ULYSSE 8 Cours G-B 2010 1 Les situations mathématiques Propriétés et composantes.

ULYSSE 8 ULYSSE 8 Cours G-B 2010Cours G-B 2010 11

Les situations Les situations mathématiquesmathématiques

Propriétés et composantesPropriétés et composantes


11Pourquoi étudier les Pourquoi étudier les

situations situations

alors qu’il s’agit de faire alors qu’il s’agit de faire acquérir le savoir ?acquérir le savoir ?


Les deux fonctions didactiques des Les deux fonctions didactiques des connaissancesconnaissances

Le professeur doit enseigner à ses élèves des Le professeur doit enseigner à ses élèves des connaissances connaissances et et desdes comportements comportements qu’ils ignorent, et principalement ceux qui qu’ils ignorent, et principalement ceux qui servent de servent de référenceréférence pour la production de connaissances et pour la production de connaissances et de comportements originaux dans des situations de comportements originaux dans des situations nouvellesnouvelles… …

Il doit donc accepter et même susciter des comportements Il doit donc accepter et même susciter des comportements spontanés et la manifestation de connaissances personnelles spontanés et la manifestation de connaissances personnelles incertaines et même éventuellement fausses de la part de ses incertaines et même éventuellement fausses de la part de ses élèves, ce qui implique l’utilisation de situations élèves, ce qui implique l’utilisation de situations originalesoriginales par par rapport à l’exposé des références. rapport à l’exposé des références.

Les autres connaissances, celles qui sont « spontanées », sont Les autres connaissances, celles qui sont « spontanées », sont relatives aux situations, suscitées et justifiées (ou non) par relatives aux situations, suscitées et justifiées (ou non) par elles.elles.

Les connaissances de référence font partie du Les connaissances de référence font partie du savoir savoir qu’il est qu’il est convenu d’enseigner. convenu d’enseigner.

Les connaissances, qu’elles fassent ou non partie du savoir et Les connaissances, qu’elles fassent ou non partie du savoir et qu’elles soient ou non considérées comme vraies, ont la même qu’elles soient ou non considérées comme vraies, ont la même forme et relèvent du même fonctionnement cérébral.forme et relèvent du même fonctionnement cérébral.

Leur différenciation n’est le résultat que de l’éducation dont les Leur différenciation n’est le résultat que de l’éducation dont les principaux instruments sont des exercices mentaux. principaux instruments sont des exercices mentaux.


Savoirs et connaissancesSavoirs et connaissances

LeLe savoir savoir est constitué, par définition, des connaissances est constitué, par définition, des connaissances de référence qui viennent de la Science, de la Culture ou de référence qui viennent de la Science, de la Culture ou de la coutume par l’intermédiaire et sous la garantie du de la coutume par l’intermédiaire et sous la garantie du professeurprofesseur

Les Les connaissancesconnaissances qui ne sont pas appuyées sur le savoir qui ne sont pas appuyées sur le savoir ne se réfèrent qu’à des situations.ne se réfèrent qu’à des situations.

Elles se manifestent de diverses manières dans diverses Elles se manifestent de diverses manières dans diverses fonctions (décision, langage, preuve,…) et elles sont fonctions (décision, langage, preuve,…) et elles sont indispensables au fonctionnement de la pensée et indispensables au fonctionnement de la pensée et notamment du savoir.notamment du savoir.

Ainsi Ainsi le professeur doit susciter et gérer des situationsle professeur doit susciter et gérer des situations pour faire apparaître des connaissances, de référence ou pour faire apparaître des connaissances, de référence ou non. Les connaissances de référence impliquées dans une non. Les connaissances de référence impliquées dans une situation didactique seront appelées « situation didactique seront appelées « un savoirun savoir » les » les autres : autres : une connaissance. une connaissance. Ce qui explique l’usage Ce qui explique l’usage insolite du mot « savoir » au pluriel. insolite du mot « savoir » au pluriel.


L’étude des situations est L’étude des situations est indispensable et fondamentaleindispensable et fondamentale

Le professeur ne peut pas se limiter à faire apprendre le Le professeur ne peut pas se limiter à faire apprendre le savoir :savoir :

il doit mobiliser les connaissances et leur faire jouer leur il doit mobiliser les connaissances et leur faire jouer leur rôle spécifique dans l’apprentissage des savoirs. Pour cela rôle spécifique dans l’apprentissage des savoirs. Pour cela même les problèmes sont insuffisants en particulier pour même les problèmes sont insuffisants en particulier pour permettre le jeu du non dit et de l’implicite. Il faut organiser permettre le jeu du non dit et de l’implicite. Il faut organiser des situationsdes situations

Et suivant que les productions de ses élèves ont la fonction Et suivant que les productions de ses élèves ont la fonction

de savoirs ou de connaissances, ses réactions seront de savoirs ou de connaissances, ses réactions seront radicalement différentes.radicalement différentes.

Ainsi Ainsi l’objet central l’objet central d’une étude de l’enseignement est celui d’une étude de l’enseignement est celui desdes rapports entre les savoirs et les connaissances établis rapports entre les savoirs et les connaissances établis par les situations. par les situations.


