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Les pratiques enseignantesen didactique des mathématiques

Pourquoi ? Et pour qui ?

Éric Roditi

Université Paris DescartesÉquipe EDA - IREM de Paris 7

[email protected]

INTRODUCTION

Aujourd’hui comme hier, les professeurs le deviennent pourtrois raisons majeures :

- le goût de la discipline enseignée ;- le désir d’enseigner et de travailler avec les jeunes ;- le statut social et l’organisation du travail.

Derrière cette stabilité et cette unité apparentes, il existe à lafois une hétérogénéité et une évolution de ce que recouvrentces raisons.

Les études sur l’école se multiplient. Les sciences humaines etsociales, les sciences de l’éducation et les didactiques desdisciplines analysent l’enseignement et l’apprentissage avec deschoix théoriques différents.

L’étude et la prise en compte des pratiques enseignantes endidactique des mathématiques est devenue fondamentale.Fondamentale pour les didacticiens, et pour les autres ?

INTRODUCTION

Quatre questions seront omniprésentes dans cette intervention :

1. Comment (avec quelles méthodes) les pratiques enseignantessont-elles abordées ? notamment celles des professeurs demathématiques, et plus particulièrement par les didacticiens desmathématiques.

2. Pourquoi la prise en compte des pratiques enseignantes est-elle devenue fondamentale en didactique des mathématiques ?

3. Pourquoi et comment la question des pratiques enseignantesen didactique des mathématiques peut-elle intéresser lesprofesseurs et leurs formateurs ?

4. Pourquoi et comment la question des pratiques enseignantesen didactique des mathématiques peut-elle intéresser aussi la« noosphère » ?

INTRODUCTION

L’intervention commencera par des considérations générales surles pratiques des professeurs de mathématiques pour monter laspécificité de leur prise en compte en didactique.

Puis suivront trois exemples précis de recherche liées à un« problème » professionnel des professeurs de mathématiques.

Des ouvertures en guise de conclusion.

I. LES ENSEIGNANTS ET LEURS PRATIQUES

1. Évolution des pratiques liées à celles du système éducatif

Les professeurs plus anciens enseignent depuis les années 70,ils ont connu la « massification » ou « démocratisation » dusystème scolaire, le collège unique et la perspective de 80%d’une classe d’âge au baccalauréat.

Ils sont passés d’objectifs de sélection à ceux d’éducation detous les élèves. Ils doivent même aujourd’hui réussir à lesformer tous. L’enseignement s’est différencié, les compétencesde médiation se sont valorisées.

L’évaluation des systèmes éducatifs a été développée, avec sesméthodes, et la transmission de la culture a cédé la place àl’acquisition de compétences. Les « projets », « contrats »,« partenariats » ont gagné les pratiques enseignantes. Lesprofesseurs constatent un impact sur leur autonomie, maisfinalement peu sur leur activité réelle quotidienne.


2. Perception du métier par les professeurs

Les professeurs déclarent que l’hétérogénéité de leurs élèvesest difficile à gérer. Hétérogénéité de niveau (40 points d’écartà l’entrée en 6e entre le premier et le dernier décile), maisaussi hétérogénéité de socialisation (les élèves viventdifféremment leur statut).

Les professeurs vivent mal le fait de ne pas accomplir leurmission. Les jeunes professeurs sont 30% à trouver le métierdifficile, ils sont 60% dans ce cas parmi ceux qui ont 20 ans etplus d’ancienneté.

Le métier est soumis à la critique, chiffres à l’appui, avec ledéveloppement des évaluations (nationales et internationales),mais aussi celui des études en sciences humaines, en sciencesde l’éducation et en didactique.

Le statut social du professeur s’est « dégradé » : salaires etniveau de recrutement.


3. Le cas des professeurs de mathématiques

Ceux qui partent à la retraite prochainement ont connu deschangements de programme importants tant au niveau descontenus que des méthodes.

Les changements ont porté sur contenus et sur les tâches queles élèves doivent être capable de réaliser (BAC et Brevet parexemple en témoignent) ce qui influe sur les pratiques.



Sans doute une des modifications majeures au niveau desméthodes est l’introduction de « situations créant un problème… afin d’aboutir à la découverte ou à l’assimilation de notionsnouvelles ».

Cette introduction influe aussi sur la nature et la forme dutravail des élèves, et sur le « cours » de mathématiques.



L’utilisation de l’informatique en classe évolue.

