Volume_1 CONCEPTION ET CALCUL DES ÉLÉMENTS DE MACHINES

COLE D'INGNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.)SECTION DE MCANIQUE

G.R. Nicolet, revu en 2006

CONCEPTION ET CALCUL DES

LMENTS DE MACHINES

VOLUME 1Version 1, juin 2006

Frottement de glissementFrottement de roulement

Contrle des lments de machinesElments embotementElments frottement

Assemblages visRessorts mcaniquesJoints dtanchit

Copyright Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg Tout droit rserv

- 1.1 -

PRSENTATION

INTRODUCTION

Les lments de machines constituent des parties de mcanismes et remplissent des fonc-tions mcaniques simples. Ils sont classs en familles qui possdent des structures semblables.Les lments les plus primitifs se composent d'une seule pice place entre ou dans d'autrespices pour former des ensembles plus complexes. Ce sont par exemples les lmentsnormaliss ou de catalogue comme les goupilles, les clavettes, les ressorts, les vis, les rouesdentes, etc. Dans la plupart des cas, deux ou plusieurs pices jointives forment un lment,comme par exemple les boulons, et gnrent une ou plusieurs fonctions.

Le choix, la mise en uvre et le contrle des lments de machines, introduits dans laralisation d'un mcanisme, font appel plusieurs connaissances professionnelles de l'ing-nieur, en particulier aux principes de la mcanique des corps solides, aux proprits techno-logiques des matires, aux applications des thories de la rsistance des matriaux, de l'las-ticit, de la mcanique des fluides, de la thermodynamique, de l'lectricit sans oublier lesproblmes de fabrication des pices ou les conditions de montage. La synthse de ces notionspermet gnralement de trouver des solutions acceptables sous une forme rationnelle et sur-tout conomique. Toute discussion sur les fonctionnalits, les efforts et les contrles d'unlment de machine introduit immanquablement un certain nombre d'hypothses simplifica-trices pendant l'laboration du modle de substitution.

L'volution actuelle des mthodes d'investigation, tant thorique que pratique, tend augmenter les connaissances sur les divers facteurs influenant directement les sollicitations,le comportement et la dure de vie des lments de machines. La prcision des rsultatss'amliore constamment en introduisant les interactions entre toutes les pices composantes etles parties annexes. Cette recherche systmatique s'opre sur plusieurs fronts : mise en qua-tion du comportement de l'lment et des parties voisines, utilisation de modles de calcul bi-ou mme tridimensionnels simuls dans des logiciels appropris, essais en laboratoire afin deconfirmer les hypothses introduites et les rsultats de l'tude thorique, mesures des caract-ristiques sur des parties de machines existantes.

Les lments de machines courants font l'objet de normalisations nationales ou de plus enplus internationale (ISO). Parfois cette standardisation fixe ou mme impose les mthodes decontrle. Les lments de machines complexes se dcomposent en sous-ensembles simples ets'tudient par des mthodes analogues celles des lments fondamentaux. A l'heure actuelle,beaucoup d'lments courants ne peuvent pas encore se calculer exactement car l'effet des di-verses parties voisines en contact modifie de fond en comble les sollicitations et lecomportement de l'ensemble. La voie suivie dans ce cours tend vers une formulation trssimplifie des conditions relles de fonctionnement et le but principal de l'expos est demontrer les mthodes et principes de contrle ou de choix.

L'emploi toujours plus frquent de calculateurs numriques, en particulier des micro-ordinateurs, acclre le processus de dcision dans le choix dfinitif et facilite grandement larecherche de solutions optimales. L'introduction de la conception de machines assiste parordinateurs (CAO) impose une modification des mthodes de travail et une mise en formegnrale du comportement des lments de machines. Le but de ce cours est d'esquisser lesproprits principales des lments de machines les plus courants, d'amliorer les mthodesde calcul si c'est possible, de faciliter leur choix, de justifier leur comportement en service etde dcrire les utilisations les plus frquentes.

Introduction

- 1.2 -

Figure 1.1 Exemple d'un assemblage d'un axe dans un appareil de mesureDformation de l'axe dynamomtrique sous l'effet de la charge

Calcul au moyen des lments finis (EIAF)

Les trois premiers chapitres du cours sur les lments de machines traitent surtout lesproblmes tribologiques intervenant pratiquement dans tous les lments de machines, lesthories et les mthodes complmentaires de contrle. Ces notions compltent celles de toutesles branches cites prcdemment en particulier la mcanique des corps solides et larsistance des matriaux classique. La mcanique rationnelle suppose les corps indformableset parfaitement lisses afin de faciliter les tudes du comportement statique et dynamique descorps. Ces deux hypothses ne correspondent en rien aux conditions relles rencontres enpratique industrielle et ne peuvent tre conserves dans l'tude du comportement descomposants d'une machine. La tribologie comprend l'tude du contact de corps solides comptetenu des frottements, des dformations et de l'usure des composants.

Les lments de machines proprement dits sont classs dans trois catgories :Volume 1 : Les lments de machines gnraux utiliss dans les divers domaines de laconception mcanique.Volume 2 : Les lments de transmission directe, la frquence de rotation tant la mme pourle composant moteur et la partie entrane.Volume 3 : Les lments de transmission indirecte, la frquence de rotation tant diffrentepour le composant moteur et la partie entrane.

- 1.3 -

CHAPITRE 1

FROTTEMENTS DE GLISSEMENT

Dans le contact de corps solides rels, sollicits par des efforts engendrs par le poids oudes forces extrieures, les actions rciproques des surfaces dformes engendrent despressions normales et des cisaillements difficilement dfinissables. Ces actions peuvent sedcomposer en pousses, rsultantes de l'effet des pressions et de forces tangentielles,provenant des cisaillements, appeles forces de frottement. Cet expos des conditions defrottement, limit habituellement deux corps, distingue les cas de contact suivants :1. Les deux corps en contact sont immobiles l'un par rapport l'autre. Les surfaces

dformes des parties en contact transmettent des efforts imposs par les conditionsd'quilibre au repos et les lois du frottement dit d'adhrence.

2. Les deux corps glissent l'un par rapport l'autre. Les surfaces dformes des partiesmomentanment en contact transmettent des efforts imposs par les conditions d'quilibreen mouvement et la loi du frottement de glissement.

3. Les deux corps roulent l'un sur l'autre sans que les surfaces en contact glissent l'une parrapport l'autre. Les efforts produits entre les deux corps sont trouvs par la loi dufrottement de roulement.

4. Les deux corps en contact roulent et glissent simultanment l'un sur l'autre. Les conditionsde dplacement des surfaces dformes et les efforts qui en rsultent dpendent des loiscomposantes du frottement de glissement et du frottement de roulement.Le phnomne des frottements de glissement et de roulement est excessivement complexe

et il n'a pas t possible jusqu'ici, malgr toutes les hypothses, thories et essais, de donnerdes lois applicables tous les cas rencontrs en construction de machines, le nombre deparamtres influenant de loin ou de prs le comportement des corps tant trop grand. Les loiscites dans ce premier chapitre sont trs primitives et peu prcises. Elles permettent malgrtout de mettre en vidence les particularits relles de corps en contact, d'estimer avec uneprcision plus ou moins limite les efforts transmis travers les surfaces dformes, noncerdes recommandations valables dans le choix et l'implmentation des lments ou des partiesde machines.

1.1 FROTTEMENT D'ADHRENCE

Le frottement d'adhrence intervient pratiquement dans tout contact entre corps solideslorsque les surfaces dformes, dformations engendres par les efforts permettant demaintenir l'quilibre relatif des composants, ne glissent pas l'une par rapport l'autre.

1.1.1 QUILIBRE D'UN CORPS SIMPLE SUR LE PLAN HORIZONTAL

Soit un corps de poids G = m g , m tant la masse, g l'acclration de la pesanteur ter-restre, plac sur un plan horizontal rugueux. L'exprience montre qu'en appliquant sur le corpsune force de traction horizontale Fh , progressivement croissante partir de la valeur nulle,place dans le plan commun de contact, le corps reste au repos, donc en quilibre statique,pour autant que cette force reste trs infrieure au poids du corps. Le corps isol est soumis l'action de trois forces :

Gnralits et tribologie

- 1.4 -

- le poids du corps G ,- la force de traction horizontale Fh ,- la raction du plan horizontal sur le corps.

Les conditions d'quilibre statique du corps correspondent celles d'un point matrielsollicit par trois forces et les projections des forces sur un systme d'axes rectangulaires'crivent (fig. 1.2) :

X = 0 : Fh - FR' = 0, Y = 0 : Fn - G = 0 .

L'action totale du plan rugueux sur le corps ne concide plus en direction avec la normaleau plan horizontal. Cette force, dsigne par FB , se dcompose en deux composantes :- une composante normale la surface du plan Fn ,- une composante place dans le plan de contact FR' .

Cette force FR' est la force de frottement d'adhrence du corps rugueux sur le plan hori-zontal rugueux.

Figure 1.2 Frottement d'un corps simple sur le plan horizontal

L'quilibre du corps peut galement s'exprimer par une somme vectorielle de toutes lesforces ou composantes appliques sur lui :

G + Fh + FB = G + Fh + Fn + FR' = 0.La composante normale Fn de l'action totale du plan sur le corps est toujours dirige vers

l'intrieur du corps. La composante tangentielle FR' est perpendiculaire Fn. Elle est toujoursoppose au dplacement probable du corps sous l'effet de la force de traction Fh. La rsultantede ces deux composantes doit passer obligatoirement par le point d'intersection des lignesd'action du poids G et de la force de traction Fh. La force rsultante FB est incline d'un angle par rapport la normale au plan. Cette force vaut la somme vectorielle :

FB = Fn + FR' .Sans hypothses complmentaires, remarquons qu'il nous est impossible de connatre la

rpartition exacte de la force rsultante FB et de ses composantes entre le corps et le plan. Ilest certain que les diverses composantes lmentaires de FB, provenant des contact partielsdes deux surfaces rugueuses, ne sont pas quipollentes, mme pas parallles leur rsultanteFB. La seule affirmation possible est que le corps doit se trouver obligatoirement en quilibrestatique sous laction des forces appliques.

1. Frottement de glissement

- 1.5 -

1.1.2 ADHRENCE LIMITE

Le corps solide reste au repos sur le plan horizontal rugueux tant que la force de tractionFh ne dpasse pas une valeur limite Fh lim. La force de frottement FR' atteint alors sa valeurmaximale dsigne par FR0, dite force de frottement d'adhrence limite. Le corps isol est uncorps soumis l'action de trois forces. L'quilibre du corps s'exprime graphiquement par lasomme vectorielle des forces totales ou des composantes (fig. 1.3) :

G + Fh lim + FB0 = G + Fh lim + Fn + FR0 = 0.