Savoir et croireSavoir et croire LeLe savoir savoir et les et les croyancescroyances se distinguent du double se distinguent du double

point de vue de leur mode de construction et de leur point de vue de leur mode de construction et de leur définition sociale.définition sociale.

Les Les croyances et les coutumescroyances et les coutumes ne sont une référence ne sont une référence que pour une partie de la communauté et que pour une partie de la communauté et éventuellement que pour un seul individu. éventuellement que pour un seul individu.

Le Le savoir savoir est révisable par des processus historiques et est révisable par des processus historiques et logiques qui ont pour objet de le modifier de façon à ce logiques qui ont pour objet de le modifier de façon à ce qu’il ne soit en contradiction avec aucun fait connu. Il a qu’il ne soit en contradiction avec aucun fait connu. Il a donc vocation à réunir les connaissances qui peuvent donc vocation à réunir les connaissances qui peuvent être acceptées comme références par la communauté être acceptées comme références par la communauté de citoyens la plus large possible. de citoyens la plus large possible.

L’éducation communeL’éducation commune à la plus large communauté de à la plus large communauté de citoyens doit donc distinguer l’enseignement du savoir citoyens doit donc distinguer l’enseignement du savoir et l’information sur les croyances et sur les coutumes. et l’information sur les croyances et sur les coutumes. Ces deux modalités du rapport éducatif sont Ces deux modalités du rapport éducatif sont essentiellement différentes. essentiellement différentes.

La distinction entre « La distinction entre « savoir »savoir » et « et « croire »croire » est est essentielle ; elle n’est pas spontanée. Elle est un des essentielle ; elle n’est pas spontanée. Elle est un des objets principaux de l’éducation mathématique. objets principaux de l’éducation mathématique.


En TSMEn TSM11 « Situation » est-il synonyme de « Situation » est-il synonyme de

« tâche »?« tâche »? Toutes les deux ont la même structure : Elles sont issues d’un Toutes les deux ont la même structure : Elles sont issues d’un

énoncé de mathématiques décomposé en question/réponse. énoncé de mathématiques décomposé en question/réponse. Toute tâche peut être modélisée par une situation. Les Toute tâche peut être modélisée par une situation. Les

conditions d’une tâche – son énoncé ou sa description – sont conditions d’une tâche – son énoncé ou sa description – sont essentiellement des références : des savoirs ou des savoirs essentiellement des références : des savoirs ou des savoirs faire, explicites ou supposés tels, mais acquis. Son exécution faire, explicites ou supposés tels, mais acquis. Son exécution est un savoir ou un savoir faire est un savoir ou un savoir faire

Il existe des situations qui ne sont pas des tâches: certaines Il existe des situations qui ne sont pas des tâches: certaines conditions y sont des savoirs mais d’autres peuvent être conditions y sont des savoirs mais d’autres peuvent être aussi seulement des connaissances, être implicites, aussi seulement des connaissances, être implicites, indicibles, vraies ou fausses… Les productions des actants indicibles, vraies ou fausses… Les productions des actants Une situation s’articule avec d’autres, Une situation s’articule avec d’autres,

- par les connaissances nouvelles qu’elle produit - par les connaissances nouvelles qu’elle produit - mais aussi par les questions qu’elle fait poser ou - mais aussi par les questions qu’elle fait poser ou

même par les échecs qu’elle provoque. même par les échecs qu’elle provoque. Les situations ont pour objet de mobiliser des connaissances - Les situations ont pour objet de mobiliser des connaissances -

de référence ou non – et de les faire évoluer. de référence ou non – et de les faire évoluer. 1 Théorie des Situations Mathématiques1 Théorie des Situations Mathématiques


Le modèle : Exposé ou genèse ?Le modèle : Exposé ou genèse ? Par essence, les tâches sont structurées comme des Par essence, les tâches sont structurées comme des

textes de mathématiques, selon une réorganisation textes de mathématiques, selon une réorganisation après coup du savoir après coup du savoir

En amont des textes, les situations tendent, à modéliser En amont des textes, les situations tendent, à modéliser une genèse du savoir mathématique. Cette genèse peut une genèse du savoir mathématique. Cette genèse peut faire jouer publiquement, non seulement des savoirs faire jouer publiquement, non seulement des savoirs mais aussi des connaissances, mathématiques ou non, mais aussi des connaissances, mathématiques ou non, et des processus rhétoriques spontanés afin que les et des processus rhétoriques spontanés afin que les apprentissages résultent d’une simulation de l’activité apprentissages résultent d’une simulation de l’activité mathématique elle-même et non pas, seulement, d’une mathématique elle-même et non pas, seulement, d’une reproduction des textes par des formes d’apprentissage reproduction des textes par des formes d’apprentissage totalement indépendantes de leur objet.totalement indépendantes de leur objet.

La TSM est indispensable pour étudier La TSM est indispensable pour étudier

expérimentalement ces différents procédés didactiques. expérimentalement ces différents procédés didactiques.


Ces différences de structures répondent à des fonctions Ces différences de structures répondent à des fonctions sociales différentes sociales différentes

Une Une situationsituation est un ensemble de conditions et de règles, est un ensemble de conditions et de règles, associées à un objectif,associées à un objectif, qui peut évoluer qui peut évoluer. L’actant peut . L’actant peut savoir - ou ignorer - si et comment il peut l’atteindre.savoir - ou ignorer - si et comment il peut l’atteindre.

