Problèmes de parallélismeProblèmes de parallélismeProblèmes d’orthogonalitéProblèmes d’orthogonalité

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Problèmes de parallélismeProblèmes de parallélisme

I. Rappels de géométrie sur le parallélisme

II. Problèmes de parallélisme entre droites et plans1) Construction, par un point donné, d’une droite

parallèle à un plan donné (Applications TD)

a) par ses traces

b) par deux droites sécantes

2) Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné

a) par deux droites sécantes du plan (4.3)

b) par ses traces (4.4)

3) Construction, par une droite donnée, d’un plan parallèle à une direction donnée (Application TD)

4.1. Rappels géométriques sur le parallélisme4.1. Rappels géométriques sur le parallélisme

• Théorème 1: Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

• Théorème 2 : Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à l’autre plan.

(D(D11))

((11))

P1

((22))

(D(D22))

P(())

(D)(D)

P2

Applications en géométrie descriptive

• Théorème 3 : La propriété de parallélisme se transmet en projections orthogonales.

• Théorème 4 : Deux plans parallèles sont coupés par un troisième selon deux droites parallèles.

• Conséquence 4 : a) Toutes les frontales d’un plan sont parallèles entre elles et avec la

trace frontale du plan (qui est une frontale particulière du plan)

b) Toutes les horizontales d’un plan sont parallèles entre elles et avec la trace horizontale du plan (qui est une horizontale particulière du plan)

Si (D1) ║ (D2) (d1) ║ (d2) et (d1’) ║ (d2’ )

(F) ║ (Q) (f’) ║ (Q’) et (f) ║ (Q) = LT

(H) ║ (P) (h) ║ (P) et (h’) ║ (P’) = LT

4.2.1 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle 4.2.1 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle à un plan donné par ses traces. à un plan donné par ses traces. (Application TD)

4.2. Problèmes de parallélisme entre droites et plans4.2. Problèmes de parallélisme entre droites et plans

Par exemple on choisit (Q) la droite du plan et on construit (D) ║ (Q), par A :par a’, on construit (d’) ║ (Q’)par a, on construit (d) ║ (Q)=LT

a

a’

(Q’)

(P)

(P’)(Q)

(d)

(d’)

ααy’y’ yy

Méthode générale de construction d’une droite (D) ║ avec un plan P :On choisit une droite () dans le plan P et on construit (D) ║ (). Cf. Th.1 (D) ║ P.

4.2.2 Construction, par un point donné, d’une droite parallèle à4.2.2 Construction, par un point donné, d’une droite parallèle àun plan donné par deux droites sécantes du plan. un plan donné par deux droites sécantes du plan.

(d’)

(d)

a’

a

(d2’)(d1’)

(d2)(d1)

y’y’ yy

On construit, par le point A, la droite (D) parallèle à l’une des deux droites sécantes (D1) ou (D2) qui déterminent le plan :

on construit, par le point a’, la droite (d’) parallèle à (d2’),

on construit, par le point a, la droite (d) parallèle à (d2).

4.2.3 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle 4.2.3 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle au premier plan bissecteur au premier plan bissecteur (Application TD)

a

a’

(δ’)

(δ)(d)

(d’)

y’y’ yy

(δ’)

(δ)

()(D)

i) On choisit, dans le premier plan bissecteur, une droite quelconque ().

ii) On construit, par A, la droite (D) demandée parallèle à la droite ():

Ses projections (δ), (δ’) sont symétriques par rapport à la ligne de terre.

(d) ║ (δ) par le point a et (d’)║(δ’) par le point a’

xA

α

α

4.2.44.2.4 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle au deuxième plan bissecteur au deuxième plan bissecteur (Application TD)

a

a’

(δ)=(δ’)(d’)

(d)y’y’ yy

(δ’)

()

(D)

i) On choisit, dans le deuxième plan bissecteur, une droite quelconque ().

ii) On construit, par A, la droite (D) demandée, parallèle à la droite ():

Ses projections (δ), (δ’) coïncident.

