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CIBLE PRINCIPALE Premire Terminale SERIE Srie F1-2-3-4-C-D MATIERE Mathmatiques TITRE RESUME DU SUJET Thme abord :

Fonction exponentielle

1. Problme 16 Lexercice comporte une annexe rendre avec la copie. Le but de ce problme est dtudier, pour x et y lments distincts de lintervalle ]0 ; [+ , les couples solutions de lquation y xx y= (E) et, en particulier, les couples constitus dentiers.

1. Montrer que lquation (E) est quivalente lnln yx

x y= .

2. Soit h la fonction dfinie sur lintervalle ]0 ; [+ par ln( ) xh xx

= . La courbe (C) reprsentative de la fonction

h est donne en annexe ; 0x est labscisse du maximum de la fonction h sur lintervalle ]0 ; [+ . a. Rappeler la limite de la fonction h en + et dterminer la limite de la fonction h en 0. b. Calculer '( )h x , o h dsigne la fonction drive de h ; retrouver les variations de h. Dterminer les valeurs exactes de 0x et 0( )h x . c. Dterminer lintersection de la courbe (C) avec laxe des abscisses.

3. Soit un lment de lintervalle 10 ;e

.

Prouver lexistence dun unique nombre rel a de lintervalle ]1 ; [e et dun unique nombre rel b de lintervalle ] ; [e + tel que ( ) ( )h a h b = = . Ainsi le couple ( , )a b est solution de (E). 4. On considre la fonction s qui, tout nombre rel a de lintervalle ]1 ; [e , associe lunique nombre rel b de lintervalle ] ; [e + tel que ( ) ( )h a h b= (on ne cherchera pas exprimer ( )s a en fonction de a). Par lecture graphique uniquement et sans justification, rpondre aux questions suivantes : a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs suprieures ? b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs infrieures ? c. Dterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s. 5. Dterminer les couples dentiers distinctes solutions de (E).