Une situation peut être organisée par un tiers et/ou Une situation peut être organisée par un tiers et/ou engagée par l’actant lui-même. Mais elle peut survenir engagée par l’actant lui-même. Mais elle peut survenir spontanément sans être formulée ni même identifiée par spontanément sans être formulée ni même identifiée par celui qui doit y répondre. celui qui doit y répondre.

« Une « Une tâchetâche est un ouvrage qu’on donne ou qu’on se donne est un ouvrage qu’on donne ou qu’on se donne à faire à certaines conditions et dans un certain espace de à faire à certaines conditions et dans un certain espace de temps » (Littré) temps » (Littré)

Elle est donc conçue, déterminée et définie avant d’être Elle est donc conçue, déterminée et définie avant d’être entreprise. Elle peut ainsi faire l’objet d’un entreprise. Elle peut ainsi faire l’objet d’un contrat de contrat de travailtravail,, entre un mandant et un mandataire. Elle est entre un mandant et un mandataire. Elle est déterminée dans ses résultats par le mandant et dans les déterminée dans ses résultats par le mandant et dans les détails de son exécution par le mandataire. détails de son exécution par le mandataire.

Une tâche, objet d’un contrat social ou Une tâche, objet d’un contrat social ou

individuelindividuel


Une situation, objet de Une situation, objet de dévolutiondévolution

Si le mandant impose et si le mandataire accepte une Si le mandant impose et si le mandataire accepte une tâche qu’à l’avance il ne sait pas comment accomplir, tâche qu’à l’avance il ne sait pas comment accomplir, celle-ci devient un celle-ci devient un défidéfi pour le mandataire. Les risques pour le mandataire. Les risques doivent être connus et partagés avec le mandant. Une doivent être connus et partagés avec le mandant. Une tâche peut acceptée par nécessité ou par devoir. Elle ne tâche peut acceptée par nécessité ou par devoir. Elle ne peut pas, de droit, être imposée sans une contrepartie qui peut pas, de droit, être imposée sans une contrepartie qui exige un savoir partagé.exige un savoir partagé.

Or, par définition, si l’élève « sait » les savoirs qui sont Or, par définition, si l’élève « sait » les savoirs qui sont nécessaires pour exposer ce qui est attendu de lui, il nécessaires pour exposer ce qui est attendu de lui, il ignore l’essentiel des moyens de les agencer pour le ignore l’essentiel des moyens de les agencer pour le réaliser… sauf peut-être dans le cas des exercices.réaliser… sauf peut-être dans le cas des exercices.

Créer une situation ouvrirait « officiellement » un espace Créer une situation ouvrirait « officiellement » un espace de négociation avec un milieu - matériel ou technique – de négociation avec un milieu - matériel ou technique – (entre autres avec le professeur). (entre autres avec le professeur).

Mais alors, si une situation ne peut pas être un contrat de Mais alors, si une situation ne peut pas être un contrat de travail, il s’ouvre une question au sujet de l’entrée de travail, il s’ouvre une question au sujet de l’entrée de l’élèves dans la situation par la volonté du professeur : la l’élèves dans la situation par la volonté du professeur : la dévolutiondévolution. .


TSDM et/ou TAD ?TSDM et/ou TAD ? Si les tâches de mandant à mandataire (celles accomplies Si les tâches de mandant à mandataire (celles accomplies

par l’actant) peuvent être négociées lorsque les conditions par l’actant) peuvent être négociées lorsque les conditions du contrat sont remplies et connues à l’avance, les du contrat sont remplies et connues à l’avance, les situations ne le peuvent pas. La dévolution d’une situation situations ne le peuvent pas. La dévolution d’une situation présente des paradoxes qui seront étudiés dans la théorie présente des paradoxes qui seront étudiés dans la théorie des situations didactiques en Mathématiques (TSDM).des situations didactiques en Mathématiques (TSDM).

Puisque les taches sont (s’insèrent dans…) des situations, Puisque les taches sont (s’insèrent dans…) des situations, l’ingénierie des tâches est une partie de l’ingénierie des l’ingénierie des tâches est une partie de l’ingénierie des situations, mais la restriction des processus à des savoirs situations, mais la restriction des processus à des savoirs permet une approche propre issue d’une théorie autonomepermet une approche propre issue d’une théorie autonome11

Il est utile en ingénierie didactique de bien distinguer dans Il est utile en ingénierie didactique de bien distinguer dans les situations la part qui relève des tâches et celle qui les situations la part qui relève des tâches et celle qui relèvent d’une situations pour mieux les conjuguer relèvent d’une situations pour mieux les conjuguer éventuellement. éventuellement.

La TSDM est un moyen de savoir, par des moyens La TSDM est un moyen de savoir, par des moyens scientifiques expérimentaux, ce qu’il est raisonnable scientifiques expérimentaux, ce qu’il est raisonnable d’espérer des suites de tâches ou des suites de situations et d’espérer des suites de tâches ou des suites de situations et probablement celui de les conjuguer de façon optimale. probablement celui de les conjuguer de façon optimale.

