correspond les notions de vitesses absolues et
d’accélérations absolues.
2.2. Mouvement relatif :
Le mouvement d’un solide est dit relatif s’il est défini par rapport A un référentiel relatif. Un
référentiel en mouvement dans l’univers est un référentiel relatif.
À la notion de mouvement relatif correspond les notions de vitesses relatives et d’accélérations
relatives.
Exemple : prenons le cas d’un voyageur (2) marchant dans un wagon (1) en mouvement par
rapport au sol (0).
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 4 sur 31
Figure 4
R0 = (0, x0, y0), lié à la terre, est un repère absolu.
R1 = (A, x1, y1), lié au wagon et R2 (G, x2, y2) lié au voyageur sont des repères relatifs.
Les mouvements Mvt2/0 et Mvt
1/0 sont des mouvements absolus.
Mvt2/1 est un mouvement relatif ; même chose pour son mouvement inverse Mvt
1/2.
Remarque : le mouvement Mvt2/0 résulte de la combinaison des deux mouvements Mvt
2/1 et
Mvt1/0.
3. Principaux mouvements plans de solides :
Un solide exécute un mouvement plan lorsque tous les points qui le constituent se déplacent
dans des plans parallèles entre eux. Par commodité, le plan retenu pour définir le mouvement
sera celui qui contient le centre de gravité G et le solide sera assimilé à une fine feuille ou à une
fine lamelle. Cette schématisation permet de rassembler dans une même catégorie la plupart
des mouvements de solides rencontrés en technologie : translations, rotations et mouvements
plans généraux.
Résumé des principaux types de mouvements plans
Mouvements Propriétés Exemple
Translation
rectiligne
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 5 sur 31
Translation
curviligne
Rotation
(d’axe fixe)
Mouvement
plan général
3.1. Translation :
Un solide se déplace en translation si n’importe quelle ligne (AB) de celui-ci reste constamment
parallèle à sa position initiale au cours du mouvement. À tout instant, il n’y a aucune rotation
de "AB".
Remarque : dans l’espace, deux lignes non parallèles seront nécessaires pour définir une
translation.
Translation rectiligne : tous les points du solide se déplacent suivant des lignes parallèles entre
elles.
Translation curviligne : les points du solide se déplacent suivant des courbes géométriques
identiques ou superposables.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 6 sur 31
3.2. Rotation (autour d’un axe fixe) :
Le solide tourne ou est animé d’un mouvement angulaire autour d’un axe fixe perpendiculaire
au plan du mouvement. Les points du solide décrivent des cercles ou des circonférences
centrées sur l’axe. Toutes les lignes ou droites du solide tournent du même angle α à chaque
instant considéré.
3.3. Mouvement plan général :
Un mouvement plan général n’est ni une translation, ni une rotation. Tous les points du solide
se déplacent dans des plans parallèles entre eux aux cours du mouvement.
Remarque : un mouvement plan peut être considéré comme la combinaison d’une translation
et d’une rotation.
Exemple : flèche de pelle hydraulique. On suppose que les trois vérins hydrauliques (10 +
11), (8 + 9) et (6 + 7) sont alimentés.
Mvt1/0 = rotation de centre B ; Mvt
2/1 = rotation de centre F ;
Mvt5/2 = rotation de centre M ; Mvt
3/2 = rotation de centre L ;
Mvt11/10 = translation rectiligne de direction AC ;
Mvt9/8 = translation rectiligne de direction DE ;
Mvt7/6 = translation rectiligne de direction KP.
Les mouvements suivants sont tous des mouvements plans généraux : Mvt2/0 ; Mvt
5/0 ;
Mvt3/0 ; M
vt11/0 ; M
vt4/2 ; M
vt4/1 ; M
vt6/0 ; M
vt6/1 ….etc
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 7 sur 31
Figure 5
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 8 sur 31
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
1. Vecteur-position OM :
R0 = (0, x0, y0) est un repère de référence lié au solide
de référence S. Le vecteur position OM définit la
position, à l’instant t, du point M dans son mouvement
par rapport au repère de référence R0.
OM = x(t)X + y(t)Y + z(t)Z = {
x(t)
y(t)
z(t)
Figure 6
2. Vecteur déplacement M1M2 :
Si M1 est la position du point M à l’instant t1, et M2 la
position de M à t2, le vecteur M1M2 définit le
déplacement de M entre t1 et t2 pendant la durée (t2 - t1).
M1M2 = M1O + OM2
= OM2 − OM1
Remarque :
le vecteur-déplacement M1M2 mesure la distance entre
M1 et M2.
Figure 7
Exemple :
Considérons un avion (1) en phase ascentionnelle
suivant une trajectoire rectiligne, R0 est un repère lié
au sol.
