Localisation d’une source Localisation d’une source émettrice par un réseau émettrice par un réseau
d’antennes :d’antennes :Point de vue de Point de vue de
l’optimisationl’optimisation
Auteurs Ahmed Rebai, Doctorant Subatech
Tarek Salhi, Ingénieur des Mines
Plan de la présentationPlan de la présentation
Introduction et contexte de l’étude
Formulation du problème mathématique d’optimisation
Etude de la localisation de la source
Simulations et résultats
Conclusion et perspectives
Le recours à des techniques d’optimisation n’est pas nouveau pour répondre à des problématiques de la physique
Beaucoup de lois et problèmes physiques ont une formulation variationnelle i.e. sous forme de problème d’optimisation : Equations d’Euler-Lagrange (mécanique), équations HJB, thermodynamique, optique
Origine géométrique de la physique (géométrie différentielle)
Domaine à l’interface de la physique, de l’analyse, de l’analyse numérique et de la géométrie
Exemple : Seismic Reflection Tomography
Seismic Reflection TomographySeismic Reflection Tomography
Problème formulé par Gauss 1809
Solutions optique géométrique (onde plane) pour la propagation de l’onde dans le milieu : trajectoire rectiligne
Onde se propage entre une source émettrice et un récepteur avec une réflexion sur un milieu de position et forme inconnue
Célérité (connue) et constante dans le milieu
Formulation du problème à l’aide Formulation du problème à l’aide d’une fonctionnelle d’une fonctionnelle moindre carrésmoindre carrés
Le problème régularisé peut être formulé de la façon suivante
où et est fonction de la géométrie de la surface à déterminer (courbure)
est un paramètre à déterminer en fonction du problème
Similitudes avec les techniques Similitudes avec les techniques d’ajustement (fit)d’ajustement (fit)
La fonctionnelle à optimiser est classique (quadratique)
Similaire aux ajustement par méthodes de moindres carrés linéaires
2
2)(
2
1minarg mod obs
iia
tatn
−ℜ∈
2
1
02
2
2
mod
)min()(
2
1minarg ∑
=ℜ∈
⋅+⋅+−==− N
i i
iiobsi
i
iobsi
a
cVyUx
ttattn σ
χσ
Comparaison de notre problème et Comparaison de notre problème et le Seismic Reflection Tomographyle Seismic Reflection Tomography
Localisation de la source à l’aide d’un réseau d’antennes
Seismic Reflection Tomography
Célérité de la lumière dans le vide
Célérité d’une onde acoustique dans le milieu inférieure à 3000 m/s
Fonctionnelle non standard (puissance quatrième)
Fonctionnelle quadratique à minimiser
Localisation d’une source en mouvement
Répétabilité statistique possible, source statique
Topologie du champs d’antennes à optimiser
Symétrie du réseau se retrouve dans la forme de l’interface
Formulation du problème Formulation du problème mathématique d’optimisationmathématique d’optimisation
Localiser la position et le temps d’émission d’une onde à partir d’une source avec un réseau d’antennes
Formulation du problème Formulation du problème d’optimisation sans contraintesd’optimisation sans contraintes
Le problème non régularisé et sans contraintes est le suivant
où désigne la position de la source, l’instant d’émission de l’onde (supposée sphérique).
Propriétés de la fonctionnelle à Propriétés de la fonctionnelle à optimiseroptimiser
Fonction différentiable Algorithmes d’optimisation différentiables
Algorithmes possibles : Levenberg-Marquardt (méthodes quasi-newtoniennes), algorithme du Simplexe, Méthodes de Gauss-Newton, méthodes de gradient (pas fixe et pas optimal)
Fonction coercive (infinie à l’infini) et non-convexe existence certaine de minima locaux
Caractérisation de l’ensemble des points critiques de la fonctionnelle
Importance de la notion de convexité Importance de la notion de convexité dans les problèmes d’optimisationdans les problèmes d’optimisation
Conditionne la convergence des algorithmes
Propriété topologique locale de la fonction
Regarder la différentielle première (plan tangent) et seconde (forme quadratique)
Pourquoi la convexité est Pourquoi la convexité est importante ?importante ?
