Calcul de la trajectoire d’une torpille par la méthode des singularités

Rapport de Bureau dEtude Hydrodynamique

Calcul de la trajectoire dune torpille par la mthode des singularits

Guilherme Loureno Mejia Marco Batista Xand de Oliveira

2011 - 2012

NDEX 1. Introduction .............................................................................................................................................. 1

2. Equations du mouvement ......................................................................................................................... 2

3. Forces sexerant sur la torpille ................................................................................................................ 3

4. Calcul de la vitesse du fluide en tout point de la surface de la torpille par la mthode de singularit ... 5

5. Calcul des efforts hydrodynamiques ...................................................................................................... 11

6. Calcul de la trajectoire ............................................................................................................................ 15

7. Droulement du BE ................................................................................................................................. 16

7.1. Maillage de la torpille ...................................................................................................................... 16

7.2. Trois problmes lmentaires ......................................................................................................... 19

7.3. Champ de vitesse pour un mouvement quelconque ....................................................................... 23

7.4. Calcul des coefficients de pressions et ............................................................................ 24

7.5. Calcul de la vitesse critique .............................................................................................................. 27

7.6. Calcul des coefficients hydrodynamiques ........................................................................................ 27

7.7. Dtermination de la trajectoire ....................................................................................................... 29

7.8. Dtermination du domaine de fonctionnement ............................................................................. 32

7.9. Dtermination de la trajectoire avec propulsion et pilotage .......................................................... 36

8. Conclusions ............................................................................................................................................. 41

Annexe 1: Prsentation du site Astrium Space Transportation Les Mureaux ......................................... 42

Annexe 2: Fortran ....................................................................................................................................... 44

Annexe 3: Organigrammes (mthode, fortran) .......................................................................................... 57

Annexe 4: Table pour lapplication numerique du calcul de la trajectoire dune torpille .......................... 59

Figures Figure 1: Missile balistique M51 .................................................................................................................. 1 Figure 2: Repres utiliss .............................................................................................................................. 2 Figure 3: Forces sur la torpille ...................................................................................................................... 4 Figure 4: Hypothses simplificatrices ........................................................................................................... 6 Figure 5: Facette triangulaire lmentaire de densit constante .............................................................. 10 Figure 6: Relation entre les repres fixe et sur la torpille rotation dun angle ..................................... 16 Figure 7: Corps fictif Condition de Kutta Joukovcski respecte ............................................................. 17 Figure 8: Maillages moins et plus affins, respectivement ......................................................................... 18 Figure 9: Numration des points et triangles du maillage........................................................................... 19 Figure 10: Normales ................................................................................................................................... 20 Figure 11: Problme lmentaire: = / ........................................................................................ 20 Figure 12: Problme lmentaire: = / ........................................................................................... 21 Figure 13: Problme lmentaire: = / ........................................................................................... 22 Figure 14: Champ de vitesse pour un mouvement quelconque: = = /, = / ............. 23 Figure 15: Variation de sur une corde de la torpille ........................................................................... 24 Figure 16: Coefficient ....................................................................................................................... 25 Figure 17: Variation de sur une tranche du maillage (au milieude la torpille); la courbe bleu rprsente la fonction () .................................................................................................. 26 Figure 18: Coefficient ......................................................................................................................... 26 Figure 19: Rpartition du coefficient de portance sur la torpille maillage: n = 10, nc = 10, nl = 10 ....... 28 Figure 20: Rpartition du coefficient de portance sur la torpille maillage: n = 20, nc = 40, nl = 16 ....... 28 Figure 21: Rpartition du coefficient de trane de pression maillage: n = 20, nc = 40, nl = 16 ............. 29 Figure 22: Cas test - Immersion de la torpille X(m) vs temps t(s) .............................................................. 30 Figure 23: Cas test Assiette Theta() vs temps t(s) .................................................................................. 30 Figure 24: Cas test Trajectoire du centre de gravit de la torpille ........................................................... 31 Figure 25: Domaine de tir = .................................................................................................... 32 Figure 26: Domaine de tir = .................................................................................................... 33 Figure 27: Domaine de tir = ...................................................................................................... 33 Figure 28: Domaine de tir = ......................................................................................................... 34 Figure 29: Domaine de tir = ......................................................................................................... 34 Figure 30: Domaine de tir = ....................................................................................................... 35 Figure 31: Domaine de tir = ....................................................................................................... 35 Figure 32: Cas 1 sans propulsion ............................................................................................................. 37 Figure 33: Cas 2 sans propulsion ............................................................................................................. 37 Figure 34: Cas 3 sans propulsion ............................................................................................................. 38 Figure 35: Cas 4 sans propulsion ............................................................................................................. 38 Figure 36: Cas 1 avec propulsion et pilotage ........................................................................................... 39 Figure 37: Cas 2 avec propulsion et pilotage ........................................................................................... 39 Figure 38: Cas 3 avec propulsion et pilotage ........................................................................................... 40 Figure 39: Cas 4 avec propulsion et pilotage ........................................................................................... 40 Figure 40: Vue arienne du site Astrium Space Transportation Les Mureaux ........................................ 42

1

1. Introduction

Ils sont peu les pays qui ont dvelopp un systme de tir de missiles balistiques partir dun sous-marin. France est un de ces pays et lEADS est le responsable pour un des dernires modles, le M51. Pour le dveloppement du M51, EADS a utilis une approche base sur des simulations numriques avec pour objectifs de rduire les cots de dveloppement et de mieux matriser les marges de conceptions. Cest dans le cadre de ce projet que sinscrit ce bureau dtudes.

Soit une torpille tire depuis un sous-marin en immersion. Une fois lance, la torpille se dirige afin deffectuer sa mission. Pour cela, la torpille peut, par exemple, actionner des surfaces portantes, orienter son propulseur, modifier son centrage. Toutes ces actions sont contrles automatiquement par un programme informatique embarqu qui en temps rel, pilote et guide la torpille vers son objectif. Le sous-marin possde une vitesse davance qui aussi donne des effets sur la trajectoire de la torpille.

Donc, le but de ce Bureau dEtudes est de dterminer, en thorie de fluide parfait, la trajectoire dune torpille, ainsi que les bornes du domaine demploi de la torpille afin quelle merge de leau dans des conditions qui elle permettent de poursuivre sa mission.

Pour ce travail, on va dans un premier temps dterminer les efforts hydrodynamiques qui agissent sur le missile puis dans un second temps, on va calculer sa trajectoire connaissant les efforts extrieurs. Dans une dernire partie, il est fait lintgration dun systme de pilotage et des efforts de propulsion sur la torpille.

Figure 1: Missile balistique M51

2

2. Equations du mouvement

Les quations du mouvement de la torpille sont dveloppes en supposant que sa trajectoire est 2D, de sorte que le problme est 3 degrs de liberts: 2 composantes de vitesse et 1 composante de vitesse angulaire.

Pour dcrire le mouvement de la torpille ils sont utiliss trois repres: le repre fixe RO, le repre mobile de calcul des efforts RM et le repre mobile de calcul de la gomtrie et des potentiels RN. Ils sont reprsents dans la Figure 2.

= , !, "#!, $!%' = ((, )!, *!, +!), = (,, )!, *!, +!

Figure 2: Repres utiliss

Cest possible reprsenter le vecteur vitesse et le vecteur vitesse angulaire du centre de gravit G de la torpille comme cest indiqu ci-dessous:

-#!. /010345 6010748 /

010 348 Eq. 1

##! 600:745 600:748 6

00:748 Eq. 2

Les quations du mouvement sont crit, dans le repre fixe, par le principe fondamental de la dynamique et par le thorme du moment cintique au centre de gravit, comme cest indiqu ensuite:

3

;?@8=AB C'D. FG-#!GH I4J Eq. 3

;'##!=>?@8=AB CKD. FG##!GH I4J Eq. 4

Quand les quations Eq. 3 et Eq. 4 sont crit dans le repre mobile RM, les efforts et moments sont calcules dans RM et les relations font apparatre les efforts dinertie:

;?@8=AB C'D. FG-#!GH I45 L ##! C'D. -#! Eq. 5

;'##!=>?@8=AB CKD. FG##!GH I45 L ##! CKD. ##! Eq. 6

En utilisant les notations des quations Eq. 1 et Eq. 2, cest possible crire les quations du mouvement tudi comme suit:

;?@8=AB . )! N0O 1: Eq. 7

;?@8=AB . *! N1O L 0: Eq. 8

;'##!=>?@8=AB . +! K:O Eq. 9

3. Forces sexerant sur la torpille

Dans la Figure 3, on reprsente les forces sexerant sur la torpille lorsquelle est submerge.

4

Figure 3: Forces sur la torpille

Le poids est appliqu au point G (centre de gravit) et il est connu. Dans le repre RM, on a:

o `a@b est la pression atmosphrique, c est la densit de leau de mer, d est limmersion de la torpille et -Xf son volume. Les efforts hydrostatiques rsultants sont appliqus au centre volumtrique C de la torpille, de faon que )i est la distance entre C et G ()i m 0 si C au dessus de G). Si on connat langle Zpour un point de la trajectoire, donc les efforts hydrostatiques sont connus dans ce point.