OM1 [
01] ou OM1
= j 1 (km)
OM2 [
1
4] ou OM2
= 11i + 4j 1 (km) Figure 8
M1M2 = OM2
− OM1
= (11i +4j )-1j = 11i +3j
‖M1M2 ‖= √11
2- 3
2=11.4 km
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 9 sur 31
3. Vecteur Vitesse V :
La vitesse du point "M" à l’instant "t" noté v dérivé du vecteur position OM .
v =d OM
dt=
d(x(t)X )
dt+
d(y(t)Y )
dt+
d(z(t)Z )
dt
(Équation 1)
4. Vecteur accélération γ :
L’accélération du point "M" est la dérivée du vecteur vitesse v .
𝛾 =d v
dt=
d2(x(t)X )
dt2
+d
2(y(t)Y )
dt2
+d
2(z(t)Z )
dt2
(Équation 2)
5. Notation : Dans ce qui suit nous ajouterons un indice (i), qui est généralement assoeié au
repère fixe ; Ri (Oi, Xi , Yi
, Zi )
• Vecteur position de M/Ri :
OiM = {
𝑥𝑖(t)
𝑦𝑖(t)
𝑧𝑖(t)}
Ri
• Vecteur vitesse de M/Ri :
v i(M) =
di OiM
dt= {
xi(t)
yi(t)
zi(t)
}
Ri
• Vecteur vitesse de M/Ri :
Figure 9
γ i(M) = d
i v
i(M)
dt= {
��𝑖(𝑡)
��𝑖(𝑡)
��𝑖(𝑡)}
Ri
6. Formule de la base mobile :
Soient : (Ri), Repère fixe ou de référence ou absolu.
(Rk), Repère mobile ou de projection ou d'expression.
Le vecteur position de M par rapport à (Ri), projeté ou exprimê dans un repère mobile (Rk)
est :
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 10 sur 31
OiM = xk(t)X k + yk(t)Y k + zk(t)Z k
Ou bien : OiM = {
𝑥k(t)
𝑦k(t)
𝑧k(t)}
Rk
Figure 10
Remarque : Le vecteur position du point "M" par rapport à (Ri), et exprimé dans (Ri), est le
vecteur OiM = {
𝑥i(t)
𝑦i(t)
𝑧i(t)}
Ri
alors que le vecteur position de "M" par rapport à (Ri), et exprimé dans
(Rk), est le vecteur OiM = {
𝑥k(t)
𝑦k(t)
𝑧k(t)}
Rk
7. Vitesse de "M" par rapport à (Ri) exprimé dans (Rk) :
v i(M) =
di OiM
dt=
di (xk(t)X k + y
k(t)Y k + zk(t)Z k)
dt
(Équation 3)
di xk(t)
dtX k+ xk(t)
di
dtX k+
di y
k(t)
dtY k+ y
k(t)
di
dtY k+
di zk(t)
dtZ k+ zk(t)
di
dtZ k
v i(M) = xk(t)X k+ y
k(t)Y k+ zk(t)Z k+ xk(t)
di
dtX k+ y
k(t)
di
dtY k+ zk(t)
di
dtZ k (Équation 4)
Avec : d
k OiM
dt= xk(t)X k+ y
k(t)Y k+ zk(t)Z k
Les axes du repère (Rk) sont en rotation par rapport aux axes de (Ri).
ll existe un vecteur noté Ωki = {
p
q
r définissant la rotation des axes de (Rk) par rapport à ceux de (Ri)
tel que :
di X k
dt= Ωk
i ∧ X k d
i Y k
dt= Ωk
i ∧ Y k d
i Z k
dt= Ωk
i ∧ Z k
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 11 sur 31
Donc :
v i(M) =
di OiM
dt=
dk OiM
dt+ Ωk
i ∧ OiM (Équation 5)
v i(M) =
di OiM
dt=
dk OiM
dt+ Ωk
i ∧ ( xk(t)X k+ yk(t)Y k+ zk(t)Z k) (Équation 6)
(Vitesse de M/Ri et exprimée dans Rk).
La formule de la base mobile est applicable à toutes les grandeurs vectorielles, c'est tout
simplement un outil mathématique.
8. Propriétés du vecteur rotation instantanée du repère (Rk) par rapport au
repère (Ri), Ωki :
Ωki = - Ωi
k (Équation 7)
Ωni = Ωi+1
i + Ωi+2i+1 + … + Ωn
n-1 (Équation 8)
di Ωk
i
dt=
dk Ωk
i
dt (Équation 9)
Exemple :
Déterminer les vecteurs position, vitesse et
accélération du point "M" décrivant un
mouvement circulaire uniforme figure ci-
contre, par rapport à (R0) et exprimé dans (R0)
et dans (R1).