Les professeurs de mathématiques travaillent « régulièrement »avec leur collègues de la discipline et des autres disciplines :

Enquête EVAPM 2005 montre un lien fort entre la durée etl’importance, pas de lien entre la durée et la difficulté.


4. Un regard didactique sur les pratiques enseignantes

En didactique des mathématiques, dans l’équipe DIDIREM deParis 7, s’est développé un courant de recherches sur lespratiques « ordinaires » dont l’effet sur l’activité des élèves serévélait toujours plus important.

Un cadre d’étude des pratiques a été mis au point par AlineRobert et Janine Rogalski, il organise les analyses par une priseen compte simultanée des élèves, des contenus mathématiquesenseignés et des professeurs.

Pour l’analyse des pratiques des professeurs, cinq composantessont prises en compte :

–institutionnelle–sociale–personnelle–cognitive–médiative

De nombreux articles et trois ouvrages ont été publiés.

2004

2005

2008

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II. DES PRATIQUES CONTRAINTES ET COHÉRENTES

1. Problématique : régularité / variabilité

Analyser les pratiques afin de :

– repérer ce qui est régulier qui tiendrait aux contraintes, etce qui est variable qui tiendrait aux individus ;

– comprendre comment les pratiques forment un systèmecohérent.

En conséquence, la seule variable du système didactique estl’enseignant, en tant que personne :

– savoir : enseignement d’une même notion qui pose desproblèmes d’enseignement et d’apprentissage et surlaquelle la didactique a déjà produit ;

– élève : même niveau d’enseignement, même niveauscolaire, même effectif classe, même horaire ;

– maître : même expérience professionnelle, même manuelscolaire et même contexte institutionnel.



Des Difficultés d’apprentissage

Exemple

J'achète 3,70 m de tissus à 9,50 F le mètre. Combien dois-je payer ?

En 1980 Réussite : 45,5%

Recours à une démarche multiplicative : 77,5%

En 1993 Réussite : 35,2%

Recours à une démarche multiplicative : 80,5%

Un changement de programme en 1997



Analyse des projets des professeurs

- les contenus et leur organisation dans la séquence ;

- les tâches proposées aux élèves (*).

Analyse des déroulements en classe

- la chronologie de l’enseignement ;

- les activités effectives des élèves (*) ;

- les interactions enseignant / élèves.



(*) À propos des tâches et des activités des élèves

Exemple

Tâche : Place la virgule manquante 1,35 x 42 = 5,67

Activité potentielle : calcul approché

Activité effective : opération posée 135 x 42 = 5 670

Il s’agit de l’activité effective que je distingue de l’activité réelle :l’activité effective est construite par comparaison de la production del’élève et de la tâche prescrite.

Dans la recherche, l’activité effective considérée est celle de l’élèvedont l’activité est publique : PC/MAC ; CMCR ; QTQS ; SM.


2. Convergence globale au niveau des projets

Contenus mathématiques pratiquement identiques

-Technique opératoire justifiée, propriétés

-Un seul type de situation multiplicative

-Une seule écriture des décimaux

Organisations hétérogènes

–Durée analogue (entre 3h30 et 5h)

–L’opération (propriétés et technique opératoire) est étudiéeindépendamment des situations où elle est utilisée

–L’organisation de l’enseignement différencie les professeurs(introduction et institutionnalisation)

Tâches proposées très semblables


3. Des différences de déroulement en classe

Les activités des élèves

– Construction ou application des connaissance

Mme Germain M. Bombelli Mme Agnesi Mme Theano

Construction 80% 20% 53% 44%Application 20% 80% 47% 56%

Effet enseignant significatif avec un degré de signification p < 1%



Les activités des élèves

– Types d’activités en fonction du contenu

Act. Potentielles PC / MAC CMCR QTQS SMGermain 17% 58% 25% 0%Bombelli 14% 57% 29% 0%Agnesi 17% 33% 33% 17%Theano 9% 55% 18% 18%

Act. Effectives PC / MAC CMCR QTQS SMGermain 9% 60% 31% 0%Bombelli 60% 26% 14% 0%Agnesi 27% 49% 16% 7%Theano 39% 45% 13% 3%



Les incidents didactiques : des interactions professeur / élèves

Tâche : Place la virgule manquante 1,35 x 42 = 5,67

Catégories d’incidents didactiques

–Question: « Peut-on dire qu'il ne manque pas de virgule? »

–Erreur : « J'ai écrit 1,35 x 0,42 = 5,67 »

–Réponse incomplète : « Moi, j'ai rajouté un zéro »