1.1. la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD)la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD)


Abus de l’usage du mot « tâche »Abus de l’usage du mot « tâche » Un contrat de travail implique une Un contrat de travail implique une obligation de résultatobligation de résultat ou de ou de

moyensmoyens pour le mandataire et l’ obligation d’honorer la pour le mandataire et l’ obligation d’honorer la contrepartie convenue pour le mandant.contrepartie convenue pour le mandant.

L’emploi du mot « L’emploi du mot « tâchetâche » pour désigner un » pour désigner un défi défi tend à reporter tend à reporter systématiquement la responsabilité d’un échec sur le mandataire systématiquement la responsabilité d’un échec sur le mandataire et tend à exonérer le mandant de sa part d’obligations. et tend à exonérer le mandant de sa part d’obligations.

Ce procédé, très répandu dans la rhétorique « sociale » du Ce procédé, très répandu dans la rhétorique « sociale » du libéralisme, a progressivement envahi l’univers éducatif, depuis libéralisme, a progressivement envahi l’univers éducatif, depuis une trentaine d’années. une trentaine d’années.

Fondé sur des indicateurs insuffisants et mal lus il a permis Fondé sur des indicateurs insuffisants et mal lus il a permis d’écraser l’usage des précautions lentement améliorées par des d’écraser l’usage des précautions lentement améliorées par des sociétés cultivées et d’imposer une idéologie behavioriste sociétés cultivées et d’imposer une idéologie behavioriste sommaire et un traitement brutal des « échecs » scolaires avec sommaire et un traitement brutal des « échecs » scolaires avec des conséquences très négatives que nous étudierons plus loin des conséquences très négatives que nous étudierons plus loin dans ce cours. dans ce cours.

D’abord les élèves puis les professeurs ont été attaqués, sans D’abord les élèves puis les professeurs ont été attaqués, sans mesure, systématiquement, afin de conduire les citoyens à mesure, systématiquement, afin de conduire les citoyens à renoncer à tout projet commun d’éducation, à faire entrer renoncer à tout projet commun d’éducation, à faire entrer l’enseignement sous la loi des marchés privés et ainsi de leur l’enseignement sous la loi des marchés privés et ainsi de leur livrer leurs enfants. livrer leurs enfants.


Organisations théoriquesOrganisations théoriques La théorie des situations d’enseignement des La théorie des situations d’enseignement des

mathématiques doit par conséquent se scinder en mathématiques doit par conséquent se scinder en deux parties:deux parties:

1. La 1. La théorie des situations mathématiquesthéorie des situations mathématiques, ou s’étudie , ou s’étudie comment se construisent et se justifient les savoirs comment se construisent et se justifient les savoirs dans les sociétés et chez les individus dans les sociétés et chez les individus

2. 2. La théorie des situations didactiques en La théorie des situations didactiques en mathématiquesmathématiques proprement dites, ou comment proprement dites, ou comment acculturer les élèves aux pratiques de la communauté acculturer les élèves aux pratiques de la communauté mathématique et de la culture. mathématique et de la culture.

Historiquement la théorie des situations mathématiques Historiquement la théorie des situations mathématiques s’est surtout développée à ses débuts comme « étude s’est surtout développée à ses débuts comme « étude des situations mathématiques à usage didactique »des situations mathématiques à usage didactique »


22Les connaissances et les Les connaissances et les

savoirssavoirs


Deux fonctions didactiques : le Deux fonctions didactiques : le « savoir »…« savoir »…

La fonction sociale du professeur lui fait obligation de La fonction sociale du professeur lui fait obligation de distinguer, parmi les déclarations qui apparaissent dans sa distinguer, parmi les déclarations qui apparaissent dans sa classe, classe,

- celles qu’il peut ou pourrait cautionner en tant que - celles qu’il peut ou pourrait cautionner en tant que référencesréférences parce qu’elles sont reconnues pour vraies et comme faisant parce qu’elles sont reconnues pour vraies et comme faisant partie de la culture qu’il est chargé de transmettre. partie de la culture qu’il est chargé de transmettre.

- et celles qui ne le sont pas ou pas encore ou qui ne le seront - et celles qui ne le sont pas ou pas encore ou qui ne le seront jamais. jamais.

o Parmi ces dernières évidemment : les erreurs, o Parmi ces dernières évidemment : les erreurs, o Mais aussi les exercices et leurs solutions qui sont o Mais aussi les exercices et leurs solutions qui sont

supposés être le bagage personnel de l’élève; ils ne font pas supposés être le bagage personnel de l’élève; ils ne font pas partie des références explicitement enseignées.partie des références explicitement enseignées.

o et les « connaissances » de service : métalangage, o et les « connaissances » de service : métalangage, conventions didactiques, coutumes, etc. plus ou moins conventions didactiques, coutumes, etc. plus ou moins explicitement convenues. explicitement convenues.