R0 (0, X 0, Y 0, Z 0) : repère fixe.
R1 (0, X 1, Y 1, Z 1) : repère d’expression.
Figure 11
Solution :
Vecteur position de M par rapport à (Ro) Vecteur position de M par rapport à (R1)
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 12 sur 31
OM = {
r cos φ
r sin φ
0
}
R0
OM = {r
0
0}
R1
Vecteur vitesse de M :
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (Ro).
v 0(M) =
d0 OM
dt=
d
dt {
r cos φ
r sin φ
0
}
R0
= { - r φ sin φ
r φ cos φ
0
}
R0
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (R1).
Le vecteur rotation instantané de R1 par rapport à Ro est porté par l'axe OZo êt OZ1 et de sens
positif :
Ω10 = {
0
0
φ}
R0, R0
v 0(M) =
d0 OM
dt=
d1 OM
dt + Ω1
0 ∧ OM =
d
dt{
r
0
0}
R1
+ {0
0
φ}
R1
∧ {r
0
0}
R1
= {0
rφ
0
}
R1
Vecteur accélération de M :
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (Ro).
γ 0(M)=d
0 v
0(M)
dt=
d
dt { - r φ sin φ
r φ cos φ
0
}
R0
= { - r φ sin φ - r φ
2 cos φ
r φ cos φ - r φ2 sin φ
0
}
R0
Comme φ = 0 on aura : γ
0(M) = {
- r φ2 cos φ
- r φ2 sin φ
0
}
R0
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (R1).
𝛾 0(M) = d
0 v
0(M)
dt =
d1 v
0(M)
dt=
d1v
0(M)
dt + Ω1
0 ∧ v
0(M) =
d
dt{
0r ��0
}
R1
+ {0
0
��}
R1
∧ {r
r ��0
}
R1
𝛾 0(M) = {- r φ2
r ��0
}
R1
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 13 sur 31
CINEMATIQUE DU SOLIDE
1. Cinématique du solide :
Soit un corps solide (S)
(Ri) : repère de référence (absolu)
(Rk) : repère lié au solide (les axes de Rk sont
liés rigidement au solide (S)
Figure 12
a - Gas particuliers
1er cas :
Lors du mouvement les axes de (Rk), restent parallèles à ceux de (Ri), le solide est en translation
par rapport à Ri. Le vecteur de rotation instantanée de (S) par rapport à (Ri) est :
Ωsi = Ωk
i = 0 (Équation 10)
2eme cas :
Lors du mouvement les axes de (Rk) changent d’inclinaison par rapport à ceux du repère (Ri) le
solide est en rotation / Ri, le vecteur de rotation instantanée sera alors :
Ωsi = Ωk
i ≠ 0 (Équation 11)
2. Repérage du solide en mouvement :
Etudier le repérage d'un solide en mouvement revient à repérer le repère (Rk) en mouvement
par rapport à un repère (Ri) ; il faut donc repérer l'origine (Ok) et l'orientation du repère (Rk).
a) pour le repérage de (Ok), il suffit de connaître les coordonnées du vecteur position O i O k sur
(Ri) ou (Rk).
Oi O k = {
Oi O k . 𝑥𝑖
Oi O k . 𝑦𝑖
Oi O k . 𝑧𝑖
}
Rk
Oi O k = {
Oi O k . 𝑥𝑖
Oi O k . 𝑦𝑖
Oi O k . 𝑧𝑖
}
Ri
(Équation 12)
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 14 sur 31
Matrice de passage de Rk à Ri : [P]Rk→Ri
Cette matrice caractérise la rotation de Rk par
rapport à Ri. On fait coïncider les points Oi et
Ok.
Projetons les vecteurs 𝑥k , 𝑦k el 𝑧k sur le
repère Ri
xk = α11 xi + α12 yi
+ α13 zi
yk
= α21 xi + α22 yi
+ α23 zi
zk = α31 xi + α32 yi
+ α33 zi
Figure 13
Avec:
α11 = cos(xk, xi) α12 = cos(xk, yi) α13 = cos(xk, zi)
α21 = cos(yk, xi) α22 = cos(y
k, y
i) α23 = cos(y
k, zi)
α31 = cos(zk, xi) α32 = cos(zk, yi) α33 = cos(zk, zi)
xi yi zi
xk α11 α12 α13
yk α21 α22 α23
zk α31 α32 α33
La matrice de passage de Ri à Rk est la matrice suivante :
[P]Ri→Rk = [
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
] (Équation 13)
La matrice [P]Ri→Rk est orthogonale donc P -1 = PT, ce qui nous permet d'écrire :
[P]Rk→Ri= [P-1]
Ri→Rk= [P]T
Ri→Rk
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 15 sur 31
[P]Rk→Ri = [
α11 α21 α31
α12 α22 α32
α12 α23 α33
] (Équation 14)
Le vecteur de rotation instantanée de Rk par rapport à Ri est le vecteur Ωki .