Les efforts hydrodynamiques sont rsultants de lintgration de la pression dynamique sur la surface de la torpille (torseur hydrodynamique). Soit `R^n lexpression de la pression dynamique. Les efforts sont donns par les formules suivantes:

5

o M est un point sur la surface de la torpille.

Ainsi, il reste dterminer la pression dynamique en tout point de la surface de la torpille. Pour cela, on va calculer la vitesse du fluide sur la surface de la torpille en fonction de sa cinmatique. Connaissant la vitesse du fluide, lquation de Bernoulli instationnaire nous permettra den dduire `R^n.

Avec le calcul des efforts sur la torpille chaque instant, il sera possible dterminer la trajectoire de la torpille avec les quations Eq. 7, Eq. 8 et Eq. 9, qui peuvent scrire comme:

N0O 1: c-Xf NVWXYZ L

6

Figure 4: Hypothses simplificatrices

Avec ces hypothses, cest possible dcrire des quations suivant:

Le fluide est parfait et

irrotationnel -#!z V:{G| Eq. 19

Le fluide est incompressible G[1-#!z% 0 Eq. 20

o | est le potenciel qui drive la vitesse du fluide. Des quations Eq. 19 et Eq. 20:

G[1CV:{G|D | 0 Eq. 21

Pour lcoulement sur la torpille, il faut crire la condition de glissement, qui est donn par:

-#!z \#! -#!5 \#! Eq. 22

o ' est un point sur la torpille et \#! le vecteur normal la surface de la mme qui contient M. Mais -#!5 peut tre ecrit comme:

-#!5 -#!. L #! GM######! Eq. 23

Ainsi:

7

-#!z \#! -#!5 \#! V:{G| \#! -#!. L#! GM######!% \#!

|\S -#!. L #! GM######!% \#! Eq. 24

Donc, pour dterminer | il faut rsoudre le systme suivant: | 0 dansledomainefluideD|\S -#!. L #! GM######!% \#! surlasurfacedelatorpilleS

Cest possible rcrire lquation Eq. 24 comme:

|\S -#!. L #! GM######!% \#! -#!. \#! L #! GM######!% \#! -#!. \#! L #! GM######! \#!% et, par commodit, dans le repre RN lquation scrire comme:

|\S 0H1 H0

\B'\'\' L 600: H7

\'\'\' et la condition de glissement devient:

|\S 0H\B' L 1 H\' L : H\' Eq. 25

Donc, le systme peut tre crit comme:

| 0 dansD|\S 0H\B' L 1 H\' L : H\' surS Pour rsoudre ce systme, il est dcompos en trois systmes lmentaires:

| est le potentiel de lcoulement autour de la torpille qui possde une vitesse lmentaire purement longitudinale

et de valeur 1.

| 0 dansD|\ S \B surS Eq. 26 | est le potentiel de lcoulement autour de la torpille qui possde une vitesse

lmentaire purement transverse et de valeur 1.

| 0 dansD|\ S \ surS Eq. 27 | est le potentiel de lcoulement autour de la torpille qui possde uniquement une

vitesse angulaire et de valeur 1. | 0 dansD|\ S \ surS Eq. 28

8

o la solution du systme global est donn par:

|H,' 0H|' L 1 H|' L : H|' Eq. 29

Donc, comme a, la vitesse du fluide autour de la torpille drivant du potentiel est donn par:

-#!zH, ' 0H-#!z' L 1 H-#!z' L : H-#!z' Eq. 30

Et le problme gnral instationnaire est pass trois problmes lmentaires stationnaires. Chaque problme lmentaire peut tre rsolut par la mthode des singularits.

La premire tape pour rsoudre les problmes est diviser la surface de la torpille en , facettes (maillage). Chaque facette reprsente une singularit source surfacique induisant un potentiel et une vitesse 1 (drivant du potentiel) en tout point de lespace. Lexpression du potentiel et de la vitesse induits en ' par les , facettes scrit pour [ 0, 1, : :

|=' ;=8AB ' Eq. 31

-z###!=' ;=1###!8AB ' Eq. 32

Donc, le problme revient dterminer = , et - pour chaque facette et pour les trois problmes lmentaires.

Dans la thorie, le potentiel induit au point ' par une surface porteuse e de densit scrit:

' 14 _'GeT|'|Tp L WH Eq. 33

Et la vitesse induite au point M par une surface scrit:

' e -#!' 14 _''######!GeT|'|Tp Eq. 34

9

' e -#!' '2 \#! lim 14 _ ''######!GeT|'|T Eq. 35 Soit la surface porteuse un triangle (surface e) avec une densit constante (Figure 5).

Donc, on a:

' 4 _ GeT|'|Tp L WH Eq. 36 ' 14;nn L d{n tan n L {n tann%

nAB Eq. 37

' e 1!' 14;1!nn L \#!YV\{n tan n L {n tann%

nAB Eq. 38

' e 1!' 12\#! Eq. 39 avec des variables indiques dans la Figure 5.

10

Figure 5: Facette triangulaire lmentaire de densit constante Avec ces relations, on peut crire |=' et -z###!=' pour chaque problme lmentaire.

En utilisant les conditions tablies de la condition de glissement, cest possible obtenir un systme dquations pour chaque problme lmentaire o les variables dterminer sont les densits de chaque facette du maillage.

Pour exemplifier, on considre le premier problme lmentaire |. Chaque facette j du maillage possde une intensit . Donc, lexpression du potentiel et de la vitesse induits en M par les , facettes scrit:

|' ;8AB ' -z###!' ;1###!

8AB '

La dtermination des , intensits sobtient en satisfaisant la condition aux limites au barycentre de chaque facette:

|\ -z###! \#! ;1###!8AB ' \#! \B Eq. 40

nj

jnnjnj

lPP

t 1+= MPr njnj = MPnh jjj .= jnnjnj PPl 1+=

( )MPnsigne jjj .sgn = njnjnj tra .= njjnnj trb .1+=22njjnj hd += ( ) njjnjnj rnt .= jnjnj ntv =

njjnj

njnjnj

rhda

+

=

jnjnj

njnjnj

rhdb

1++=

+

++=

+

+

njjnnj

njjnnjnj lrr

lrr

1

1ln

11

( )( )( )

( )

=+++

=+++

=+++

=+++

jjjjjj

jj

jj

jj

NNNuNNuNu

NuNuu

NuNuu

NuNuu

PnPnMvPnMvPnMv

PnPnMvPnMvPnMvPnPnMvPnMvPnMv

PnPnMvPnMvPnMv

1'2'21'1

313'32'231'1

212'22'221'1

111'12'211'1

)()(...)()()()(...

)()(...)()()()()()(...)()()()(

)()(...)()()()(

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

Eq. 41

Sous forme matricielle:

\B Eq. 42 La matrice dinfluence Akj est une matrice de dimension ,),. Ensuite, les densits de source sont dtermines par une mthode de Gauss. Par consquent, on calcule aussi le potentiel lmentaire global | et la vitesse lmentaire globale -z###!.

Suivant le mme principe, il reste rsoudre les deux autres systmes lmentaires.

\ Eq. 43 \ Eq. 44 Ainsi, on en dduit les trois potentiels et vitesses lmentaires. Et enfin le potentiel et la

vitesse globale par les quations Eq. 29 et Eq. 30.

5. Calcul des efforts hydrodynamiques

Pour calculer les efforts hydrodynamiques il faut dterminer la pression dynamique sur la torpille. Pour cela, on utilise lquation dEuler, qui est lquation de conservation de la quantit de mouvement dans le cas dun fluide parfait (sans viscosit). Comme on considre un coulement irrotationnel, lintgration de cette quation le long dune ligne de courant fournit lquation de Bernoulli instationnaire en fonction du potentiel | (Eq. 19):

` L cVd L H c /|H 4J L V:{G##########!|2 3 Eq. 45

C(t) est une constante des grandeurs despace. Elle ne contribue donc pas aux efforts.

ltape prcdente, on a calcul le potentiel | dans le repre RN. Donc, il faut crire lEq. 45 dans le repre RN.

On a unicit du potentiel de vitesses:

| , ", $4J |), *, +48 Eq. 46

12

Comme le repre RN est mobile par rapport RO, une particule fixe dans RN est en mouvement dans R0 et se dplace la vitesse -#! (-#!5 sur la torpille Eq. 23). Donc:

|H 48 |H 4J L -#!5 V:{G##########!| Eq. 47 Do:

` `a@b L cVd L c2 2|H 48 L 2-#!. L #! GM######!% V:{G##########!| V:{G##########!|

Eq. 48

Avec:

`R^n c2 2|H 48 L 2-#!. L #! GM######!% V:{G##########!| V:{G##########!| Eq. 49

Dans RN, on a:

-#!. L #! GM######! 0 :*5 *. 1 L :)5 ). 0 Eq. 50 |H 48 0O | L 1O | L :O | Eq. 51

V:{G##########!| |)|*|+

0 |) L 1 |) L : |)0 |* L 1 |* L : |*0 |+ L 1 |+ L : |+

0-? L 1-? L :-?0-^ L 1-^ L :-^0-y L 1-y L :-y Eq. 52

Si on remplace tous les termes et aprs on dveloppe et regroupe en fonction des termes cinmatiques, lEq. 63 devient:

`R^nc 2 20O | 21O | 2:O | L `0 L `1L `: L `01 L `0: L `1: Eq. 53 o les pressions `=, avec i,j = u, v, r, sont donnes:

` 2-? -? L -^ L -y Eq. 54 ` 2-^ -? L -^ L -y Eq. 55

13

` 2* *. -? L 2) ). -^ -? L -^ L -y Eq. 56

` 2-? L 2-^ 2-?-? L -^-^ L -y-y% Eq. 57

` 2-? 2* *. -? L 2) ). -^ 2-?-? L -^-^ L -y-y% Eq. 58

` 2-^ 2* *. -? L 2) ). -^ 2-?-? L -^-^ L -y-y% Eq. 59 Ainsi, quel que soit le mouvement de la torpille, la pression dynamique est connue en tout

point de la torpille, puisquon peut dterminer les vitesses et les potentiels avec la mthode montre prcdemment.

