Exercices - Ensembles Finis Et Denombrement 34

c Christophe Bertault - MPSI Ensembles finis et dénombrement Exercice 1 On tire simultanément 6 cartes d’un jeu de tarot — 21 atouts, la carte qu’on appelle l’« excuse », et 14 cartes par couleur, sachant qu’il y a 4 couleurs, comme toujours. On ne cherchera pas à évaluer numériquement les résultats obtenus dans cet exercice, sauf si on aime se compliquer la vie. Combien de tirages différents peut-on obtenir contenant : 1) deux atouts et quatre trèfles ? 2) six carreaux, ou bien trois carreaux, deux piques et l’excuse ? 3) exactement un atout et au moins trois as ? 4) au plus un cœur et au moins quatre atouts ? Exercice 2 On appellera « mot » toute suite de lettres, qu’elle ait un sens ou non. On rappelle que la lettre « y » est une voyelle. 1) Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l’alphabet, dans lesquels toute consonne est suivie d’une voyelle et toute voyelle d’une consonne ? 2) Déterminer le cardinal de l’ensemble E des mots de 5 lettres formés à partir des 26 lettres de l’alphabet et tels que : (i) la lettre « q » est forcément suivie de la lettre « u », (ii) toute consonne est suivie d’une voyelle, (iii) toute voyelle est suivie d’une consonne, à une exception près : les « u » qui sont consécutifs d’un « q » sont suivis d’une voyelle autre que « u », (iv) les deux dernières lettres ne peuvent pas être « qu ». Exercice 3 Soient A 1 ,A 2 ,...,A n des ensembles. Prouver la formule du crible (ou formule de Poin- caré): n i=1 A i = n k=1 (−1) k+1 1i 1 <i 2 <...<i k n A i 1 ∩ A i 2 ∩ ... ∩ A i k . Quel formule retrouve-t-on dans le cas où les A i , i ∈ 1,n, sont deux à deux disjoints ? Exercice 4 Soient n, p ∈ N ∗ tels que p n. Montrer, par un raisonnement combinatoire, que : n p = n n − p et n p − 1 + n p = n +1 p . Exercice 5 Soient n, p ∈ N ∗ . Combien existe-t-il d’applications strictement croissantes de 1,n dans 1,p ? Exercice 6 1) Soient E un ensemble fini de cardinal n et p, k ∈ N tels que 0 k p n. Calculer de deux façons le nombre de couples (A, B) ∈ P(E) 2 tels que A ⊂ B, |A| = k et |B| = p. En déduire que n k n − k p − k = n p p k , puis que n k n − k n − p = n p p k . 2) On note S l’application de R N dans lui-même qui, à toute suite réelle (x n ) n∈N , associe la suite (y n ) n∈N définie par : ∀n ∈ N, y n = n k=0 n k x k et T l’application de R N dans lui-même qui, à toute suite réelle (x ′ n ) n∈N , associe la suite (y ′ n ) n∈N définie par : ∀n ∈ N, y ′ n = n k=0 (−1) n−k n k x ′ k . Montrer que S et T sont deux bijections de R N dans R N inverses l’une de l’autre. Exercice 7 1) On considère un ensemble fini E dont les éléments sont de deux types notés 1 et 2. Précisément, E contient n 1 éléments de type 1 et n 2 éléments de type 2. Soit k ∈ 0,n 1 + n 2 . Exprimer de deux façons le nombre de parties à k éléments de E que l’on peut former. En déduire une jolie une formule. 2) Simplifier n k=0 n k 2 pour tout n ∈ N. Exercice 8 Soient n, p ∈ N. Pour tout k ∈ 1,n +1, déterminer le nombre de parties de 1,n + p +1 de cardinal p +1 et de maximum p + k. Simplifier ainsi n k=0 p + k p et n k=0 p + k k . Exercice 9 1) Soient G un groupe fini et x ∈ G. a) Montrer que x n =1 G pour un certain n ∈ N ∗ . b) On appelle ordre de x et on note o(x) le plus petit élément de l’ensemble n ∈ N ∗ / x n =1 G . Justifier l’existence de o(x). c) Montrer que l’ensemble 1 G , x, x 2 ,...,x o(x)−1 est un sous-groupe de G. On note x ce sous-groupe et on l’appelle le sous-groupe de G engendré par x. 2) Soit E un magma associatif fini. Montrer que E possède un idempotent, i.e. un élément x ∈ E pour lequel x 2 = x. Exercice 10 Soit E un ensemble. On associe, à toute partie A de E, l’application l’indicatrice de A χ A : E −→ 0, 1 définie par : ∀x ∈ E, χ A (x)= 1 si x ∈ A 0 si x/ ∈ A. Montrer que l’application A −→ χ A est bijective de P(E) sur 0, 1 E . Retrouver ainsi, dans le cas où E est fini, un résultat du cours. 1

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