Systèmes Bouclés - Chapitre 0 - Transformée de Laplace

8/18/2019 Systèmes Bouclés - Chapitre 0 - Transformée de Laplace

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Mme Vié ING2 S4 2014-2015

Transformée de Laplace 1

Chapitre 0 : Transformée de Laplace

La transformée de Laplace permet :

De résoudre une équation différentielle De déterminer des fonctions particulières (exemple fonction de transfert) sans

avoir à résoudre d’équation différentielle. On pourra alors obtenir aisément des

informations sur le système.

Domaine temporel Domaine de Laplace

I.

Définition

1. Transformée de Laplace (pour fonction monolatérale)

Soit f(t) une fonction causale du temps : f (t) = 0 si t < 0f (t)déinie pour t ≥ 0 On note ℒ[f (t)] ou F(p) sa transformée de Laplace.

() = ()

F(p) est la fonction associée à f(t) où p est une variable symbolique (=sans dimension et sans signification physique) complexe p=σ+jω.

Modélisation

Equation différentielle en

y(t) et x(t)

Solution y(t)

Equation en Y(p) et X(p)

Solution Y(P)

Fonction de transfert

Ou transmittance

H(p) =()()

Informations sur le

comportement du système





2. L’operateur « indice unité » u(t)

But : rendre la fonction causale.

() = 1 ≥ 00 < 0 3. Exemples de calculs de transformée de Laplace

Soit la fonction échelon f(t)=A.u(t)

F(p) = A edt∞

F(p) = A e−p ∞ ∀p ≠ 0

F(p) = − Ap (0 − 1) = AP

Dans le cas d’un échelon unité alors A = 1 et F(p) = .

4. Table des transformées de Laplace usuelles

F(p) f(t) pout t ≥ 0

1 () Impulsion de Dirac A.u(t) Echelon d’amplitude A

A.t.u(t) Rampe

1 +

e..u(t)

1( + ) t.e..u(t)( + ) (1-a.t).e..u(t) ² + ² sin(ωt).u(t)

² + ² cos(ωt).u(t)

( + ) ² + ² e..sin (ωt) .u(t)

+ ( + ) ² + ² e..cos(

ωt).u(t)

U(t)

t

0

f(t)

t0

A





II.

Propriétés de la transformée de Laplace

1.

Linéarité

ℒαf () + βf () = α . ℒf () +β.ℒ[f (t)] = α F(p)+βF(p)

Application : Obtention de ℒ [cos(ωt) u(t) ] et de ℒ [sin (ωt) u(t) ] e =cosωt+jsinωt Formule d’Euler

En posant a = − j ω alors e = e

ℒe

.u(t) =1

p − j ω = ℒ[cos(ωt) u(t) ] + j ℒ[sin (ωt) u(t) ]

OR = ()() = = ²² +j ²² Par identification, on a = ℒ[cos(ωt) u(t) ] On retrouve bien les formules indiquées dans

le tableau. = ℒ[sin (ωt) u(t) ] 2.

La dérivationℒ[f ′(t)u(t)] = pF(p) − f (O) ℒ[f "(t)u(t)] = pF(p) − f (O) − df dt (0)

Par généralisation à la dérivée d’ordre 2.

Application :

Equation différentielle : τ + s(t) = e(t) avec s (0) = S

Alors, dans le domaine de Laplace, on a : τ[pS(p) − S] + S(p) = E(p)

Soit S(p)(p τ + 1) = E(p) + τS ⟺ S(p) = ()

3. Intégration

() = ()

() = () + (0

)





Explication : on pose f (t) =

ℒ . () = () − (0)

= () ℒ . () = () ⟹

= () = () − (0)

⟹ () = () + (0) 4. Théorème du retard

Avec u(t − τ) = 1 si t − τ ≥ 0 ⟺ t ≥ τ0 si t − τ < 0 ⟺ <

ℒ[f(t−τ)u(t−τ)

]= e

F(p) où F (p) = ℒ[f(t)u(t)

] 5. Théorème de l’amortissement

ℒ ef(t)u(t)=F(p+a)

6. Théorème de la valeur initiale

lim→ f(t) = lim→∞pF(p)

7. Théorème de la valeur finalelim→∞ f(t)=lim→pF(p)

III.

Transformée inverse de Laplace

1.

Principe

F(p) est très souvent une fonction rationnelle de 2 polynômes.

F(p) = N(p)D(p) où d° N(p) < °D(p)

f(t)u(t)

f(t-τ)u(t-τ)





But : décomposer F(p) pour le mettre sous la forme() = − + − + ⋯ + − où pi=pôles du dénominateur

Les termes A i sont des constantes appelés résidus.

Chaque terme de la somme est la TL d’une fonction exponentielle. L’original f(t) de la TL

F(p) est : f (t) = [Ae + Ae + ⋯ + Ae]u(t)

C ‘est la méthode de décomposition en éléments simple (DES)

2. Méthode DES

Exemple :

F(p) =

Etape 1 : trouver les pôlesp + 5 p + 6 = 0 ⟺ p = −2p = −3 Alors F(p) peut se mettre sous la forme : F(p) = ()()

Etape 2 : trouver les résidus() = + 2 + + 3

Première technique : réduire au même dénominateur puis identifier les

numérateurs

F(p) = (A + A)p + 3 A + 2A(P + 2)(P + 3) ⟺ A + A = 13A + 2A = 1 ⟺ A = −1A = 2 Deuxième technique :

Pour trouver A 1 on multiplie F(p) par (p+2) et on remplace p par -2

()( + 2) = +

( + 2) + 3 = + 1 + 3

Pour p=-2 + × = = −1 D’où A 1 = -1.

Pour trouver A 2 on multiplie F(p) par (p+3) et on fait remplace p par -3

()( + 3) = (+ 3) + 2 + = + 1 + 2

Pour p=-3× + =

⟹ = 2

.





Etape 3 : Déterminer f(t)

F(p

)= −

1p + 2 +

2p + 3 →⏟ f

(t)

=[−e

+ 2e]

u(t)

3. Cas du double pôle

Sur l’exemple de la question b de l’exercice 2 du TD1.

F(p) =()²()

P1 = 0 est un pôle double.

P2 = -3.

F(p)= ² + +

A 1 et A 3 se trouve facilement par a technique 2. On a A 1 = 6 et A 3 = -1.

A 2 se trouve par la technique 1 (mise au même dénominateur puis identiication)par la technique 2 (il faut multiplier par p et faire tendre p vers + ∞ On trouve A 2 = 1.

D’où f(t) = (6t+1-e)u(t)

4. Cas de deux pôles complexe conjugués

Exemple d’étude : F(p) =

P2+2p+2 = 0

∆ = 4-4*2=-4

p = = − 1 + jp =

= − 1 − j

Première possibilité : effectuer la DES puis TL inverse. On trouve des exponentielles

complexes => sinusoïde amortie en utilisant les formules d’Euler. INCONVENIENT : très

long et sans intérêt.

Seconde possibilité : Mettre directement F(p) sous la forme de la TL d’une fonction

sinusoïdale amortie (A.()²² ) ou cosinusoïdale amortie (A.

()²²). A représente l’amplitude.

F(p) = = ()

On a A = 1, = 1 et a=1. D’où f(t) = e-t.sin(t).u(t) car f(t) est de la forme e..sin (ωt) .u(t).

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