(d) ║ (δ) par le point a et (d’)║(δ’) par le point a’, donc (d) ║ (d’)

xA

(δ)

4.3. Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à 4.3. Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné par deux droites sécantesun plan donné par deux droites sécantes

Enoncé du problème :

Soit P un plan déterminé par deux droites (D) et () sécantes en A

et M un point de l’espace (M P ). Construire, par le point M, un plan P1 parallèle au plan P.

Méthode:

1) On construit par M, deux droites (D1) et (1) parallèles aux droites (D) et () du plan P.

2) Cf.Th.1, les droites (D1) et (1) sont parallèles au plan P.

3) Le plan P1 recherché est déterminé par ces 2 droites sécantes en M.

4) Cf.Th.2, le plan P1 est parallèle au plan P.

Problèmes de parallélisme entre deux plansProblèmes de parallélisme entre deux plans

(δ)

(d)

(d’)

(δ’)

y’ y

a’

m

m’

a

(d1’)

(δ1’)

(d1)

(δ1)

Epure de départ :1) Construction par M, de la droite (D1) parallèle à la droite (D) :

i) Construction par m de la projection horizontale (d1) parallèle à (d)

2) Construction par M, de la droite (1) parallèle à la droite () :

i) Construction par m de la projection horizontale (d1) parallèle à (d) ii) Construction par m’ de la projection frontale (d1’) parallèle à (d’)

iii) Construction par m de la projection horizontale (δ1) parallèle à (δ) iii) Construction par m de la projection horizontale (δ1) parallèle à (δ) iv) Construction par m’ de la projection frontale (δ1’) parallèle à (δ’)

Le plan P1 recherché est déterminé par ces 2 droites sécantes en M et parallèles

au plan P (cf.Th.2) P1 ║ P.

4.4 Construction, par un point donné, d’un plan parallèle 4.4 Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné par ses tracesà un plan donné par ses traces

Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par ses traces (αPQ) et M un point de l’espace (M P ).Construire, par le point M, un plan P1 parallèle au plan P.

Méthode 1 (cas particulier de 4.3) :

1) On construit par M, deux droites (H1) et (F1) parallèles aux traces du plan:

(H1) ║ (P) alors, cf.Th.1 (H1) ║ H , donc (H1) est une droite horizontale et

(F1) ║ (Q) (F1) ║ F , donc (F1) est une droite frontale.

2) Le plan P1 recherché est déterminé par ces deux droites sécantes en M,

qui deviennent: (H1) une horizontale du plan et (F1) une frontale du plan P1.

• Comme (H1) ║ (P) et (F1) ║ (Q) (par construction), alors cf.Th.2 P1 ║ P .• On construit les traces (P1) et (Q1) du plan P1 , déterminé par 2 droites sécantes.

(* On note F le plan frontal de projection, H le plan horizontal de projection.)(** Remarque : La méthode ne marche pas si (P) ║ (Q) ! Pourquoi? Que faire?)

y’ y

(Q’)

(P)

(f1’)

(f1)

(h1’)

(h1)

m ’

m

α (P’)(Q)

Epure de départ :

i) Construction, par M, de la droite (H1) parallèle à la trace (P) du plan : par m , ( (h1) ║ (P) et par m’ , ( (h1’) ║ (P’) = LT.

ii) Construction, par M, de la droite (F1) parallèle à la trace (Q) du plan : par m’, (f1’) ║ (Q’) et par m , (f1)║ (Q) = LT.

iii) Le plan P1 recherché est déterminé par les droites sécantes (H1) et (F1), , qui deviennent une

horizontale et une frontale du plan P1.

iv) Déterminer les traces du plan P1: le point de trace frontale V de (H1) se trouve sur (Q1):

v = (h1) ∩ LT, v’ (h1’) et on construit (Q1’) ║ (f1’) ║ (Q’) , par v’le point de trace horizontale U de (F1) se trouve sur (P1):

u’ = (f1’) ∩ LT, u (f1) et on construit (P1) ║ (h1) ║ (P) , par u

(Q1’)

(P1)

α1

v’v’

vvu’u’

uu

Méthode 2:

1) On construit, par M, un plan horizontal H qui coupe les plans parallèles P et

P1

selon deux droites parallèles (H) et (H1), qui sont des horizontales des plans respectifs et donc sont parallèles avec les traces horizontales des plans.

