Localisation d’une source Localisation d’une source émettrice par un réseau émettrice par un réseau

d’antennes :d’antennes :Point de vue de Point de vue de

l’optimisationl’optimisation

Auteurs Ahmed Rebai, Doctorant Subatech

Tarek Salhi, Ingénieur des Mines

Plan de la présentationPlan de la présentation

Introduction et contexte de l’étude

Formulation du problème mathématique d’optimisation

Etude de la localisation de la source

Simulations et résultats

Conclusion et perspectives

Le recours à des techniques d’optimisation n’est pas nouveau pour répondre à des problématiques de la physique

Beaucoup de lois et problèmes physiques ont une formulation variationnelle i.e. sous forme de problème d’optimisation : Equations d’Euler-Lagrange (mécanique), équations HJB, thermodynamique, optique

Origine géométrique de la physique (géométrie différentielle)

Domaine à l’interface de la physique, de l’analyse, de l’analyse numérique et de la géométrie

Exemple : Seismic Reflection Tomography

Seismic Reflection TomographySeismic Reflection Tomography

Problème formulé par Gauss 1809

Solutions optique géométrique (onde plane) pour la propagation de l’onde dans le milieu : trajectoire rectiligne

Onde se propage entre une source émettrice et un récepteur avec une réflexion sur un milieu de position et forme inconnue

Célérité (connue) et constante dans le milieu

Formulation du problème à l’aide Formulation du problème à l’aide d’une fonctionnelle d’une fonctionnelle moindre carrésmoindre carrés

Le problème régularisé peut être formulé de la façon suivante

où et est fonction de la géométrie de la surface à déterminer (courbure)

est un paramètre à déterminer en fonction du problème

Similitudes avec les techniques Similitudes avec les techniques d’ajustement (fit)d’ajustement (fit)

La fonctionnelle à optimiser est classique (quadratique)

Similaire aux ajustement par méthodes de moindres carrés linéaires

2

2)(

2

1minarg mod obs

iia

tatn

−ℜ∈

2

1

02

2

2

mod

)min()(

2

1minarg ∑

=ℜ∈

⋅+⋅+−==− N

i i

iiobsi

i

iobsi

a

cVyUx

ttattn σ

χσ

Comparaison de notre problème et Comparaison de notre problème et le Seismic Reflection Tomographyle Seismic Reflection Tomography

Localisation de la source à l’aide d’un réseau d’antennes

Seismic Reflection Tomography

Célérité de la lumière dans le vide

Célérité d’une onde acoustique dans le milieu inférieure à 3000 m/s

Fonctionnelle non standard (puissance quatrième)

Fonctionnelle quadratique à minimiser

Localisation d’une source en mouvement

Répétabilité statistique possible, source statique

Topologie du champs d’antennes à optimiser

Symétrie du réseau se retrouve dans la forme de l’interface

Formulation du problème Formulation du problème mathématique d’optimisationmathématique d’optimisation

Localiser la position et le temps d’émission d’une onde à partir d’une source avec un réseau d’antennes

Formulation du problème Formulation du problème d’optimisation sans contraintesd’optimisation sans contraintes

Le problème non régularisé et sans contraintes est le suivant

où désigne la position de la source, l’instant d’émission de l’onde (supposée sphérique).

Propriétés de la fonctionnelle à Propriétés de la fonctionnelle à optimiseroptimiser

Fonction différentiable Algorithmes d’optimisation différentiables

Algorithmes possibles : Levenberg-Marquardt (méthodes quasi-newtoniennes), algorithme du Simplexe, Méthodes de Gauss-Newton, méthodes de gradient (pas fixe et pas optimal)

Fonction coercive (infinie à l’infini) et non-convexe existence certaine de minima locaux

Caractérisation de l’ensemble des points critiques de la fonctionnelle

Importance de la notion de convexité Importance de la notion de convexité dans les problèmes d’optimisationdans les problèmes d’optimisation

Conditionne la convergence des algorithmes

Propriété topologique locale de la fonction

Regarder la différentielle première (plan tangent) et seconde (forme quadratique)

Pourquoi la convexité est Pourquoi la convexité est importante ?importante ?

