1

VI Singularités en théorie des coques minces

l  Rappels sur le modèle de coque de Koiter l  Etude théorique des singularités l  Simulations numériques avec des techniques

de maillages adaptatifs l  Exemple de coques paraboliques inhibées l  Coques elliptiques bien-inhibées et sensitives

2

Introduction l  Théorie des coques : apparition de couches limites

lorsque l’épaisseur relative ε tend vers 0. l  contenant des déplacements de plus en plus amples et

tendant à être singuliers (singularités dans la direction perpendiculaire à la couche)

l  de plus en plus fines

→ besoin d’un maillage fin dans ces zones, mais uniquement dans la direction perpendiculaire à la couche : l  maillage adaptatif l  maillage anisotrope

3

Théorie des surfaces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Syyyyyyyyyy ∈=⎯→⎯Ω∈→

2132122112121 ,,,,,,, ψψψψψ

l  Vecteurs de la base covariante en (y1,y2)

l  Tenseur métrique :

l  Tenseur de courbure :

αα ψ ,

=a21

213 aa

aaa

∧

∧=

βααβ aaa .=

4

l  Base contravariante : (aα,aβ,a3) telle que

l  Dérivée d’un vecteur tangent :

l  Dérivée covariante d’un vecteur :

l  Dérivée covariante d’un tenseur :

βαα

β δ=aa .

3, abaa αβγγαββα +Γ=

βαβα aaa =

jjkiikik vvvD Γ+∂=

mjjkm

injkn

ijk

ijk TTTTD Γ+Γ+∂=

5

Classification des surfaces

l  Surface elliptique

- tous les points sont elliptiques - les courbures principales sont de même signe - pas de directions asymptotiques

6

Classification des surfaces

l  Surface hyperbolique

- tous les points sont hyperboliques -  courbures principales de de signe opposé -  2 directions asymptotiques distinctes

7

Classification des surfaces

l  Surface parabolique

- tous les points sont paraboliques -  une des courbures principales est nulle -  une direction asymptotique (double)

8

Le problème mécanique

l  forces surfaciques l  épaisseur relative l  S surface moyenne

l  Formulation variationnelle du modèle de coque de Koiter pour une coque d ’épaisseur ε :

avec

énergie de membrane

énergie de flexion

9

Déplacements inextensionnels l  Espace des déplacements inextensionnels G :

l  G dépend de la nature de la surface moyenne (elliptique, parabolique ou hyperbolique) et des C.L

Caractérise la rigidité de la coque

Si G={0} la coque est inhibée

Si G ≠ {0} la coque est non inhibée

10

Coques elliptiques inhibées

encastré

Domaine inhibé

Coques paraboliques inhibées

Génératrices

Bord encastré

S est inhibée

Domaine non-inhibé

11

Le problème limite Modèle de Koiter

Modèle de membrane si G={0} Modèle de flexion pure si G ≠ {0}

Perte de régularité de u3 et apparition de couches limites

Non étudié

12

Les différentes couches l  Couches limites sur le bord de S

l  Couches internes lorsque le chargement est singulier : l  le long des courbes où le chargement est singulier l  le long des courbes caractéristiques (=courbes

asymptotiques de S) tangentes à une courbe où le chargement est singulier

l  Dans ces couches, les déplacements sont singuliers

l  Propagation le long des caractéristiques

13

Epaisseur des couches limites

14

l  Réduction du système de membrane à un système d’EDP pour u3

l  Basé sur l’analyse micro-locale des singularités : l  Les coefficients géométriques sont fixés au point étudié l  Seules les dérivées d’ordre supérieur sont considérées

l  Le système de membrane s’écrit :

Etude des singularités des déplacements

avec

15

l  Généralisation de la règle de Cramer pour les systèmes algébriques :

l  Pour un effort normal on obtient :

l  Expression similaire obtenue pour u1 et u2

Etude des singularités des déplacements

Composantes covariantes du tenseur de courbure

a=det(aαβ )

16

Ordres des singularités : principaux résultats

l  Si la singularité du chargement est le long d’une ligne non caractéristique :

