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Transformée de LaplaceTransformée de Fourier

Analyse des signaux - ELE2700Transformée de Laplace et de Fourier et Spectres Continus

Christian Cardinal, Ph.D

Département de génie électriqueÉcole Polytechnique de Montréal

6 janvier 2009


Lignes directrices

1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion

2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles


DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion

Lignes directrices





Définitions de la transformée de Laplace

Deux définitions : Unilatérale et Bilatérale

Transformée de Laplace Unilatérale

Soit un signal représenté par une fonction x(t). La transformée deLaplace unilatérale de x(t) constitue une fonction L{x(t)} telle que

L{x(t)} : C → C

s 7→∫ ∞

0x(t)e−stdt (1)

Transformée de Laplace Bilatérale

Soit un signal x(t). La transformée de Laplace bilatérale de x(t)constitue une fonction X (s) telle que

L{x(t)} : C → C

s 7→∫ ∞

−∞e−stdt (2)



Définitions (suite....)

On note aussi X (s) comme la transformée de Laplace d’unsignal x(t) :

X (s) = L{x(t)} (3)

En général, nous considérons que l’opérateur L désigne latransformée bilatéraleCependant, comme nous manipulons typiquement des signauxcausaux, dont le support est inclus dans R+, cette transforméedégénère en transformée unilatéraleNotation : s = σ + jω, i.e. <{s} = σ,={s} = ω



Lignes directrices





Région de convergence

La région de convergence d’une transformée de Laplace consiste enle sous-ensemble de C où X (s) est parfaitement définie, au sens oùl’intégrale impropre converge.

il est difficile de déterminer cette région de convergence,spécifique à chaque signalcependant,il est facile de déterminer la région de convergenced’une exponentielle naturelleon peut donc déterminer un sous-ensemble de la région deconvergence de toute fonction absolument bornée par uneexponentielle



Définition de la région de convergence de X (s)(suite...)

La région de convergence de X (s) correspond aux valeurs des ∈ C tel que |X (s)| <∞

|X (s)| =∣∣∣∣∫ ∞

−∞x(t)e−stdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

−∞

∣∣x(t)e−st∣∣ dt

≤∫ ∞

−∞

∣∣∣x(t)e−(σ−jω)t∣∣∣ dt =

∫ ∞

−∞

∣∣x(t)e−σt∣∣ dt

(4)

il faut donc que x(t)e−σt soit absolument intégrableil existe une plage de valeurs de σ, σ1 < σ < σ2 tel que|X (s)| <∞



La région de convergence de la transformée de Laplace bilatéraled’un signal à support fini x(t), intégrable dans l’intervalle [a, b] est C.

X (s) =

∫ b

ax(t)e−stdt . (5)

l’intégrale converge pour tout a < b

La région de convergence de la transformée de Laplace dusignal x(t) = eat , t ≥ 0 est le demi-plan complexe :

ROC = {s ∈ C | <(s) > a}. (6)

X (s) =

∫ ∞

0eate−stdt =

∫ ∞

0e(a−σ)te−jωtdt (7)

Pour avoir convergence, il faut (a− σ) < 0⇒ σ > a ou <{s} > a



X (s) =1

s − a, ROC = {s ∈ C | <(s) > a} (8)



Exemple : Fonction échelon

La fonction marche de Heaviside ou échelon est un signal u(t) définicomme

u(t) =

0 , si t < 012 , si t = 01 , si t > 0,

(9)



Exemple : Fonction échelon

Pour x(t) = u(t),

X (s) =

∫ ∞

0e−stdt =

e−st

−s

∣∣∣∞0

=1s, ROC = {s ∈ C|<(s) > 0} (10)



Types de signaux et régions de convergence

Un signal est dit de droite si son support est contenu dans unintervalle fermé à gauche et ouvert à droite⇒ ROC de droiteUn signal est dit de gauche si son support est sous-ensembled’un intervalle fermé à droite et ouvert à gauche⇒ ROC degauche

La fonction échelon u(t) ainsi que tout signal dont la définitionimplique un produit par la fonction u(t) sont des signaux de droite