Figure 1.3 Frottement d'adhrence limite d'un corps sur plan horizontal

Les composantes Fn et FR0 sont encore les composantes rectangulaires de l'action totale duplan rugueux sur le corps FB0. L'indice 0 indique que les conditions d'quilibre sont dfinies vitesse de glissement nulle, mais la limite du repos. L'angle compris entre la composantenormale Fn et la raction d'appui totale FB0 est l'angle de frottement d'adhrence limitedsign par 0.

L'angle de frottement d'adhrence limite est reli aux composantes rectangulaires parl'expression :

tan 0 = FR0 / Fn. (1.1)Dans l'criture des conditions d'quilibre, on prfre introduire les coefficient de

frottement d'adhrence limite, dsign par 0, li l'angle de frottement d'adhrence par :0 = tan 0 . (1.2)

1.1.3 COEFFICIENT DE SCURIT AU GLISSEMENT

Pour assurer l'immobilit du corps sur le plan rugueux, la force de frottement FR' ne doiten aucun cas atteindre la valeur limite FR0. Cette condition s'exprime par l'ingalitalgbrique :

- FR0 < FR' < + FR0 .

Le coefficient de scurit au glissement Sgl se dfinit par le rapport entre la force d'adh-rence limite FR0 la force de frottement relle FR' :

Sgl = FR0 / FR'. (1.3)

Dans la plupart des mcanismes et des lments de machines utilisant le frottementd'adhrence, le coefficient de scurit au glissement est habituellement compris entre 1,4 et


- 1.6 -

2,0 suivant les exigences imposes, les pices en prsence et toutes les hypothses introduitesdans le calcul.

1.2 FROTTEMENT DE GLISSEMENT

Augmentons l'intensit de la force de traction sur le corps au repos plac sur le planrugueux et dpassons la valeur limite Fh lim. L'exprience montre que le corps commence sedplacer dans le sens de la force de traction.

1.2.1 LOI DE COULOMB

A vitesse constante de glissement, la force de traction reste approximativement constante.La force de frottement, dsigne par FR, est toujours oppose la vitesse de glissement ducorps. L'action totale FB du plan rugueux sur le corps est incline de l'angle par rapport lanormale au plan, cet angle tant appel angle de frottement de glissement. La force defrottement est proportionnelle la composante normale Fn de la raction d'appui. La relationfondamentale du frottement de glissement, dnomme loi de Coulomb, s'crit :

FR = Fn . (1.4)Dans cette relation trs simple, est le coefficient de frottement de glissement. L'action

totale du plan rugueux sur le corps FB est la rsultante des deux composantes normales ettangentielles :

FB = Fn + FR.

Figure 1.4 Frottement de glissement sur le plan horizontal

Dans la solution graphique d'un problme de frottement de glissement, il est vivementrecommand d'introduire l'angle de frottement reli au coefficient de frottement parl'expression gnrale :

= tan .Le coefficient de frottement de glissement est introduit dans la solution analytique des

conditions d'quilibre. Les tables donnent habituellement le coefficient de frottement entre lescorps solides en fonction des conditions de lubrification, de la nature des surfaces en contact,de la prsence ou de l'absence de glissement. Dans les solutions graphiques, l'inclinaison de laforce totale FB sera construite partir de la valeur du coefficient de frottement.

La loi de Coulomb pour le frottement de glissement introduit un certain nombred'hypothses simplificatrices :


- 1.7 -

1. Le coefficient de frottement de glissement est constant pour tous les points de la surfacefrottante.

2. La force de frottement FR est indpendante de l'tendue de la surface glissante.3. Le coefficient de frottement de glissement est indpendant de la vitesse de glissement

entre les surfaces frottantes.Ces trois hypothses nonces par Coulomb ne sont pas vrifies dans la pratique actuelle.

Les mesures effectues sur des corps avec frottement montrent que le coefficient defrottement dpend : de la force normale Fn, de l'tendue de l'aire des surfaces portantes doncde la pression, de la vitesse relative des surfaces frottantes, de la temprature, du milieuambiant et de la dure de la sollicitation. Il n'a pas t possible d'exprimer une loi simple entrele coefficient de frottement et ces diffrents paramtres.

1.2.2 CORPS AVEC VITESSE DE GLISSEMENT CONSTANTE

La dfinition des conditions de frottement d'un corps sur plan horizontal s'est effectue ensupposant une force de traction place dans le plan de contact. Ce cas particulier desollicitation masque une proprit fondamentale du frottement de repos ou de glissement. Sile corps solide est dplac sur la plan horizontal rugueux en translation rectiligne et vitesseconstante par une force de traction quelconque F , le corps isol est encore soumis l'actionde trois forces concourantes et les conditions d'quilibre statique s'crivent (fig. 1.5) :

G + F + FB = 0.

Figure 1.5 Frottement de glissement d'un corps sous l'action d'une force quelconque

La mthode de rsolution analytique ncessite les quations d'quilibre suivantes : X = 0 : F cos - FR = 0, Y = 0 : F sin + Fn - G = 0, M(O) = 0 : a Fn + b F sin - c F cos = 0,loi de Coulomb : FR = Fn .

L'intensit de la composante normale Fn est maintenant diffrente de celle du poids ducorps G. La force de traction F produit un moment de force par rapport au point de rfrenceO. La raction d'appui FB ne peut plus se placer au point d'intersection de la ligne d'action deG avec le plan rugueux. Cette force FB est dcale de la distance a sur la figure, grandeurinconnue initialement. L'effet du frottement entre deux corps provoque non seulement uneinclinaison des forces de contact par rapport la normale, mais aussi un dplacement du pointd'application de ces forces par rapport la position sans frottement.


- 1.8 -

1.2.3 MTHODE DE RSOLUTION AVEC FROTTEMENT

Dans la plupart des problmes rencontrs en construction et en lments de machines, ilest pratiquement impossible de trouver les quilibres des corps avec frottement sans introduiredes hypothses complmentaires et simplificatrices. Dans une premire approche duproblme, il est possible de fixer approximativement la position des forces de contact enngligeant le frottement. Dans une tude plus complte, les conditions d'quilibre sonttrouves en tenant compte de la loi de Coulomb et des rgles d'quilibre des corps tudies enstatique. Dans ces deux cas, il vaut la peine de suivre la mthode :

1. Isoler le corps en frottement et remplacer chaque contact du corps avec l'extrieur par uneseule force.

2. Compter le nombre de forces appliques sur le corps et introduire la rgle correspondanted'quilibre statique.

3. Etudier toutes les conditions d'quilibre du corps : - quilibre de translation, - quilibre de rotation.4. Rsoudre graphiquement ou analytiquement le problme : - solution graphique : en partant de la composante normale Fn, point d'application sur la

surface, sens l'intrieur du corps, et en inclinant les ractions extrieures totales del'angle s'il y a glissement, de l'angle 0 si l'adhrence limite est atteinte;

- solution analytique : en posant pour chaque point de contact i du corps avec les picesextrieures :

- frottement de glissement : FRi = i Fni , - frottement d'adhrence : FR0i = 0i Fni . - la valeur du dplacement ai du point d'application des composantes normales Fni.

Le dplacement du point d'application des forces extrieures sur les surfaces de contact estdifficilement prvisible dans la mthode analytique, en particulier si le problme rsoudreest un problme spatial donc non plan. Cette particularit du frottement de repos ou deglissement montre une proprit fondamentale de l'tude des quilibres avec frottement : leprincipe de superposition des forces, d'usage trs courant en mcanique applique, n'est pasapplicable ds qu'il y a des forces de frottement. Pour obtenir rapidement une solutionacceptable, il faut imaginer initialement ces forces de contact places au centre de gravit dessurfaces de contact et ensuite les dplacer jusqu' ce que les quilibres de translation et derotation soient conformes aux rgles gnrales de l'quilibre statique.

1.2.4 COEFFICIENTS DE FROTTEMENT

La loi de Coulomb FR = Fn est trs peu prcise, mais trs pratique dans les applicationssimples. Elle est peu prs valable lorsque les surfaces en contact sont sches ou trs peulubrifies. Le tableau 1.1 donne les coefficients de frottement d'adhrence et de glissement enfonction des matriaux en contact et de l'effet de la lubrification. Les coefficients defrottement introduits dans le contrle des lments de machines seront cits si possible danschacun des cas particuliers.


- 1.9 -

Tableau 1.1Valeurs moyennes des coefficients de frottement

Matires en contact

Frottement dadhrenceCoefficient de frottement mu zro

Lubrification

Frottement de glissementCoefficient de frottement mu

Lubrificationsec Graiss sec graiss

Acier sur Acier Ac37 / Ac 37 poli Fonte grise Bronze Alliage daluminium

0,40 0,70

0,16 0,250,200,20

0,10

0,100,100,10

0,30 0,600,15

0,14 0,260,16 0,28

0,20

0,04 0,10

0,03 0,160,04 0,120,04 0,16

Acier sur Mtal blanc Alliage de plomb Joint en cuir Garniture de frein PTFE (Tflon) Polyamides Glace

0,50

0,027

0,20

0,220,30 0,500,20 0,260,40 0,600,04 0,220,28 0,40

0,014

0,120,20 0,45

0,10

Fonte grise sur Fonte grise Bronze

0,200,20

0,160,10 0,20

0,05 0,150,10

Autres matires Bronze sur bronze Mtaux sur bois Bois sur bois Mtaux sur cuir

0,200,50 0,650,40 0,65

0,50

0,100,10

0,15 0,200,25

0,200,20 0,500,20 0,400,20 0,30

0,04 0,080,04 0,100,04 0,18

0,12

Remarques importantes sur les coefficients de frottementLe coefficient de frottement d'adhrence est habituellement plus lev que celui de glis-

sement. Lorsque les surfaces glissent l'une sur l'autre, la lubrification joue un rle trs im-portant dans la cration des forces de frottement. Les valeurs donnes dans le tableau sontapplicables faible vitesse de glissement et lubrification parcimonieuse.Si les surfaces sont nettoyes de toutes traces de lubrifiant, les coefficients de frottementd'adhrence peuvent atteindre ou mme dpasser la valeur 1,0 !


- 1.10 -

1.3 REMARQUES GNRALES SUR LE FROTTEMENT

L'introduction du frottement d'adhrence et du frottement de glissement dans les lmentsde machines ncessite une discussion complmentaire sur ces deux genres de forces de frot-tement et sur le cas gnral du frottement de repos.

1.3.1 CAS GNRAL DU FROTTEMENT D'ADHRENCE

Dans le cas gnral du frottement d'adhrence, la composante tangentielle FR' de laraction totale FB peut prendre n'importe quelle valeur comprise entre - FR0 et + FR0. La loignrale du frottement d'adhrence s'exprime par :

- FR0 FR' FR0 = 0 Fn . (1.5)Cette inquation introduit des difficults complmentaires dans la recherche des quili-

bres statiques des corps au repos, en particulier si plusieurs surfaces prsentent du frottementd'adhrence. De plus, les corps sollicits par des forces ne sont pas indformables ce quimodifie galement les conditions de dplacement d'un corps, mme au repos. Proposons-nousd'tudier le dplacement d'un corps "au repos" sur plan rugueux. Dans ce but, introduisons leshypothses suivantes :

1. Le coefficient de frottement d'adhrence limite 0 est plus lev que les coefficient deglissement .

2. La dformation du corps, en particulier la dformation des surfaces rugueuses en contact,sont proportionnelles aux forces de frottement.