§  u3 a la même singularité que f 3

§  il n’y a pas de propagation

l  Si la singularité du chargement est le long d’une ligne caractéristique :

§  u3 est de 4 ordre plus singulier que f 3 si le point est parabolique §  u3 est de 2 ordre plus singulier que f 3 si le point est hyperbolique §  il y a propagation de la singularité

l  Des résultats similaires sont obtenus pour u1 et u2 (avec des ordres différents)

17

Ordres des singularités

18

Etude des singularités pour une coque parabolique l  Exemple du demi-cylindre

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→

RyRy

RyRyy

21

221 sin,,cos,ψ

Données : §  L=100 mm, l =25π mm, R=25 mm

§  E=210 000 Mpa, ν=0.3

§  f3=10 ε MPa

19

Exemple du demi-cylindre Propriétés géométriques

l  Base locale :

l  Tenseur métrique :

l  Tenseur de courbure :

→ caractéristiques : y²=constante

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

R

b10

00

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

10

01a

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

1

0

1a

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

)cos(

0

)sin(

2

2

2

Ry

Ry

a

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

)sin(

0

)cos(

2

2

3

Ry

Ry

a

20

l  Symboles de Christoffel :

d’où

l  Loi de comportement :

avec Soit matriciellement :

0=Γλαβ

αβλ

αβλ

βαβα

TTD

uuD

∂=

∂=

1111

2222

1212

1 01 1

1 01 1 1

10 02

TET

T

νν ν γν

γν ν ν

γ

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

λµαβλµαβ γAT =

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−++

+= λµαββλαµβµαλαβλµ

νν

νaaaaaaEA

12

12

21

l  Système membranaire :

l  Loi de comportement :

l  Déformations membranaires

Exemple du demi-cylindre

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=∂−∂−

=∂−∂−

ωdans

fTb

fTT

fTT

322

22

212

122

2

112

211

1

λµαβλµαβ γ11AT =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂+∂=

−∂=

∂=

)(21

211212

3222222

1111

uu

ubu

u

γ

γ

γ

22

Chargement appliqué

l  Effort normal appliqué : f=f 3 e3

avec

l  Conditions aux limites:

l  Encastrement sur OA et CD l  Libre ailleurs

2 2 22 2

3 12 2 16

0

l a lsi y yfsinon

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − =⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎩ sinon

si

•  les déplacements sont singuliers •  il y a propagations des singularités le long des lignes caractéristiques

Le chargement est

discontinu (singulier)

La coque est inhibée

Suivant la théorie :

23

l  Expression de f3 au voisinage de y2=0,25l

avec

Chargement

( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=Ψ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=Φ

=

ayy

yHlyy

lKl

11

22/1

22

44

2

δ

( ) ( ) ( )3 2 2 1 2 1

422 4

ll lf y H y y a K y yδ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ − − − = Φ Ψ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

24

Etude des déplacements sur la ligne y2=0.25l

11 121 2

22 122 1

22 322

00

T TT Tb T f

⎧−∂ −∂ =⎪−∂ −∂ =⎨⎪ − =⎩ ( ) ( )212222 yyT Φ=τ→

( )ayb

y −−= 1

22

122 1)( δτ

avec ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=Φ

42

2/122

4lyHlyyavec

25

Etude des déplacements sur la ligne y2=0.25l

11 121 2

22 122 1

22 322

00

T TT Tb T f

⎧−∂ −∂ =⎪−∂ −∂ =⎨⎪ − =⎩ ( ) ( )212222 yyT Φ=τ→

( )

( ) ( )1221121

1

22

122 1)(

yy

ayb

y

ττ

δτ

−=∂

−−=

( ) ( ) ...2)1(11212 +Φ= yyT τ→

avec ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=Φ

42

2/122

4lyHlyyavec

26

Etude des déplacements sur la ligne y2=0.25l

11 121 2

22 122 1

22 322

00

T TT Tb T f

⎧−∂ −∂ =⎪−∂ −∂ =⎨⎪ − =⎩ ( ) ( )212222 yyT Φ=τ→

( )