Exemple :l’exponentielle à droite est définie comme eatu(t − t0) (pourtout t0 ∈ R) ;l’exponentielle à gauche est définie comme eatu(t0 − t).



signaux non bornés

La région de convergence d’un signal non borné est une debande complexe parallèle à l’axe jω

Exemple : La région de convergence de la transformée de Laplace dela somme de l’exponentielle à droite eatu(t − t0) et de l’exponentielleà gauche ebtu(t1 − t), a < b ∈ R est la bande complexe

ROC = {s ∈ C | a < <(s) < b}. (11)



signaux fini

La région de convergence d’un signal fini dans un intervalle [a, b]constitue tout le plan complexe C

Exemple

La transformée de Laplace de la fonction de Dirac, δ(t − to) est∫ ∞

−∞δ(t − to)e−st = e−sto (12)

La région de convergence est donc tout le plan complexe



Forme rationnelle de la Transformée de Laplace :Pôles et Zéros

Dans plusieurs applications X (s) prend la forme d’une fonctionrationnelle :

X (s) =b0 + b1s + b2s2 + ... + bMsM

a0 + a1s + a2s2 + ... + aNsN =

∑Mk=0 bk sk∑Nk=0 ak sk

=N(s)

D(s)

(13)

Les Zéros de X (s) sont les valeurs de s tel que X (s) = 0 : i.e lesM racines, si , i = 1, 2, 3....M de N(s)Les Pôles de X (s) sont les valeurs de s tel que X (s) =∞ : i.e.les N racines, si , i = 1, 2, 3....N de D(s)



Forme rationnelle de la Transformée de Laplace : ROCSoit les N pôles, si ∈ C, i = 1, 2, 3....N. On définit :

σmax = max {<(si)} , et (14)

σmin = min {<(si)} (15)

pour une signal de droite :

ROC = {s ∈ C|<(s) > σmax} (16)

Pour un signal de gauche :

ROC = {s ∈ C|<(s) < σmin} (17)

pour un signal non borné :

ROC = {s ∈ C|σmin < <(s) < σmax} (18)



Le tableau suivant résume ce qu’il faut retenir au sujet des régions deconvergence.

signaux FormeFinie Plan complexe : ROC = {s ∈ C}

À droite Demi-plan de droite : ROC = {s ∈ C|<(s) > σmax}À gauche Demi-plan de gauche : ROC = {s ∈ C|<(s) < σmin}non borné Bande du plan : ROC = {s ∈ C|σmin < <(s) < σmax}



Principales propriétés de la transformée de Laplace

Linéarité, Décalage temporel, Dérivation, compression, ....

Signal Transformée Région de convergence ROCx(t) X (s) Rx1(t) X1(s) R1

x2(t) X2(s) R2

ax1(t) + bx2(t) aX1(s) + bX2(s) R1 ∩ R2

x(t − to) e−sto X (s) Reso tx(t) X (s − so) Décalage de Rx(at) 1

|a|X ( sa ) Compression de R

x(−t) X (−s) Inversion de Rx1(t) ∗ x2(t) X1(s)X2(s) R1 ∩ R2

ddt x(t) sX (s) au moins R−tx(t) d

ds X (s) R∫ t−∞ x(τ)dτ 1

s X (s) au moins R ∩ {<(s) > 0}



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Transformée inverse de Laplace

Définition de la transformée de Laplace inverse

x(t) =1

2iπ

∫ σ+i∞

σ−i∞X (s)estds (19)

le choix de σ ne change pas la valeur de l’intégrale ; il fautcependant prendre une telle droite complexe dans la région deconvergence de X (s)

Généralement, la solution de cette intégrale est complexe

SOLUTION

DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS PARTIELLES

TABLE DE TRANSFORMÉES DE LAPLACE



Table de transformées de Laplace

Signal Transformée Région de convergence ROCδ(t) 1 pour tout s ∈ Cu(t) 1

s <(s) > 0−u(−t) 1

s <(s) < 0tn−1

(n−1)!u(t) 1sn <(s) > 0

− tn−1

(n−1)!u(−t) 1sn <(s) < 0

e−αtu(t) 1s+α <(s) > −α

−e−αtu(−t) 1s+α <(s) < −α

tn−1

(n−1)!e−αtu(t) 1

(s+α)n <(s) > −α

− tn−1

(n−1)!e−αtu(−t) 1

(s+α)n <(s) < −α



Table de transformées de Laplace (suite...)