Exemple :
Ri = R0 ; Rk = R1
[P]R0→R1 = [
cos α sin α 0
- sin α cos α 0
0 0 1
]
Donc : [P]R1→R0
= [cos α - sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
]
Figure 14
Le vecteur v exprimé dans R1 est : v = [cos α sin α 0
- sin α cos α 0
0 0 1
] [Rcos α
R sin α
0
] = [R
0
0
]
Le vecteur v exprimé dans R0 est : v = [cos α - sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
] [R
0
0
] = [Rcos α
R sin α
0
]
3. Mouvement à trois rotations (angles d'Euler) :
Les angles d'Euler sont trois paramètres
indépendants repérant la position d'un solide
en rotation quelconque.
R0 : repère fixe.
R1, R2 : repères intermédiaires.
R3 repère lié au solide.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 16 sur 31
Figure 15
a) Rotation de ψ autour de z0 (Précession).
z0 = z1 Ω10 = ψ z0 = ψ z1 (Équation 15)
b) Rotation de θ autour de x1 (Nutation).
x1 = x2 Ω21 = θ x1 = θ x2 (Équation 16)
c) Rotation de φ autour de z2 (Rotation propre).
z2 = z3 Ω32 = φ z2 = φ z3 (Équation 17)
4. Vitesse angulaire du solide :
C’est le vecteur rotation instantanée Rk/ Ri avec Rk repère lié au solide, C’est le repère contenant
les axes propres du solide.
Ωki = Ω1
i + Ω2
1 + Ωk
2 = ψ z1 + θ x1 + φ z2 (Équation 18)
5. Champ des vitesses d'un solide indéformable :
Soit (S) un solide rigide ; (Rk) repère lié au
solide (S) et (Ri) le repère absolu ou repère de
référence.
Figure 16
Relation entre v i(Nk) et v
i(Mk):
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 17 sur 31
Comme : v i(Mk) =
di OiMk
dt=
dk OiMk
dt + Ωk
i ∧ OiMk (Équation 19)
Et : v i(Nk) =
di OiNk
dt=
dk OiNk
dt + Ωk
i ∧ OiNk Nous aurons donc :
v i(Nk) - v
i(Mk) =
dk (OiNk - OiMk
)
dt+ Ωk
i ∧ (OiNk - OiMk
) (Équation 20)
Comme : MkNk = OiNk
- OiMk on aura:
v i(Nk) = v
i(Mk) + Ωk
i ∧ MkNk (Équation 21)
(Première relation de la cinématique du solide).
Remarque :
Si : Ok = Mk v i(N) = v
i(Ok)+ Ωk
i ∧ OkN (Équation 22)
6. Champ des accélérations d'un solide indéformable :
En dérivant la relation de distribution des vitesses (1ere relation de la cinématique du solide).
v i(Nk) = v
i(Mk) + Ωk
i ∧ MkNk
di v
i(Nk)
dt=
di v
i(Mk)
dt +
di v
i( Ωk
i ∧ MkNk
)
dt
(Équation 23)
𝛾 i(Nk) = 𝛾 i(Mk) + d
i Ωk
i
dt∧ MkNk
+ Ωki ∧
diMkNk
dt (Équation 24)
diMkNk
dt=
dkMkNk
dt+ Ωk
i ∧ MkNk (Équation 25)
𝛾 i(Nk) = 𝛾 i(Mk) + d
i Ωk
i
dt∧ MkNk
+ Ωki ∧ ( Ωk
i ∧ MkNk
) (Équation 26)
(Deuxième relation de la cinématique du solide).
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 18 sur 31
7. Mouvements particuliers fondamentaux :
7.1 : Mouvement de translation Ωki = 0 :
v i(M) = v
i(Ok)
Tous les points auront la même vitesse et accélération.
Figure 17
7.2 : Solide ayant un point fixe (rotation
simple) :
Ok = Oi
v i(M) = Ωk
i ∧ OM
𝛾 i(M) = d
i Ωk
i
dt∧ OM + Ωk
i ∧( Ωk
i ∧ OM )
Un solide (S) lié à un repère (Rk) est dit en rotation
par rapport au repère (Ri), si un axe de (Rk) reste fixe
à tout instant dans (Ri).
Figure 18
7.3 : Mouvement Hélicoïdal :
OiOk = z(t) zk v
i(Ok) = z (t) zk Et Ωk
i = ψ z1
v i(M) = v
i(Ok) + Ωk
i ∧ OM
λ : Pas hélicoïdal.