( ) ( )

( ) ( )1121111

1221121

1

22

122 1)(

yy

yy

ayb

y

ττ

ττ

δτ

−=∂

−=∂

−−=

( ) ( ) ...2)1(11212 +Φ= yyT τ

( ) ( ) ...2)2(11111 +Φ= yyT τ

→

→

avec ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=Φ

42

2/122

4lyHlyyavec

27

Etude des déplacements sur la ligne y2=0.25l

l  Contrainte membranaire la plus singulière

l  Loi de comportement (inverse)

l  Déformations membranaires

( ) ( ) ...2)2(11111 +Φ= yyT τ

λµαβλµαβγ TB=

udefonctionαβγ

28

l  Effort imposé en

l  Ordre des singularités des déplacements

l  Propagation des singularités le long de la caractéristique y2=0,25l

Résumé des résultats

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

42

2/12

4lyHly

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

)4(4

)3(4

)2(4

322

42

4

3

322

32

3

2

322

22

2

1

4

4

4

fqueélevéplusordresdeyHlyyddenu

fqueélevéplusordresdeyHlyyddenu

fqueélevéplusordresdeyHlyyddenu

l

l

l

29

Calculs numériques l  Calculs numériques effectués avec 2 logiciels qui ont

été couplés (thèse de C. De Souza, Paris VI, 2003)

30

Modulef

l  Logiciel éléments finis §  développé à l’INRIA §  version 99

l  Elément coque utilisé : §  DKTC (Discret Kirchhoff Theory)

→ avantage : seule la carte est maillée (pas d’approximation par facettes planes)

31

BAMG (version 0.68 ) (Bidimensional Anystrop Mesh Generator)

l  Logiciel de maillage adaptatif §  développé à l’INRIA §  fonctionne en 2D

l  Principe de fonctionnement : §  Calcul à partir d’un maillage initial §  BAMG génère ensuite, à partir des résultats

obtenus, un nouveau maillage raffiné dans les zones et dans la direction où la solution varie le plus.

32

BAMG (version 0.68 ) (Bidimensional Anistrope Mesh Generator)

l  Crée un nouveau maillage en utilisant une métrique modifiée

l  La nouvelle métrique est calculée en utilisant le Hessien de la solution :

λ1 et λ2 sont les valeurs propres du Hessien de la solution et R indique les directions correspondantes

Le maillage est raffiné dans les régions où les dérivées secondes sont importantes

avec

33

Résultats numériques Evolution du maillage (ε=10-5)

Maillage initial (11275 DDL) Itération 2 (23226 DOF)

Itération 5 (66778 DOF) Itération 7 (66283 DOF)

Rafinement du maillage le long des couches limites

34

Domaine de chargement et déformée 3D (ε=10-5)

Domaine de chargement Déformée 3D

35

Convergence de l’adaptation (ε=10-5)

l  Convergence des résultats de la à partir de la 5ème itération l  Les singularités se propagent le long des génératrices

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

y2

u 3 p

our y

1 =25

01234567

Itération

u3 pour y1=L/4

y1=L/4

36

l  L’amplitude des déplacements varie avec ε selon la singularité :

Amplitudes de u - Dépendance par rapport à ε

1)(

2'

1

1

1

+nn en

en

en

ηδ

ηδ

ηδ

η

η η

1/η 1/η2 1/η3

δ δ’ δ(2)

η

u3

37

Forme des déplacements (pour y1=l) (ε=10-5)

2

212

2),25(

),25(yyuKyu

∂

∂=

2

222

3),25(

),25(yyuMyu

∂

∂=

),25( 21 yu

Bon agrément avec la théorie

38

Epaisseur de couche limite

ε=10-4 ε=10-5 ε=10-6

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

η

u3

39

Résultats numériques Epaisseur de couche - Dépendance par rapport à ε

l  Singularité sur une ligne caractéristique

η fonction de ε (échelle logarithmique)

l  η =O(ε0.2509) l  Résultat classique η =O(ε1/4) (E. Sanchez-Palencia)