3. Il ne peut exister que deux coefficients de frottement : - d'adhrence 0 qui reste constant au repos, - de glissement qui ne dpend pas de la vitesse de glissement.4. L'effet de l'inertie du corps est nglig.

Figure 1.6 Valeur de la force de traction en fonction de son dplacement

En admettant le modle fondamental de discussion, compos d'un corps de poids G, tirpar une force horizontale Fh progressivement croissante, la reprsentation de la valeur de laforce en fonction du dplacement de son point d'application prend l'allure donne sur la figure1.6 .


- 1.11 -

Sur cette figure, la force crot ou dcrot proportionnellement au dplacement du pointd'application jusqu' ce que cette force ait atteint la valeur limite Fh lim. Dans le plan defrottement, la force FR' varie de zro la valeur limite FR0. Ds que la force limite estatteinte, le corps commence se dplacer et le coefficient de frottement passe de 0 . Laforce de traction varie brusquement tout comme la force de frottement passant de :

FR0 = 0 Fn FR = Fn .1.3.2 DPLACEMENT DU CORPS

La particularit du frottement qui ne s'annule pas avec la vitesse mais qui devient habi-tuellement plus grand au repos est l'origine de phnomnes trs gnants surtout dans lesdplacements trs faible vitesse. Ces phnomnes, appels en franais broutage et en anglaisstick-slip, apparat dans de nombreuses applications industrielles. Il provient de la modifi-cation des coefficients de frottement allie l'lasticit du mcanisme de commande et auxmasses en prsence.

Pour simuler cet effet, imaginons un modle compos d'une masse m place sur un planhorizontal rugueux relie au point moteur par un mcanisme d'entranement simul par unressort de raideur k. Dplaons trs lentement l'extrmit libre du ressort en appliquant uneforce de traction F qui tend progressivement le ressort (fig. 1.7). Si le corps est initialement aurepos, il va rester immobile tant que la tension dans le ressort n'atteint pas la force limite detraction Fh lim. Ds que cette force est atteinte, le corps va commencer se dplacer. Lecoefficient de frottement passe de la valeur d'adhrence 0 la valeur de glissement . Sousl'effet d'une force de traction devenue trop grande, le corps acclre et va atteindre, souscertaines conditions, une vitesse plus grande que celle du point moteur A. La tension dans leressort diminue et le corps ralentit ou mme s'arrte. Le coefficient de frottement passe alorsde la valeur de glissement celle d'adhrence 0. Le cycle dcrit peut alors se rpter.

Figure 1.7 Modle de simulation du broutage faible vitesse

Pour viter le phnomne du broutage, il faut diminuer l'lasticit des picesintermdiaires entre le point d'attaque de la force motrice et la masse dplacer ou conserverun coefficient de frottement invariable tant au repos qu'en mouvement. Cette condition peuttre atteinte partiellement en introduisant entre les surfaces un lubrifiant comme une huile ouune graisse avec additifs anti-broutage. Si un lubrifiant spare partiellement ou entirement leplan et le corps, le frottement d'adhrence n'est pas atteint immdiatement car cet lment doittre tout d'abord expuls de la zone de contact. Dans les mouvements de va et vient continuscomme par exemple les coulisseaux de machines-outils, les mesures du frottement ontdmontr que le frottement d'adhrence n'intervenait pratiquement pas.


- 1.12 -

1.3.3 CNES DE FROTTEMENT

Considrons un corps au repos, de masse ngligeable, plac sur un plan horizontal ru-gueux et appliquons sur ce corps une force F lgrement oblique par rapport la normale auplan.. En ngligeant le poids du corps, ce dernier est soumis pratiquement l'action de deuxforces directement opposes : la force active F et la raction du plan FB sur le corps (fig. 1.8).L'quilibre statique s'crit :

F + FB = 0 .Modifions progressivement la direction de la force active F en augmentant de plus en plus

l'inclinaison . Le corps reste au repos sur le plan rugueux tant que la raction d'appui FBs'incline d'un angle infrieure 0 . Ds que cette force est incline de l'angle 0, lesconditions limites d'quilibre sont atteintes. Ainsi, la raction d'appui FB peut prendren'importe quelle direction comprise entre la normale au plan et la direction limite impose parFB0, conformment la loi du frottement d'adhrence limite.

Figure 1.8 Conditions de repos ou de mouvement sur le plan horizontal

Ds que la force active F est incline d'un angle suprieur 0, le corps va commencer se dplacer. Il n'est plus possible de trouver l'quilibre statique du corps car le coefficient defrottement passe de 0 . La force de frottement varie de FR0 FR et l'quilibre statique estmis en dfaut. Le corps acclre dans la direction et le sens de la composante horizontale de laforce active. Sur la fig. 1.8, les deux forces F et FB0 ne sont plus superposes. Pour trouverl'quilibre, il faut ajouter ces deux forces une force complmentaire provenant de l'inertie dela masse en mouvement.

Figure 1.9 Cnes de frottement : d'adhrence et de glissement

En dfinitive, tant que la raction d'appui d'un corps au repos est situe l'intrieur d'uncne, d'axe normal au plan, d'angle total au sommet de 2 0, le corps reste au repos. Ds que


- 1.13 -

cette raction d'appui se place sur la surface du cne, le corps se trouve dans les conditionslimites d'adhrence. Ce cne est appel cne de frottement d'adhrence (fig. 1.9).

Lorsque le corps glisse sur le plan rugueux, la raction d'appui FB se situe toujours sur lasurface du cne de frottement de glissement d'angle total au sommet 2 , quelle que soit ladirection du dplacement.

1.4 FROTTEMENT SUR LE PLAN INCLIN

Proposons-nous d'tudier les conditions de frottement d'un corps de poids G = m g , placsur un plan inclin rugueux d'angle constant par rapport l'horizontale. Le dplacement ducorps s'effectue suivant la ligne de plus grande pente.

1.4.1 FORCE DE TRACTION QUELCONQUE

Les corps de poids G est sollicit par l'action d'une force de traction F incline d'un angle par rapport la direction du plan. Sous l'effet de cette force, le corps se dplace soit vers lehaut du plan, soit vers le bas du plan. La loi de Coulomb du frottement de glissement estintroduite dans cette tude avec force motrice direction quelconque.

1.4.1.1 MOUVEMENT DE MONTE

Le corps est soumis l'action de trois forces :

- le poids du corps G = m g ,- la force de traction F , suppose positive vers le haut du plan,- la raction du plan inclin FB sur le corps (fig. 1.10).

Dans le mouvement de monte du corps, la force de frottement de glissement FR estdirige vers le bas du plan, la composante normale Fn tant dirige vers l'intrieur du corps.Le dplacement du point d'application de la raction d'appui FB est dsign par a par rapportau point C choisi au centre de la surface. L'quilibre du corps est recherch analytiquement enadoptant un systme de coordonnes rectangulaires, l'axe Ox tant parallle au plan inclin,dirig vers le haut du plan. L'quilibre, en fonction du poids G, des composantes rectangu-laires Fn et FR, s'exprime par :

Figure 1.10 Mouvement de monte du corps sous l'action d'une force quelconque

X = 0 : F cos - FR - G sin = 0 , Y = 0 : F sin + Fn - G cos = 0 ,


- 1.14 -

M(C) = 0 : a Fn + b F sin - c F cos + e G sin = 0 ,Loi de Coulomb : FR = Fn .En liminant les composantes FR et Fn de ces diverses relations, la force de traction se

trouve par l'expression :

F G=+

+

sin coscos sin

. (1.6)

Les composantes normale Fn et tangentielle de frottement FR de la raction d'appui FBpeuvent se trouver par :

1. composante normale : Fn = G cos( + ) / (cos + sin ) ,2. composante tangentielle : FR = G cos ( + ) / (cos + sin ) .

1.4.1.2 MOUVEMENT DE DESCENTE

Le corps est soumis aussi l'action de trois forces :- le poids du corps : G = m g ,- la force de traction F suppose encore positive vers le haut du plan,- la raction totale du plan inclin FB sur le corps (fig. 1.11).

La raction du plan FB se dcompose en deux composantes : la force de frottement deglissement FR dirige vers le haut du plan et la composante normale Fn place vers l'intrieurdu corps. Le dplacement du point d'application de la force FB est dsign par a . L'quilibredu corps est recherch analytiquement en adoptant le mme systme de coordonnes que pr-cdemment, l'axe Ox positif tant encore dirig vers le haut du plan. L'quilibre s'exprime parles relations :

X = 0 : F cos + FR - G sin = 0 , Y = 0 : F sin + Fn - G cos = 0 , M(C) = 0 : - a Fn + b F sin - c F cos + e G sin = 0 ,Loi de Coulomb : FR = Fn .

Figure 1.11 Descente du corps sous l'action d'une force quelconque

En liminant les composantes rectangulaires FR et Fn de ces diverses relations, la force detraction se trouve par l'expression :

F G=-

-

sin coscos sin

. (1.7)


- 1.15 -

Les composantes normale et tangentielle de la raction d'appui FB sur le corps peuvent setrouver par :

1. composante normale : Fn = G cos( + ) / (cos - sin ),2. composante tangentielle : FR = G cos ( + ) / (cos - sin ).

Dans le mouvement de descente du corps, la force de traction F peut devenir nulle oumme ngative. Le sens tant dfini par le systme de coordonnes, la force F est :

1. positive : si > ,2. nulle : si = ,3. ngative : si < .

1.4.2 FORCE DE TRACTION PARALLLE AU PLAN

Etudions maintenant un cas particulier intervenant directement ou indirectement dans lesquilibres de plusieurs lments de machines. Le corps de poids G = m g est dplac vi-tesse constante par une force de traction F direction parallle au plan inclin. Le corps isolest soumis l'action de trois forces :

- le poids du corps : G = m g ,- la raction d'appui : FB constitue par l'action totale du plan sur le corps rugueux,- la force de traction F suppose positive vers le haut du plan.

Le systme de coordonnes est choisi avec l'axe Ox parallle au plan, dirig vers le hautdu plan, l'axe Oy tant perpendiculaire au plan inclin.


La force de frottement FR est place dans le plan de frottement, dirige vers le bas du planinclin. La raction d'appui FB du plan sur le corps est incline de l'angle + par rapport la direction verticale. Comme le corps doit tre en quilibre "statique", le polygone des troisforces fournit immdiatement la relation vectorielle entre ces forces (fig. 1.12) :

G + FB + F = 0 .

