Analyse NumériqueProblèmes Pratiques

DérivationIntégration

Ph. Leray Analyse Numérique 2

Introduction

f connue sur un certain nb de points ou analytiquement

besoin de connaître f' sur ces points sans faire le calcul analytique.

besoin de calculer l'intégrale sans calculer la primitive (quadrature)

bt

at

dt)t(f

Ph. Leray Analyse Numérique 3

Dérivation numérique 1/5

Méthode "naïve" :

en théorie, la formule est vraie pour h 0

en pratique, attention au choix de h ! h trop grand : calcul trop approximatifh trop petit : problèmes d'arrondis

h

xfhxfxf

Ph. Leray Analyse Numérique 4

Dérivation numérique 2/5

Méthode des différences centrales : Taylor :

On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}h = xi+1 - xi

f(x+h)

f(x-h)

...xf!3

hxf

!2

hxfhxfhxf

32

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i

Ph. Leray Analyse Numérique 5

Dérivation numérique 3/5

Méthode des différences centrales (suite) :

f(x+h) - f(x-h)

en négligeant les termes en h3 :

meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2)

...xf!3

h2xfh2yy i

3

i1i1i

h2

yyxf 1i1i

i

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Dérivation numérique 4/5

Méthode des différences centrales (suite) : calcul des dérivées d'ordre supérieur :

f"(xi) ?

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i

Ph. Leray Analyse Numérique 7

Dérivation numérique 5/5

Méthode des différences centrales (fin) : calcul des dérivées d'ordre supérieur :

en négligeant les termes en h4 :

et pour les autres dérivées ?

...xf!2

h2y2yy i

2

i1i1i

2

1ii1ii h

yy2yxf

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Intégration numérique 1/

Plusieurs méthodes : a et b finis

On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}

polynôme d'interpolation sur n+1 pointsNewton-Cotes

On connaît f sur autant de points que l'on veutpolynôme d'interpolation + choix de n+1 points

Gauss-Legendre

a ou b infiniGauss-Laguerre, ...

bt

at

dt)t(fI

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Intégration numérique 2/

Méthodes polynomiales On connaît la fonction sur n+1 points 2 solutions :

calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n

problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément

regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points

(avec p+1 faible)calculer les polynômes d'interpolation de degré psommer les intégrales de chaque sous-intervalle

Ph. Leray Analyse Numérique 10

2

yy

2

yhI n

1n

1ii

0

Intégration numérique 3/

Méthode des trapèzes : p+1=2 points polynôme d'interpolation=droite

A =

soit h = xi+1 - xi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

bfaf2

ab

1n

0i1ii

i1i yy2

xxI

Ph. Leray Analyse Numérique 11

Intégration numérique 4/

Méthode de Simpson: p+1=3 points polynôme d'interpolation de degré 2

i va de 0 à n-2 avec un pas de 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

2n

0i2i1ii yy4y

3

hI

Ph. Leray Analyse Numérique 12

Intégration numérique 5/

Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x)

comment trouverles i ?

p

0

xt

xt

p dt)t(PA

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

p

0iii yA

Ph. Leray Analyse Numérique 13

Intégration numérique 6/

Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points calcul des i = décomposition de l'intégrale

dansla base {1, t, … tp}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

p

1

0

p

1

0

pp

p1

p0

p10

vxxx

xxx

111

p

0

xt

xt

kk dtt

Ph. Leray Analyse Numérique 14

Intégration numérique 7/

Exercice : Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :

retrouver la méthode des trapèzesretrouver la méthode de Simpsontrouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)

Ph. Leray Analyse Numérique 15

Intégration numérique 8/

Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :

erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]

erreur de quadrature :

x

!1p

xfxe

)1p(

dxx

!1p

xfdxxeE

n

0

p

0

x

x

)1p(x

x

n

0

n

0

x

x

)1p(x

x

)1p(

dxx!1p

fdxx

!1p

xfE

n

0

x

x

dxx!1p

ME M majorant de |f (p+1)|

Ph. Leray Analyse Numérique 16

Intégration numérique 9/

Erreur de quadrature pour :

les trapèzes

Simpson

f12

hE

3

45

f90

hE

Ph. Leray Analyse Numérique 17

Intégration numérique 10/

Méthodes polynomiales récursives : ex pour la méthode des trapèzes

découpage récursif de la surface en trapèzes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

I(0) I(1)

Ph. Leray Analyse Numérique 18

Intégration numérique 11/

Bornes infinies ? Méthode de Gauss-Laguerre

Ph. Leray Analyse Numérique 19

Intégration numérique 12/

Intégrales multiples ? Ex avec la méthode de Simpson

en dimension 2 : zij = f(xi, yj) 2

0

2

0

x

x

y

y

dxdyy,xfA

2

0

x

x

210 dxy,xfy,xf4y,xf3

kA

dxy,xfdxy,xf4dxy,xf

3

kA 21

x

x

0

2

0

112112100122200200 z16zzzz4zzzz9

hkA

h = xi+1 - xi

k = yi+1 - yi

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Sujet de TD

Ph. Leray Analyse Numérique 21

Conclusion