Comme le bilan des efforts est fait dans le repre RM (G,x,y,z),on a:

0 01 1: :

`R^nc 2 20O | L 21O| 2:O| L `0 L `1 L `:L `01 `0: `1: Eq. 60 tant la pression dynamique connue, on peut calculer les efforts hydrodynamiques z2 0O >z?P% L 0? Eq. 61 z2 1O>znP% :O>znP% L 01n 0:>zn% Eq. 62

'oy ce>z>z2 1O>zbP% :O>z bP% L 01b 0:>zb% Eq. 63

14

Les coefficients hydrodynamiques sont des formes quadratiques des paramtres cinmatiques du mouvement coefficients constants ne dpendant que de la gomtrie. Pour la torpille, ils sont donnent:

[ ]=Nfacette

xfacetteurefref

xup nSDSC

''21

( ) ( )( )[ ] =Nfacette

xGyGfacettevrefref

mvp nyynxxSDSC

'''2 ''''21

[ ]=Nfacette

xfacetteuuref

xuu nSpSC

'

1

( ) ( )( )[ ] =Nfacette

xGyGfacetterrefref

mrp nyynxxSDSC

'''3 ''''21

[ ]=Nfacette

yfacettevrefref

nvp nSDSC

''21

( ) ( )( )[ ] =Nfacette

xGyGfacetteuvrefref

muv nyynxxSpDSC

''''''

1

[ ]=Nfacette

yfacetterrefref

nrp nSDSC

''2 21

( ) ( )( )[ ] =Nfacette

xGyGfacetteurrefref

mur nyynxxSpDSC

''2 ''''1

[ ]=Nfacette

yfacetteuvref

nuv nSpSC

'

1

1W\#! 6\?\^\y 7 G{\Y(, ), *, + [ ]=Nfacette

yfacetteurrefref

nur nSpDSC

'

1

o e>z et >z sont, respectivement, la surface et le diamtre de base de la torpille. Chaque coefficient a un sens dans le problme. Par exemple, le coefficient n est un

terme de portance et le coefficient ? est un terme de trane de pression. Pour les autres coefficients, on a:

?P Coefficient de masse ajoute longitudinal nP Coefficient de masse ajoute transversal n Coefficient de couplage nP Coefficient damortissement b Coefficient moment de portance bP Coefficient dinertie ajoute b Coefficient de couplage bP Coefficient damortissement

15

6. Calcul de la trajectoire

En connaissant tous les efforts, maintenant on peut crire les quations du mouvement de la torpille comme ci-dessous:

N0O 1: c-Xf NVWXYZ ce2 ?0 L ?P0O % Eq. 64 N1O 0: c-Xf NVY[\Z ce2 n01 n0: L nP1O nP:O% Eq. 65

K:O cV-Xf)iY[\Z ce2 b01 b0: L bP1O bP:O% Eq. 66 Donc, on trouve:

0O ce?0 L 2N1: L 2WXYZcV-Xf 2WXYZNV2N L ce?P% Eq. 67

:O c4NV-Xf)iY[\Z 2Neb01 L 2Neb0: L cen01bPL2N0:ebP L 2Y[\ZcV-XfebP 2Y[\ZNVebPcen0:bP 2cenPV-Xf)iY[\Z cenPb01LcenPb0:

4NK+ 2NcebP L 2cenPK+ cenPbP L cenPbP%

Eq. 68

1O

cebPn01 L 2cebPN0: L 2cebPY[\ZV-Xf2cebPY[\ZNV cebPn0: 2K+cen01 4K+N0:4K+Y[\ZcV-Xf L 4K+Y[\ZNV L 2K+cen0: 2V-Xf)iY[\ZcenPeb01cnP L eb0:cnP

4NK+ 2NcebP L 2cenPK+ cenPbP L cenPbP% Eq. 69

On ajoute ce systme les quations de O , "O et ZO (lassiette de la torpille): O 0WXYZ 1Y[\Z Eq. 70 "O - 1WXYZ L 0Y[\Z Eq. 71 ZO : Eq. 72

o et - sont les vitesses mesures dans le repre fixe.

16

Figure 6: Relation entre les repres fixe et sur la torpille rotation dun angle Ainsi, on a un systme de 6 quations et il faut lintgrer pour trouver chaque instant la

position de la torpille, sa vitesse et assiette. Donc, en utilisant la mthode de Runge-Kutta dordre 4 pour lintgration du systme, on dtermine la trajectoire de la torpille

7. Droulement du BE

7.1. Maillage de la torpille

Le programme dvelopp calcule le maillage en utilisant la fonction maillage(r,l,n,nc,nl) donne, o:

r est le rayon de la torpille (0,25m); l est la longueur de la torpille, sans la coiffe (6m); nl est le nombre de divisions circulaire; n est le nombre de divisions de la coiffe dans le sens longitudinal; nc le nombre de divisions du corps dans le sens longitudinal.

Ici, il faut mentionner que la fonction maillage ajoute la torpille un prolongement, ou un corps fictif . Cest fait pour viter les effets de contournement des bords de fuite et respecter la condition de Kutta Joukovski (Figure 7Figure 2).

17

Figure 7: Corps fictif Condition de Kutta Joukovcski respecte

Le maillage sur le corps fictif est moins raffin, puisque les calculs dans cette rgion sont moins importants.

Une fois que le nombre de divisions du maillage est dfini, triangles sont crs partir des points fournis pour la fonction maillage . La numration des triangles est faite dans le sens hlicodal avec le dpart la coiffe. Suivante, ils se trouvent les images du maillage moins et plus affin, ainsi que de la numration utilise.

18

Figure 8: Maillages moins et plus affins, respectivement

19

Figure 9: Numration des points et triangles du maillage

7.2. Trois problmes lmentaires

Pour rsoudre les problmes lmentaires, il faut appliquer la condition de glissement pour chaque facette du maillage. Par consquent, il faut aussi dterminer les normales chaque facette (triangle). La Figure 10 montre les vecteurs normaux surface de la torpille.

Pour chaque problme lmentaire, la vitesse du fluide est calcule sur tous les points de contrle du maillage (barycentres des facettes triangulaires) en utilisant les sigmas rsultants du systme linaire (voir partie 4) et de la fonction VSL donne.

Les figures suivantes montrent les champs de vitesse autour de la torpille pour chaque problme lmentaire. Ces figures ont t valides laide dun fichier contenant les rsultats attendus.

20

Figure 10: Normales

Figure 11: Problme lmentaire: /

21


22


23

7.3. Champ de vitesse pour un mouvement quelconque

Les images suivantes montrent le champ de vitesse pour un exemple de mouvement de la torpille. Ce champ de vitesses est donn par la somme des trois problmes lmentaires.

Figure 14: Champ de vitesse pour un mouvement quelconque: /, /

24

7.4. Calcul des coefficients de pressions et Comme on a dit prcdemment, pour le calcul des efforts hydrodynamiques il faut

dterminer la pression dynamique sur la torpille. Par consquent, il faut aussi calculer chaque coefficient de pression. Dans cette partie, on montre les rsultats des calculs de dois coefficients de pression: ` et `. Il faut dire que ces coefficients sont calculs pour chaque facette du maillage. Tous les rsultats obtenus ont t valids aussi par comparaison avec un fichier contenant les rsultats attendus.

Le coefficient ` est li au mouvement longitudinal de la torpille. Pour un mouvement longitudinal sans incidence, le coefficient de pression ` reprsente donc le classique coefficient Cp dtermin en soufflerie en arodynamique. De la mme faon, on peut dire que le coefficient ` est li au mouvement latitudinal de la torpille.

Des figures suivantes, on peut noter que le coefficient ` varie de -0,78 1. Le coefficient est gal 1 dans le centre de la coiffe, o on a donc un point darrt (pour un mouvement longitudinal). Le fluide acclre sur la coiffe et le coefficient atteint une valeur minimal presque au fin de la mme. Aprs, le coefficient converge rapidement 0.

Le coefficient ` varie de -3 1. Dans un mouvement latitudinal, le fluide acclre et aprs dclre en contournant la torpille. Le coulement est symtrique par rapport au plan XY et la variation de ` sur une tranche du maillage peut tre approche par une fonction de priode gale .