Figure 1.12 Mouvement du corps la monte sous l'action d'une force parallle au plan

Les composantes de la raction d'appui et la force active sont donnes par :

X = 0 : F = G sin + FR , Y = 0 : Fn = G cos ,Loi de Coulomb : FR = Fn = G cos .


- 1.16 -

La force de traction vaut : F = G (sin + cos ) . (1.8)1.4.2.2 MOUVEMENT DE DESCENTE

Si le corps descend, retenu par la force F parallle au plan, la force de frottement FR estdirige vers le haut du plan. L'action totale du plan FB sur le corps est incline de l'angle total - par rapport la verticale. Le polygone des forces s'crit sous forme vectorielle :

G + FB + F = 0 .Les composantes de la raction d'appui et la force active valent (fig.1.13):

X = 0 : F = G sin - FR , Y = 0 : Fn = G cos ,Loi de Coulomb : FR = Fn = m G sin .

La force de traction vaut : F = G (sin - cos ) . (1.9)Les valeurs des composantes normale et tangentielle ne sont pas modifies par le mouve-

ment de descente, seule la force de frottement inverse son sens.

Figure 1.13 Mouvement du corps la descente sous l'action d'une force parallle au plan

La force de traction F devient nulle lorsque l'angle du plan inclin est gale l'angle defrottement de glissement. Les deux forces G et FB sont sur la mme ligne d'action et se fontquilibre. Si l'angle du plan est plus petit que l'angle de frottement, la force active F change desens; il faut pousser le corps vers le bas du plan pour le dplacer.

En supposant le corps tir vers le haut du plan inclin par un lien parfaitement souple,soumis l'action de la force F, le corps ralentit et finalement reste immobile ds que la tensiondans le lien est supprime si l'angle du plan est plus petit que l'angle de frottement deglissement quelle que soit l'intensit du poids G du corps. Le systme mcanique est ditirrversible et la condition d'irrversibilit est donne par :

.Comme le coefficient de frottement d'adhrence est habituellement plus lev que le coef-

ficient de frottement de glissement, la condition d'irrversibilit est atteinte le plus souventpour une inclinaison du plan plus grande.

Deux cas particuliers sont discuter :

1. L'angle du plan est nul : le corps se dplace en glissement sur le plan horizontal et la forcede traction, parallle au plan, est gale :

F = G (sin(0)+ cos(0)) = G,


- 1.17 -

soit le mme rsultat que l'tude du cas le plus simple.2. L'angle du plan est 90 : le corps se dplace le long d'une paroi verticale. La force de

traction est gale :

F = G (sin(90) + cos(90)) = G .Il n'y a plus de frottement entre le corps et la paroi.

1.4.3 FORCE DE TRACTION HORIZONTALE

Un second cas particulier de frottement sur le plan inclin est reprsent par le corps sol-licit par une force de traction horizontale. Le corps en dplacement vitesse constante estsollicit par trois forces :

- le poids du corps : G = m g ,- l'action FB du plan inclin sur le corps ,- la force de traction horizontale Fh .

Le systme de coordonnes rectangulaire correspond au systme usuel : l'axe Ox horizon-tal, l'axe Oy vertical.


L'quilibre "statique" du corps est trouv en considrant la raction d'appui totale FB ,rsultante de la composante normale Fn et de la force de frottement FR dirige vers le bas duplan. L'quilibre du corps s'crit, compte tenu de l'inclinaison de la raction d'appui totale del'angle + par rapport l'axe vertical, sous la forme la somme vectorielle :

G + FB + Fh = 0 .Comme la force de traction Fh est perpendiculaire au poids G, l'intensit de la force de

traction se trouve immdiatement par l'expression :

Fh = G tan( + ) . (1.10)

Figure 1.14 Mouvement de monte du corps sollicit par une force horizontale

La raction d'appui FB et ses composantes rectangulaires peuvent se trouver partir duplan des forces de la figure 1.14 par :

- raction du plan : FB = G/cos( + ),- composante normale : Fn = FB cos = G cos /cos( + ),


- 1.18 -

- force de frottement : FR = Fn = G cos /cos( + ).Dcrivons encore les deux cas particuliers :

1. L'angle du plan est nul : les conditions de frottement correspondent au cas fondamental.La force de traction se trouve par : Fh = G tan(0 + ) = G .

2. L'angle du plan est voisin de la verticale :Si l'angle du plan vaut : /2 - , la somme + est gale /2 .La force de traction se trouve par la relation gnrale : Fh = G tan(90) donc cette force estinfiniment grande. Il n'est plus possible de dplacer le corps vers le haut du plan inclin,quelle que soit l'intensit de la force de traction. Remarquons que cette condition limite deforce de traction limite trs grande intervient rapidement lorsque l'angle du plan inclindpasse dj 45

1.4.3.2 MOUVEMENT DE DESCENTE

L'quilibre "statique" du corps la descente fait intervenir une raction d'appui FB d-composable en une force normale Fn et une force de frottement FR dirige vers le haut duplan. Le triangle ferm des trois forces permet d'crire :

G + FB + Fh = 0 .La force de traction Fh tant perpendiculaire au poids G et la raction FB tant incline de

l'angle - par rapport la verticale, cette force se trouve immdiatement par :Fh = G tan( - ) . (1.11)

La raction d'appui FB et ses composantes rectangulaires se trouvent partir du plan desforces de la figure 1.15 par :

- raction du plan : FB = G/cos( - ),- composante normale : Fn = FB cos = G cos /cos( - ),- force de frottement : FR = Fn = G cos /cos( - ).

Figure 1.15 Mouvement de descente du corps sollicit par une force horizontale

La force de traction horizontale peut devenir nulle ou mme ngative. Elle est nullelorsque la diffrence entre l'angle du plan et l'angle de frottement est nul, ngative si cettediffrence est plus petite que zro. Dans ce cas, il faut pousser le corps vers le bas du planpour le dplacer et lui imprimer une vitesse constante. La composante normale Fn estdiffrente de celle trouve dans le mouvement de monte. La condition d'irrversibilit est lamme que pour la force parallle au plan, soit :

1. positive : si > ,


- 1.19 -

2. nulle : si = ,3. ngative : si < .

1.4.4 COMPARAISON DES EXPRESSIONS DES FORCES DE TRACTION

La force de traction, parallle au plan, horizontale ou quelconque, peut se trouver par lestrois relations :1. Force parallle au plan : F = G (sin cos ) ,2. Force horizontale : Fh = G tan( ) ,3. Force quelconque : F = G (sin cos )/(cos sin ) ,avec : signe + valable dans le mouvement de monte. signe - valable dans le mouvement de descente.

La condition d'irrversibilit du corps sur le plan inclin rugueux est donne dans les troiscas par la condition : .

1.4.5 RENDEMENT MCANIQUE DU PLAN INCLIN

Le rendement mcanique d'un mcanisme quelconque se dfinit par le rapport de l'nergieutile l'nergie absorbe :

mc nergie utilenergie absorbenergie absorbe - pertes

nergie absorbe= = . (1.12)

Pour dterminer la valeur du rendement mcanique du plan inclin, il est possibled'utiliser :1. la monte : le rapport de la force de traction sans frottement la force de traction avec

frottement.2. la descente : le rapport de la force de traction avec frottement, seulement si cette force

reste positive dans son expression, la force de traction sans frottement. Dans cemouvement, le rendement mcanique ne peut exister que si le corps descend de lui-mme.

1.4.5.1 FORCE DE TRACTION PARALLLE AU PLAN

A la monte du corps, le rendement mcanique du plan inclin vaut :

mc = + = +sin

sin cos / tan.

11

(1.13)

Le rendement du plan inclin augmente avec l'inclinaison du plan. Il est nul pour un planhorizontal et il est gal 1,0 pour le plan vertical. A la descente du corps, le rendementmcanique se trouve par :

mc =

-

=

-sin cossin tan

.1

(1.14)

Pour obtenir un rendement mcanique rel, c'est--dire plus grand que zro, il faut quel'angle de frottement de glissement soit plus petit que l'angle du plan inclin. Pour la conditionlimite : = , le rendement la monte vaut 50 % et il est nul la descente.


- 1.20 -

1.4.5.2 FORCE DE TRACTION HORIZONTALE

Dans le mouvement de monte du corps, le rendement mcanique s'exprime par :

mc = +tan

tan( ). (1.15)

Lorsque la tangente de la somme des deux angles tend vers l'infini, le rendement mca-nique tend vers zro. La force de traction devient incapable de dplacer le corps sur un planproche de la verticale. Dans le mouvement de descente, le rendement vaut :

mc =-tan( )

tan. (1.16)

Le rendement mcanique devient nul la descente lorsque l'angle du plan est gal l'anglede frottement. Lorsque l'angle de frottement est gal l'angle du plan, le rendement du planinclin est infrieur 50 % dans le mouvement de monte.

1.4.5.3 FORCE DE TRACTION DIRECTION QUELCONQUE

Dans le mouvement de monte du corps, le rendement du plan inclin se dtermine enappliquant la rgle gnrale :

mc = sin (cos + sin ) / (cos (sin + cos ))mc = (1 + tan ) / (1 + / tan ).

Le rendement mcanique dpend de l'angle du plan, de l'inclinaison de la force de tractionpar rapport la direction du plan et du coefficient de frottement. Dans le mouvement dedescente, le rendement s'exprime par :

mc = cos (sin - cos ) / (sin (cos - sin ))mc = (1 - /tan ) / (1 - tan ) .

Le rendement mcanique du plan est galement nul la descente lorsque l'angle du planest gal l'angle de frottement.

1.5 PRESSION ET CHAUFFEMENT

L'tude d'une pice de machine au repos ou en mouvement avec ou mme sans frottementcomporte non seulement la recherche de l'quilibre statique ou dynamique, mais galementl'tude de la rpartition des forces de contact entre le corps et les pices voisines, ainsi quel'chauffement s'il y a dplacement. Toutes les forces cites prcdemment sont rparties dansdes volumes ou sur des surfaces.

1.5.1 CONTRLE DE LA PRESSION

1.5.1.1 DFINITION DE LA PRESSION

L'action totale du plan rugueux FB en glissement ou de FB0 la limite du repos,reprsente symboliquement par une force concentre, est en ralit la rsultante de toutes lesforces lmentaires dFB ou dFB0 engendres par le contact entre le corps et la surface d'appui.Choisissons un systme de coordonnes Oxy sur la surface de contact en glissement etdcoupons en pense une surface lmentaire, d'aire dA, sur laquelle agit une ractionlmentaire dFB. Les composantes de cette force lmentaire sont la composante normale dFn


- 1.21 -

et la composante tangentielle de frottement dFR (fig. 1.16). La pression entre le plan et lecorps agissant sur cette surface lmentaire se dfinit par le rapport :

p FA

= dd

n . (1.17)

Cette pression doit rester, pour toute la surface de contact, infrieure une valeuradmissible dtermine exprimentalement. Pour une surface d'appui en glissement, elle esttrs infrieure la valeur des contraintes normales supportables par la matire du corps ou duplan. Il est donc prudent de vrifier l'tendue des surfaces de contact entre les corps avant depoursuivre l'tude d'un mcanisme.

