Formules de dérivation (suite)

Jacques ParadisProfesseur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Rappel : composition de fonctions

Dérivée de fonctions composées

Dérivation en chaîne

Dérivées successives Application

3Département de mathématiques

Volet historique (1 de 3)

Origine de l’intérêt porté au calcul différentiel La période de la Révolution scientifique (1500-1700)

Copernic (1473-1543) place le Soleil au centre de l’univers Galilée (1564-1642) étudie les lois de la chute des corps

L’époque des grands explorateurs est engagé Les bateaux européens sillonnent les océans Mise au point des canons qui révolutionne l’art de la guerre

L’étude du mouvement devient central Mouvement des corps, des astres Mouvements des bateaux Mouvements des boulets de canons

4

Département de mathématiques

Volet historique (2 de 3)

Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : 1. Connaissant la distance parcourue à tout

moment, est-il possible de connaître la vitesse et l’accélération à chaque instant?

2. La direction du déplacement d’un objet en mouvement étant donné par la tangente à la trajectoire de l’objet, est-il possible de déterminer précisément les tangentes à certaines courbes? Problème sous-jacent : celui de l’optique (la fabrication

des miroirs paraboliques et des lentilles lunettes pour la navigation, l’observation astronomique ou pour la vue)

5Département de mathématiques

Volet historique (3 de 3)

Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : (suite) 3. Le mouvement impliquant des distances, est-il

possible de déterminer des valeurs qui rendent maximales ou minimales ces distances? Problèmes sous-jacent :

En balistique, quel angle donné au canon permettant d’atteindre une cible la plus éloignée possible?

En astronomie, quelles sont les distances maximale et minimale d’une planète par rapport au Soleil?

En optique, le trajet de la lumière dans un corps transparent peut-il être analysé sous l’angle du plus court chemin entre deux points?

6Département de mathématiques

Composition de fonctions (1 de 3)

Soit f(x) et g(x) deux fonctions La fonction composée, notée f ◦ g, est définie par

(f ◦ g)(x) = f[g(x)]g

x g(x)

f

f[g(x)]

f ◦ g

7Département de mathématiques

Composition de fonctions (2 de 3)

Exemple : Soit f(x) = x2 – 4x et g(x) = x2 -3x +2

Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?

Exercice : Soit f(x) = x2 – 4x et

Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?

g(x) = x +7

8Département de mathématiques

Composition de fonctions (3 de 3)

Exemple : Soit H(x) = (x2 -3x +2)3

Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).

Exercice : Soit H(x) =

Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).

3 23 4x 6x 1

9Département de mathématiques

Dérivée de fonctions composées

nSi H(x) = [f(x)] ,où n IN et f(x) dérivablen-1 n-1 df(x)Alors H'(x) = n[f(x)] f '(x) = n[f(x)]

dx

Généralisation : Si H(x) = [f(x)]r, où rIR, alors H’(x) = r [f(x)] r-1 f’(x)

Exemple : Si H(x) = (x3 – x2 + 4)5, alors H’(x) = 5(x3 – x2 + 4)4 (3x2 – 2x)

Exercice : Si f(x) = , trouver f’(x).24 x + x

10

Département de mathématiques

Soit

Dérivation en chaîne

Si y = f[g(x)] et u g(x), {y f(u)} dy dy duAlors = (notation de Leibniz)dx du dx

Δx 0

dy Δy= limdx Δx

Δx 0

Δy Δu= limΔu Δx

Δu 0 Δx 0

Δy Δu= lim limΔu Δx

dy du=du dx

x x+x

u

x

u=g(x)Si x 0, alors u0

11Département de mathématiques

Soit f(x) une fonction continue, la fonction dérivée de f(x) est définie par :

f’(x) = =

y

Définition

x 0lim

f(x+ x) - f(x)x

x 0

ylimx

x

y

P

Q1

x x+x

dydx x 0

ylimx

12Département de mathématiques

Dérivation en chaîne (Exemples)

Ex. 1 : Soit y = u3 + u et u = 4x2 – x +16, trouver dy/dx au point d’abscisse x = 1.