Figure 15: Variation de sur une corde de la torpille

25

Figure 16: Coefficient

26

Figure 17: Variation de sur une tranche du maillage (au milieude la torpille); la courbe bleu rprsente la fonction

Figure 18: Coefficient

27

7.5. Calcul de la vitesse critique

Le coefficient le plus intressant est le coefficient ` qui, comme on a dit, est gal au coefficient de pression P pour un mouvement longitudinal sans incidence.

Sous leau, ce coefficient a une grande importance en ce qui concerne les performances de la torpille: il permet de dterminer la vitesse maximale atteignable en incidence nulle avant lapparition de la cavitation.

En effet, il y a vaporisation de leau lorsque la pression atteint localement la pression de vapeur saturante (de lordre de 2000 Pa) sous leffet de la vitesse davance de la torpille.

Cette pression est atteinte en un point de la surface de la torpille vrifiant:

2000 `a@b cVdc/2 0` Eq. 73 Par consquent une immersion donne, la cavitation apparat au point de Cp minimal (le

plus souvent situ sur la coiffe) pour une vitesse critique 0i=@ de: 0i=@ 2000 `a@b cVdPu c 2 Eq. 74

On a calcul le Cp minimal sur la torpille pour trois maillages diffrents et pour chaque Cp on a dtermin les vitesses critiques la surface (d 0).

Maillage 1 2 3

n 3 10 20

nc 9 20 40

nl 6 16 16 -0,788614 -0,759118 -0,779949 / 15,8713 16,1767 15,9592 Tableau 7.5.1 : Valeurs de Pb=n et 0i=@ pour diffrents maillages

7.6. Calcul des coefficients hydrodynamiques

Suivante, on montre les rsultats des calculs de dois des coefficients hydrodynamiques: n et ?.

28

Le coefficient n rpresente le coefficient de portance de la torpille. De la littrature, on sait que pour corps minces comme la torpille le coefficient de portance converges 2 (Ashley H., Landahl M., Aerodynamics of Wings and Bodies , 1965). Aprs le calcul du coefficient n pour diffrents maillages, on a vrifi cette information.

Figure 19: Rpartition du coefficient de portance sur la torpille maillage: n = 10, nc = 10, nl = 10

Figure 20: Rpartition du coefficient de portance sur la torpille maillage: n = 20, nc = 40, nl = 16

Le coefficient ? rpresente le coefficient de trane de pression de la torpille. Comme on peut voir dans la figure suivante, ce coefficient de trane est trs petit. Mais il faut noter

29

quon utilise une hypothse de fluide parfait, de faon que les effets visqueux ne sont pas considrs, ainsi que la trane de culot qui doit tre dtermine (empiriquement) et ajoute pour obtenir de meilleurs rsultats.

Figure 21: Rpartition du coefficient de trane de pression sur la torpille maillage: n = 20, nc = 40, nl = 16

En analysant les figures, on constate que les contributions les plus importantes de ces coefficients se trouvent dans la coiffe de la torpille. a montre que la position du centre hydrodynamique (arodynamique) de la torpille se trouve dans les proximits de la coiffe.

7.7. Dtermination de la trajectoire

Afin de valider la routine de calcul de la trajectoire, on calcule un cas test en utilisant les paramtres indiqus dans le tableau figurant lAnnexe 4. Pour ce cas, on considre une immersion de tir 20N, une vitesse d'jection de la torpille -> 15,7N/Y, une vitesse de route du sous-marin - 0,1N/Y et une assiette initiale Z 80.

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Figure 22: Cas test - Immersion de la torpille X(m) vs temps t(s)

Figure 23: Cas test Assiette Theta() vs temps t(s)

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Figure 24: Cas test Trajectoire du centre de gravit de la torpille

De la Figure 22, on constate que la vitesse verticale de la torpille pendant sa trajectoire sous leau est presque constante. Cependant, la Figure 23 montre que lassiette de la torpille varie beaucoup. a vrifie quil faut introduire un mcanisme de pilotage afin de matriser la variation da lassiette pendant le mouvement de la torpille.

Ici, il est intressant danalyser le processus physique qui agit sur la trajectoire de la torpille. Dans le dbut de la trajectoire, linertie de leau et les efforts hydrodynamiques et hydrostatiques font lassiette de la torpille diminuer. La torpille monte mais sa vitesse longitudinale commence diminuer (trane). Si on regarde la Figure 24, on constate une zone o la trajectoire est presque linaire. Le dbut de cette zone commence environ linstant lorsque lassiette de la torpille commence tre ngative, et donc leffort dArchimde agit dans le sens daccrotre lassiette de la torpille. Quelques instants aprs, la portance passe agir dans le mme sens. Ces efforts font lassiette commencer accrotre. Comme la vitesse verticale de la torpille ne varie pas beucoup, on peut dire que les efforts qui agissent dans ce sens sont en quilibre pendent presque toute la trajectoire. Donc, les variations de la vitesse longitudinale et de lassiette donnent essentiellement la fome de la trajectoire.

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7.8. Dtermination du domaine de fonctionnement

Dans ltude de la trajectoire de la torpille, il faut valuer quelles sont les conditions de tir qui permettent le succs de la mission. Ici, on value linfluence de trois paramtres sur la trajectoire de la torpille:

la vitesse de route du sous-marin; limmersion de tir; la vitesse initiale djection de la torpille. Pour faire cette analyse, on vrifie les conditions de sortie deau. On considre un succs

lorsqu la sortie deau on a:

le module de lassiette de la torpille infrieure 90;

la vitesse ascensionnelle de la torpille suprieure 5m/s.

Dans les figures suivantes, on fait une tude du domaine de tir. Pour chaque figure, on utilise une assiette initiale diffrente et on analyse linfluence de limmersion de la torpille et de la vitesse de route du sous-marin dans le succs de la mission. On utilise toujours une vitesse djection de la torpille de 15,7N/Y (suffisamment petite pour viter la cavitation). La couleur bleue reprsente les cas de succs et la couleur rouge les cas dchec; les autres couleurs nont pas de signification physique. Les calculs utilisent aussi les paramtres indiqus dans le tableau figurant lAnnexe 4.

Figure 25: Domaine de tir

33



34



35


Figure 31: Domaine de tir Des figures obtenues, on constate que pour les conditions initiales imposes on a chec

seulement lorsque lassiette de la torpille est positive. Dans ces cas, linertie de leau, les efforts hydrodynamiques et hydrostatiques travaillent ensemble dans le sens de rduire lassiette au dbut du mouvement de la torpille. Cet effet est plus important si la vitesse de route du sous-marin est plus grande et si lassiette initiale de la torpille est plus positive. a dtermine lchec. On doit galement mentionner quon considre une trane faible pour ces cas (? 0,2), que cest essentiel pour expliquer les cas de succs.

36

7.9. Dtermination de la trajectoire avec propulsion et pilotage

Afin damliorer la performance de la torpille et de matriser sa trajectoire, on ajoute la torpille un systme de propulsion et un systme de pilotage.

Les efforts de propulsion ajouts prsentent les caractristiques suivantes:

37

4. ? 1,2;-> 35N/Y; Z 90; - 0N/Y; 25N;

Figure 32: Cas 1 sans propulsion


38



39

Figure 36: Cas 1 avec propulsion et pilotage


40



Il est vident que les systmes de propulsion et de pilotage augmentent les chances de succs de la mission, ainsi qui amliorent le matrise de la trajectoire (contrle de lassiette

41

systme plus stable). lexclusion du troisime cas, la performance de la torpille avec les systmes de propulsion et de pilotage a t beaucoup meilleure que dans cas sans ces systmes. Dans le troisime cas, il y a des checs pour les deux configurations; lorsquil ny a pas des systmes de propulsion et de pilotage, le culot de la torpille sort de leau en premier; dans le cas avec propulsion, les vitesses leves de la torpille et la faible trane produisent une instabilit dans la trajectoire de la torpille.

En utilisant ces figures, il est possible aussi vrifier linfluence de la trane et de la vitesse djection sur la trajectoire de la torpille. Si on regarde la Figure 32 et la Figure 33, on constate la dpendance entre la trane et la trajectoire de la torpille, de faon que dans le cas 2 la torpille ne peut pas monter (grande trane). Si on regarde la Figure 32 et la Figure 34, cest possible constater que dans le cas 3 une plus grande vitesse djection permet lmergence de la torpille (mais les deux sont cas dchec).

8. Conclusions

Le travail ralis comprendre ltude Hydrodynamique et le calcul de la trajectoire dune torpille par la mthode des singularits. La langue de programmation utilise a t le Fortran. Le code cre a suivi tape par tape le processus de calcul : depuis la cration de la gomtrie jusqu la visualisation de diffrentes trajectoires dune torpille.

La mthodologie du travail est proche de celle utilis par un ingnieur dans une entreprise comme ASTRIUM. L'ingnieur doit comprendre la thorie et bien employer les ressources informatiques disponibles. De plus, il doit enregistrer son travail sous la forme de rapport, dont dautres personnes peuvent utiliser dans le futur.

En ce qui concerne ltude de la trajectoire de la torpille, dans ce bureau dtudes il a t possible danalyser les diffrents paramtres qui influent sur la performance de la torpille, ainsi que en ce qui concerne le succs ou lchec de la mission. Il a t galement montr limportance des systmes de propulsion et de pilotage afin daccrotre les possibilits du domaine de tir et damliorer la stabilit de la torpille durant sa trajectoire.