Figure 1.16 Dfinition de la pression sur la surface de contact

Pour trouver la pression maximale entre deux corps solides rels, il faudrait connatre larpartition exacte de toutes les forces normales lmentaires dFn et les parties de surfacevraiment en contact. Dans la pratique, il est trs difficile, voire le plus souvent impossible, detrouver ces deux grandeurs en raison du trs grand nombre de facteurs intervenant dans cetterpartition. Indiquons en passant que des surfaces planes usines, se touchant sous despressions modestes, sont en contact sur quelques pourcents seulement de la surface totale.

Dans tous les cas, la pression maximale calculable doit rester infrieure ou la limitegale la pression admissible :

pmax padmissible.Pour atteindre ce but, il faudra que la pression soit aussi uniforme que possible entre les

pices. La capacit de charge de l'lment ou le mcanisme sera fortement augmente. F.P.Bowden et D. Tabor [1.2] ont effectu des mesures de la rsistance de contact entre deuxplaques en acier afin de dterminer la surface portante relle en fonction de la charge normale.Sur une plaque de 21 cm2 avec une charge de 5000 N, la surface portante reprsentait seule-ment 0,25 % de la surface totale alors qu'avec une charge de 50 N, elle n'tait que 0,0025 % !

1.5.1.2 PRESSION UNIFORME

Deux cas seront considrs dans ce sous-chapitre :

1. la composante normale Fn de la raction d'appui FB ou FB0 passe par le centre de gravit dela surface de contact. Cette condition particulire est exceptionnelle dans la plupart des castudis.

2. la composante normale Fn de la raction d'appui FB ou FB0 ne passe pas par le centre degravit de la surface de contact.

L'hypothse introduite dans le calcul de la pression ne doit en aucun cas mettre en dfautles conditions d'quilibre des corps. Si la composante Fn passe par le centre de gravit de la


- 1.22 -

surface, l'hypothse la plus simple consiste admettre une pression rpartie uniformment surtoute l'tendue de la surface. Cette pression se calcule simplement par le rapport :

pFA

=n . (1.18)

Chaque surface lmentaire de mme aire dA supporte la mme composante normalelmentaire dFn. La rpartition de la pression entre des corps au repos ou en mouvement peutintroduire d'autres hypothses de rpartition comme par exemple une rpartition paraboliquepour des contacts presque ponctuels ou des rpartitions hyperboliques pour des surfacesannulaires.

1.5.1.3 PRESSION LINAIRE

Si la composante normale Fn ne passe pas par le centre de gravit de la surface de contact,l'hypothse la plus simple consiste admettre une rpartition linaire de la pression. Le calculde la pression en un point quelconque de la surface de contact est semblable celui de la re-cherche de la contrainte normale rsultante dans une pice sollicite par une force compres-sive excentre, la matire de la pice ne supportant aucune contrainte normale positive. Eneffet, la pression de contact entre deux corps ne peut jamais devenir ngative si l'on ngligeles forces d'adhsion.

Soit une surface de contact d'aire A entre deux corps et soit un systme de coordonnesCxy , le point C se trouvant au centre de gravit de la surface, les axes Cx et Cy tant une paired'axes principaux de la surface (fig. 1.17). La composante normale Fn, rsultante des forceslmentaires dFn, est repre par les coordonnes m et n dans le plan Cxy.

Figure 1.17 Recherche de la rpartition de la pression

En appliquant la mthode de rduction des efforts au centre de gravit de la surface, lasuperposition des efforts et la somme des pressions partielles, l'utilisation des relations gn-rales de la rsistance des matriaux permet de trouver facilement les diverses pressions com-posantes sur l'aire lmentaire dA repre par les coordonnes x et y :1. pression due la force normale Fn : p1 = Fn / A ,2. pression due au dcalage n : p2 = n Fn y / Ix ,3. pression due au dcalage m : p3 = m Fn x / Iy .

La pression rsultante, en un point de la surface lmentaire dA, est gale la somme alg-brique des pressions partielles, soit :

p FA

m FI

x nFI

yx y, .= + +n ny

n

x

(1.19)


- 1.23 -

Dans ces diverses expressions, Ix et Iy reprsentent les moments quadratiques de la surfacepar rapport au systme daxes Cxy.

La pression, donne par cette relation gnrale, reste positive sur toute l'tendue de lasurface de contact tant que la composante normale Fn se situe l'intrieur, ou la limite, sur lepourtour du noyau central de la surface. Dans ce cas particulier, un ou plusieurs points de lasurface, situs sur le pourtour de la surface, sont pression nulle. Si la composante normaleest situe l'extrieur du noyau central de la section, la surface ne porte que partiellement.

1.5.1.4 PRESSION LINEAIRE SUR UNE SURFACE RECTANGULAIRE

Les surfaces de contact rectangulaires ou assimilables des surfaces rectangulaires sonttrs frquentes dans les lments de machines. Etudions la rpartition de la pression sur unesurface de largeur b, longueur h, sollicite par une force normale Fn place sur l'axe Cy poursimplifier les explications. Tant que la pression agit sur toute la surface, les valeurs extrmesde la pression se trouvent par :

- pression maximale : pmax = Fn /A . (1 + 6 n/h) , (1.20.1)- pression minimale : pmin = Fn /A . (1 - 6 n/h) . (1.20.2)

La pression maximale se trouve videmment du ct du dcalage de la force normale et larpartition est trapzodale le long de l'axe Cy. La pression minimale devient nulle lorsque ledcalage atteint n = h/6 . La rpartition de la pression est alors triangulaire (fig. 1.18); sesvaleurs maximale et minimale sont :

pmax = 2 Fn /A et pmin = 0.

Figure 1.18 Rpartition de la pression sur une surface rectangulaire

Si le dcalage de la force Fn augmente et dpasse la valeur limite h/6 , la relation gnralen'est plus applicable car le point d'application de la force normale se trouve l'extrieur dunoyau central de la surface. Nous devons modifier l'hypothse de base en supposant que lapression reste encore rpartie triangulairement sur une partie seulement de la surface, lalongueur portante tant rduite la dimension h'. La rduction de l'tendue de la surfaceportante A' = b h' cause une augmentation de la pression maximale.

Dans cette condition, la valeur des pressions maximale et minimale se trouve par :

pmax = 2 Fn / A' = 2 Fn / b h' et pmin = 0.La composante normale Fn est situe au tiers de la longueur portante h'. Lorsque le point

d'application de la force Fn vient se placer trs prs du ct suprieur de la surface, c'est--direlorsque n tend vers h/2, la pression devient trs grande et le corps tend basculer sous l'effet


- 1.24 -

de la force motrice. Pratiquement, ds que la composante Fn est proche de cette positionlimite, le dplacement du corps devient instable avec production de broutage et de vibrations.

1.5.1.5 PRESSIONS ADMISSIBLES

Pour assurer un fonctionnement correct d'un mcanisme, les parties des lments en con-tact doivent remplir la condition :

pmax padmissible.La pression admissible dpend de nombreux facteurs : caractristiques mcaniques desmatriaux, forme des surfaces en contact, charges statiques et/ou dynamiques, type d'lmentsde machines. Les pressions admissibles sur des surfaces planes seront donnes dans ladescription des divers lments de machines. Le tableau 1.2 indique les pressions admissiblesd'une manire gnrale.

Tableau 1.2Pressions moyennes admissibles sur des lments mtalliques

Matire Matire Pression admissible en N/mm2

Au repos En glissement

1 2 Statique dynamique

Ac 50Ac 50Ac 50

Ac 50Fonte grise

Bronze

80 10060 8025 35

40 6030 4015 25

2 5 (*)2 84 8

Ac durciAc durciAc durci

Ac 60Ac 70

Ac durci

100 150100 160120 180

50 8050 6560 100

4 8 (*)5 10 (*)

8 16

GarnitureFERODO

Fonte griseAcier

2,5 5,0

Ac durci Acier durci par trempe cur ou superficielle (*) Pas recommand en frottement de glissement

1.6 CHAUFFEMENT

Le frottement de glissement intervenant entre deux corps se traduit par une perte d'nergiemcanique transforme presque entirement en nergie calorifique. Le problme de latransformation de l'nergie de frottement en nergie calorifique est toujours trs complexe etimpose une tude fouille de la part de l'ingnieur. Il est recommand de se mfier deformules simples ou mmes compliques permettant de trouver directement la temprature defonctionnement d'un lment de machine ou d'un mcanisme.

1.6.1 FACTEUR D'ECHAUFFEMENT

Pour simplifier l'expos, supposons que la composante de frottement FR reste constante,applique au centre de gravit de la surface de frottement, et la vitesse v du corps soitrectiligne et constante. Le travail produit par la force de frottement, pour un dplacement finide longueur l, vaut :


- 1.25 -

WR = FR l.En admettant ce travail mcanique entirement transform en nergie calorifique, la

quantit de chaleur produite doit s'vacuer hors des surfaces de frottement. C'est un problmefondamental dans les mcanismes fort dgagement de chaleur comme par exemple lesfreins, les embrayages, les transmissions engrenages et vis sans fin, les paliers lisses. Lapuissance calorifique dgage se calcule par :

Q = FR l / t = FR v.En introduisant :

- la loi de Coulomb : FR = Fn,- la dfinition de la pression moyenne : Fn = p A,- la puissance calorifique produite par unit de surface s'exprime par :

q = Q / A = p v . (1.21)La puissance calorifique q est proportionnelle au coefficient de frottement et au produit de

la pression moyenne par la vitesse de glissement. Pour deux matires connues, celle du corpset celle du plan, l'chauffement dpend finalement du produit p v. La condition remplir parun corps en dplacement pour ne pas dpasser un chauffement excessif serait donne par lacondition :

p v p vadmissible.Cette mthode de contrle de l'chauffement est une premire approche grossire car le

coefficient de frottement, la pression et la vitesse de glissement ne sont qu'une partie desfacteurs influenant la temprature de fonctionnement d'un mcanisme. L'lvation de tem-prature est aussi fonction de la gomtrie et des proprits physiques des corps ainsi que desconditions de transmission de chaleur.

1.6.2 LVATION DE TEMPRATURE

La quantit de chaleur produite par transformation du travail mcanique de frottement serpartit dans les deux corps en contact, dans le lubrifiant intercal entre ces deux corps ou encirculation et dans le milieu ambiant (fig. 1.19). Pour trouver la valeur de la temprature en unpoint quelconque, il faudrait appliquer les diverses lois de la transmission de chaleur etcalculer le bilan thermique du systme en fonction du temps.