Catégories de gestions

–Ignorer l'incident

–Répondre à la place de l'élève

–Changer d'intervenant

–Relancer l'activité de l'élève ou de la classe




Répartition des incidents didactiques dans les classes

Ensemble MmeGermain

M.Bombelli

MmeAgnesi

MmeTheano

Erreur 25% 27% 28% 21% 26%

Incomplet 38% 36% 16% 49% 36%

Question 18% 16% 32% 15% 20%




Gestion des incidents didactique dans les classes

MmeGermain

M.Bombelli

MmeAgnesi

MmeTheano

Tâche Professeur 28% 79% 58% 50%

Tâche Elèves 72% 21% 42% 50%

Effet enseignant significatif avec un degré de signification p < 1%




Effet du temps sur la gestion des incidents

Gestionouverte

Gestionfermée

1re heure 2e heure 3e heure 4e heure 5e heure

Chronologie de la séquence de Mme Germain


4. Les pratiques enseignantes suivent des règles de métier

Respect des contraintes institutionnelles

– fixe le contenu et la durée

– assure une légitimité professionnelle

Garantie de l’enveloppe des trajectoires acceptables du cours

– contraint le contenu abordé pour éviter les digressions

– s’exerce sur les médiations pour garantir des succèsd’étape

Cohérence assurée par la conception de la classe

– lieu d’exposition et d’application du savoir

– lieu de construction du savoir

– lieu d’échanges

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III. UNE INGÉNIERIE POUR INTERACTIONS VERBALES

1. La comparaison des décimaux, un contexte problématique

Un contexte bien travaillé par la recherche

–Interprétations des erreurs par la mise au jour de règlesimplicites utilisées dans la comparaison

R1 : 3,14 < 3,225 et 3,14 > 3,8

R2 : 3,14 < 3,8 et 3,14 > 3,225

–Conceptions des élèves sur les fractions et les décimaux

–Ingénieries didactiques complètes où le sémantiqueprécède le symbolique et donc le syntaxique

Une prise en compte des difficultés par l’institution

–Les programmes ont évolué au primaire et au secondaire

–Les outils d’évaluation ont permis aux professeurs demesurer les difficultés rencontrées par les élèves



Et encore des questions

–La capacité à comparer des nombres décimaux évolue-t-elle « spontanément » avec l’âge ? favorablement ou non.

–La capacité à comparer des décimaux est-elle dépendantede la capacité à les représenter dans des situations(monnaie, graduation, partage…) ?

–La perception visuelle ou auditive des nombres influence-t-elle leur traitement dans des activités de comparaison ?

–Dans l’activité de comparaison des décimaux, y a-t-ilcombinaison d’un traitement syntaxique et d’un traitementsémantique lié à la magnitude ?



Quant au traitement sémantique lié à la magnitude



Une recherche fondée sur deux questionnaire et des entretiens

•Un questionnaire écrit proposé à 400 élèves (quatre groupesde 100 environ : CM2, 6e, 5e et lycée professionnel) sur :

–des activités de comparaison de décimaux donnés par écritou oralement, dans des situations contextualisées ou non ;

–des activités de représentation des nombres décimaux(monnaie, graduation, partage…)

•Un questionnaire informatisé proposé à plus de 40 adultes surla comparaison de nombres décimaux au nombre fixé 0,56.

•Des entretiens individuels pour aider les collégiens les plus endifficulté, sur la mise en relation d’un traitement syntaxique etd’un traitement sémantique des écritures décimales, dans desactivités de comparaison.


2. Résultats des questionnaires

Âge des élèves et capacité à comparer des nombres décimaux

–Les élèves de lycée professionnel réussissent mieux que lesjeunes* mais une partie d’entre eux reste en difficulté**.

–Le traitement « amélioré » (règle R2) disparaît lorsque lacomparaison n’est plus enseignée.

* 9% d’erreurs contre 16%, différence significative : p



Présentation orale ou écrite des nombres à comparer

–Pas de différence significative pour les élèves quicommettent peu d’erreurs.

–Chez les élèves en difficulté, les erreurs sont plusfréquentes lorsque les nombres sont donnés oralement quelorsqu’ils sont donnés par écrit*.

