8/18/2019 Systèmes Bouclés - Chapitre 0 - Transformée de Laplace
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Mme Vié ING2 S4 2014-2015
Transformée de Laplace 1
Chapitre 0 : Transformée de Laplace
La transformée de Laplace permet :
De résoudre une équation différentielle De déterminer des fonctions particulières (exemple fonction de transfert) sans
avoir à résoudre d’équation différentielle. On pourra alors obtenir aisément des
informations sur le système.
Domaine temporel Domaine de Laplace
I.
Définition
1. Transformée de Laplace (pour fonction monolatérale)
Soit f(t) une fonction causale du temps : f (t) = 0 si t < 0f (t)déinie pour t ≥ 0 On note ℒ[f (t)] ou F(p) sa transformée de Laplace.
() = ()
F(p) est la fonction associée à f(t) où p est une variable symbolique (=sans dimension et sans signification physique) complexe p=σ+jω.
Modélisation
Equation différentielle en
y(t) et x(t)
Solution y(t)
Equation en Y(p) et X(p)
Solution Y(P)
Fonction de transfert
Ou transmittance
H(p) =()()
Informations sur le
comportement du système
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Transformée de Laplace 2
2. L’operateur « indice unité » u(t)
But : rendre la fonction causale.
() = 1 ≥ 00 < 0 3. Exemples de calculs de transformée de Laplace
Soit la fonction échelon f(t)=A.u(t)
F(p) = A edt∞
F(p) = A e−p ∞ ∀p ≠ 0
F(p) = − Ap (0 − 1) = AP
Dans le cas d’un échelon unité alors A = 1 et F(p) = .
4. Table des transformées de Laplace usuelles
F(p) f(t) pout t ≥ 0
1 () Impulsion de Dirac A.u(t) Echelon d’amplitude A
A.t.u(t) Rampe
1 +
e..u(t)
1( + ) t.e..u(t)( + ) (1-a.t).e..u(t) ² + ² sin(ωt).u(t)
² + ² cos(ωt).u(t)
( + ) ² + ² e..sin (ωt) .u(t)
+ ( + ) ² + ² e..cos(
ωt).u(t)
U(t)
t
0
f(t)
t0
A
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Transformée de Laplace 3
II.
Propriétés de la transformée de Laplace
1.
Linéarité
ℒαf () + βf () = α . ℒf () +β.ℒ[f (t)] = α F(p)+βF(p)
Application : Obtention de ℒ [cos(ωt) u(t) ] et de ℒ [sin (ωt) u(t) ] e =cosωt+jsinωt Formule d’Euler
En posant a = − j ω alors e = e
ℒe
.u(t) =1
p − j ω = ℒ[cos(ωt) u(t) ] + j ℒ[sin (ωt) u(t) ]
OR = ()() = = ²² +j ²² Par identification, on a = ℒ[cos(ωt) u(t) ] On retrouve bien les formules indiquées dans
le tableau. = ℒ[sin (ωt) u(t) ] 2.
La dérivationℒ[f ′(t)u(t)] = pF(p) − f (O) ℒ[f "(t)u(t)] = pF(p) − f (O) − df dt (0)
Par généralisation à la dérivée d’ordre 2.
Application :
Equation différentielle : τ + s(t) = e(t) avec s (0) = S
Alors, dans le domaine de Laplace, on a : τ[pS(p) − S] + S(p) = E(p)
Soit S(p)(p τ + 1) = E(p) + τS ⟺ S(p) = ()
3. Intégration
() = ()
() = () + (0
)
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Transformée de Laplace 4
Explication : on pose f (t) =
ℒ . () = () − (0)
= () ℒ . () = () ⟹
= () = () − (0)
⟹ () = () + (0) 4. Théorème du retard
Avec u(t − τ) = 1 si t − τ ≥ 0 ⟺ t ≥ τ0 si t − τ < 0 ⟺ <
ℒ[f(t−τ)u(t−τ)
]= e
F(p) où F (p) = ℒ[f(t)u(t)
] 5. Théorème de l’amortissement
ℒ ef(t)u(t)=F(p+a)
6. Théorème de la valeur initiale
lim→ f(t) = lim→∞pF(p)
7. Théorème de la valeur finalelim→∞ f(t)=lim→pF(p)
III.
Transformée inverse de Laplace
1.
Principe
F(p) est très souvent une fonction rationnelle de 2 polynômes.
F(p) = N(p)D(p) où d° N(p) < °D(p)
f(t)u(t)
f(t-τ)u(t-τ)
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Transformée de Laplace 5
But : décomposer F(p) pour le mettre sous la forme() = − + − + ⋯ + − où pi=pôles du dénominateur
Les termes A i sont des constantes appelés résidus.
Chaque terme de la somme est la TL d’une fonction exponentielle. L’original f(t) de la TL
F(p) est : f (t) = [Ae + Ae + ⋯ + Ae]u(t)
C ‘est la méthode de décomposition en éléments simple (DES)
2. Méthode DES
Exemple :
F(p) =
Etape 1 : trouver les pôlesp + 5 p + 6 = 0 ⟺ p = −2p = −3 Alors F(p) peut se mettre sous la forme : F(p) = ()()
Etape 2 : trouver les résidus() = + 2 + + 3
Première technique : réduire au même dénominateur puis identifier les
numérateurs
F(p) = (A + A)p + 3 A + 2A(P + 2)(P + 3) ⟺ A + A = 13A + 2A = 1 ⟺ A = −1A = 2 Deuxième technique :
Pour trouver A 1 on multiplie F(p) par (p+2) et on remplace p par -2
()( + 2) = +
( + 2) + 3 = + 1 + 3
Pour p=-2 + × = = −1 D’où A 1 = -1.
Pour trouver A 2 on multiplie F(p) par (p+3) et on fait remplace p par -3
()( + 3) = (+ 3) + 2 + = + 1 + 2
Pour p=-3× + =
⟹ = 2
.
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Transformée de Laplace 6
Etape 3 : Déterminer f(t)
F(p
)= −
1p + 2 +
2p + 3 →⏟ f
(t)
=[−e
+ 2e]
u(t)
3. Cas du double pôle
Sur l’exemple de la question b de l’exercice 2 du TD1.
F(p) =()²()
P1 = 0 est un pôle double.
P2 = -3.
F(p)= ² + +
A 1 et A 3 se trouve facilement par a technique 2. On a A 1 = 6 et A 3 = -1.
A 2 se trouve par la technique 1 (mise au même dénominateur puis identiication)par la technique 2 (il faut multiplier par p et faire tendre p vers + ∞ On trouve A 2 = 1.
D’où f(t) = (6t+1-e)u(t)
4. Cas de deux pôles complexe conjugués
Exemple d’étude : F(p) =
P2+2p+2 = 0
∆ = 4-4*2=-4
p = = − 1 + jp =
= − 1 − j
Première possibilité : effectuer la DES puis TL inverse. On trouve des exponentielles
complexes => sinusoïde amortie en utilisant les formules d’Euler. INCONVENIENT : très
long et sans intérêt.
Seconde possibilité : Mettre directement F(p) sous la forme de la TL d’une fonction
sinusoïdale amortie (A.()²² ) ou cosinusoïdale amortie (A.
()²²). A représente l’amplitude.
F(p) = = ()
On a A = 1, = 1 et a=1. D’où f(t) = e-t.sin(t).u(t) car f(t) est de la forme e..sin (ωt) .u(t).
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