Figure 1.19 Energies changes, lvation de temprature

Dans le cas d'un modle de calcul trs lmentaire, la variation de temprature en fonctiondu temps peut se dfinir par une quation diffrentielle du premier ordre. Le comportement de


- 1.26 -

ce modle thermodynamique correspond ainsi celui d'un lment dit du premier ordre.L'lvation de temprature, en fonction du temps t, se trouve par une relation de type :

= 0 + t=oo (1 - e-t/T),avec :0 temprature au temps t = 0 , temprature au temps t ,t=oo lvation de temprature au temps t = ,t temps,T constante de temps du modle.

Au dbut du mouvement de glissement, l'allure de la temprature en fonction du temps esthabituellement lgrement diffrente par suite de certains retards dans la transmission del'nergie calorifique vers le milieu ambiant. La constante de temps T dpend de la gomtriedes corps, des caractristiques physiques des pices et du milieu ambiant. Les constantes detemps peuvent se situer entre quelques fractions de seconde et plus d'un jour selon la grandeuret la complexit du mcanisme.

1.6.3 FACTEURS D'CHAUFFEMENT ADMISSIBLES

Le facteur d'chauffement est calculable en multipliant la pression p [N/m2] par la vitessede glissement v [m/s], l'unit fondamentale du produit tant N/ms ou W/m2. Trs souvent, leproduit s'exprime par la valeur de la pression, exprime en bar, par la vitesse de glissement,exprime en m/s ou mme en m/min, surtout pour les matires synthtiques. L'introductiond'un contrle de l'chauffement par le produit p v est relativement rare dans les lments demachines car cette grandeur ne suffit pas assurer une fiabilit suffisante du rsultat. Le pro-duit p v est souvent donn dans les tables des proprits physiques de matires synthtiques(attention aux units proposes !).

1.7 APPLICATION DES NOTIONS DE FROTTEMENT

Afin de concrtiser toutes les notions entrevues jusqu'ici, tudions le dplacement d'uncoulisseau de machine-outil vitesse constante, sous l'effet d'une force motrice F, sur uneglissire trois pans (fig. 1.20). La masse du coulisseau est m et son poids vaut G = m g . Leprofil adopt pour la glissire est un guidage ouvert en v 90 et un guidage plan horizontal.Le coefficient de frottement entre le coulisseau et la glissire vaut .

Isolons le coulisseau en supprimant l'effet de la glissire. Cette pice en mouvement estsoumise l'action de cinq forces :1. le poids du coulisseau : G = m g ,2. les actions des pans de la glissire sur les surfaces frottantes du coulisseau :

FB1, FB2 et FB3,3. La force motrice de traction : F .

L'quilibre gnral du coulisseau s'exprime par la somme vectorielle des forces:

F = 0 : G + FB1 + FB2 + FB3 + F = 0 .Cet quilibre peut se trouver soit par voie graphique, comme reprsent sur la figure, soit

par voie analytique ou ventuellement par une mthode mixte. Pour mettre en place etcalculer les forces sur la pice isole, introduisons trois hypothses simplificatrices :


- 1.27 -

1. le poids du coulisseau G est suppos connu et la position de la force motrice F reste trouver,

2. le coefficient de frottement est indpendant de la pression et de la vitesse,3. la pression sur toutes les faces frottantes est rpartie uniformment.

Les trois ractions d'appui peuvent se dcomposer en leurs composantes normale et tan-gentielle, soit :

FB1 = Fn1 + FR1 FB2 = Fn2 + FR2 FB3 = Fn3 + FR3 ,avec :

FR1 = Fn1 FR2 = Fn2 FR3 = Fn3 .L'quilibre est tout d'abord recherch dans la vue de gauche ou dans la coupe transversale.Dans cette vue, le coulisseau est sollicit par l'action de quatre forces : le poids G, les compo-santes normales Fn1, Fn2, Fn3 des ractions de la glissire sur le coulisseau (diriges l'int-rieur de la matire). Le polygone funiculaire permet de trouver le sens et l'intensit de cestrois composantes inconnues. Analytiquement, les sommes des projections et des momentspermettent d'obtenir un rsultat identique.

Figure 1.20 Equilibre d'un coulisseau trois pans sur une glissire.

Les composantes de frottement FR1, FR2, FR3 sont reportes sur les deux autres vues : vuede face et vue de dessus. Les composantes normales sont projetes dans ces deux vues etn'apparaissent pas en vraie grandeur. Enfin, le poids G agit seulement dans la vue de face.Dans la vue de dessus, les forces de frottement de glissement doivent tre compenses par laforce de traction inconnue F trouve partir d'un nouveau polygone funiculaire ne faisantintervenir que les forces places dans la direction Oy :

Y = 0 F = FR1 + FR2 + FR3.Dans la vue de face, les projections des composantes normales et du poids se font gale-

ment quilibre. Les forces de frottement FR1 et FR2 sont superposes. Le polygone funi-culaire, construit avec les mmes rayons polaires que ceux de la vue de dessus, impose la


- 1.28 -

position donner la force F pour atteindre une pression uniforme sur les faces. Si la force detraction n'est pas place exactement en ce point, la pression sur les pans du coulisseau n'estpas rpartie uniformment. Habituellement, cette position est impose par la conceptionmcanique du systme d'entranement. Dans ce cas, la recherche de l'quilibre s'effectue ensupposant tout d'abord les ractions d'appui places au centre de gravit des pans et dedplacer ces forces jusqu' ce que les quilibres de translation et de rotation soient satisfaits.

1.8 FROTTEMENT DES CORPS EN ROTATION

L'tude du frottement selon la loi de Coulomb est limite dans ce chapitre aux corps enrotation autour d'un axe direction fixe. La vitesse de glissement vu est proportionnelle auproduit de la vitesse angulaire du corps par la distance du point considr l'axe de rotationsoit le rayon r :

vu = r ,avec la dfinition de la vitesse angulaire : = 2 n , n tant la frquence de rotation exprime en tours par seconde.

1.8.1 PALIER AXIAL OU BUTE

Le palier axial, appel bute ou pivot, est un lment de machine courant qui permet desupporter une charge axiale en rotation. La description dtaille de la conception, des diverstypes et l'tude des caractristiques des butes relles seront traites dans les chapitres spci-fiques. Les notions prsentes ici se basent sur l'application simple de la loi du frottement deglissement et de la dfinition de la pression.

1.8.1.1 QUILIBRE DE LA BUTE EN ROTATION

Soit une bute plane constitue par un pivot annulaire, repre dans un systme de coor-donnes trirectangle Oxyz, rayon intrieur ri, rayon extrieur re, place sur un appui plan ru-gueux. Cette pice est charge par une force axiale Fa et elle est anime d'une vitesse angu-laire constante relativement faible. La loi de Coulomb est introduite dans l'tude des effortsappliqus sur cet lment. Les conditions d'quilibre statique, autour de l'axe Oy de rotation,s'crivent dans tous les cas traits ici :1. Equilibre axial : Y = 0 : Fa - Fn = 0 ,2. Equilibre de rotation : MOy = 0 : Mmot - Mfr = 0.

Dans cette dernire expression, Mmot est le couple moteur sur l'arbre ncessaire main-tenir la rotation constante, Mfr est le couple de frottement entre le plan et la bute. Les deuxrelations d'quilibre sont indpendantes des hypothses introduites dans la rpartition de lapression sur les surfaces d'appui et des pertes par frottement. Elles sont valables pour tout typede bute. Nous supposons de plus que la surface frottante est soumise des forces dpendantdu rayon ce qui permet d'viter d'crire les quilibres de translation selon les axes Ox et Oz.

1.8.1.2 RPARTITION UNIFORME DE LA PRESSION

Pour pouvoir dterminer la valeur du couple moteur Mmot sur l'arbre de la bute, intro-duisons deux hypothses simplificatrices :


- 1.29 -

1. le coefficient de frottement est constant, donc indpendant de la vitesse de glissement etde la pression,

2. la pression est rpartie uniformment sur toute la surface frottante entre la bute et le planrugueux (fig. 1.21).

Figure 1.21 Equilibre de la bute soumise une pression rpartie uniformment

La pression uniforme entre la bute et le plan se calcule simplement par :

pF

AF

r r= =

-

n

bute

n

e i( ) .2 2 (1.22)Dcoupons sur la surface frottante un anneau lmentaire au rayon r de largeur dr. Le

couple lmentaire de frottement sur la surface annulaire lmentaire se trouve par :

dMfr = r dFR = r dFn = r p dA = 2 p r2 dr.Le couple de frottement total Mfr, directement oppos au couple moteur Mmot, est gal la

somme de tous les couples lmentaires, soit :

M p r r p r rA

fr e id= = -z2 232 3 3 c h. (1.23)En remplaant la pression p par son expression en fonction de la force axiale Fa et de l'aire

de la surface de la bute A, le moment de frottement s'exprime finalement par :

Mfr = rm Fa , (1.24)avec :

rm = 2 (re3 - ri3) / 3(re2 - ri2) , rayon moyen de calcul pour le pression uniforme.

1.8.1.3 RPARTITION HYPERBOLIQUE DE LA PRESSION

Le calcul des couples de frottement et moteur serait simplifi si ces couples pouvaient setrouver partir de la force normale Fn et du rayon moyen de la bute rm = 0,5 (ri + re). Pourque cette condition particulire soit applicable, il suffit d'admettre une rpartition de lapression inversement proportionnelle au rayon. Les hypothses initiales deviennent alors :1. le coefficient de frottement est constant sur toute la bute, donc indpendant de la pression

ou de la vitesse de glissement.2. la pression entre la bute et le plan est rpartie hyperboliquement dans la direction radiale.

Elle est donne par l'expression gnrale (fig. 1.22), k tant une constante trouver :

p r = k = constante ou p = k/r .


- 1.30 -

Figure 1.22 Equilibre de la bute soumise une pression rpartie hyperboliquement

Cherchons la rpartition de la pression en partant de l'quilibre statique et des hypothsesproposes.

1. Equilibre de translation selon l'axe OyLa pousse lmentaire dFn supporte par la surface annulaire lmentaire dA, de rayon r,

de largeur dr, se trouve par :

dFn = p dA = 2 p r dr = 2 k dr.La pousse totale Fn est gale la somme algbrique des forces normales lmentaires :

F k r k r r pr r rr r

r r

n e i e idi

e= = = =

=z2 2 2 ( ) ( ).Cette relation permet de trouver l'expression de la pression p(r) au rayon r quelconque

compris entre ri et re :

pr

Fr rr( ) ( )

.= 1 n

e i(1.25)

2. Equilibre de rotation autour de l'axe OyLe couple de frottement lmentaire se dtermine comme prcdemment par :

dMfr = r dFR = r dFn = 2 k r dr.Le couple de frottement total sur la surface du pivot est gal la somme de tous les cou-

ples lmentaires, soit :

M k r r k r rr r

r r

fr e idi

e= = =

=z2 2 2 ( ). (1.26)En remplaant la constante k par sa valeur en fonction de la force normale Fn ou de la

force axiale Fa et aprs simplifications, le couple de frottement sur le pivot se trouve par :Mfr = 0,5 (re + ri) Fn = rm Fa, (1.27)

soit la valeur dsire primitivement avec rm = (re + ri)/2.