En principe le professeur pourrait ne dire et n’accepter En principe le professeur pourrait ne dire et n’accepter publiquement que les connaissances de références. Elles publiquement que les connaissances de références. Elles constituent le « savoir » qu’il est chargé de transmettreconstituent le « savoir » qu’il est chargé de transmettre


… … et les « connaissances »et les « connaissances » Pourtant, parfois un énoncé reconnaissable formellement Pourtant, parfois un énoncé reconnaissable formellement

comme partie du savoir – que nous appellerons comme partie du savoir – que nous appellerons abusivement « un savoir » - peut abusivement « un savoir » - peut ne pas devoirne pas devoir être être considéré comme tel dans la classe. En particulier s’il n’y considéré comme tel dans la classe. En particulier s’il n’y est pas solidement adossé au savoir, sa référence. Il a est pas solidement adossé au savoir, sa référence. Il a alors le statut de simple connaissancealors le statut de simple connaissance

C’est le cas… C’est le cas…

- des savoirs légitimes, bien connus, mais hasardés dans - des savoirs légitimes, bien connus, mais hasardés dans des circonstances où leur pertinence ou leur utilité est des circonstances où leur pertinence ou leur utilité est douteuse. Ils sont susceptibles de jouer un rôle, mais il douteuse. Ils sont susceptibles de jouer un rôle, mais il n’est pas sûr qu’on doive s’y référer. Le professeur sait que n’est pas sûr qu’on doive s’y référer. Le professeur sait que ce sont des savoirs mais il ce sont des savoirs mais il doit les considérer seulement doit les considérer seulement comme des connaissances,comme des connaissances,

- des déclarations qui surgissent comme une évidence, - des déclarations qui surgissent comme une évidence, dans des conditions particulières qui lui donnent une dans des conditions particulières qui lui donnent une certaine légitimité et une certaine utilité mais dont la certaine légitimité et une certaine utilité mais dont la validité et même le lien avec le savoir ne sont pas établis validité et même le lien avec le savoir ne sont pas établis


Les convictions fonctionnent Les convictions fonctionnent comme des connaissancescomme des connaissances

C’est le cas aussi des convictions avérées mais C’est le cas aussi des convictions avérées mais inexpriméesinexprimées ou même ou même inexprimablesinexprimables, mais qui se , mais qui se manifestent par des décisions régulières comme le ferait manifestent par des décisions régulières comme le ferait une référence. une référence.

En enseignement nous le verrons, le non dit et l’indicible En enseignement nous le verrons, le non dit et l’indicible jouent un rôle fondamentaljouent un rôle fondamental

Les convictions jouent pour le sujet le rôle de références Les convictions jouent pour le sujet le rôle de références

personnelles et donc de « savoirs », même si elles sont personnelles et donc de « savoirs », même si elles sont fausses. fausses. Vraies ou faussesVraies ou fausses elles peuvent être partagées elles peuvent être partagées avec une communauté plus ou moins étendue. avec une communauté plus ou moins étendue.

Nous ne pouvons donc pas exclure de la liste des Nous ne pouvons donc pas exclure de la liste des « connaissances » les énoncés que le professeur « connaissances » les énoncés que le professeur sait sait être faux.être faux.


les convictions fausses aussi…les convictions fausses aussi… Avant d’être reconnues comme fausses, en particulier Avant d’être reconnues comme fausses, en particulier

par les élèves, les connaissances fausses fonctionnent par les élèves, les connaissances fausses fonctionnent comme les vraies et elles jouent un rôle dans le comme les vraies et elles jouent un rôle dans le déroulement de la pensée et dans les apprentissages.déroulement de la pensée et dans les apprentissages.

Dans une situation où se trouve l’élève, un énoncé peut Dans une situation où se trouve l’élève, un énoncé peut lui paraître vrai. S’il l’explicite le professeur a le devoir lui paraître vrai. S’il l’explicite le professeur a le devoir de rectifier aussitôt cette erreur, c’est-à-dire d’invalider de rectifier aussitôt cette erreur, c’est-à-dire d’invalider l’ensemble de la démarche de l’élève alors que rien, du l’ensemble de la démarche de l’élève alors que rien, du point de vue de ce denier, ne lui permettait de le faire.point de vue de ce denier, ne lui permettait de le faire.

Cette décision est parfois la meilleure, mais si elle est Cette décision est parfois la meilleure, mais si elle est systématique elle tend à évacuer rapidement le systématique elle tend à évacuer rapidement le raisonnement personnel de l’élève*raisonnement personnel de l’élève*

*L’étude de ce dilemme sera un des objets de la *L’étude de ce dilemme sera un des objets de la théorie des situations théorie des situations didactiquesdidactiques en mathématiquesen mathématiques que nous aborderons dans la 3 que nous aborderons dans la 3ièmeième partie partie de ce coursde ce cours


… … et même les erreurset même les erreurs

L’erreur peut être la manifestation d’une connaissance L’erreur peut être la manifestation d’une connaissance inadéquate ou erronée. Elle est soumise aux mêmes inadéquate ou erronée. Elle est soumise aux mêmes conditions que les connaissances qui se révèleront conditions que les connaissances qui se révèleront exactes. Ce sont les accidents qu’elle provoque qui la exactes. Ce sont les accidents qu’elle provoque qui la font évincer. font évincer.

