Confidence Intervals for DEFINIÇÃO:
Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A melhor estimativa pontual da média populacional é a média
amostral .
*
A média amostral é:
A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77.
A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens (em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a estimativa pontual para a média populacional, .
99
101
107
102
109
98
105
103
101
105
98
107
104
96
105
95
98
94
100
104
111
114
87
104
108
101
87
103
106
117
94
103
101
105
90
3.562
101,77
*
Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou amplitude) de valores usado para estimar um parâmetro populacional.
Estimativa pontual
O nível de confiança, c, é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional em questão.
Estimativas intervalares
)
(
*
0,95
0,025
0,025
95% de todas as médias amostrais terão escores z entre z = –1,96 e z = 1,96.
Distribuição de
médias amostrais
Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição amostral para é normal.
–1,96
1,96
Have students calculate other critical numbers for other values of c.
For c = 90%, z.90= 1.645
For c = 99%, z.99 =1.575
*
O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do
parâmetro que se está estimando,
a dado nível de confiança, c.
Quando n 30, o desvio padrão amostral, s, pode ser usado no lugar de .
Usando zc = 1,96, s = 6,69 e n = 35,
Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de US$ 2,22.
Erro máximo da estimativa
Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95%, dado que s = 6,69.
6,69
6,69
1,96
*
Intervalos de confiança para
Definição: um intervalo de confiança c para a média populacional é:
Você encontrou = 101,77 e E = 2,22.
Extremo esquerdo
103,99
Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica entre US$ 99,55 e US$ 103,99.
Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago.
101,77 – 2,22 = 99,55
101,77 + 2,22 = 103,99
(
)
*
Tamanho da amostra
Dados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar , a média populacional, é:
Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já tem 35, você precisará de mais 8.
Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional?
1,96
6,69
42,98
*
0
t
0,90
O valor crítico para t é de 1,782. 90% das médias amostrais (n = 13) estarão entre t = –1,782 e t = 1,782.
0,05
0,05
Distribuição amostral de
Se a distribuição de uma variável aleatória x é normal e n < 30, a distribuição amostral de será uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade.
n = 13
g.l. = 12
c = 90%
–1,782
1,782
*
Erro máximo da estimativa:
Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte-americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90% para .
1,782
0,148
0,3
*
4,448
Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia.
2. O erro máximo da estimativa é:
1. A estimativa pontual é: = 4,3 libras
1,782
0,148
0,3
4,3
*
*
é a estimativa pontual para a proporção de fracassos, onde
A estimativa pontual para p, a proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra
(Lido como p chapéu.)
*
Intervalos de confiança
para proporções populacionais
O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de confiança c é:
Um intervalo de confiança c para uma proporção populacional, p, é:
*
1. A estimativa pontual para p é:
2. Como 1.907(0,235) 5 e 1.907(0,765) 5, a distribuição amostral é normal.
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
3.
1.907
0,235
0,235
0,765
2,575
(0,235)(0,765)
0,025
1.907
*
0,26
Com 99% de confiança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool está entre 21% e 26%.
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
0,235 – 0,025 = 0,21
0,235 + 0,025 = 0,26
0,235
*
Tamanho mínimo da amostra
Se você tem uma estimativa premilinar para p e q, o tamanho mínimo da amostra necessário para se estimar p, dados um intervalo de confiança c e o erro máximo da estimativa E, é:
Se você não tiver uma estimativa preliminar, use 0,5 para .
e
*
Você precisará de uma amostra com pelo menos 4.415 acidentes.
Como não há estimativas preliminares, use 0,5 para
Exemplo: tamanho
mínimo da amostra
.
*
n = 2.981 para sua amostra.
Exemplo: tamanho
mínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Use uma estimativa preliminar de p = 0,235.
2,575
0,02
(0,235)(0,765)
2.980,05
*
*
A estimativa pontual para é s2 e para é s.
Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição qui-quadrado 2 com n – 1 g.l. para formar um intervalo de confiança c.
A área à direita de R2 é (1 – 0,95)/2 = 0,025 e a área à direita de L2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975
R2 = 28,845
L2 = 6,908
Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l.
Determine R2, ó valor crítico da cauda à direita, e L2, o valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% e n = 17.
*
Um intervalo de confiança c para uma variância populacional é:
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.
Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players. O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um intervalo de confiança de 95% para e .
28,845
6,908
12.480,50
52.113,49
e
Intervalos de confiança para
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.
Determine a raiz quadrada de cada parte.
Você pode dizer, com 95% de confiança, que está entre 12.480,50 e 52.113,49
e entre US$ 117,72 e US$ 228,28.
12.480,50
52.113,49