- 1.31 -

1.8.1.4 EXPRESSION GENRALE DU COUPLE MOTEUR

Le couple de frottement sur le pivot ajour en rotation peut se donner par l'expressiongnrale :

Mfr = Mmot = rm Fa . (1.28)avec :rm = 2 (re3 - ri3) / 3(re2 - ri2) valable pour une pression suppose rpartie uniformment sur

la bute,rm = (re + ri) / 2 pour une pression suppose rpartie hyperboliquement.

Dans la seconde hypothse, la pression devient infiniment grande lorsque le rayon est nul.Pour une bute pleine, donc rayon intrieur nul, les deux hypothses donnent :

Mfr1 = Mmot1 = 2/3 . re Fa ,Mfr2 = Mmot2 = 0,5 re Fa .

Comme la rpartition relle de la pression n'est ni uniforme, ni hyperbolique, le calculsimplifi et pratique des butes utilise le plus souvent une mthode mixte :

1. Pression moyenne sur la bute : p = Fa/A = Fa / (re2 - ri2),2. Couple moteur ou de frottement : Mmot = Mfr = rm Fa.

Bien que la plupart des butes travaillent dans des conditions diffrentes de celles de la loide Coulomb, ces deux relations gnrales sont introduites aussi dans la dfinition du com-portement global des butes dites hydrostatiques et hydrodynamiques.

1.8.2 PALIER RADIAL CYLINDRIQUE

Le palier lisse radial cylindrique est un lment de machine, sollicit par une chargeradiale, compos d'un coussinet cylindrique et d'un arbre, le jeu diamtral entre les deuxpices permettant l'arbre de tourner dans le coussinet ou vice versa. Les charges radialesappliques sur l'arbre sont compenses par les pousses dues au contact entre l'arbre et lecoussinet du palier radial ou l'action d'un lubrifiant intercal entre les deux pices.

1.8.2.1 FROTTEMENT TRS FAIBLE VITESSE

Soit un arbre de diamtre d, guid dans un coussinet fixe de diamtre intrieur D, sollicitpar des forces extrieures se concrtisant par une force radiale rsultante Fr au niveau dupalier. Etudions les conditions de dmarrage de l'arbre dans le coussinet et admettons lescoefficients de frottement d'adhrence et de glissement constants, gnralement diffrents.L'arbre isol est soumis l'action de deux forces (fig. 1.23) : la charge radiale extrieure Fr etl'action du coussinet lisse sur l'arbre FB ou FB0 la limite du glissement, additionn d'uncouple moteur Mmot appliqu sur l'arbre.

Lorsque l'arbre commence tourner dans le coussinet, le frottement d'adhrence entre cesdeux pices provoque le dplacement de l'arbre qui a tendance grimper le long de la surfacecylindrique intrieure du coussinet jusqu' ce que la surface de l'arbre glisse sur la surfacecreuse du coussinet. Les conditions d'quilibre de l'arbre en glissement s'crivent (fig. 1.23) :

- quilibre de translation : Z = 0 : FB - Fr = 0 ,


- 1.32 -

- quilibre de rotation : MOy = 0 : Mmot - rf FB = 0 ,- loi de Coulomb : FR = Fn .

Dcomposons l'action du coussinet sur l'arbre en deux composantes rectangulaires : unecomposante normale Fn dans la direction radiale et une composante tangentielle de frottementFR = Fn . Le couple moteur sur l'arbre peut se trouver par :

Mmot = r FR = 1/2 d Fn.Rgle gnrale pour la raction d'appui totaleDans le frottement, obissant la loi de Coulomb, entre un arbre et un coussinet cylin-

driques, la raction d'appui totale du coussinet FB sur l'arbre est toujours tangente un cercle,appel cercle de frottement, de rayon dsign par rf.

Figure 1.23 Position de l'arbre glissant dans le palier radial trs faible vitesse

Le rayon du cercle de frottement se calcule par :

rf = d Fn / 2 FB = (d/2) sin . (1.29)Dans des problmes un peu plus rels, par exemple dans les chanons de mcanismes

articuls, ces parties de machines possdent deux coussinets. L'quilibre de ces pices doits'tudier avec frottement, le seul point dlicat tant de trouver les lignes d'action des ractionsd'appui, compte tenu du frottement. Il en va de mme de l'quilibre d'un arbre ou d'un axedans deux paliers lisses, sollicit par des forces extrieures quelconques. La mthode gnralede recherche d'quilibre avec paliers lisses et frottement selon la loi de Coulomb consiste :1. tracer les cercles de frottement au centre de chaque coussinet cylindrique,2. mettre en place la ligne d'action de la force totale FB de l'arbre sur la coussinet tangente au

cercle de frottement,3. contrler la composante normale Fn, dirige vers l'intrieur du coussinet, et la force de

frottement FR, de sens oppos la vitesse de glissement de la surface du coussinet,4. appliquer les rgles de l'quilibre statique.

1.8.2.2 PRESSION DANS LE DEMI-COUSSINET

Le calcul lmentaire et simplifi de la pression dans le palier radial cylindrique avec unarbre en rotation vitesse angulaire constante introduit l'hypothse d'une pression rpartieuniformment entre l'arbre et le demi coussinet, l'autre demi coussinet n'intervenant pas dansla discussion. Cette rpartition de pression ne correspond pas du tout la ralit, maisl'hypothses introduite permet de trouver une relation trs simple entre la charge radialeapplique Fr et les dimensions gomtriques du coussinet.


- 1.33 -

Le palier est repr par un systme de coordonnes trirectangle Oxyz et la charge radialeFr est suppose agir vers le bas, son sens tant oppos celui de l'axe Oz. La surface de con-tact entre les deux pices est divise en tranches minces lmentaires, largeur dl, longueur Bgale celle du coussinet, parallles l'axe de l'arbre ou du coussinet (fig. 1.24). L'aire l-mentaire d'une tranche est : dA = B dl. La pousse hydrostatique lmentaire sur l'arbre, ensupposant un lubrifiant entre les deux corps, vaut :

dFn = p dA = p B dl.

Cette pousse se dcompose en deux forces lmentaires rectangulaires selon les axes Oxet Oz, donc parallle et perpendiculaire Fr . Les composantes lmentaires, perpendiculaires Fr et symtriques par rapport au plan Oyz s'annulent tandis que les composantes parallles Fr s'additionnent algbriquement.

Figure 1.24 Pression moyenne dans le palier cylindrique entre l'arbre et le coussinet

L'quilibre de translation de l'arbre selon Oz s'crit :

Z = 0 : d nz rF Fx r

x r ==

=+z 0.avec : dFnz = dFn sin = p B dl sin = p B dx.

La composante radiale est relie la pression par l'expression :

F F pB x p Bdx r

x r

x r

x r

r nzd d= = ===+

=

=+ zz .La pression uniforme entre le demi coussinet et l'arbre se calcule en divisant la force

radiale Fr par la surface projete du coussinet : A = B D , le diamtre du coussinet tant 1 2%o plus grand que celui de l'arbre :

p FB D

= r . (1.30)La pression moyenne s'exprime habituellement en N/mm2. Cette grandeur intervient dans

le calcul dtaill des paliers cylindriques hydrostatiques et hydrodynamiques, voir leschapitres sur les paliers lisses.

1.8.2.3 COUPLE DE FROTTEMENT

Chaque force normale lmentaire dFn sur l'arbre cre une force de frottement :dFR = dFn.


- 1.34 -

En supposant le coefficient de frottement de glissement constant sur toute l'tendue de lasurface du demi coussinet, le couple de frottement total sur l'arbre vaut :

M d F d F d FRfr n rd d= = = ==

=

=z z2 2 40 0 .Pratiquement, le couple de frottement se trouve en oubliant les hypothses prcdentes et

en admettant un contact linique entre l'arbre et le coussinet sur les gnratrices communes.La force de frottement totale est proportionnelle la raction d'appui radiale :

FR = Fn = Fr .Le couple de frottement vaut :

Mfr = (d/2) . Fr. (1.31)La premire relation fournit un couple de frottement plus grand que la seconde en

introduisant le mme coefficient de frottement de glissement. Cette seconde relation estpratiquement identique celle des butes planes, le rayon de calcul tant remplac par lerayon de l'arbre. Comme le couple de frottement peut se trouver par mesure ou parl'application de thories plus volues sur le comportement rel de la bute ou du palier, lecoefficient de frottement de glissement correspondant, dfini par :

e = 2 Mfr / d Frest appel coefficient de frottement quivalent.

1.8.3 FROTTEMENT D'UN LIEN SOUPLE SUR UNE POULIE

Le frottement d'un lien souple sur une poulie intervient dans le contrle des transmissionspar courroies plates et trapzodales, par chanes, dans les freins rubans, etc.

1.8.3.1 RELATION FONDAMENTALE

Soit une poulie cylindrique en rotation uniforme en contact avec une corde dont l'une desextrmits est fixe, l'autre soumise une tension axiale impose par la force Fn1. L'arcd'enroulement de la corde sur la poulie est dsign par . Les hypothses introduites sont :- la corde est parfaitement souple,- le coefficient de frottement entre la corde et la poulie est constant, donc indpendant de la

vitesse de glissement et de la presion.

Figure 1.25 Frottement d'une corde sur une poulie


- 1.35 -

Quelle relation existe-t-il entre la tension Fn1 dans le brin de droite et la tension Fn2 dansle brin de gauche au niveau de l'attache (fig. 1.25).

Isolons un lment de la corde de longueur dl, repr angulairement par l'angle . L'l-ment est soumis l'action de trois forces : la tension normale F dans la coupe infrieure, latension normale F' dans la coupe suprieure et l'action lmentaire dFB de la poulie sur lacorde. Cette force se dcompose en une composante normale dFn et une force lmentaire defrottement dFR. Comme l'angle lmentaire entre les deux rayons est infiniment petit, le plandes forces donne successivement : F' = F + dF avec dF = dFR = dFn,et :

dFn = F d d'o dF = F d .En divisant chaque membre de cette dernire relation par la tension axiale dans la corde F,

cette relation s'crit aussi :dF / F = d .

La solution gnrale de cette quation diffrentielle du premier ordre est :ln F = + C.

La valeur de la constante d'intgration C se trouve partir des conditions limites decontact entre la corde et la poulie :- pour = 0 : la force normale dans la corde est Fn1 ,- pour = : la tension inconnue dans la corde est Fn2.

La force normale dans la corde en un point quelconque du contact se trouve par l'expres-sion :

F = Fn1 e .Pour l'extrmit fixe de la corde, la tension normale se trouve en remplaant l'angle

variable par l'angle d'enroulement :Fn2 = Fn1 e . (1.32)

Dans cette expression, l'angle d'enroulement de la corde doit s'exprimer en radians. Latension axiale Fn2 augmente exponentiellement avec l'angle d'enroulement.