Les élèves peuvent avoir des comportements Les élèves peuvent avoir des comportements téléologiques (ils tiennent pour acquis ou ils prennent téléologiques (ils tiennent pour acquis ou ils prennent comme guide ce qu’ils ont à démontrer)comme guide ce qu’ils ont à démontrer)

Mais nous ne pouvons pas entériner la connaissance Mais nous ne pouvons pas entériner la connaissance

préalable des résultats cherchés (les réminiscences de préalable des résultats cherchés (les réminiscences de Socrate), ni l’organisation culturelle des savoirs (le Socrate), ni l’organisation culturelle des savoirs (le rationalisme de Comenius), comme « le » modèle de rationalisme de Comenius), comme « le » modèle de l’activité mathématique qui les produit, en particulier l’activité mathématique qui les produit, en particulier pour les élèves. pour les élèves.


Connaissances et savoirConnaissances et savoir Le savoir est le moyen Le savoir est le moyen

standard de reconnaître de standard de reconnaître de formuler de justifier et formuler de justifier et d’organiser les connaissances.d’organiser les connaissances.

Son organisation est prise Son organisation est prise comme modèle pour comme modèle pour l’organisation de leur l’organisation de leur apprentissage scolaire. apprentissage scolaire.

Cette organisation facilite la Cette organisation facilite la construction et la mise à construction et la mise à l’épreuve de nouveaux l’épreuve de nouveaux savoirssavoirs. .

mais elle ne suffit pas à la mais elle ne suffit pas à la provoquer ni à lui assurer une provoquer ni à lui assurer une bonne fécondité d’ensemble.bonne fécondité d’ensemble.

Ainsi pour faire acquérir des Ainsi pour faire acquérir des savoirs, l’apprentissage savoirs, l’apprentissage scolaire doit susciter scolaire doit susciter développer et soutenir la développer et soutenir la production et la production et la

mise à l’ épreuve des mise à l’ épreuve des connaissances qui les connaissances qui les accompagnentaccompagnent

Les savoirs viennent avec la Les savoirs viennent avec la culture, ils permettent de culture, ils permettent de reconnaître, de formuler et les reconnaître, de formuler et les connaissancesconnaissances

Mais celles-ci, par définition, Mais celles-ci, par définition, apparaissent essentiellement apparaissent essentiellement avec les situationsavec les situations

Alors, Alors, organiser des situationsorganiser des situations est le principal moyen est le principal moyen

de susciter l’apparition et de susciter l’apparition et l’exercice des connaissances l’exercice des connaissances

et de leur faire jouer leur rôle et de leur faire jouer leur rôle dans l’acquisition et la mise dans l’acquisition et la mise en œuvre des savoirs en œuvre des savoirs


33Caractéristiques et Caractéristiques et

Propriétés des situationsPropriétés des situations


Avertissement sur le terme « situation »Avertissement sur le terme « situation »

Le terme Le terme situationsituation est utilisé ordinairement pour désigner est utilisé ordinairement pour désigner de façon globale les de façon globale les systèmessystèmes des conditions indéterminées des conditions indéterminées qui qui accompagnentaccompagnent un fait, ici un épisode d’enseignement un fait, ici un épisode d’enseignement en observation, sans qu’on sache toujours si ces conditions en observation, sans qu’on sache toujours si ces conditions jouent un rôle ou non. jouent un rôle ou non.

Les conditions effectivement observées et relevées pour Les conditions effectivement observées et relevées pour décrire un fait forment sa « contingence » décrire un fait forment sa « contingence »

En théorie des situations, le terme situation désigne :En théorie des situations, le terme situation désigne :o soit un soit un modèlemodèle théoriquethéorique de ce système : description de ce système : description

formelle comportant un nombre réduit mais suffisant formelle comportant un nombre réduit mais suffisant d’objets et de relations. Il sert d’objets et de relations. Il sert

- à vérifier la définition et la non contradiction du - à vérifier la définition et la non contradiction du choix des objets et de leurs effets présuméschoix des objets et de leurs effets présumés

- et à prévoir les comportements du système- et à prévoir les comportements du systèmeo soit un soit un modèle empiriquemodèle empirique, intermédiaire entre la , intermédiaire entre la

contingence et le modèle théoriquecontingence et le modèle théorique


La situation, modèle généralLa situation, modèle général Les modèles théoriques généraux des situations mathématiques sont Les modèles théoriques généraux des situations mathématiques sont

des « jeux » ou encore des « modèles à agents ».des « jeux » ou encore des « modèles à agents ». Le jeu met en présence un « Le jeu met en présence un « milieumilieu », matériel ou non , des « », matériel ou non , des « agentsagents », »,

qui modifient l’état du milieu par leurs décisions, conformes à des qui modifient l’état du milieu par leurs décisions, conformes à des règlesrègles convenues, en vue de mettre ce milieu dans un convenues, en vue de mettre ce milieu dans un état finalétat final déterminé.déterminé.

