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Chapitre 2

2.0 Introduction

Les vecteurs

Pourquoi avons-nous besoin de vecteurs en physique ?

Pour traduire le plus fidèlement possible la réalité, certaines grandeurs physiques doivent s’additionner comme des vecteurs en tenant compte non seulement de leur grandeur mais également de leur direction.

Avez-vous des exemples de vecteurs ou de grandeurs vectorielles en physique?

Exemples : déplacement d’un objet, vitesse d’une voiture, accélération gravitationnelle, force centripète d’une voiture dans une courbe,

2

2.1 Scalaires et vecteurs

Par contre, certaines quantités physiques sont définies seulement par une grandeur et des unités. Elles sont représentées par un scalaire.

Pouvez-vous donner des exemples de quantités physiques représentées par des scalaires?

Exemples: La masse d’une automobile, la distance Québec-Montréal, le temps de vol d’une balle en chute libre, l’énergie cinétique d’une personne circulant à bicyclette

Pour traduire le plus fidèlement possible la réalité, certaines grandeurs physiques doivent s’additionner comme des vecteurs en tenant compte non seulement de leur grandeur mais également de leur direction.

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2.1 Scalaires et vecteurs

Représentation géométrique d’un vecteur dans un système de coordonnées cartésiennes (x,y) ( section 1.6)

F => ( Module, unité ; direction, degré )

Notation polaire:

F => ( F N ; F = 0 )

F => ( 15 N ; F = 450 )

xx

y

F

F

Fig. 1 Vecteur force F

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2.2 Opérations géométriques avec des vecteurs

• Égalité entre des vecteurs

• Translation de vecteurs

• Multiplication d’un vecteur par un scalaire

• Inversion d’un vecteur

• Addition géométrique de vecteurs A + B = C

Méthode du triangle

• Soustraction de vecteurs A - B = D

Rappel du secondaire: lire p. 23, 24, haut de 25.

Ces opérations ne sont pas très utilisées en pratique.

A

B

C

A

-B

D

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2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

Représentation cartésienne d’un vecteur: Composantes cartésiennes ( Ax , Ay)

xx

y

A

A

Ax

Ay

Fig. 2 Vecteur A

Notation cartésienne :

A => ( Ax , Ay ) Unité

Où Ax et A y sont les composantes cartésiennes du vecteur A. Elles sont obtenues géométriquement en abaissant des perpendiculaires aux axes à partir des extrémités du vecteur.

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2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

Passage d’une notation à l’autre

xx

y

A

A

Ax

Ay

Notation cartésienne :

A => ( Ax , Ay ) Unité

Notation polaire:

A => ( A unité ; A = 0 )

De polaire à cartésienne:

Puisque par définition :

A

AxA cos

A

AyA sin

On obtient:

Ay AA sin

Ax AA cos

Notation cartésienne :A => ( Ax , Ay ) Unité

vers

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2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

Passage d’une notation à l’autre

xx

y

A

A

Ax

Ay

Notation cartésienne :

A => ( Ax , Ay ) Unité

Notation polaire:

A => ( A unité ; A = 0 )

De cartésienne à polaire:

On obtient selon le théorème de Pythagore et par définition:

)(tan 1

x

y

A A

A 22

yx AAA

Notation polaire: A => ( A unité ; A = 0 )

vers

8

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

Exemple : Transformez le vecteur vitesse ci-dessous de la notation polaire à la notation cartésienne.

V => ( 100 km/h ; V =143o )

Nous avons deux possibilités.

143o ou 53o

V

Vx

Vy

90o

53o

y

ooxV 53sin100143cos100

hkmVx / 9,79

x

J’anticipe la solution possible suivante: Utiliser les transformations : polaires vers cartésiennes

Je cherche à résoudre le problème suivant : Trouvez V => ( Vx , Vy ) km/h

Je dessine la situation

9

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

Nous avons deux possibilités.

143o ou 53o

V = ( -79,9 , 60,2 ) km/hJ’obtient le résultat probable suivant:

ooxV 53sin100143cos100

hkmVx / 9,79

ooyV 53cos100143sin100

hkmVy / 2,60x

J’anticipe la solution possible suivante : Utiliser les transformations : polaires vers cartésiennes

V

Vx

Vy

90o

53o

ySituation

10

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

x

y

T

Exemple : Transformez le vecteur tension ci-dessous, de la notation cartésienne à la notation polaire.

