c Christophe Bertault - MPSI Ensembles finis et dnombrement

Exercice 1

On tire simultanment 6 cartes dun jeu de tarot 21 atouts, la carte quon appellel excuse , et 14 cartes par couleur, sachant quil y a 4 couleurs, comme toujours. Onne cherchera pas valuer numriquement les rsultats obtenus dans cet exercice, sauf sion aime se compliquer la vie. Combien de tirages diffrents peut-on obtenir contenant :

1) deux atouts et quatre trfles ?2) six carreaux, ou bien trois carreaux, deux piques et lexcuse ?3) exactement un atout et au moins trois as ?4) au plus un cur et au moins quatre atouts ?

Exercice 2

On appellera mot toute suite de lettres, quelle ait un sens ou non. On rappelle quela lettre y est une voyelle.

1) Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de lalphabet, danslesquels toute consonne est suivie dune voyelle et toute voyelle dune consonne ?

2) Dterminer le cardinal de lensemble E des mots de 5 lettres forms partir des26 lettres de lalphabet et tels que :

(i) la lettre q est forcment suivie de la lettre u ,(ii) toute consonne est suivie dune voyelle,(iii) toute voyelle est suivie dune consonne, une exception prs : les u

qui sont conscutifs dun q sont suivis dune voyelle autre que u ,(iv) les deux dernires lettres ne peuvent pas tre qu .

Exercice 3

Soient A1, A2, . . . , An des ensembles. Prouver la formule du crible (ou formule de Poin-

car) :

n

i=1

Ai

=n

k=1

(1)k+1

16i1

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Exercice 11

1) Soit n N. On range n+ 1 chaussettes dans n tiroirs. Montrer quau moins untiroir contient deux chaussettes. Ce rsultat simple et essentiel est connu sous lenom de principe des tiroirs.

2) a) Calculerpi

3 pi

4puis tan

pi

12.

b) Montrer qutant donns 13 rels, on peut toujours en trouver deux x et y

pour lesquels 0