Il y a des possibilits de continuer le travail. Par exemple: utiliser le code pour tester diffrentes gomtries (coiffe, corps de la torpille) et identifier entre elles qui sont les plus adaptes pour une trajectoire souhaite, en respectant les conditions d'mergence de l'eau.

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Annexe 1: Prsentation du site Astrium Space Transportation Les

Mureaux

Situ 40 km louest de Paris, au cur de ples de comptitivit (Astech et Systm@tic), ce site hberge la plupart des services centraux de lactivit Space Transportation dAstrium. La vue arienne est montre dans la Figure 40.

Figure 40: Vue arienne du site Astrium Space Transportation Les Mureaux

Il est spcialis dans la matrise duvre de grands programmes spatiaux et stratgiques (ex. Ariane, M51). Les principales activits sur le site des Mureaux sont :

Ariane

Direction du programme Intgration de lEtage principal cryognique (EPC) dAriane 5 Support aux campagnes dintgration lanceur Kourou Etude et dveloppement des volutions Ariane 5 (ex. Ariane 5 ME) Plate-forme de simulation et de validation

Dfense

Direction et matrise duvre des programmes Plates-formes de simulation et de validation

ATV (Automated Transfer Vehicle)

Contribution la direction et matrise duvre du programme situe Brme

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Contribution lingnierie systme et au support aux vols (quipe intgre entre Brme et les Mureaux)

Production et maintenance du logiciel de vol, des procdures de vol, et des bases de donnes associes

Plates-formes de simulation et de validation

Production dquipements et de systmes

Systmes pyrotechniques et fluidiques Usinage grandes dimensions Coiffes missiles SYLDA (Systme de Lancement Double Ariane) pour lemport dun deuxime satellite

lintrieur de la coiffe Tube central de satellites Rflecteurs satellites

Plates-formes de simulation et de validation

Les plates-formes des Mureaux, proches des bureaux dtudes sont une tape indispensable avant lintgration finale pour la validation des quipements, des systmes lectriques et des actionneurs, des programmes de vol ou la mise au point des moyens sols. Elles sont utilises pendant tout le cycle de vie des produits pour la validation des volutions ou lanalyse et expertise des vols.

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Annexe 2: Fortran

program tt

!******************************************************************** !* * !* Commentaires: * !* Ce programme calcule: * !* -le maillage, * !* -la vitesse du fluide autour de la torpille, * !* -les coefficients de pression, * !* -cavitation, * !* -coefficients hydrodynamiques, * !* -la trajectoire, * !* -domaine de tir, * !* -la trajectoire avec pilotage par propulsion * !* * !********************************************************************

implicit none

!dimension tableaux !------------------ integer*4, parameter::ndo=3000 !nombre maxi de donnes

!----------------------------------notations--------------------------------- !p: point !p1: autre point !aux: vecteur auxiliaire !triangle: liste de triangles. Chaque triangle est compos de trois points !(X1,Y1,Z1),(X2,Y2,Z2),(X3,Y3,Z3) !centre: liste des centres des triangles !norm: liste des vecteurs normaux chaque triangle !ma,mb,matab: matrice A, B et la matrice A sous formes de table (colonne) !ncas: numro de cas tudi !G: centre de gravite !sigma: list de sigmas solutions pour les 3 problmes fondamentales !vf: vitesse du fluide !vfcas: vitesse du fluide pour le cas=1,2,3 (problmes fondamentales u', v' et r') !sigmamoy: combinaison linaire des sigmas solutions pour un problme gnral !n: nombre de divisions longitudinales de la maillage la coiffe !nc: nombre de divisions longitudinales en corps !nl: nombre de divisions circulaires de la torpille !nca: nombre de divisions longitudinales du corps plus l'ajout !nlignes: nombre de lignes !nacces: numro tre accd !ncontr: nombre de contrle !jrep: j de replace !rayontorp: rayon de la torpille !l: longueur de la torpille !rayon: distance entre le point considr et l'axe de symtrie !theta: angle de rotation autour l'axe x !typemaillage: type de maillage (1,2,3) est vite, intermdiaire, lourde. !cnuvtriangle: cnuv calcule pour un triangle !dcnuv: cnuv calcule pour une tranche longitudinale !y: (u,v,r,x,y,theta) o !u,v,r: sont vitesses suivant le rapport mobile !x,y,theta: sont paramtres de position et d'angle suivant le rapport fix !dydt: (dudt,dvdt,drdt,dxdt,dydt,dthetadt) !ugrand et vgrand: sont vitesses suivant le rapport fix !xx,yy: position suivant les axes x et y !xg,yg: position du centre de gravit suivant les axes x et y !rho: masse volumique !masse: masse du missile ou torpille !vol: volume !iz: inetie suivant l'axe z !vej: vitesse d'jection !vr: vitesse de route, cest--dire, vitesse horizontal du sous-marin !y0,yin,yout,dt: paramtres de la subroutine rk4 !xc: centre de carne !tabley: table des valeurs de y(6)=(u,v,r,x,y,theta)

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!imax: numro ditration maximale de i !jmax: numro ditration maximale de j !isortieeau: numro ditration jusqu'au le missile ou la torpille sorte de l'eau !castest: cas de teste missile ou torpille !reponse: rponse d'utilisateur !immersiondetir: immersion de tir H !theta0: angle de rotation autour l'axe x initial !table_vr_h: table des valeurs (vr,h) vitesse de route et immersion de tir !tablecritere: table avec les critres dmergence. Il est conforme ou non !allumage: 0 est sans l'allumage de la propulsion et 1 est avec l'allumage !fpropu: force de la propulsion, c'est--dire, pousse !xyallumage: position (vr,h) de la torpille o il y a l'allumage !caspropulsion: 0 est sans propulsion et 1 est avec propulsion !animation: 0 est sans animation pour tecplot et 1 est avec animation !nzone: numro de zones pour tecplot !nzonemax: numro de la zone maximale pour tecplot

!--------------------------------dclarations-------------------------------- real::p(ndo,3),aux(4),p1(ndo,3),triangle(ndo,9),centre(ndo,3),norm(ndo,3),a(3),b(3),c(3) real::ma(ndo,ndo),mb(ndo),matab(ndo*ndo),vitesse(3),normale(3) integer::ncas real::M1(3),M2(3),M3(3),M(3),VST,G(3)=(/4.,0.,0./),sigma(ndo,3),vf(ndo,3),vfcas(ndo,3,3),sigmamoy integer:: n,nc,nl,nca,nlignes,i,j,nacces,ncontr,k,jrep real::rayontorp,l,puu(ndo),pvv(ndo),puv(ndo),pur(ndo),rayon,theta,pi=3.14159 integer::typemaillage real::cpmin,pa=101325,grav=9.8,h=0,rhoeau=1000,ucrit,sfacette,nxligne,nyligne real::deltax real::sref,dref,cxup,cxuu,cnvp,cnrp,cnuv,cnur,cmvp,cmrp,cmuv,cmur real::dcxup(ndo),dcxuu(ndo),dcnvp(ndo),dcrp(ndo),dcnuv(ndo),dcnur(ndo),dcmvp(ndo),dcmrp(ndo),& &dcmuv(ndo),dcmur(ndo),centretranche(ndo) real::cxuptriangle(ndo),cxuutriangle(ndo),cnvptriangle(ndo),crptriangle(ndo),& &cnuvtriangle(ndo),cnurtriangle(ndo) real::cmvptriangle(ndo),cmrptriangle(ndo),cmuvtriangle(ndo),cmurtriangle(ndo) real::xx,yy,xg,yg real::rho,masse,vol,iz real::vej,vr,y0(6),yin(6),yout(6),dt,xc real ::tabley(100000,6) integer::imax=0,isortieeau=0 character casteste*10, reponse*10 real::immersiondetir,theta0 real::table_vr_h(100,100,2),tablecritere(100,100) integer::jmax=0 real::allumage=0,h0,fpropu=0.0,xyallumage(2) integer::caspropulsion=0,animation=0,nzone,nzonemax

common/geom_constantes/rho,sref,masse,grav,vol,iz,rayontorp,xc common/coef_hydro/cxup,cxuu,cnvp,cnrp,cnuv,cnur,cmvp,cmrp,cmuv,cmur common/pilotage/allumage,h0,fpropu,xyallumage,caspropulsion

casteste='torpille' print*,casteste

!dimensions de la torpille et du maillage !------------------------------------------ typemaillage=2 rayontorp=0.25 l=6

if (typemaillage==1) then n=3 nc=9 nl=6 elseif (typemaillage==2) then n=10 nc=20 nl=16 elseif (typemaillage==3) then n=20 nc=40 nl=16 elseif (typemaillage==4) then rayontorp=0.15 l=1.6 n=20 nc=20

46

nl=16 elseif (typemaillage==5) then n=10 nc=10 nl=10 end if

!cas teste: torpille !------------------- if (casteste=='torpille') then rayontorp=0.25 masse=1500 vol=1.211 iz=4900 xc=0.750 cxuu=1.2!il peut tre chang pour faire une analyse cxup=0.448 cnuv=1.958 cnvp=23.96 cnur=7.82 cnrp=-35.91 cmuv=14.47 cmrp=-341.96 cmur=-75.43 cmvp=36.83 rho=1026 grav=9.81 end if