T = > ( - 40 , -30 ) N

Tx

Ty

37o

37)40

30(tan)(tan 11

x

y

T T

T

Résultat probable :

J’obtiens une tension de

T => ( 50,0 N ; 217o

)

22

yx TTT

22 )30()40( T

NT 0,50

Solution possible: J’utilise les transformations

217oProblème ? Je cherche

T = > ( T , ) N

Situation: Je dessine

11

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

Notation à l’aide des vecteurs unitaires

i j k

Pour simplifier la manipulation et les opérations mathématiques avec des vecteurs, il est commode d’introduire la notion de vecteurs unitaires. Ces vecteurs de grandeur unitaire sont situés sur les axes x, y et z.

x

y

i

j

x

y

i

j

A

Ax

Ay

jAiAA yx

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2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

x

y

i

j

A

Ax

Ay

Notation en fonction des vecteurs unitaires

jAiAA yx

jiA

7,35,4

jBiBB yx

jiB

7,35,4

3,7

x

y

iBx

j

B

By

3,7

- 4,5

4,5

13

2.3 B - Addition algébrique des vecteurs (2D)

La notation à l’aide des vecteurs unitaires simplifie beaucoup les opérations mathématiques avec les vecteurs puisque les opérations s’effectuent sur les composantes des vecteurs qui sont des scalaires.

Addition : jRiRBAR yx

xxx BAR yyy BAR Où

x y

A Ax Ay

B Bx By

R Ax + Bx Ay + By

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2.3 B - Addition algébrique des vecteurs (2D)

Soustraction: jSiSBAS yx

xxx BAS yyy BAS Où

À la limite, nous n’avons pas besoin de la représentation d’un système d’axes, cependant il faut s’habituer rapidement à dessiner les vecteurs.

x y

A Ax Ay

B Bx By

S Ax - Bx Ay - By

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2.3 B - Addition algébrique des vecteurs

Exemple :Pour s’amuser, trois enfants tirent sur un disque en même temps avec des forces dans un plan horizontal dont les grandeurs et les directions sont indiquées dans la figure ci-dessous.

Déterminez la force résultante exercée sur le disque par la méthode algébrique ? Écrivez le résultat en utilisant les vecteurs unitaires.

F1 => ( 12 N ; 30o )

F2 => ( 16 N ; 145o )

F3 => ( 7 N ; 245o )

F1

F2

F3

55o

30o

65o x

y

Situation

Problème

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2.3 B - Addition algébrique des vecteurs

Déterminez la force résultante exercée sur le disque par la méthode algébrique ? Écrivez le résultat en utilisant les vecteurs unitaires.

F1 => ( 12 N ; 30o )

F2 => ( 16 N ; 145o )

F3 => ( 7 N ; 245o )

F1

F2

F3

55o

30o

65o x

y

Situation

Problème

Autrement dit : Je cherche N 321 FFFFR

N jFiFF RyRxR

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2.3 B - Addition algébrique des vecteurs

Solution possible:

N 321 FFFFR

J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs

F1

F2

F3

55o

30o

65o x

y

x y

F1

F2

F3

FR

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2.3 B - Addition algébrique des vecteurs

Solution possible:

N 321 FFFFR

jiF

30sin1230cos121

J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs

Écrivons d’abord les vecteurs forces en fonction des vecteurs unitaires :

ji

000,6392,10

jiF

55cos1655sin162

jiF

245sin7245cos73

ji

177,9106,13

ji

344,6958,2

jFiFF RyRxR

ji

833,8669,5

F1

F2

F3

55o

30o

65o x

y

jFiFF

sincos 111

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2.3 B - Addition algébrique des vecteurs

Solution possible:

N 321 FFFFR

J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs

Écrivons d’abord les vecteurs forces en fonction des vecteurs unitaires :

F1

F2

F3

55o

30o

65o x

y

x y

F1 10,392 6,000

F2 - 13,106 9,177

F3 - 2,958 - 6,344

FR - 5,669 + 8,333

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2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

jFiFF RyRxR

ji

833,8669,5

Résultat probable : J’obtiens une force résultante donnée par

N ) 83,867,5( jiFR

b) Exprimez la force résultante dans la notation polaire

Résultat probable: J’obtiens

FR => ( 10,5 N ; 123o )

5,10)833,8()669,5( 22 RF

3,57)669,5

833,8(tan)(tan 11

Rx

Ry

T F

F

Ou 123o

Solution possible : J’utilise les transformations

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2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires

F1

F2

F3

30o

65o x

y

FRN 83,867,5 jiFR

FR = ( 10,5 N ; 123o )

Autres exemples

Hyperphysics Vectors operations

22

2.4 et 2.5 Nous reviendrons plus tard sur ces sections après la relâche

Résumé :

Qu’avez-vous appris de nouveau?

Que devez-vous bien comprendre?

Quels liens pouvez-vous avec des applications pratiques?

Complétez le résumé à la fin du chapitre 2.

23

Chapitre 2 Les vecteurs

Schéma des concepts • Grandeurs physiques

scalaire vectorielle

Algèbre ordinaire pour les opérations mathématiques

Algèbre vectorielle avec des opérations mathématiques spéciales

Opérations, transformations et utilisation des méthodes géométrique et analytique.

Notation polaire, cartésienne et vecteurs unitaires.