1.8.3.2 VALEURS PARTICULIRES

Etudions quelques cas particuliers d'emploi de la formule gnrale entre les tensions nor-males dans la corde, le coefficient de frottement et l'angle d'enroulement.

1.8.3.3 QUILIBRE DE LA POULIE

La poulie isole est soumise extrieurement l'action de trois forces et d'un couple mo-teur. Les forces connues sont les deux tensions Fn1 et Fn2 . La raction d'appui FC, engendrepar l'arbre sur la poulie, se trouve partir de l'quilibre de translation, par la sommevectorielle :

Fn1 + Fn2 + FC = 0.Le couple moteur, de mme sens que la vitesse angulaire de la poulie, se calcule simple-

ment en considrant les forces extrieures Fn1 et Fn2 :


- 1.36 -

Mmot = 0,5 d (Fn2 - Fn1) = 0,5 d Fn1(e - 1).

La diffrence des forces normales dans le lien souple est souvent nomme, tord, forcetangentielle sur la poulie.

1.8.3.4 CORDE SANS GLISSEMENT SUR LA POULIE

Dans les transmissions par courroies plates ou trapzodales, le glissement ne doit pasexister entre la courroie et la poulie. Les conditions normales de fonctionnement obissent la loi du frottement d'adhrence. Pour qu'il n'y ait pas de glissement entre les deux pices, ilfaut que :

Fn2 e0 Fn1 . (1.33)La limite d'adhrence ne devrait jamais intervenir de telle sorte qu'il faut introduire le

coefficient de scurit au glissement Sgl dans cette relation. Ainsi, la tension maximaleadmissible vaut :

Fn2 e0/Sgl . Fn1 . (1.34)Ces relations montrent que la tension dans le brin dit tendu Fn2 ne peut exister que si la

tension dans le brin dit mou Fn1 existe.

1.8.3.5 EFFICACIT DU FROTTEMENT

La force "tangentielle" Ft peut s'exprimer en fonction de Fn1 ou de Fn2 par la diffrencedes tensions dans les deux brins. En supposant le frottement de glissement entre la corde et lapoulie, cette force vaut :

Ft = Fn2 - Fn1 = Fn1 (e - 1) = Fn2 (1 - e-).

L'efficacit du frottement se dfinit comme le rapport de la force tangentielle Ft la plusgrande des tensions dans la corde :

Efficacitcorde = Ft / Fn2 = 1 - e-. (1.35)

Cette grandeur intervient dans la comparaison des possibilits de freinage dans les freins rubans ou dans les transmissions par courroies plates.

1.8.4 EXEMPLE DE FROTTEMENT EN ROTATION

Cet exemple tudie les conditions de frottement dans le joint d'un obturateur fluide commande manuelle ou motorise. Soit un arbre de diamtre d dplac par un mcanismeconstitu par une vis filet simple ou multiple de pas P et passant dans un presse-toupe,longueur l , muni d'une garniture coefficient de frottement (fig. 1.26). Les hypothsesintroduites dans la discussion sont :- la pression exerce par le presse-toupe est constante sur toute la surface de contact,- le coefficient de frottement de glissement, entre le joint et l'arbre, est constant.

Proposons nous de trouver la force axiale Fa et le couple Mmot produire pour dplacerl'arbre dans le joint. Chaque lment dA de la surface de contact de l'arbre dcrit une trajec-toire hlicodale dans le presse-toupe, de diamtre d et pas P . L'angle d'hlice est :


- 1.37 -

= arc tan(P/ d).L'effort normal lmentaire sur chaque lment d'aire dA vaut : dFn = p dA et la force l-mentaire de frottement, oppose la vitesse de glissement, est :

dFR = dFn .Toutes les forces lmentaires de frottement dFR sont dcomposables suivant l'axe Oy de

l'arbre et suivant la tangente au cylindre en :

dFR = dFRy + dFRt.

Figure 1.26 Frottement d'un presse-toupe sur un arbre en mouvement hlicodal

L'quilibre de l'arbre, compte tenu du frottement, s'crit :

Y = 0 : d Ry aF FA

=z 0,MOy = 0 : d F M

A2

0 =z d Rt mot .Les composantes rectangulaires de la force de frottement valent :

- composante axiale : dFRy = dFn sin,- composante tangentielle : dFRt = dFn cos.

En substituant ces expressions dans les relations d'quilibre, les efforts extrieurs produire sont :1. Force axiale : Fa = p d l sin, (1.36)2. Couple moteur : Mmot = 1/2 p d2 l cos. (1.37)

Cet exemple montre que le principe de superposition des efforts ne peut pas s'appliquer aufrottement de glissement ou d'adhrence lorsque le mouvement rsulte d'une translation etd'une rotation. Si l'angle de l'hlice est trs petit, la force axiale Fa devient aussi trs petite.Cette particularit est employe dans les instruments de mesure hydrauliques afin d'liminerle plus possible le frottement axial entre le piston de mesure, ici l'arbre, et le guidage.


- 1.38 -

- 1.39 -

CHAPITRE 2

FROTTEMENT DE ROULEMENT

Une seconde forme de rsistance parasite est celle qui intervient dans le roulement decorps cylindriques ou sphriques sur un plan ou sur un autre corps. Un cylindre ou une sphreest en roulement sur un plan lorsque la vitesse instantane du corps est nulle au point decontact sur l'autre corps immobile. Pour obtenir la rotation d'un cylindre sur un planhorizontal rel vitesse du centre constante, l'exprience montre qu'il faut appliquer soit uneforce de traction, soit un couple moteur sur ce corps cylindrique.

Si les corps solides taient parfaitement lisses et indformables, la rsistance au dpla-cement du cylindre serait nulle et le corps glisserait sur le plan horizontal. En ralit, unrouleau cylindrique lanc avec une certaine vitesse initiale sur un plan horizontal rugueuxralentit et s'arrte aprs un certain parcours. Ce ralentissement provient de la rugosit dessurfaces, des dformations lastiques et ventuellement plastiques des corps en contact, dulubrifiant intercal ventuellement entre le corps et le plan.

2.1 CONDITIONS D'QUILIBRE AVEC ROULEMENT

Etudions deux cas particuliers fondamentaux des pertes par roulement soit un cylindre sedplaant vitesse constante grce l'action d'une force ou d'un couple moteur.

2.1.1 CYLINDRE SOLLICIT PAR UNE FORCE MOTRICE

Soit un cylindre homogne, charg verticalement par une force rsultante G suppose agirau centre du cylindre, plac sur un plan horizontal rel (fig. 2.1). Les dformations entre lecorps et le plan ne sont plus symtriques, mais dplaces vers l'avant comme dans le cas dulaminage d'une pice paisse ou encore comme le dplacement du rouleau pte de la mna-gre sur la pte gteau.

Figure 2.1 Cylindre sur un plan horizontal soumis l'action d'une force motrice

Supposons, pour simplifier la discussion, la force de traction F passant par le centre ducylindre. Le corps en quilibre, vitesse constante, est soumis l'action de trois forces : lacharge applique sur le rouleau G, la force motrice horizontale F et l'action du plan horizontalFB sur le cylindre :

G + F + FB = 0.


- 1.40 -

L'action du plan horizontal FB peut se dcomposer en deux composantes rectangulaires :une force normale Fn perpendiculaire au plan horizontal non dform, une force de frottementd'adhrence FR. La composante FR est dirige en arrire du mouvement et la force normaleFn est dcale vers l'avant de la distance er par rapport la ligne d'action de G. Le momentproduit par la force motrice F par rapport au plan est approximativement r F puisque lesdformations restent trs faibles. Ce moment moteur quilibre le moment de roulementprovoqu par le dcalage de la composante normale Fn :

Mr = er Fn. (2.1)

La distance er est nomme paramtre de rsistance de roulement. C'est une grandeuraffecte d'une unit, gnralement le cm ou le mm. Remarquons l'analogie entre les relationsdu frottement de glissement et le frottement de roulement. La force de frottement dadhrenceFR' oblige le cylindre tourner sur lui-mme. L'intensit de cette composante ne peutvidemment pas dpasser la force de frottement limite FR' FR0 = 0 Fn, car il y auraitglissement du cylindre sur le plan. Dans le cas d'une roue libre, comme reprsent sur lafigure 2.1 droite, l'quilibre de la pice va dpendre non seulement de la raction d'appui aupoint B, mais aussi de la position de la force de traction F et de la raction de l'axe sur la roueFBm. Cette force doit tre place la distance rf du centre de rotation pour tenir compte dufrottement entre l'axe et l'alsage.

2.1.2 CYLINDRE SOLLICIT PAR UN COUPLE MOTEUR

Si le cylindre est soumis l'action d'une force extrieure verticale G et d'un couple moteurMmot, l'quilibre du rouleau se rduit celui d'un corps soumis l'action de deux forces et uncouple. Les quations d'quilibre sont (fig. 2.2) :

Z = 0 : FB G = 0;MOy = 0 : Mmot - er FB = 0.L'action du plan horizontal FB sur le cylindre peut se dcomposer en deux composantes

rectangulaires : une force normale Fn suivant le rayon non dform du cylindre, une compo-sante tangentielle FR' . Cette force de frottement d'adhrence ne peut pas dpasser la forcelimite d'adhrence FR FR0 = 0 Fn, car le cylindre patinerait sur le plan sous l'effet ducouple moteur. Dans le cas d'une roue relle avec un couple moteur Mmot, la pice est encoresoumise l'action de deux forces parallles, le couple moteur se trouvant par :

Mmot = (rf + er) FB= (rf + er) G.

Figure 2.2 Cylindre sur plan horizontal soumis l'action d'un couple moteur

2. Frottement de roulement

- 1.41 -

2.1.3 PARAMTRE DE RSISTANCE DE ROULEMENTLes valeurs du paramtre de rsistance de roulement donnes dans le tableau s'appliquent

des cylindres de dimensions usuelles en construction de machines soit des diamtrescompris entre 20 mm et 500 mm.

Tableau 2.1Paramtres de rsistance de roulement

Matires en contact Paramtre er en mm

Acier tremp sur acier tremp Fonte grise sur acier tremp Acier doux sur acier doux

0,005 0,010,50,5

Fonte sur sol en bon tat Pneus sur route en bon tat

8 155 20

2.1.4 GLISSEMENT MACROSCOPIQUE DES SURFACES

L'tude des pertes par roulement dans les deux cas fondamentaux fait apparatre uneraction d'appui FB du plan sur le cylindre dcomposable selon deux points de vuediamtralement opposs : la premire fois selon la normale au plan, la seconde fois selon lanormale au cylindre non dform. Essayons de donner une justification plus dtaille sur larsistance de roulement lors du dplacement d'un cylindre ou d'une sphre sur un autre corps.Adoptons un modle compos de deux corps cylindriques en contact sur leur gnratricecommune sollicits chacu

Volume_1 CONCEPTION ET CALCUL DES ÉLÉMENTS DE MACHINES

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