2Π→λ
ψ→z(t)} → z(t)=
𝜆ψ
2Π
Avec : ψ angle de rotation.
λ Le pas.
Figure 19
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 19 sur 31
8. Composition du mouvement :
Il faut que le solide admette deux mouvemente différents.
Figure 20
Ri : repère de référence, Rk : répare lié au solide et Rj repère mobile intermédiaire.
Rk / Ri = Rk / Rj + Rj / Ri
Mouvement absolu = Mouvement relatif + Mouvement d'entraînement.
8.1 : Composition des vitesses :
Soit M ϵ (S) : Par définition la vitesse de M/Ri est : v i(M) =
di OiM
dt
Comme : OiM = OiOj + OjM Donc : v
i(M) =
di OiOj
dt+
di OjM
dt = v
i(Oj)+
di OjM
dt
D’après la base mobile d
i OjM
dt =
dj OjM
dt + Ωj
i ∧ OjM
di OjM
dt = v
j(M) + Ωj
i ∧ OjM (Équation 27)
v i(M) = v
j(M) + [v
i(Oj) + Ωj
i ∧ OjM ] (Équation 28)
v i(M) = v
j(M) + vj
i (M) (Équation 29)
Avec :
v i(M) : vitesse absolue
v j(M) : vitesse relative (Rj : repère relatif)
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 20 sur 31
vji (M) : vitesse d'entraînement (vitesse du point coïncidant, vitesse du point M/Ri en supprimant
le mouvement relatif de Rk/Rj, OjM = cte).
8.2 : Composition des accélérations :
D'après la composition des vitesses v i(M) = v
j(M) + [v
i(Oj) + Ωj
i ∧ OjM ]
En dérivant cette relation par rapport au repère Ri :
di v
i(M)
dt =
di v
j(M)
dt + [
di v
i(Oj)
dt +
di Ωj
i ∧ OjM
dt] (Équation 30)
di v
i(M)
dt = 𝛾 i(M) (Équation 31)
di v
j(M)
dt =
dj v
j(M)
dt+ Ωj
i ∧ v
j(M) = 𝛾 j(M) + Ωj
i ∧ v
j(M) (Équation 32)
di v
i(Oj)
dt = 𝛾 i(Oj) (Équation 33)
di Ωj
i ∧ OjM
dt =
di Ωj
i
dt∧ OjM + Ωj
i ∧ d
i OjM
dt (Équation 34)
Ωji ∧
di OjM
dt = Ωj
i ∧ [
di OjM
dt + Ωj
i ∧ OjM ] (Équation 35)
Ωji ∧
di OjM
dt = Ωj
i ∧ [v
j(M) + Ωj
i ∧ OjM ] (Équation 36)
D’où : 𝛾 i(M) = 𝛾 j(M) + Ωji ∧ v
j(M) + 𝛾 i(Oj) +
di Ωj
i
dt∧ OjM + Ωj
i ∧ [v
j(M) + Ωj
i ∧ OjM ]
𝛾 i(M) = 𝛾 j(M) + [ 𝛾 i(Oj) + d
i Ωj
i
dt∧ OjM + Ωj
i ∧ ( Ωj
i ∧ OjM )] + 2 Ωj
i ∧ v
j(M)
D’où : 𝛾 i(M) = 𝛾 j(M) + 𝛾ji (M) + 2 Ωj
i ∧ v
j(M) (Équation 37)
Avec:
𝛾 i(M) : Accélération absolue.
𝛾 j(M) : Accélération relative (OjM : variable).
𝛾ji (M) : Accélération d'entraînement (OjM : constante).
𝛾𝑐 (M) = 2 Ωji ∧ v
j(M): Accélération complémentaire ou de Corriolis.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 21 sur 31
ETUDE GEOMETRIQUE DU MOUVEMENT
Objectifs.
- Décrire les caractéristiques des mouvements plans.
- Définir et développer les notions d’équiprojectivité et de centre instantané de rotation (GIR).
- Indiquer les relations vectorielles liant les vitesses et les accélérations de deux points
appartenant à un même solide.
Un solide est en mouvement plan lorsque tous les points de celui-ci se déplacent dans des plans
parallèles à un plan de référence. Une translation (plane) et une rotation d’axe sont des
mouvements plans particuliers.
Dans cette partie, sauf si une extrême précision est exigée, il ne faut pas hésiter à utiliser des
méthodes graphiques pour résoudre les exercices (même démarche qu’en statique plane).
1. Étude générale - exemples :
Un mouvement plan peut être considéré comme l’addition d’une translation et d’une rotation.
Exemple 1 : prenons le cas d’une échelle posée en B sur le sol et appuyée en A sur un mur.