Les algorithmes d’optimisation sont basés sur l’idée de la méthode de Newton : Chercher les directions de Descente pour atteindre le minimum (local ou global)
Si la fonction est convexe alors minimum local = minimum global
Comme pour une bille qui dévale une pente, si la condition initiale n’est pas bien placée algorithme coincé dans un minimum local
Preuve de la non-convexitéPreuve de la non-convexité
Calcul de la différentielle première et seconde de la fonctionnelle
Version en dimension supérieure
Le différentielle première est un vecteur (tenseur d’ordre 1) et la différentielle seconde une matrice (tenseur d’ordre 2)
Condition nécessaire et suffisante de convexité : La matrice hessienne est définie positive
Calcul des différentielles Calcul des différentielles premières et secondespremières et secondes
Notons la matrice de Minkowski (métrique de Minkowski)
La matrice Hessienne
La fonctionnelle est convexe si et seulement si la matrice Hessienne est définie positive.
Non-convexité de l’estimateurNon-convexité de l’estimateur
Calcul explicite du premier coefficient de la matrice Hessienne
Terme conditionne la « définie-positivité » de la matrice Hessienne et donc la convexité
Localisation de la sourceLocalisation de la source
Lors de l’étude des propriétés des points critiques de la fonctionnelle, l’ensemble des points critiques est paramétré de la façon suivante
La formule « ressemble » à un barycentre la direction du barycentre joue un rôle privilégié dans notre problème
ii
jj
i Xf
fX ⋅=∑∑
Le problème monodimensionnelLe problème monodimensionnel
Réseau de N antennes placées sur une droite à des positions connues
Source de position et instant d’émission inconnu
iX
Formulation du problème Formulation du problème d’optimisationd’optimisation
Minimiser la fonctionnelle
sous les contraintes
Ensemble des contraintesEnsemble des contraintes
Droite de dégénérescenceDroite de dégénérescence
Si un couple est un point critique alors il vérifie les deux équations
Condition sur pour que soit aussi un point critique
Le point critique est à l’intérieur du réseau
( )*, ss tx
L ( )LtLx ss −− *,
Généralisation au cas de Généralisation au cas de dimensions supérieuresdimensions supérieures
L’ensemble des points critiques contient une demi-droite
L’idée se généralise (bien que plus difficile à formuler) au cas de dimensions supérieures
Enveloppe convexeEnveloppe convexe
Simulation dans le cas d’un réseau Simulation dans le cas d’un réseau linéiquelinéique
Deux scénarios envisagés
La source se trouve dans l’intervalle des antennes réceptrices
La source se trouve à l’extérieur des antennes réceptrices
La source est à l’extérieur du réseau La source est à l’extérieur du réseau linéiquelinéique
Confirmation de la présence de minima locaux même dans le cas où
Dans ce cas, les valeurs du sont très faibles
Dans le cas , les valeurs du sont élevées
0=tσ
2χ
0>tσ2χ
La source est à l’intérieur du réseau La source est à l’intérieur du réseau linéiquelinéique
Existence d’un minimum global prononcé
La reconstruction de la position de la source est possible
Même remarques pour les valeurs du en fonction des
2χ
tσ
Cas d’un réseau surfaciqueCas d’un réseau surfaciqueRéseau autonome
CODALEMA dans le cas de la reconstruction du bruit de fond anthropique
Réseau AERA à AUGER
Deux scénarios : La source se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur du réseau
Source hors de l’enveloppe convexe du Source hors de l’enveloppe convexe du réseauréseau
Source dans l’enveloppe convexe du Source dans l’enveloppe convexe du réseau d’antennesréseau d’antennes
Configuration spatiale du réseau plus Configuration spatiale du réseau plus exotiqueexotique
Démonstration de la dégénérescence Démonstration de la dégénérescence sur des données expérimentalessur des données expérimentales
Conclusion et perspectivesConclusion et perspectives L’estimateur introduit peut être
amélioré
Deux voies se présentent : ajouter de l’information au
Anthropique proportionnel à
Signal UHECR proportionnel à
Attaquer le problème d’un point de vue statistique : théorie des M-estimateurs
Faire une hypothèse différente sur le front d’onde
2χ222tempsamplitudeLDFglobal χχχ += −
r
1
0rr
e−
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