Signal Transformée Région de convergence ROCδ(t − T ) e−sT pour tout s ∈ C

cos(ω0t)u(t) ss2+ω2

0<(s) > 0

sin(ω0t)u(t) ω0s2+ω2

0<(s) > 0

e−αt cos(ω0t)u(t) s+α(s+α)2+ω2

0<(s) > −α

e−αt sin(ω0t)u(t) ω0(s+α)2+ω2

0<(s) > −α


IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles

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INTRODUCTION

La transformée de Fourier constitue la décomposition d’un signaldans une base d’exponentielles complexes comportant un nombreinfini et non dénombrable d’éléments.

Produit Scalaire :Pour les signaux R→ C en général (pas nécessairement périodique),on définit le produit scalaire de signaux x(t) et y(t) comme

〈x(t), y(t)〉 =

∫ ∞

−∞x(t)y∗(t)dt . (20)



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Définitions

Définition de la Transformée de Fourier

La transformée de Fourier d’un signal x(t) représenté par unefonction R→ C est la fonction

X (f ) : R → Cf 7→ F{x(t)} = 〈x(t), e−2jπft〉 =

∫∞−∞ x(t)e−j2πftdt (21)

Transformée de Fourier inverse

La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (f ) est

x(t) = F−1{X (f )} = 〈X (f ), ej2πft〉 =

∫ ∞

−∞X (f )ej2πftdf (22)

Note : Le spectre fréquencielle d’un signal x(t) est simplement latransformée de Fourier X (f ) = F{x(t)}, f étant la fréquence en [Hz]



Conditions de définition

Pour que la transformée de Fourier X (f ) d’un signal x(t) existe, il fautque ce signal satisfasse les deux conditions suivantes :

1 x(t) doit être absolument intégrable — i.e.∫∞−∞ |x(t)|dt <∞.

2 Tout intervalle fini (ou support du signal) doit comporter unnombre fini de discontinuités et d’extrema.



Autres Définitions : fréquences angulaires

Définition de la transformée de Fourier dans le domaine desfréquences angulaires

La transformée de Fourier d’un signal x(t) peut aussi s’éxprimer dansle domaine de la fréquence angulaire ω = 2πf rad/s :

X (ω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt (23)

Transformée de Fourier inverse dans le domaine des fréquencesangulaires

La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (ω) est

x(t) = F−1{X (ω)} =1

2π

∫ ∞

−∞X (ω)ejωtdω (24)



REMARQUES

Dans le reste de ce cours nous utiliseront la définition dans ledomaine des fréquences en HzCependant, occasionnellement nous utiliseront la définition dansle domaine des fréquences angulaires uniquement par facilitéd’écriture et de développement mathématique



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Lien avec la transformée de Laplace

Soit un signal x(t) ayant pour transformée de Laplace X (s) et unerégion de convergence Rxpar définition, on a :

X (s) =

∫ ∞

−∞x(t)e−stdt (25)

On peut aussi écrire :

X (σ + jω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−(σ+jω)tdt (26)

On constate que si l’axe {jω} = {j2πf} ⊆ Rx , la transformée deFourier X (f ) s’obtient par :

X (σ + j2πf )|σ=0 = X (f ) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt (27)



Lien avec la transformée de Laplace (suite...)

REMARQUES :1 Cela revient donc à poser s = j2πf dans X (s) :

X (f ) = X (s)|s=j2πf si l’axe jω est dans la région de convergence(ROC) de X (s)⇒ Cas des signaux convergents

2 X (f ) n’existe pas si l’axe jω n’est pas dans la ROC et n’estpas une borne de la ROC⇒ Cas des signaux divergents

3 X (f ) existe et comporte des Dirac, (δ(f − fi)) si l’axe jω est uneborne de la région de convergence de X (s)⇒ Cas des signauxoscillants (sinus, cosinus) ou stagnants (fonction échelon)



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Principales Propriétés de la Transformée de Fourier

Les propriétés de la transformée de Fourier decoulent de cellesde la transformée de Laplace