Figure 21
L’échelle décrit un mouvement plan par rapport à l’ensemble (sol + mur).
Pour passer de la position initiale (A0B0) à la position finale (AB), on peut faire une translation
(T) amenant B0 en B et A0 en A’ suivie d’une rotation d’axe B, d’angle α, amenant A’ en A.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 22 sur 31
On peut aussi utiliser une translation à partir de A (A0A) suivie d’une rotation autour de A
(amène B’ en B).
Remarque : compte tenu de cette propriété, l’étude des mouvements plans se ramène à
l’addition ou la combinaison d’une translation et d’une rotation.
Exemple 2 : Système bielle manivelle.
Les liaisons en 0, A et B sont des pivots dont les
axes sont perpendiculaires au plan de la figure.
Le mouvement du piston (3) par rapport au bâti
(0) Mvt3/0, est une translation rectiligne de
direction OB.
Le mouvement de la manivelle (1) par rapport à
(0), Mvt1/0 est une rotation d’axe 0.
Le mouvement de la bielle (2) par rapport à (0),
Mvt2/0, est un mouvement plan général.
Figure 22
Remarque : Mvt1/0 et Mvt
3/0 sont des mouvements plans particuliers.
2. Équiprojectivité :
La propriété d’équiprojectivité est l’une des propriétés les plus importantes de la cinématique
du solide. Abordée à l’occasion du mouvement plan, elle est également vérifiée pour des
mouvements quelconques de solides dans l’espace.
2.1. Énoncé :
Soit deux points A et B appartenant à un même solide ; et VA et VB
les vecteurs vitesses
respectifs, la projection orthogonale de VB sur AB est égale à la projection orthogonale de VA
sur AB. Autrement dit, le produit scalaire de VA par AB est égal au produit scalaire de VB
par
AB .
Figure 23
VA . AB = VB
. AB
Ou : AH = BK
Ou : VA cos α = VB
cos β
Project.VA / AB = Project.VB
/ AB
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 23 sur 31
Remarque 1 : aH et bK sont perpendiculaires à AB. H et K sont tous deux situés du même
côté par rapport à A et B (à droite sur la figure ci-dessus).
La propriété est vérifiée pour tous les points du solide, pris deux à deux de manière quelconque.
De ce fait, on dit que le champ des vitesses est équiprojectif.
Remarque 2 : en pratique, pour tout solide en mouvement plan, il suffit de connaître
complètement la vitesse d’un point et la direction d’une autre, pour déterminer la vitesse de
tous les points.
Exemple 1 : reprenons l’exemple de l’échelle du paragraphe 1. L’échelle de longueur AB =
3 m, glisse en A, vers le bas à la vitesse de 0,5 m/s. Déterminons la vitesse de glissement en B
sachant que celle-ci appartient au plan du sol (direction x).
Figure 24
Par le calcul :
VA = - 0.5 j (en m/s)
VB = VB . j (direction x)
VA . AB = VB
. AB
VA cos 30 = VB cos 60
0.5 x 0.866 = 0.5 VB
d’où : Vs = 0.866 m/s
Remarque : si on adopte une construction graphique, il faut commencer par tracer la figure à
une échelle donnée (exemple : 1 cm pour 0,3 m), en respectant les angles.
Ordre des constructions : choisir une échelle pour tracer les vitesses (exemple : 1cm pour 0.l
m/s) ; VA ; point a ; point H de projection ; point K sachant que BK = AH ; point b en remarquant
que bK est perpendiculaire à AB ; VB ; mesure de l’intensité de VB
à l’échelle choisie.
Exemple 2 : reprenons le système bielle manivelle du paragraphe 1 avec OA = 35 mm ; AB
= 128 ; w1/0 = 100 rad/s (≈ 1 000 tr/min) et un angle 𝜃 = AOB de 50°.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 24 sur 31
Déterminons les vitesses en A et B.
VA= VA1/0 = VA2/0 = w1/0 ; OA = 100 x 0,035 = 3,5 m/s.
VA1/0 est perpendiculaire en A à OA (propriété de la rotation).
VB = VB3/0 = VB2/0 a pour direction OB (3 est en translation rectiligne de direction OB).
Remarque : A étant le centre de la liaison pivot entre 1 et 2, il en résulte que VA1/0 = VA2/0.
Même remarque en B entre 2 et 3 : VB3/0 = VB2/0
Figure 25
Résultat graphique : VB = 3,15 m/s.
La bielle 2 est en mouvement plan, VA2/0 est connue ainsi que la direction de VB2/0
.
L’intensité de VB2/0 est déterminée par équiprojectivité sur AB :
Projection de VA2/0 sur AB = projection de VB2/0
sur AB.