η y = 0.2509x + 4.5166R2 = 0.9981

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-14 -12 -10 -8 -6

40

Exemple d’illustration

Rupture d’un gazoduc à Ghislenghien (Belgium), juillet 2004

Propagation des singularités le long des génératrices

41

Cas Elliptique Spécificités

l  Pas de lignes asymptotiques

l  Importance des conditions aux limites

l  Bien inhibé (encastré sur tout le bord) §  pas de propagation des singularités §  u3 a le même ordre de singularité que f3

§  épaisseur de couche limite de l’ordre de ε1/2 §  Existence possible de singularités logarithmiques

l  Mal inhibé (une partie du bord est libre) §  problème dit « sensitif » §  pas de résultats théoriques généraux §  problèmes modèles : le nombre d’oscillations sur le bord libre varie en

ln(1/ε)

42

Exemple du paraboloïde elliptique

( ) ( ) ( )( )22212121 ,,, yyyyyy +=→

ψ

l  Chargement f 3= -10ε appliqué dans le domaine de chargement (domaine hachuré) l  Conditions aux limites :

§  Encastré sur AB, BC et AD

§  Libre ou encastré sur CD

43

Cas bien inhibé: le bord CD est encastré

-1.2

-0.8

-0.4

0-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f 3 (y1) (pour y2=0)

u3 (y1) (pour y2=0 et ε=10-5) -2.5E-04

-2.0E-04

-1.5E-04

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

1.5E-04

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Visualisation sur la ligne y2=0

f 3 a les mêmes singularités que u3

comme prédit la théorie

44

Singularité logarithmique ponctuelle

l  Si le domaine de chargement a un coin

l  Si les courbures principales en ce point sont différentes

u3 sur ¼ du domaine u3 sur la ligne y1=y2

Existence d’une singularité logarithmique ponctuelle

45

Maillage anisotrope adapté

Zoom du maillage

Zoom du maillage

Maillage anisotrope dans la couche

Maillage isotrope aux alentours du coin

Nécessité d’une procédure adaptative

46

Cas sensitif le bord CD est libre

Forme de la déformée ε=10-4

Déplacement u3 pour ε=10-4

Déplacement u3 pour y1=1 et ε=10-4

l  La condition de Shapiro-Lopatinskii n’est pas satisfaite

l  Larges oscillations le long du bord libre

47

Cas sensitif

Oscillations exponentiellement décroissantes vers l’intérieur du domaine

l  Comparaison avec le cas bien-inhibé

-1.0E-03

-8.0E-04

-6.0E-04

-4.0E-04

-2.0E-04

0.0E+00

2.0E-04

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y1

u 3

u3 sur la ligne y2=0

l  Les singularités présentes dans le cas bien inhibé sont toujours présentes

l  Elles sont cachées par les instabilités importantes qui apparaissent au voisinage du bord libre

48

Evolution des oscillations sur le bord libre

Déplacement u3 pour ε=10-2 Déplacement u3 pour ε=10-3

Déplacement u3 pour ε=10-4

y = 0.8607x - 0.8819R2 = 0.9349

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12

ln(1/ε)

nom

bre

de "

boss

es"

Nombre des oscillations vs ln(1/ε)

Le nombre des oscillations varie comme ln(1/ε)

49

Energie de membrane et de flexion

Energie de membrane Energie de flexion

Bord libres

Répartition

de la densité

surfacique d’énergie

ε=10-4

Pourcentage d’énergie de flexion pour ε=10-2 ,ε=10-3 et ε=10-4

50

Conclusions

l  Théorie générale des singularités en théorie des coques

l  Bonne concordance théorie / simulation numérique

l  Simulations numériques réalisées avec MODULEF et BANG couplés ensemble

l  Maillage anisotrope adapté

l  raffinement seulement autour au voisinage des couches et des singularités

l  les déplacements approchent de façon très précise les singularités prédites par la théorie avec seulement un très petit nombre d’éléments