!calcul des paramtres gomtriques, physiques !-------------------------------------------- sref=pi*rayontorp**2 dref=2*rayontorp

print*,'Voulez-vous calculer tous les suivants? (y/n):' print*,'-la maillage,' print*,'-la vitesse du fluide autour de la torpille,' print*,'-les coefficients de pression,' print*,'-cavitation,' print*,'-coefficients hydrodynamiques' read*,reponse

if (reponse=='y') then

!************************************* !* * !* maillage de la torpille * !* * !*************************************

print*,'calcul: maillage de la torpille'

call maillage(rayontorp,l,n,nc,nl) open(1,file='maillage.d',status='old')

!lire les points du maillage.d !----------------------------- read(1,*) (aux(i), i=1,4) n=aux(2) nca=aux(3) nc=aux(4) nl=aux(1)-1 nlignes=1+(nl+1)*(n+nca) do j=1,nlignes-1 read(1,*) (aux(i), i=1,3) p(j,:)=aux(1:3) end do close(1)

!mettre les points en ordre circulaire avec rptition !----------------------------------------------------- do j=1,nl+1 do i=1,n+nca nacces=(n+nca)*(j-1)+i

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p1(j+(i-1)*(nl+1),:)=p(nacces,:) end do end do

!crer les triangles de la maillage !---------------------------------- ncontr=1

!premier partie: triangles de la coiffe !-------------------------------------- do i=1,nl triangle(ncontr,1:3)=p1(ncontr,:) triangle(ncontr,4:6)=p1(ncontr+nl+1,:) triangle(ncontr,7:9)=p1(ncontr+nl+2,:) ncontr=ncontr+1 end do

!deuxime partie: diviser les quadrilatres de la coiffe et du cylindre !en deux triangles pour chacun !------------------------------------------------------------------------ do j=2,n+nca-1 do i=1,nl triangle(ncontr,1:3)=p1(i+(j-1)*(nl+1),:) triangle(ncontr,4:6)=p1(i+(j-1+1)*(nl+1),:) triangle(ncontr,7:9)=p1(i+1+(j-1+1)*(nl+1),:) ncontr=ncontr+1

triangle(ncontr,1:3)=p1(i+(j-1)*(nl+1),:) triangle(ncontr,4:6)=p1(i+1+(j-1+1)*(nl+1),:) triangle(ncontr,7:9)=p1(i+1+(j-1)*(nl+1),:) ncontr=ncontr+1 end do end do ncontr=ncontr-1

!calculer les centres et les normales de chaque triangle !------------------------------------------------------- do j=1,ncontr centre(j,:)=(triangle(j,1:3)+triangle(j,4:6)+triangle(j,7:9))/3 a=-triangle(j,1:3)+triangle(j,4:6) b=-triangle(j,1:3)+triangle(j,7:9) c=cross(a,b) norm(j,:)=-c/norm2(c) end do

!exporter les centres et normales en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------------- open(1,file='torpille_centres_et_normales.dat',status='unknown') write(1,*)'title="torpille centres et normales"' write(1,*)'variables="Xc","Yc","Zc","nXc","nYc","nZc"' do j=1,ncontr write(1,*) centre(j,:),norm(j,:) end do close(1)

!exporter les triangles de la maillage en format lisible par tecplot !------------------------------------------------------------------- open(1,file='torpille_triangles.dat',status='unknown') write(1,*)'title="torpille triangles"' write(1,*)'variables="X1","Y1","Z1"' write(1,*)'ZONE T="Zone Missile", I=3 , J=',ncontr, ' F=POINT' do j=1,ncontr write(1,*) triangle(j,1:3) write(1,*) triangle(j,4:6) write(1,*) triangle(j,7:9) end do close(1)

!************************************* !* * !* vitesse du fluide * !* * !*************************************

print*,'calcul: vitesse du fluide'

48

!application de la condition de glissement !----------------------------------------- do ncas=1,3 do j=1,ncontr normale=norm(j,:) M=centre(j,:) do i=1,ncontr M1=triangle(i,1:3) M2=triangle(i,4:6) M3=triangle(i,7:9) do k=1,3 vitesse(k)=VST(M1,M3,M2,M,k) end do ma(j,i)=dot_product(vitesse,normale) end do if (ncas==1) then vitesse=(/1.,0.,0./) else if (ncas==2) then vitesse=(/0.,1.,0./) else if (ncas==3) then vitesse=cross((/0.,0.,1./),M-G) !V=omega^GM end if mb(j)=dot_product(vitesse,normale) end do

do j=1,ncontr do i=1,ncontr matab(i+ncontr*(j-1))=ma(i,j) end do end do

!resolution du systeme call ressys(matab,mb,ncontr) sigma(:,ncas)=mb end do

ncas=4

!calcul de la vitesse du fluide vf sur une maillage triangulaire en tour de la torpille !-------------------------------------------------------------------------- do ncas=1,3 do j=1,ncontr M=centre(j,:) vitesse=(/0.,0.,0./) do i=1,ncontr M1=triangle(i,1:3) M2=triangle(i,4:6) M3=triangle(i,7:9) do k=1,3 sigmamoy=1*sigma(i,1)+1*sigma(i,2)+1*sigma(i,3) !pondration ex: !1*sigma(i,1)+1*sigma(i,2)+1*sigma(i,3) vitesse(k)=vitesse(k)+sigmamoy*VST(M1,M3,M2,M,k) end do end do vf(j,:)=vitesse end do vfcas(:,:,ncas)=vf end do

!exporter la vitesse du fluide en format lisible par tecplot !----------------------------------------------------------- open(1,file='vitesse_du_fluide.dat',status='unknown') write(1,*)'title="vitesse du fluide sur le centres des triangles du torpille"' write(1,*)'variables="Xf","Yf","Zf","nXf","nYf","nZf"' do j=1,ncontr write(1,*) centre(j,:),vf(j,:) end do close(1)

!************************************* !* * !* coefficients de pression * !* * !*************************************

49

print*,'calcul: coefficients de pression'

!calcul de puu,pvv,puv,pur !------------------------- do j=1,ncontr puu(j)=2*vfcas(j,1,1)-(vfcas(j,1,1)**2+vfcas(j,2,1)**2+vfcas(j,3,1)**2) pvv(j)=2*vfcas(j,2,2)-(vfcas(j,1,2)**2+vfcas(j,2,2)**2+vfcas(j,3,2)**2) puv(j)=2*vfcas(j,1,2)+2*vfcas(j,2,1) puv(j)=puv(j)-2*(vfcas(j,1,1)*vfcas(j,1,2)+vfcas(j,2,1)*vfcas(j,2,2)+vfcas(j,3,1)*vfcas(j,3,2)) xx=centre(j,1) yy=centre(j,2) xg=G(1) yg=G(2) pur(j)=2*(vfcas(j,1,3)-(yy-yg)*vfcas(j,1,1)+(xx-xg)*vfcas(j,2,1))& & -2*(vfcas(j,1,1)*vfcas(j,1,3)+vfcas(j,2,1)*vfcas(j,2,3)+vfcas(j,3,1)*vfcas(j,3,3)) end do

!exporter le puu versus x en format lisible par tecplot !------------------------------------------------------ open(1,file='puu_versus_x.dat',status='unknown') write(1,*)'title="puu versus x"' write(1,*)'variables="X","puu"' do j=1,ncontr if (j==1 .or. (centre(j,1)>centre(j-1,1) .and. j>jrep+1)) then jrep=j write(1,*) centre(j,1),puu(j) end if end do close(1)

!exporter le puu pour chaque triangle de la surface en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------------------------- open(1,file='puu_surface.dat',status='unknown') write(1,*)'title="puu pour chaque triangle de la surface"' write(1,*)'variables="X1","Y1","Z1","puu"' write(1,*)'ZONE T="Zone Missile", I=3 , J=',ncontr, ' F=POINT' do j=1,ncontr write(1,*) triangle(j,1:3),puu(j) write(1,*) triangle(j,7:9),puu(j) write(1,*) triangle(j,4:6),puu(j) end do close(1)

!exporter le pvv versus theta milleu de la torpille en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------------------------- open(1,file='pvv_versus_theta.dat',status='unknown') write(1,*)'title="pvv versus theta"' write(1,*)'variables="theta","pvv"' do j=nl+1+2*nl*floor(nc/1.5),nl+1+2*nl*floor(nc/1.5)+2*nl-1 !1,ncontr! rayon=norm2((/centre(j,2),centre(j,3),0./)) theta=acos(centre(j,2)/rayon) if (asin(centre(j,3)/rayon)

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open(1,file='pvv_surface.dat',status='unknown') write(1,*)'title="pvv pour chaque triangle de la surface"' !write(1,*)'variables="X1","Y1","Z1","X2","Y2","Z2","X3","Y3","Z3"' write(1,*)'variables="X1","Y1","Z1","pvv"' write(1,*)'ZONE T="Zone Missile", I=3 , J=',ncontr, ' F=POINT' do j=1,ncontr write(1,*) triangle(j,1:3),pvv(j) write(1,*) triangle(j,7:9),pvv(j) write(1,*) triangle(j,4:6),pvv(j) end do close(1)