* 40% d’erreurs contre 31%, différence significative : p



Traitement sémantique lié à la magnitude et comparaison

On interprète les résultats par un traitement sémantique liéà la magnitude qui se conjugue à un traitement syntaxiqued’autant plus rapide que les nombres décimaux à compareront la même partie entière et le même nombre dedécimales* :

*Différence significative entre deux moyennes consécutives : p


3. Une ingénierie pour aider les élèves en difficulté

Second entretien

On propose deux séries de comparaisons :

–dans la première le recours à une représentation concrèteou figurée est obligatoire,

–dans la seconde elle est seulement permise si l’élève latrouve utile.


3. Une ingénierie pour aider les élèves en difficulté

Bilan

Les 12 questions qui servent pour le scénario d’aideconstituent un pré-test pour lequel 47 erreurs ont étécommises (36% de réponses fausses).

Un post-test analogue de 15 questions a été proposé unesemaine après le deuxième entretien. Une seule erreur a étécommise (moins de 1% de réponses fausses).*

Une telle ingénierie pour aider les élèves dans lesinteractions verbales, permet d’échapper à l’alternativeentre le cours magistral et un modèle caricatural oùle bon professeur serait celui qui laisse les élèves construireleurs connaissances par la seule réalisation des tâchesproposées avec la situation mathématique.

* Différence pré-test post-test significative : p

IV. PRATIQUES ET TRANSPOSITION DIDACTIQUE

1. Pratiques enseignantes en difficulté malgré l'expérience

Réalité des difficultés des élèves avec les graphiques

La réponse est B-D qui est obtenue par 45% des élèves de 5e

Les élèves échouent généralement en proposant A-D… (Source EVAPM)




La réponse est 42% qui est obtenue par 31% des élèves de 2nde

Les élèves échouent car ils tiennent compte de la hauteur seulement (7donc 70%) ou de la largeur (3 donc 30%) ou ils prennent la hauteurmaximale pour 100% (7/8 de 100%) ou la largeur totale pour 100% (11donc 3/11 de 100%). Enfin certains ne tiennent pas compte de la longueurdes classes et cumulent les hauteurs pour trouver 100%. (Source EVAPM)




Enquête PISA

Différentesréponsesétaient

possibles.

Moins de 30%des élèves de

15 ansrépondent

correctement.



Les programmes prévoient une progression du collège au lycée

Programme de collège (5e)

Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau, ou d’unereprésentation graphique (diagrammes divers, histogramme).

Présenter des données sous la forme d’un tableau, les représenter sous laforme d’un diagramme ou d’un histogramme.

Commentaires

Le choix de la représentation est lié à la nature de la situation étudiée.

Pour les données relatives à un caractère qualitatif (…) pour les donnéesà caractère continu, un histogramme est utilisé (en se limitant au cas declasses d’égale amplitude).

Documents d’accompagnent

Les programmes précisent que les exemples étudiés se limitent au casde classes d'égale amplitude. L'histogramme se lit alors comme undiagramme en bâtons.



Les programmes prévoient une progression du collège au lycée

Programme de lycée (1re)

Les histogrammes à pas non constants ne seront pas développés poureux-mêmes, mais le regroupement en classes inégales s’imposera lors del’étude d’exemples comme des pyramides des âges ou de salaires.

Sans développer de technicité particulière à propos des histogrammes àpas non constants, on montrera l’intérêt d’une représentation pourlaquelle l’aire est proportionnelle à l’effectif.

Notre bilan: les professeurs estiment que l’histogramme est unenotion plutôt facile à enseigner en référence aux textes officielsqui visent essentiellement les conversions tableau/graphique.Elle les met pourtant mal à l’aise professionnellement parce,malgré les difficultés rencontrées par les élèves, ils nereconnaissent pas vraiment le sens de leur mission. Le groupel’a cherché dans les pratiques de référence.


2. Pratiques de référence avec les histogrammes

Les graphiques appelés histogrammes

Les salaires sont groupés en classes de longueur 100$.

Les valeurs sont en abscisses et les fréquences des classes en ordonnée.




Consommationsur un site Internet

Les valeurs des biens deconsommation sontgroupées en classes delongueur 50€.

Les valeurs sont enabscisse, il n ’y a pasd’axe des ordonnées, leseffectifs des classes sontindiqués par l’unitéd’aire des rectangles.



Les graphiques appelés histogrammesRésidus dans une régression linéaire

Les résidus sont groupés en classes de longueur 10.

Les valeurs sont en abscisse, et la densité de fréquence en ordonnée.




•On en trouve trois grandes catégories :

-classes de même longueur et fréquences en ordonnée ;

-aires proportionnelles aux fréquences, pas d’axe desordonnées ;

-densité de fréquence en ordonnée.