Les algorithmes d’optimisation sont basés sur l’idée de la méthode de Newton : Chercher les directions de Descente pour atteindre le minimum (local ou global)

Si la fonction est convexe alors minimum local = minimum global

Comme pour une bille qui dévale une pente, si la condition initiale n’est pas bien placée algorithme coincé dans un minimum local

Preuve de la non-convexitéPreuve de la non-convexité

Calcul de la différentielle première et seconde de la fonctionnelle

Version en dimension supérieure

Le différentielle première est un vecteur (tenseur d’ordre 1) et la différentielle seconde une matrice (tenseur d’ordre 2)

Condition nécessaire et suffisante de convexité : La matrice hessienne est définie positive

Calcul des différentielles Calcul des différentielles premières et secondespremières et secondes

Notons la matrice de Minkowski (métrique de Minkowski)

La matrice Hessienne

La fonctionnelle est convexe si et seulement si la matrice Hessienne est définie positive.

Non-convexité de l’estimateurNon-convexité de l’estimateur

Calcul explicite du premier coefficient de la matrice Hessienne

Terme conditionne la « définie-positivité » de la matrice Hessienne et donc la convexité

Localisation de la sourceLocalisation de la source

Lors de l’étude des propriétés des points critiques de la fonctionnelle, l’ensemble des points critiques est paramétré de la façon suivante

La formule « ressemble » à un barycentre la direction du barycentre joue un rôle privilégié dans notre problème

ii

jj

i Xf

fX ⋅=∑∑

Le problème monodimensionnelLe problème monodimensionnel

Réseau de N antennes placées sur une droite à des positions connues

Source de position et instant d’émission inconnu

iX

Formulation du problème Formulation du problème d’optimisationd’optimisation

Minimiser la fonctionnelle

sous les contraintes

Ensemble des contraintesEnsemble des contraintes

Droite de dégénérescenceDroite de dégénérescence

Si un couple est un point critique alors il vérifie les deux équations

Condition sur pour que soit aussi un point critique

Le point critique est à l’intérieur du réseau

( )*, ss tx

L ( )LtLx ss −− *,

Généralisation au cas de Généralisation au cas de dimensions supérieuresdimensions supérieures

L’ensemble des points critiques contient une demi-droite

L’idée se généralise (bien que plus difficile à formuler) au cas de dimensions supérieures

Enveloppe convexeEnveloppe convexe

Simulation dans le cas d’un réseau Simulation dans le cas d’un réseau linéiquelinéique

Deux scénarios envisagés

La source se trouve dans l’intervalle des antennes réceptrices

La source se trouve à l’extérieur des antennes réceptrices

La source est à l’extérieur du réseau La source est à l’extérieur du réseau linéiquelinéique

Confirmation de la présence de minima locaux même dans le cas où

Dans ce cas, les valeurs du sont très faibles

Dans le cas , les valeurs du sont élevées

0=tσ

2χ

0>tσ2χ

La source est à l’intérieur du réseau La source est à l’intérieur du réseau linéiquelinéique

Existence d’un minimum global prononcé

La reconstruction de la position de la source est possible

Même remarques pour les valeurs du en fonction des

2χ

tσ

Cas d’un réseau surfaciqueCas d’un réseau surfaciqueRéseau autonome

CODALEMA dans le cas de la reconstruction du bruit de fond anthropique

Réseau AERA à AUGER

Deux scénarios : La source se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur du réseau

Source hors de l’enveloppe convexe du Source hors de l’enveloppe convexe du réseauréseau

Source dans l’enveloppe convexe du Source dans l’enveloppe convexe du réseau d’antennesréseau d’antennes

Configuration spatiale du réseau plus Configuration spatiale du réseau plus exotiqueexotique

Démonstration de la dégénérescence Démonstration de la dégénérescence sur des données expérimentalessur des données expérimentales

Conclusion et perspectivesConclusion et perspectives L’estimateur introduit peut être

amélioré

Deux voies se présentent : ajouter de l’information au

Anthropique proportionnel à

Signal UHECR proportionnel à

Attaquer le problème d’un point de vue statistique : théorie des M-estimateurs

Faire une hypothèse différente sur le front d’onde

2χ222tempsamplitudeLDFglobal χχχ += −

r

1

0rr

e−