Walid LARBI

Jean-François DEÜ, Roger OHAYON

Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés

Conservatoire National des Arts et Métiers, Paris, France

Nouvelle formulation éléments finis pour les problèmes d'acoustique interne avec

interface absorbante

1er Colloque CNRS-GDR 2902

26 et 27 septembre 2005 -  Ecole des Mines - Sophia Antipolis

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1er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005

Motivations

Comment tenir compte numériquement de l’effet d’un matériau absorbant à l’interface fluide-structure ?

But : Réduction du bruit en utilisant des matériaux amortissants

Introduire dans les formulations EF des problèmes élasto-acoustiquedes modèles d’amortissements à l’interface fluide-structure

pour les vibrations harmoniques et les réponses transitoires

Problème d’interaction fluide-structure avec de matériaux poreux [Göransson, 98], [Davidsson & Sandberg, 04] …

IFS + impédance acoustique Z() [Ker-Kandille & Ohayon, 92] Analyse fréquentielle et réduction modale [Bermúdez & Rodríguez, 99] Formulation en déplacement

Objectif :

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1er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005

Introduction

Cavité acoustique avec parois absorbantes

Problème élasto-acoustique avec interface dissipative

Formulations symétriques

Quelques résultats préliminaires

Conclusions

PLAN

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Idée de base

Modèle simple de Kelvin-Voigt à l’interface pour les problèmes acoustiques et élasto-acoustiques

Introduction d’une nouvelle variable scalaire Déplacement fluide normal à l’interface = uF.nF

Différents modèles d’amortissement peuvent être introduits dans la formulation EF

• Dans le domaine fréquentiel (vibration harmonique)• Dans le domaine temporel (réponse transitoire)

Dans ce travail :

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Formulation en déplacement fluide

• Variable vectorielle

système de grande taille donc coûteux à résoudre

• Éléments finis particuliers (Raviart-Thomas)

irrotationnalité du fluide

Formulation en pression

• En fréquence

problème non-linéaire en fonction

• En temps ???

Difficultés avec les formulations classiques

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Cavité acoustique avec parois absorbantes

Hypothèses et description du problème

matériau absorbant

Conditions de paroi absorbante

Équations en (p, )

Équation d’ Helmholtz

Condition de paroi rigide

Fluide non-visqueux, compressible, barotrope contenu dans une cavité

avec des interfaces absorbantes

dans

sur

sur

sur

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Cavité acoustique avec parois absorbantesCavité acoustique avec parois absorbantes

Formulation variationnelle en terme de (p,

+ conditions initiales

Trouver p et tels que p Cp et C

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Cavité acoustique avec parois absorbantesCavité acoustique avec parois absorbantes

+ conditions initiales non homogènes

Discrétisation éléments finis

Domaine fréquentiel

Domaine temporel

avec le vecteur d’état et les matrices suivantes :

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Cavité acoustique avec parois absorbantesCavité acoustique avec parois absorbantes

= 1 kg.m-3

c = 340 m.s-1

• problème aux valeurs propres (, p) • discrétisation : éléments quadrangle

Example de validation :cavité acoustique avec paroi absorbante

Interface dissipative

Paroi absorbante

Air

coefficients moyens d'impédance d'une laine de verre typique

dans une plage de fréquence [50 - 500 Hz]

Fréquence (Hz)

Imp

édan

ceRe (Z)

Im (Z)1m

( )

II k

Z d i

et

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Cavité acoustique avec parois absorbantesCavité acoustique avec parois absorbantes

Sans interface dissipative Avec interface dissipative

Fréquences (en Hz)

• très bonne concordance avec la solution exacte• ≠ entre amorti et non-amorti effet de la rigidité du ressort • partie imaginaire effet de l’amortisseur

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Description du problème

Problème élasto-acoustiqueavec interface dissipative

modèle de Kelvin-Voigt

Structure élastique linéaire uFluide acoustique interne p

Géométrie de l’interface :

avec

• formulation variationnelle en (u, , p)• équations matricielles associées

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Problème élasto-acoustiqueProblème élasto-acoustique

Interface dissipative

Fluide

Structure

Equations du problème en (u, η, p)

dans ΩS

sur

sur

dans

sur

sur

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Problème élasto-acoustiqueProblème élasto-acoustique

Formulation variationnelle non-symétriqueen terme de (u, , p)

Trouver (u, , p) tels que :

+ conditions initiales

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Problème élasto-acoustiqueProblème élasto-acoustique

Discrétisation éléments finis en (u, , p)

Domaine fréquentiel

Domaine temporel

+ conditions initiales

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Problème élasto-acoustiqueProblème élasto-acoustique

si kI tend vers l’infini formulation non-symétrique classique (u, p)

Retrouver le problème sans interface dissipative?

avec la matrice de couplage

sans amortissement

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Formulation symétrique pour le problème spectral d’élasto-acoustique

Introduction du potentiel de déplacement fluide

Equations du problème en (u, p, )

dans

dans

dans

sur

sur

sur

sur

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Formulation symétriqueFormulation symétrique

Elimination du potentiel de déplacement fluide formulation symétrique indirecte en (u, , p) [Morand & Ohayon, 1995]

Formulation éléments finis

avec les sous- matrices F , A et B

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Problème d’interaction fluide-structure avec interface dissipative

Structure rectangulaire remplie d’airMilieu viscoélastique infiniment mince à l’interface

Interface dissipative

Discrétisation EF :• quadrangles – environ 2500 d.d.l• maillage compatible à l’interface fluide-structure

H = 1 m

L = 1.25 m

e = 0.125 m

et

Fluide

Densité

Densité

Module de Young

Coefficient de Poisson ν

Célérité c(m/s)

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Analyse modale

Problème d’interaction fluide-structureProblème d’interaction fluide-structure

A B C D E

Fréquences(en Hz)

Modes propres(partie réelle )

cas amorti

• les modes de la structure sont pratiquement invariants • les fréquences du fluide diminuent

Interface dissipative

Bermúdez :Formulationen (us, uF)

Fluide

Non-amorti

IFS * IFS IFS *(réelle ) IFS

IFS *

Amorti

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Réponse transitoire

0 sin( ) /d F t y HF

0 1000 NF 2 380 rad/s

Problème d’interaction fluide-structureProblème d’interaction fluide-structure

Superposition modale

Formulation symétrique (après élimination de )

Schéma de Newmark (= 1/4, = 1/2)Formulation non-symétrique en (u,,p)

Méthodes de résolution

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Problème d’interaction fluide-structureProblème d’interaction fluide-structure

105 Hz 305 Hz

Réponse de la structure

Excitation

P

• Seuls les modes structure < 380 Hz sont excités • L’interface dissipative n’a pas d’influence sur la réponse de la structure

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Problème d’interaction fluide-structureProblème d’interaction fluide-structure

Réponse du fluide

Excitation105 Hz 305 Hz

P

• les pics correspondent aux fréquences propres du système• seulement les modes fluide sont influencés par l’interface dissipative

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Nouvelle variable scalaire additionnelle

déplacement fluide normal à l’interface

Formulation symétrique indirecte en (u, , p)

potentiel de déplacement fluide

Méthodes de résolution

approche modale (modes complexes) & méthode d’intégration directe

Effets de l’interface dissipative analysés sur des exemples simples

Perspective

Contrôle hybride passif/actif pour la réduction du bruit.

Conclusions

Nouvelle formulation éléments finis pour les problèmes

acoustique et élasto-acoustique avec interface dissipative