Ce modèle général sera précisé et diversifié suivant les cas : Ce modèle général sera précisé et diversifié suivant les cas : Le mathématicien construit des connaissances dans son rapport avec Le mathématicien construit des connaissances dans son rapport avec

un un milieu mathématiquemilieu mathématique, ses règles relèvent de la logique et de , ses règles relèvent de la logique et de l’épistémologie.l’épistémologie.Chaque connaissance mathématique s’inscrit dans un modèle de Chaque connaissance mathématique s’inscrit dans un modèle de situation qui lui est spécifique situation qui lui est spécifique

Notons que le modèle général servira aussi à interpréter la Notons que le modèle général servira aussi à interpréter la situation de situation de l’enseignantl’enseignant: le milieu sur lequel il agit est une situation mathématique : le milieu sur lequel il agit est une situation mathématique dans laquelle le ou les élèves sont engagés dans laquelle le ou les élèves sont engagés

Il servira enfin pour interpréter la Il servira enfin pour interpréter la situation de l’observateursituation de l’observateur face à un face à un milieu qui sera soit une situation mathématique a-didactique soit une milieu qui sera soit une situation mathématique a-didactique soit une situation d’enseignement. situation d’enseignement.


Incertitude, savoir et Incertitude, savoir et connaissanceconnaissance

Dans chaque état d’un système, un éventail de réponses possibles Dans chaque état d’un système, un éventail de réponses possibles s’ouvre entre lesquelles l’agent hésite si ses connaissances le s’ouvre entre lesquelles l’agent hésite si ses connaissances le laissent dans une certaine incertitude. Il opte pour une d’entre elles laissent dans une certaine incertitude. Il opte pour une d’entre elles qui révèle en partie ses connaissancesqui révèle en partie ses connaissances

Règle ou réponse convenueRègle ou réponse convenue Le jeu de carte « la bataille » ne laisse aucune initiative aux joueurs. Le jeu de carte « la bataille » ne laisse aucune initiative aux joueurs.

Son déroulement est inscrit dans la disposition de départ de même Son déroulement est inscrit dans la disposition de départ de même que pour le calcul du résultat d’un algorithme déterminé, supposé que pour le calcul du résultat d’un algorithme déterminé, supposé connu.connu.

Ces situations ne révèlent pas d’autres connaissances que le savoir Ces situations ne révèlent pas d’autres connaissances que le savoir des règles du jeu et leur acceptation.des règles du jeu et leur acceptation.

Décision, initiativeDécision, initiative Au contraire un problème où le choix de l’opération à effectuer ou Au contraire un problème où le choix de l’opération à effectuer ou

bien celui des valeurs à utiliser est à l’initiative de l’élève, mobilise bien celui des valeurs à utiliser est à l’initiative de l’élève, mobilise de sa part une invention, une connaissance ou un savoir que le de sa part une invention, une connaissance ou un savoir que le résultat peut invalider résultat peut invalider

Connaissance, savoir,Connaissance, savoir, Un savoir est une connaissance sûre pour le sujet, partagée et Un savoir est une connaissance sûre pour le sujet, partagée et

approuvée par la culture et son environnement, le risque de réponse approuvée par la culture et son environnement, le risque de réponse inadéquate est minimum inadéquate est minimum

Une « connaissance » manifeste un rapport préalable mais incertain Une « connaissance » manifeste un rapport préalable mais incertain et personnel à la situation. La décision est risquée.et personnel à la situation. La décision est risquée.

Une invention est une production actuelle d’un rapport adéquat Une invention est une production actuelle d’un rapport adéquat


Le Le milieu milieu révèle par suite les effets des actions de l’agent, révèle par suite les effets des actions de l’agent, et à travers eux, éventuellement, l’inadéquation des et à travers eux, éventuellement, l’inadéquation des connaissances que ce dernier a engagées. Ce qui ouvre un connaissances que ce dernier a engagées. Ce qui ouvre un processus d’adaptation et d’apprentissage.processus d’adaptation et d’apprentissage.

Le choix des situations est donc critique pour provoquer et Le choix des situations est donc critique pour provoquer et accompagner un processus d’apprentissage accompagner un processus d’apprentissage

En fait il est rare qu’une seule situation amène la En fait il est rare qu’une seule situation amène la connaissance complète d’un savoir.connaissance complète d’un savoir.

Les situations mathématiques s’articulent en Les situations mathématiques s’articulent en processusprocessus, (ou , (ou curriculumscurriculums) une situation permettant l’entrée dans une ) une situation permettant l’entrée dans une autre autre

soit par les soit par les apprentissagesapprentissages qu’elle provoque qu’elle provoque Soit/et en en appelant une autre par les Soit/et en en appelant une autre par les questionsquestions qu’elle qu’elle

soulève.soulève. Il existe une grande variété de situations, spécifiques ou Il existe une grande variété de situations, spécifiques ou

non, qui conduisent à l’apprentissage d’une connaissance non, qui conduisent à l’apprentissage d’une connaissance donnée. Le rôle de la modélisation est savoir les reproduire donnée. Le rôle de la modélisation est savoir les reproduire et de comparer leurs propriétéset de comparer leurs propriétés


La situation, modèle La situation, modèle mathématiquemathématique

Le modèle mathématique (MM) d’une situation formalise les Le modèle mathématique (MM) d’une situation formalise les états du système (des éléments en présence et de leurs états du système (des éléments en présence et de leurs relations) et leurs transitions suivant les décisions des agentsrelations) et leurs transitions suivant les décisions des agents

Un modèle de comportement (MC) des agents décrit leurs Un modèle de comportement (MC) des agents décrit leurs décisions en fonction des informations dont ils disposent (ou décisions en fonction des informations dont ils disposent (ou que l’observateur leur prête) sur les états du système, que l’observateur leur prête) sur les états du système,