Ex. 2 : Une particule se déplace le long d’une courbe y = x2 + x – 4. Son abscisse est donnée par la fonction x(t) = 2t2 – t +2. Trouver dy/dt pour t = 2.

13Département de mathématiques

Dérivation en chaîne (généralisation)

Si z = f(y), y = g(u) et u = h(x)

Alors

Exemple : Trouver dz/dx pour x = 2 si z = 3y2 + 1, y = 1 – 4u5 et u = 2x - 5.

dzdx

dz dy dudy du dx

14Département de mathématiques

Dérivées successives Soit y = f(x), une fonction dérivable, Sa dérivée f’(x) est aussi une fonction qui peut donc être

dérivable, et ainsi de suite. D’où

Dérivée première : y’ f ’(x)

Dérivée seconde : y’’ f ’’(x)

Dérivée troisième : y’’’ y(3) f’’’(x) f(3)(x)

Dérivée ne : y(n) f(n)(x)

dydx2

2d ydx

3

3d ydx

n

nd ydx

15Département de mathématiques

Exemple Soit f(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6

Alors f’(x) = 4x3 – 3x2 – 14x+ 1

De plus, f’’(x) = 12x2 – 6x – 14

Mais encore, f’’’(x) = 24x - 6

On continue, f(4)(x) = 24

Pour finir, f(5)(x) = 0

16Département de mathématiques

Application (rappel)

Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t,

La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de temps [ti , tf] est définie par :

La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par :

, i ft tv

x x( ) - ( )f i

f i

t tt t

dis tan ce parcouruetemps écloulé

xt

Δ 0

+ΔlimΔ

t

x t t x tt

( ) - ( )v(t)0

Δlim

=t

xt

= x'(t)

17Département de mathématiques

Application Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t,

La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par : v(t) = x’(t)

L’accélération instantanée de cet objet au temps t est définie par la variation instantanée de la vitesse en fonction du temps :

a(t) = = v’(t) = x’’(t) d v(t)dt

18Département de mathématiques

Application (Exemple)

La fonction x(t) décrit la position d’une particule qui se déplace le long d’un axe gradué, où x est en mètres et t, en secondes.

a) Écrire la fonction vitesse et la fonction accélération.b) Donner la position, la vitesse et l’accélération à t = 1.c) À quel moment la particule est-elle immobile?.d) Déterminer la distance totale parcourue par la particule entre les instants t = 0 et t = 5.

2( )= +4tx t

t

19

Département de mathématiques

Devoir

Exercices 4.3, page 155, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6 (Trouver uniquement f’, f’’ et f’’’), 7a, 7b et 7c.

Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3. Exercices récapitulatifs, page 164, nos

1(sauf l), 3 (facultatif), 4a, 4b, 4c, 8 et 9

Réponses pour les exercices récapitulatifs :2 3 61c)21x (x 1)

215x 4x1e)2 3x 1

2

5(4x 5)1h)2 2x 5x 7

2 2112x1i) (x 4)

2 3 3 2 31k)2x(x 3) (2x 5) (17x 27x 20)

20Département de mathématiques

Réponses

2 32

z 1

dx 1 dx8c) 9u ( 4t ) et 0dz z dz

2 32

z 0,5

dy 1 1 dy8d) 10x 9u 4t et est non définiedz z dz2 x

2

x 4

dy dy9a) 24x et 384dt dt

24t 1

dy 6 dy 29b) 4 5t etdt x dt 27

21

Réponses au numéro 3, page 164

22Département de mathématiques

Une lentille convergente élémentaire composée d'une seule surface sphérique de réfraction

Département de mathématiques 23

Épicicle et déférent :

Département de mathématiques 23