!************************************* !* * !* cavitation * !* * !*************************************

print*,'calcul: cavitation'

!calcul de puu minimale: cpmin !----------------------------- cpmin=puu(1) do i=1,ncontr cpmin=min(puu(i),cpmin) end do print*, 'cpmin=',cpmin

!calcul de la vitesse de cavitation ucrit !--------------------------------------- ucrit=((2000-pa-rhoeau*grav*h)/(cpmin*rhoeau/2))**0.5! print*, 'ucrit=',ucrit

!************************************* !* * !* coefficients hydrodynamiques * !* * !*************************************

print*,'calcul: coefficients hydrodynamiques'

!calcul de cxuu, cnuv, cnur de la torpille !---------------------------------------- do i=1,ncontr a=-triangle(i,1:3)+triangle(i,4:6) b=-triangle(i,1:3)+triangle(i,7:9) c=cross(a,b) sfacette=norm2(c)/2 nxligne=norm(i,1) nyligne=norm(i,2) cxuutriangle(i)=-1.0/sref*puu(i)*sfacette*nxligne cnuvtriangle(i)=-1.0/sref*puv(i)*sfacette*nyligne cnurtriangle(i)=-1.0/sref/dref*pur(i)*sfacette*nyligne end do

!calcul de dcnuv de la torpille: c'est calcul jusqu' la partie finale !du corps rel de la torpille !-------------------------------------------------------------------------- deltax=p(2,1)-p(1,1) dcnuv(1)=sum(cnuvtriangle(1:nl))/deltax dcxuu(1)=sum(cxuutriangle(1:nl))/deltax centretranche(1)=centre(1,1) do j=2,n+nc-1 deltax=p(j+1,1)-p(j,1) dcxuu(j)=sum(cxuutriangle(nl+1+(j-2)*2*nl:3*nl+(j-2)*2*nl))/deltax dcnuv(j)=sum(cnuvtriangle(nl+1+(j-2)*2*nl:3*nl+(j-2)*2*nl))/deltax dcnur(j)=sum(cnurtriangle(nl+1+(j-2)*2*nl:3*nl+(j-2)*2*nl))/deltax centretranche(j)=sum(centre(nl+1+(j-2)*2*nl:nl+2+(j-2)*2*nl,1))/2 end do cnuv=sum(cnuvtriangle(1:nl+2*nl*(n+nc-1))) cxuu=sum(cxuutriangle(1:nl+2*nl*(n+nc-1))) cnur=sum(cnurtriangle(1:nl+2*nl*(n+nc-1)))

print*, 'cnuv=',cnuv,' cxuu=',cxuu, 'cnur=',cnur

51

!exporter le dcxuu versus x en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------- open(1,file='dcxuu_versus_x.dat',status='unknown') write(1,*)'title="dcxuu versus x"' write(1,*)'variables="X","dCxuu"' do j=1,n+nc-1 write(1,*) centretranche(j),dcxuu(j) end do close(1)

!exporter le dcnuv versus x en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------- open(1,file='dcnuv_versus_x.dat',status='unknown') write(1,*)'title="dcnuv versus x"' write(1,*)'variables="X","dCnuv"' do j=1,n+nc-1 write(1,*) centretranche(j),dcnuv(j) end do close(1)

!exporter le dcnur versus x en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------- open(1,file='dcnur_versus_x.dat',status='unknown') write(1,*)'title="dcnur versus x"' write(1,*)'variables="X","dCnur"' do j=1,n+nc-1 write(1,*) centretranche(j),dcnur(j) end do close(1)

!exporter le r versus x en format lisible par tecplot !---------------------------------------------------- open(1,file='r_versus_x.dat',status='unknown') write(1,*)'title="r versus x"' write(1,*)'variables="x","r"' do j=1,n+nc-1 write(1,*) p(j,1),p(j,2) end do close(1)

end if

print*,'Voulez-vous calculer le suivant? (y/n):' print*,'-trajectoire' read*,reponse

if(reponse=='y') then

!************************************* !* * !* calcul de la trajectoire * !* * !*************************************

print*,'calcul: la trajectoire'

!mthode de Runge-Kutta ordre 4: RK4 !y: (u,v,r,xgrand,ygrand,theta) o !u,v,r: sont vitesses suivant le rapport mobile !xgrand,ygrand,theta: sont paramtres de position et d'angle suivant le rapport fix

!cas torpille !------------ if (casteste=='torpille') then caspropulsion=1 cxuu=0.2;vej=16.;theta0=90.0/180.0*pi;vr=0.;immersiondetir=-25.0; !cxuu=1.2;vej=16.;theta0=90.0/180.0*pi;vr=0.;immersiondetir=-25.0; !cxuu=0.2;vej=35.;theta0=90.0/180.0*pi;vr=0.;immersiondetir=-25.0; !cxuu=1.2;vej=35.;theta0=90.0/180.0*pi;vr=0.;immersiondetir=-25.0;

h0=immersiondetir y0=(/vej,vr,0.,immersiondetir,0.,theta0/) dt=0.0003 !attention 3*10**(-4) ne marche pas !ici xc=0.75 end if

52

tabley(1,:)=y0 do i=1,26001 yin=tabley(i,:) call rk4(yin,dt,yout) tabley(i+1,:)=yout if (yout(4)>0 .and. isortieeau==0) then isortieeau=i+1 exit end if imax=i end do

print*,'dt=',dt

!do i=1,imax,1000 ! print*, 'tabley(',i,',6)=',tabley(i,1:6),'T=',dt*(i-1),'theta()=',tabley(i,6)/pi*180 !end do i=isortieeau print*,'sortie de l''eau ','tabley(',i,',6)=',tabley(i,1:6),'T=',dt*(i-1),'theta()=',tabley(i,6)/pi*180.0

!exporter la trajectoire X versus Y en format lisible par tecplot !---------------------------------------------------------------- open(1,file='trajectoireX_versus_Y.dat',status='unknown') write(1,*)'title="trajectoire:X_versus_Y"' write(1,*)'variables="Y","X"' do i=1,imax write(1,*) tabley(i,5),tabley(i,4) end do close(1)

!exporter la trajectoire X versus t en format lisible par tecplot !---------------------------------------------------------------- open(1,file='trajectoireX_versus_t.dat',status='unknown') write(1,*)'title="trajectoire:X_versus_t"' write(1,*)'variables="t","X"' do i=1,imax write(1,*) dt*(i-1),tabley(i,4) end do close(1)

!exporter la trajectoire Theta versus t en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------------------- open(1,file='trajectoireTheta_versus_t.dat',status='unknown') write(1,*)'title="trajectoire:Theta()_versus_t"' write(1,*)'variables="t","Theta"' do i=1,imax write(1,*) dt*(i-1),tabley(i,6)/pi*180.0 end do close(1)

animation=0 nzonemax=10 !exporter la trajectoire X versus Y avec dessin de la torpille en format lisible par tecplot !------------------------------------------------------------------------ if (animation==1) then open(1,file='animationX_versus_Y.dat',status='unknown') write(1,*)'variables="Y","X"' do nzone=1,nzonemax !write(1,*)'title="animation:X_versus_Y"' write(1,*) 'ZONE T="',nzone,'",I=',imax*nzone/nzonemax+5,'J=1 F=POINT' do i=1,imax*nzone/nzonemax write(1,*) tabley(i,5),tabley(i,4) end do i=imax*nzone/nzonemax i=desstorp((/tabley(i,5),tabley(i,4)/),tabley(i,6)) end do close(1) end if

nzonemax=5 !exporter la trajectoire X versus Y avec dessins superposs de la torpille en format lisible !par tecplot !-------------------------------------------------------------------------

53

if (animation==0) then open(1,file='animationX_versus_Y.dat',status='unknown') write(1,*)'variables="Y","X"' do nzone=1,nzonemax do i=imax*(nzone-1)/nzonemax,imax*nzone/nzonemax write(1,*) tabley(i,5),tabley(i,4) end do i=imax*nzone/nzonemax i=desstorp((/tabley(i,5),tabley(i,4)/),tabley(i,6)) end do close(1) end if

end if

print*,'Voulez-vous calculer le suivant? (y/n):' print*,'-domaine de tir' read*,reponse

if (reponse=='y') then

!************************************ !* * !* calcul du domaine de tir * !* * !************************************

print*,'calcul: domaine de tir'

!calcul pour chaque point (vr,H) si les conditions sont respectes ou non

!cas torpille !------------ vej=15.7 theta0=-10.0/180.0*pi dt=0.0003 !attention 3*10**(-4) ne marche pas !j'ai fait ici xc=0.75

imax=11 jmax=11 do i=1,imax vr=1.0*(i-1)/(imax-1) do j=1,jmax immersiondetir=10.0*(j-1)/(jmax-1)-30.0

y0=(/vej,vr,0.,immersiondetir,0.,theta0/) tabley(1,:)=y0 isortieeau=0

do k=1,60001 yin=tabley(k,:) call rk4(yin,dt,yout) tabley(k+1,:)=yout if (yout(4)>0 .and. isortieeau==0) then isortieeau=k+1 exit end if end do

table_vr_h(i,j,:)=(/vr,immersiondetir/)