Ordre des constructions graphiques : tracer la figure à l’échelle (exemple : 1 cm pour 1 cm)
; choisir une échelle des vitesses (exemple : 1 cm pour 1 m/s) ; tracer VA perpendiculaire à OA
(3,5 m/s) ; point H, point K (AH = BK ) ; extrémité b ; VB2/0 ; mesure de VB
à l’échelle choisie
(VB = 3,15 m/s).
Remarque : si une grande précision est nécessaire, un calcul est possible à partir de (AB . sinβ
= OA . sin𝜃) ; α = 90° - 𝜃 – β ; VA cosα =VB cos β.
Résultat : VB = 3,163 m/s.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 25 sur 31
3. Détermination d’une vitesse par double équiprojectivité :
La détermination d’une vitesse Vc , de direction et d’intensité inconnues est possible par double
équiprojectivité à partir de deux vitesses VA et VB
connues.
Figure 26
L’équiprojectivité sur BC donne BS = CT et celle sur AC, AM = CN . L’extrémité c de VC est
située à l’intersection des perpendiculaires tracées en N et T.
Remarque : si C avait été situé sur AB, il aurait fallu déterminer préalablement la vitesse VD ,
d’un point D non aligné avec A et B. Deux doubles équiprojectivités sont nécessaires. Pour de
tels cas, préférer la méthode du CIR du paragraphe suivant.
4. Centre instantané de rotation (CIR) :
4.1. Définition et propriété :
Pour tout solide en mouvement plan, il existe un point I et un seul, ayant une vitesse nulle (VI =
0) à l’instant considéré (ou pour la position de la figure) et appelé centre instantané de rotation
ou CIR.
Remarque : le CIR a les propriétés d’un centre de rotation à l’instant (t) considéré. À l’instant
suivant (t’ = t + ∆t), le CIR a changé de position géométrique. Cette position varie au cours du
temps et décrit une certaine trajectoire.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 26 sur 31
4.2. Détermination et construction du CIR :
En tant que centre de rotation, le CIR est situé à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs-
vitesses du solide.
VA
IA=
VB
IB=
VC
IC= w
Figure 27
Exemple 1 :
Reprenons l’exemple de l’échelle avec les
données du paragraphe 2.1 (AB = 3 m ; 60° ; VA
= - 0,5 j (en m/s).
Le CIR, I, est situé à l’intersection des
perpendiculaires en A à VA et en B à VB
.
VB
IB=
VA
IA=
VA'
IA'= w
avec IA = IA’ = AB COS 60° = 1,5 m
IB = AB sin 60° = 2,6 m
w = VA
IA=
0.5
1.5= 0.33 rad/s
VB = 0.33 x 2.6 = 0.866 m/s
Figure 28
Ordre des constructions graphiques : GIR(I) ; A’ tel que IA = IA’ ; VA' perpendiculaire à
IA’ et tel que VA’ = VA = 0,5 m/s ; tracé la droite I a’ ; extrémité b de VB ; mesure de VB
, à
l’échelle choisie.
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 27 sur 31
Exemple 2 : reprenons le système bielle manivelle avec les données du paragraphe 2.1 sauf
𝜃=18° et VA2/0 = 3 m/s. Déterminons VB2/0
et VG2/0 , G étant le centre de gravité de la bielle
(AG = AB/3).
Figure 29
I2/0, CIR de la bielle 2 dans un mouvement par rapport à 0, est situé à l’intersection des
perpendiculaires en A à VA2/0 (droite OA) et en B à VB2/0
de direction OB.
VG2/0 est perpendiculaire en G au rayon I2/0G.
Ordre des constructions : CIR I2/0 ; I2/0G ; Gg perpendiculaire à I2/0G ; I2/0G’=I2/0G ;
I2/0B’=I2/0B ; I2/0a ; VG' et VB'
) perpendiculaires à I2/0A ; VG2/0= VG’=2.15 m/s ; VB2/0= VB’=1.15
m/s ; VG2/0 = Gg et VB2/0
= Bb .
Remarque : le triangle des vitesses peut être remplacé par le calcul :
VA2/0
I2/0A=
VB2/0
I2/0B=
VG2/0
I2/0G=w2/0=
3 m s⁄
0.135 m=22.2 rad s⁄
I2/0A, I2/0B et I2/0G sont mesurées à l’échelle de la figure (en vraie grandeur).
4.3. Propriétés des CIR :
Pour trois solides 1, 2 et 3 en mouvements plans les uns par rapport aux autres, les trois centres
instantanés de rotation possibles, I1/2, I1/3 et I2/3 sont alignés. De plus, le rapport des vitesses de
rotation w3/1 sur w2/1 est égal au rapport des distances entre CIR.
w3/1
I3/2I2/1
= w3/2
I3/1I1/2
=w2/1
I2/3I3/1
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 28 sur 31
Exemple : reprenons le système bielle manivelle du paragraphe précédent.