•On les trouve presque respectivement :

-dans les ouvrages de statistique appliquée (psychologie,SHS…) ;

-dans les ouvrages de statistique appliquée ou scolaires ;

-dans les ouvrages pour les étudiants en mathématiques.




Représentation graphique desclasses d’une variable statistiqueassociant à chaque classe unrectangle proportionnel par salongueur à l’amplitude, par sahauteur à l’effectif de cette classe.



Deux types d’activités avec les histogrammes

- les activités de type « iconique » où le sujet reconnaîtet/ou interprète le diagramme pour sa forme;

- Les activités de type « graphique » où le sujet construitet/ou étudie le diagramme par des calculs, des mesures, desconstructions, des comparaisons.




Exemples d’activités de type iconique :

-identifier les grandeurs indiquées sur les axes et les unités ;

-repérer et attribuer une signification aux zones hautes ou basses, planes oupointues, et aux variations des hauteurs ;

-examiner la forme globale constituée par l’ensemble des rectangles, parexemple sa symétrie,comparer l’histogrammeà des histogrammes deréférence illustrant desphénomènes déjàidentifiés (distributionéquirépartie, normale,un mélange depopulations deparamètresdifférents, etc.)




Exemples d’activités de type graphique :

–construire un histogramme à partir des données et interpréter le graphique

Exemple : les élèves en difficulté peuvent assister librement à des coursde soutien et à des études dirigées. Les progrès des notes des élèves ontété recueillies.





–effectuer des calculs à partir des données graphiques, transformer ungraphique (regrouper ou scinder des classes).

?





–mener une réflexion sur l’objet lui-même. Envisager la proportionnalitéde la fréquence d’une classe à l’aire de la bande qui la représente et nonà sa hauteur. Comprendre que la fréquence est associée aux classes etque la densité de fréquence est associée aux valeurs.

% par100$


3. Continuer la transposition didactique

Définir l’histogramme

Une définition intégrant à la fois la représentation de ladistribution des fréquences d’une série classée (classes demême longueur) et celle de la densité de fréquence associéeest-elle acceptable ?

Définir les tâches à proposer aux élèves

Des tâches construites à partir des pratiques de référence.

Et d’autres tâches spécifiques pour compléter l’apprentissage dela notion par les élèves ainsi que pour l’évaluer.

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OUVERTURES

1. Définition des mathématiques à enseigner

Des mathématiques motivantes, mais au regard de qui ?

–des mathématiciens, des ingénieurs, des professeurs demathématiques, des élèves ;

–des familles, des professeurs des autres disciplines, desautres champs scientifiques, de la société, del’international…

Et qui permettent l’acquisition de méthodes générales

modèles, représentations, raisonnements, cadres, etc.

2. Implémentation dans le système scolaire

Transposition didactique :

–réécriture des mathématiques « savantes » ;

–définition des contenus, des langages et des méthodes ;

–organisation globale dans un programme qui prend encompte le temps de l’apprentissage et son devenir.

OUVERTURES

3. Définition des tâches de référence relatives à un contenu

Ces tâches visent à retrouver les mathématiques « motivantes »à l’origine de la définition des contenus d’enseignement ou à enen inventer qui mettent en place une genèse fictive des savoirs.

Et aussi d’autres : pour l’évaluation des apprentissages, pourl’acquisition des techniques, pour les champs de problèmesassociés, pour les liens avec les autres contenus.

4. Formation des professeurs

Deux niveaux de « communication » :

–communication formateurs - institution - chercheurs ;

–communication formateurs - professeurs.

Quoi communiquer et comment ?

En ce qui concerne la discipline, je propose de distinguer troisdimensions : contenus, niveau, didactique.

OUVERTURES

5. Évaluation de la robustesse des tâches en classe

Les professeurs sont soumis à des contraintes globales d’originediverses et notamment :

–le système d’enseignement ;

–l’hétérogénéité de l’apprentissage (contenus et élèves).

Il y a aussi une hétérogénéité des professeurs qu’il faut prendreen compte dans les changements d’échelle, dans les passagesde l’expérimental au général. Les tâches ne sont pas touteségalement sensibles au changement de gestion par leprofesseur en classe.

La didactique des mathématiques a encore peu développéd’études à grande échelle sur la relation entre pratiquesenseignantes et apprentissage des élèves.

6. La gestion du bug, ou plutôt : la question éthique

Comment gérer les différences dont l’école hérite, comme cellesque l’école produit ?

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