2) On construit, par M, un plan frontal F qui coupe les plans parallèles P et P1

selon deux droites parallèles (F) et (F1), qui sont des frontales des plans respectifs et donc sont parallèles avec les traces frontales des plans.

3) On construit les traces (P1), (Q1) du plan P1 déterminé par les deux droites (H1), (F1) sécantes en M.

4.4 Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à 4.4 Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné par ses tracesun plan donné par ses traces

Problèmes d’orthogonalitéProblèmes d’orthogonalitéI. Rappels de géométrie sur l’orthogonalité

II. Problèmes d’orthogonalité entre droites et plans1) Construction, par un point donné, d’une droite

perpendiculaire à un plan donnéa) par ses traces (4.5) (4.6)b) par deux droites sécantes (4.7)

2) Construction, par un point donné, d’un plan perpendiculaire à une droite donnée (4.8)

III. Applications (exercices)

1) Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à une droite donnée

2) Construction de la perpendiculaire commune à deux droites dans l’espace

Rappels géométriques sur l’orthogonalitéRappels géométriques sur l’orthogonalité

Définition: Deux droites (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales (dans l’espace) si les parallèles à ces deux droites menées par un point quelconque sont perpendiculaires (dans le plan qu’elles déterminent).

• Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

• Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est perpendiculaire au plan.

Théorème 5 : Une droite (D1) est perpendiculaire à un plan si et seulement si il existe deux droites sécantes (D2), (D3) du plan, tel que (D1) (D2) et

(D1) (D3).(D1)

(D2)(D3)

Théorème 6 : Deux droites orthogonales se projettent sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l’une des droites est parallèle (ou contenue) au plan de projection.

La propriété d’orthogonalité des droites ne se transmet pas en projections orthogonales : Si deux droites sont orthogonales, leurs projections ne sont pas nécessairement orthogonales.

(d1) (d2) (D1) ║H ou (D2) ║H

(d1’) (d2’) (D1) ║F ou (D2) ║F(D1)

(D2)║ H

H

(d1) (d2)

(D1)║ F

(D2)

(d1’)(d2’)

(d1)

(d2)H

F

Si (D1) (D2) et (D2) ║H (d1) (d2)

Si (D1) (D2) alors:

Si (D1) (D2) et (D1) ║F (d1’) (d2’)

Conséquence Si une droite (MN) est perpendiculaire à un plan (PαQ) alors:i) la projection horizontale de la droite est perpendiculaire aux projections horizontales des horizontales du plan (dont la trace horizontale P du plan).

ii) la projection frontale de la droite est perpendiculaire aux projections frontales des frontales du plan (dont la trace frontale Q du plan).

(P)

(Q)

α

MF

H

m’

m

(F)

(H)

(f ’)

(f)

(h)(h)

(h’)(h’)

N

n

n’

4.5. Principe de construction d’une perpendiculaire à un plan4.5. Principe de construction d’une perpendiculaire à un plan

4.6. Construction, par un point donné, d’une droite 4.6. Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à un plan donnéperpendiculaire à un plan donné par ses tracespar ses traces

Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par ses traces (P) et (Q).Soit M un point de l’espace (pas nécessairement sur P ).Construire, par le point M, une droite (L) perpendiculaire au plan P.

Méthode (cas particulier de 4.7):La trace horizontale (P) d’un plan est une horizontale du plan et la trace frontale (Q) d’un plan est une frontale du plan, alors

• il suffit de mener, par le point M, une droite (L) perpendiculaire aux traces du plan (sécantes):

(L) (P) ║ H et (L) (Q) ║ F• cf. Th.5, (L) est perpendiculaire au plan • cf.Th.6 ses projections sont, respectivement perpendiculaires à ces traces:

(l) (P) et (l’) (Q’)

m’

m

(l’)

(l)

(Q’)

(P)

y’ yα

4.7.4.7. Construction, par un point donné, d’une droite Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à un plan donné par deux droites sécantesperpendiculaire à un plan donné par deux droites sécantes

Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par deux droites (D) et (Δ), sécantes en A.Soit M un point de l’espace (pas nécessairement sur P ).