I0/1, I1/2 et I2/0 sont alignés sur OA ;
I1/3, I1/2 et I2/3 sont alignés sur AB ;
I2/3, I2/0 et I3/0 (situé à l’infini) sont
alignés sur la perpendiculaire en B à OB.
Même remarque pour I0/1, I1/3 et I3/0.
w2/0
w1/0
= I2/1I1/0
I1/2I2/0
=OA
I2/0A
Figure 30
5. Relation vectorielle entre les vitesses d’un solide :
La relation entre VB et VA
traduit la propriété du paragraphe 1 : mouvement plan = translation
+ rotation.
VA et VB
sont tangents en A et B à leurs trajectoires respectives TA et TB
VB = VA
+ w ˄ AB (Équation 38)
Remarque : la relation est également valable dans l’espace.
Figure 31
Remarque : si (0, x, y) est le plan du mouvement, w = w . k
Si u est un vecteur unitaire de la direction AB : AB = AB . u
Soit v un vecteur unitaire directement perpendiculaire à u , la
relation s’écrit :
VB = VA
+ w . AB v (Équation 39)
Figure 32
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 29 sur 31
Exemple : reprenons l’échelle du paragraphe 2.1 avec AB = 3 m ; VA = - 0,5 j (m/s) ; θ =
60°. Déterminons V' et w .
VB = VA
+ w . AB v
VB . i = -0.5 . j + 3 w (0.866 i + 0.5 j)
Projection sur (0, x) :
VB = 3 w x 0.866
Projection sur (0, y) :
0 = -0.5 + 3 w x 0.5
Resultants : VB = 0,866 m/s ; w = 0,33 rad/s
Figure 33
6. Relation vectorielle entre les accélérations d’un solide :
La relation est obtenue en dérivant par rapport au temps celle du paragraphe précédent :
VB = VA
+ w ˄ AB = VA + w . AB v (Équation 40)
En remarquant que dv
dt = -w u et
du
dt = w v on obtient :
aB = aA + α . AB v - w2 AB u = aA + α ˄ AB + w ˄(w ˄ AB ) (Équation 41)
Remarque :
aB =dVB
dt ; aA =
dVA
dt
α = α k ; w = w k
(a AB v - w2 AB u ) est l’accélération de B dans
son mouvement de rotation par rapport à A.
a AB v est l’accélération tangentielle et - w2 AB
u l’accélération normale.
Figure 34
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 30 sur 31
Figure 35
Le polygone des accélérations
(aB = aA + α AB v - w2 AB u )
permet d’obtenir graphiquement
les accélérations inconnues figure
ci-contre
Figure 36
Exemple :
Reprenons le système bielle manivelle des paragraphes précédents avec les données suivantes :
θ=45° ; w1/0=100 rad/s ; VA2/0=3.5 m/s ; VB2/0=2.95 m/s ; w2/0=-18.75 rad/s ; OA=35 mm ;
AB=128 mm.
Déterminons l’accélération du point B du piston.
Figure 37
aA = aA1/0 = aA2/0 aB = aB2/0 = aB3/0
Ecole nationale polytechnique
Cycle préparatoire 2éme année
Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.
Dr A. ZEGHLOUL Pages 31 sur 31
La bielle (2) est en mouvement plan par rapport au bâti (0) et les accélérations des points A et
B sont liés par la relation :
aB2/0 = aA2/0 + α2/0 . AB v - w2/02 AB u
aA1/0= w1/02 . OA= 100
2 x 0.035 = 350 m/s-2
aB3/0 à pour direction OB (3 est en translation rectiligne)
w2/02 . AB = 18.75
2 × 0.128 = 45 m/s-2
Faisons le bilan des inconnues sous forme de tableau :
Accélérations aA2/0 - w2/02 AB u α2/0 . AB v aB2/0
Directions OA ii v OB
Intensités 350 m/s 45 m/s ? ?
On a deux inconnues (α2/0 et l’intensité de aB2/0 ) pour une relation vectorielle dans le plan. La
résolution est possible. Adoptons une solution graphique.
Ordre des constructions : choisir une
échelle pour tracer les accélérations (exemple
: 1 cm pour 50 m/s) ; point P ; aA2/0 (350 m/s2
parallèle à OA) ; - w2/02 . AB u (45m/s-2
parallèle à AB) ; direction v ; direction OB à
partir de P ; point d’intersection k ; aB2/0 et
α2/0 . AB v ; mesure des intensités cherchées. Figure 38
Résultats
aB2/0 = 240 m/s-2
α2/0 AB = 250 m/s-2
α2/0 = 250/0.128 = 1953 rad/s-2