Signal T.F. (fréq., Hz) T.F.(fréq. angulaire, rad/s)x(t) X (ω) X (f )y(t) Y (ω) Y (f )

ax(t) + by(t) aX (ω) + bY (ω) aX (f ) + bY (f )x(t − to) e−jωto X (ω0) e−j2πfto X (f )

ejω0tx(t), ej2πf0tx(t) X (ω − ω0) X (f − f0)x∗(t) X ∗(−ω) X ∗(−f )x(−t) X (−ω) X (−f )x(at) 1

|a|X (ωa ) 1

|a|X ( fa )

x(t) ∗ y(t) X (ω)Y (ω) X (f )Y (f )



Propriétés de la Transformée de Fourier (suite...)

Signal T.F. (fréq., Hz) T.F.(fréq. angulaire, rad/s)x(t)y(t) 1

2π X (ω) ∗ Y (ω) X (f ) ∗ Y (f )ddt x(t) jωX (ω) j2πfX (f )∫ t

−∞ x(τ)dτ 1jω X (ω) + πX (0)δ(ω) 1

j2πf X (f ) + 12 X (0)δ(f )

tx(t) j ddω X (ω) j

2πddf X (f )

x(t) réel X (ω) = X ∗(−ω) X (f ) = X ∗(−f )<{X (ω)} = <{X (−ω)} <{X (f )} = <{X (−f )}={X (ω)} = −={X (−ω)} ={X (f )} = −={X (−f )}|X (ω)| = |X (−ω)| |X (f )| = |X (−f )|

∠X (ω) = −∠X (−ω) ∠X (f ) = −∠X (−f )



Propriétés de la Transformée de Fourier (suite...)

Dualité :

f (t) F←→ F (ω)

F (t) F←→ 2πf (−ω)

Relation de Parseval pour les signaux apériodiques :∫ ∞

−∞|x(t)|2dt =

12π

∫ ∞

−∞|X (ω)|2dω

∫ ∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|X (f )|2df



Table des Transformées de Fourier

x(t) X (ω) X (f )e−αtu(t) 1

α+jω1

α+j2πfte−αtu(t) 1

(α+jω)21

(α+j2πf )2

|t | −2ω2

−2(2πf )2

δ(t) 1 11 2πδ(ω) δ(f )

u(t) πδ(ω) + 1jω

12δ(f ) + 1

j2πfcos(ω0t)u(t) π

2 [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]14 [δ(f − f0) + δ(f + f0)]

+ jω(ω2

0−ω2)+ j2πf

((2πf0)2−(2πf )2)

sin(ω0t)u(t) π2j [δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]

14j [δ(f − f0)− δ(f + f0)]

+ ω0(ω2

0−ω2)+ 2πf0

((2πf0)2−(2πf )2)



Table des Transformées de Fourier (suite...)

x(t) X (ω) X (f )cos(ω0t) π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

12 [δ(f − f0) + δ(f + f0)]

sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]j2 [δ(f + f0)− δ(f − f0)]

e−atsin(ω0t)u(t) ω0(a+jω)2+ω2

0

2πf0(a+j2πf )2+(2πf0)2

ω02π Sa

(ω0t2

), rect[−ω0/2,ω0/2](ω) rect[−f0/2,f0/2](f )

rect[−τ/2,τ/2](t) τSa(

ωτ2

)τSa (πf τ)

Λ[−τ,τ ](t) τ[Sa

(ωτ2

)]2τ [Sa (πf τ)]2

e−a|t| 2aa2+ω2

2aa2+(2πf )2

e−t2/2σ2σ√

2πe−σ2ω2/2 σ√

2πe−σ2(2πf )2/2



Transformée de Fourier de Signaux périodiquesSoit x(t) un signal périodique de période T :

x(t) =∑n∈Z

Xnej 2πntT

La transformée de Fourier de x(t) est :

X (f ) =∑n∈Z

XnF{

ej 2πntT

}=

∑n∈Z

Xnδ(f − n/T )

Dans le domaine des fréquences angulaires :

X (ω) =∑n∈Z

XnF{

ej 2πntT

}= 2π

∑n∈Z

Xnδ(ω − 2πn/T )

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