Construire, par le point M, une droite (L) perpendiculaire au plan P.

Méthode:1) Construire une frontale (F) du plan et une horizontale (H) du plan P . 2) Mener, par le point M, une droite (L) orthogonale à ces 2 droitessécantes du plan:

(L) (H) ║ H et (L) (F) ║ F 3) Alors, cf. Th.5, (L) est perpendiculaire au plan P et

4) cf. Th.6 ses projections horizontale et frontale sont orthogonales à (h) et (f’): (l) (h) et (l’) (f’)

Remarque: (l’) (h’) et (l) (f) !

(d) (∂)

(f)

(h’)

(f ’)

(h)

a’

a

m’

m

y’ y

(l)

(l’)

Epure de départ :Etape 1 : Construction d’une horizontale (quelconque) (H) du plan

(d’ ) (∂’ )

Etape 2 : Construction d’une frontale (quelconque) (F) du planEtape 3 : Construction de la perpendiculaire (L) au plan comme l’orthogonale par M à (F) et à (H) (l) (h) par m et (l’) (f ’) par m’

1’ 2’

1

2

3 4

3’

4’

4.8. Construction, par un point donné, d’un plan 4.8. Construction, par un point donné, d’un plan perpendiculaire à une droite donnéeperpendiculaire à une droite donnée

Enoncé du problème : Soit (L) une droite et M un point (pas nécessairement sur L ! ).

Construire, par le point M, un plan P perpendiculaire à la droite (L).

Méthode: 1) On construit deux droites particulières, une droite frontale (F) et une droite

horizontale (H), sécantes en M et orthogonales* toutes les deux à la droite donnée (L).

2) Cf.Th.5, le plan P déterminé par les deux droites sécantes (F) et (H) est perpendiculaire à la droite (L).

Ainsi, (F) et (H) deviennent une frontale du plan P et une horizontale du plan P.

3) On construit les traces (P) et (Q) du plan P.

Epure de départ :

m

m’

(l’)

(l)

(h’)

(h)

u’

u

v

v’

(f ’)

(f)

(P)

(Q’)

αy’ y

Etape 1: Construction d’une droite frontale (F) qui passe par le point M et qui soit orthogonale à (L) : (f) ║ L.T. et m (f)

(f ’) ( l’) et m’ (f ’)

Etape 2: Construction d’une droite horizontale (H) qui passe par le point M et qui soit orthogonale à (L) : (h’)║ L.T. et m’ (h’)

(h) (l) et m (h)

Etape 3: Le plan recherché est déterminé par les deux droites (F) et (H), sécantes en M (qui deviennent une frontale du plan et une horizontale du plan).

Etape 4 : Déterminer les traces du plan :u’ = (f ’) ∩ L.T. et u (f) (P) ║ (h) et u (P)v = (h) ∩ L.T. et v’ (h’) (Q’) ║ (f ’) et v’ (Q’)

Tableau comparatif entre les propriétés de parallélisme et Tableau comparatif entre les propriétés de parallélisme et d’orthogonalitéd’orthogonalité

Si D1║D2 et D2 P D1 ║ P Si D1 D2 et D2 P D1 P

Si D1 ║ P D1║D2 , D2 P Si D1 P D1 D2 , D2 P

D1 ║P D2 P tel que D1║D2

D1 P D2 et D3 P

tel que D1 D2 et D1 D3

Si D1║D2 d1║d2 et d1’║d2

’ Si D1 D2 d1 d2 et d1’ d2

’

Si D1 D2 alors

d1 d2 D1║H ou D2║H

d1’ d2

’ D1║F ou D2║F