!savoir si les conditions de sortie sont respectes ou non if (isortieeau>0) then if (abs(tabley(isortieeau,6))>pi/2 .or. norm2(tabley(isortieeau,1:2))

54

end if

print*, 'isortieeau,abstheta(),U',isortieeau,& &tabley(isortieeau,6)/pi*180.,norm2(tabley(isortieeau,1:2)) print*, 'i,j,vr,H=,crit=',i,j,table_vr_h(i,j,:),tablecritere(i,j) end do end do

!exporter le domaine de tir H versus vr en format lisible par tecplot !-------------------------------------------------------------------- open(1,file='domaine de tir H_versus_vr.dat',status='unknown') write(1,*)'title="domaine de tir H_versus_vr"' write(1,*)'variables="vr","H","critere"' write(1,*)'ZONE T="Zone Missile", I=',imax,'J=',jmax,'F=POINT' do i=1,imax do j=1,jmax write(1,*) table_vr_h(i,j,1),table_vr_h(i,j,2),tablecritere(i,j) end do end do close(1)

end if

stop contains

!**************************************************** !* * !* fonctions et sous-routines auxiliaires * !* * !****************************************************

!fonction produit vectorielle: cross !---------------------------------- function cross(a,b) result(d) implicit none real, intent(in)::a(3),b(3) real:: c(3),d(3) c(1)=a(2)*b(3)-a(3)*b(2) c(2)=a(3)*b(1)-a(1)*b(3) c(3)=a(1)*b(2)-a(2)*b(1) d=c return end function cross

!fonction norme d'un vecteur: norm2 !---------------------------------- function norm2(a) result(r) implicit none real, intent(in)::a(3) real:: s,r integer::i s=0 do i=1,3 s=s+a(i)**2 end do r=s**0.5 return end function norm2

!fonction dessiner la torpille: desstorp !--------------------------------------- function desstorp(G,theta) result(res) implicit none real, intent(in)::G(2),theta real:: r(3,100),rr(3,100),rho,sref,masse,grav,vol,iz,rayontorp,xc integer::i,imax=1,res real::d,d1,d2,e1(3),e2(3)

common/geom_constantes/rho,sref,masse,grav,vol,iz,rayontorp,xc

!rectangle avec son origine au centre de gravit donn r(:,1)=(/-rayontorp,-2.,0./) r(:,2)=(/rayontorp,-2.,0./) r(:,3)=(/rayontorp,4.,0./)

55

r(:,4)=(/-rayontorp,4.,0./) r(:,5)=(/-rayontorp,-2.,0./) imax=5

!rotation autour du centre de gravit avec un angle theta do i=1,imax if (norm2(r(:,i))>0.) then d=2*norm2(r(:,i))*sin(theta/2) d2=d*sin(theta/2) d1=d*cos(theta/2) e2=cross(r(:,i),(/0.,0.,1./))/norm2(cross(r(:,i),(/0.,0.,1./))) e1=r(:,i)/norm2(r(:,i)) rr(:,i)=r(:,i)-d2*e1+d1*e2 else rr(:,i)=r(:,i) end if end do

!points du dessin do i=1,imax write(1,*) rr(1,i)+G(1),rr(2,i)+G(2) end do res=imax return end function desstorp

!subroutine Runge-Kutta RK4: rk4 !------------------------------- subroutine rk4(yin,dt,yout) real:: yin(6),dt,yout(6) real:: ya(6),yb(6),yc(6),dydta(6),dydtb(6),dydtc(6),dydt(6) call derivs(yin,dydt) ya=yin+dydt*dt/2. call derivs(ya,dydta) yb=yin+dydta*dt/2. call derivs(yb,dydtb) yc=yin+dydtb*dt call derivs(yc,dydtc) yout=yin+(dydt+dydta*2.+dydtb*2.+dydtc)*dt/6. return end subroutine rk4

!subroutine derivative dydt en fonction de y dydt=f(y): derivs !avec pilotage !------------------------------------------------------------- subroutine derivs(y,dydt) implicit none real:: y(6),dydt(6),u,v,r,theta,xgrand,ygrand,dudt,dvdt,drdt,ugrand,vgrand,den,num1,num2 real:: rho,s,m,grav,vol,iz,sref,masse,d,xc,rayontorp real:: cxup,cxuu,cnvp,cnrp,cnuv,cnur,cmvp,cmrp,cmuv,cmur real:: a5,b5,c5,a4,b4,c4,fpropu,beta,btheta,deltatheta,br,xl real:: allumage,h0,xyallumage(2) integer:: caspropulsion common/geom_constantes/rho,sref,masse,grav,vol,iz,rayontorp,xc common/coef_hydro/cxup,cxuu,cnvp,cnrp,cnuv,cnur,cmvp,cmrp,cmuv,cmur common/pilotage/allumage,h0,fpropu,xyallumage,caspropulsion m=masse s=sref d=2*rayontorp

!y: (u,v,r,xgrand,ygrend,theta) o !u,v,r: sont vitesses suivant le rapport mobile !xgrand,ygrand,theta: sont paramtres de position et d'angle suivant le rapport fix !dydt: (dudt,dvdt,drdt,dxdt,dydt,dthetadt) !ugrand et vgrand: sont vitesses suivant le rapport fix !NB: rgrande=r

u=y(1) v=y(2) r=y(3) xgrand=y(4) ygrand=y(5) theta=y(6) if (xgrand>0) then rho=1.2

56

else rho=1026 end if

xl=2.0 a5=(2*m+rho*s*d*cxup) c5=4*m*iz-2*m*rho*s*d**3*cmrp+2*rho*s*cnvp*d*iz-rho**2*s**2*cnvp*d**4*cmrp+rho**2*s**2*cnrp& &*d**4*cmvp b5=c5/rho a4=2.0 b4=-2*s*cnvp*d*xl-2*s*d**2*cmvp-4*m*xl/rho c4=-2*rho*s*d**3*cmrp+4*iz-2*rho*s*d**2*xl*cnrp

!critre de l'allumage if (allumage==0 .and. caspropulsion==1) then if (xgrand>=h0+5.0 .or. abs(theta)

57

Annexe 3: Organigrammes (mthode, fortran)

Mthode de calcul gnrale

Maillage: gomtrie, numro de divisions

Vitesse du fluide

Coefficients de pression

Cavitation

Coefficients hydrodynamiques

Trajectoire: quations

hydrodynamiques

Sans propulsion

Avec pilotage et propulsion

Domaine de tir: critre de

l'mergence

58

Mthode de calcul detaille

maillage de la torpille

dimensions de la torpille e de la maillage

calcul des paramtres gomtriques, physiques

mettre les points en ordre circulaire

crer les triangles de la maillage

calculer les centres et les normales de chaque

triangle

vitesse du fluide

application de la condition de glissement

calcul de la vitesse du fluide vf sur une maillage

triangulaire autour de la torpille

rsolution des trois problmes lmentaires

coefficients de pression

calcul de puu, pvv, puv, pur

cavitation

calcul de puu minimale: cpmin

calcul de la vitesse de cavitation ucrit

coefficients hydrodynamiques

calcul de cxuu, cnuv, cnur de la torpille

calcul de dcnuv de la torpille: il est calcul

jusqu' la partie finale du corps rel de la

torpille

trajectoire

quations hydrodynamiques rsolus

numriquement

mthode de Runge-Kutta ordre 4: RK4

y: (u,v,r,xgrand,ygrand,theta) o

u,v,r: sont vitesses suivant le rapport mobile

xgrand, ygrand, theta: sont paramtres de

position et d'angle suivant le rapport fix

domaine de tir

calcul pour chaque point (vr,H) si les critres de

l'mergence sont respects ou non

fonctions et sous-routines auxiliaires

produit vectorielle: cross

norme d'un vecteur: norm2

dessiner la torpille: desstorp

drivative dydt en fonction de y dydt=f(y):

derivs avec pilotage et propulsion

59

Annexe 4: Table pour lapplication numerique du calcul de la trajectoire

dune torpille

Grandeur Notation Valeur Unit

Diamtre de base D 0.5 m

Surface de base S=pi.D/4 0.196350 m

Masse torpille m 1500 kg

Volume torpille Vol 1.211 m3

Inertie en tangage I 4900 kg.m

Centre de gravite xG 4/Nez m

Centre de carne xc - xG 0.750 m

Coefficient de trane

Cxuu 0.200 -

Coefficient de masse ajoute longi.

Cxup 0.448 -

Coefficient de portance

Cnuv 1.958 -

Coefficient de masse ajoute trans.

Cnvp 23.96 -

Coefficient de couplage

Cnur 7.82 -

Coefficient damortissement

Cnrp -35.91 -

Coefficient moment de portance

Cmuv 14.47 -

Coefficient dinertie ajoute

Cmrp -341.96 -

Coefficient de couplage

Cmur -75.43 -

Coefficient damortissement

Cmvp 36.83 -

Densit de leau de mer 1026 kg/m3

Acclration de la pesanteur g 9.81 m/s

Pression atmosphrique pa 105 Pa

Immersion de tir H -30

Calcul de la trajectoire d’une torpille par la méthode des singularités

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