(Un MM formalise les dispositifs utilisés en psychologie cognitive, (Un MM formalise les dispositifs utilisés en psychologie cognitive, MC(MM) les comportements des sujets. Ils sont trop souvent MC(MM) les comportements des sujets. Ils sont trop souvent interprétés à tort comme une caractéristique (MS) des sujets, qui interprétés à tort comme une caractéristique (MS) des sujets, qui serait indépendante des situations) serait indépendante des situations)

L’association d’un MM et d’un MC forme donc un « automate L’association d’un MM et d’un MC forme donc un « automate mathématique » (déterministe ou probabiliste) qui décrit mathématique » (déterministe ou probabiliste) qui décrit l’évolution du système, et qui peut être confronté à la l’évolution du système, et qui peut être confronté à la contingence (observée)contingence (observée)

L’objet principal des modèles théoriques est de déceler les L’objet principal des modèles théoriques est de déceler les contradictions logiques et les incohérences indépendamment contradictions logiques et les incohérences indépendamment des résultats des observationsdes résultats des observations


La situation, modèle empiriqueLa situation, modèle empirique L’observation directe des actions des agents et de leurs effets L’observation directe des actions des agents et de leurs effets

ou résultats, permet d’inférer des régularités, des ou résultats, permet d’inférer des régularités, des caractères… et de les organiser en caractères… et de les organiser en modèles empiriquesmodèles empiriques, sans , sans les intégrer immédiatement dans un modèle théorique de la les intégrer immédiatement dans un modèle théorique de la situation. situation.

Ces modèles empiriques sont souvent une étape très utile Ces modèles empiriques sont souvent une étape très utile dans la conception des situations et dans leur mise en œuvre. dans la conception des situations et dans leur mise en œuvre.

Mais intégrer des observations comme régularités dans un Mais intégrer des observations comme régularités dans un modèle empirique de situations revient à lui associer un modèle empirique de situations revient à lui associer un domaine et des conditions de validité que l’on peut alors domaine et des conditions de validité que l’on peut alors confronter à une contingence élargieconfronter à une contingence élargie

Établir ainsi la valeur empirique d’un modèle ne suffit Établir ainsi la valeur empirique d’un modèle ne suffit évidemment pas à l’« expliquer ». évidemment pas à l’« expliquer ».

La confrontation avec d’autres modèles empiriques La confrontation avec d’autres modèles empiriques s’accompagne d’un confrontation avec des modèles s’accompagne d’un confrontation avec des modèles théoriques qui sont l’objet principal de l’activité scientifique théoriques qui sont l’objet principal de l’activité scientifique de la Didactique. de la Didactique.


l’observateur construit des connaissances (de l’observateur construit des connaissances (de didactique) dans son interaction avec son objet d’étude, didactique) dans son interaction avec son objet d’étude, par exemple : par exemple : - Une situation mathématique impliquant une ou - Une situation mathématique impliquant une ou plusieurs personnes, plusieurs personnes, - Une situation didactique. - Une situation didactique.

… … Les décisions des actants sont influencées Les décisions des actants sont influencées

- par l’état du « - par l’état du « milieu objectif milieu objectif », », - et par leurs « - et par leurs « savoirs savoirs »»

…… Par ses décisions, l’actant modifie l’état du milieu dans Par ses décisions, l’actant modifie l’état du milieu dans

un sens prévu ou imprévu. un sens prévu ou imprévu. En retour…En retour… il interprète ces modifications avec ses connaissances il interprète ces modifications avec ses connaissances

antérieures : assimilation (au sens de Piaget)… antérieures : assimilation (au sens de Piaget)… ou il modifie ces connaissances : accommodation ou il modifie ces connaissances : accommodation


Ainsi parmi les décisions qui peuvent être envisagées Ainsi parmi les décisions qui peuvent être envisagées par l’actant pour modifier le milieu, par l’actant pour modifier le milieu,

- certaines sont impossibles, - certaines sont impossibles, - certaines ne sont pas envisagées par l’actant, - certaines ne sont pas envisagées par l’actant, - certaines sont envisageables mais elles sont, - certaines sont envisageables mais elles sont,

soit interdites par les règles, soit inopérantes, soit soit interdites par les règles, soit inopérantes, soit inadéquates (elles diminuent les possibilités de gain),inadéquates (elles diminuent les possibilités de gain),

- certaines sont malheureuses, - certaines sont malheureuses, - d’autres optimales…- d’autres optimales…

Dans un modèle plus fin les Dans un modèle plus fin les savoirssavoirs et les et les connaissancesconnaissances du sujet qu’il tient pour objectivement valides, qu’elles le du sujet qu’il tient pour objectivement valides, qu’elles le soient ou non (savoirs et croyances…) forment un soient ou non (savoirs et croyances…) forment un « milieu subjectif »« milieu subjectif » qui joue le même rôle que le milieu qui joue le même rôle que le milieu objectif. Le milieu est alors en partie objectif, en partie objectif. Le milieu est alors en partie objectif, en partie subjectif.subjectif.


Le milieu délimite les possibilités de décisions des actants, Le milieu délimite les possibilités de décisions des actants, Il est composé d’objets matériels ou de contraintes Il est composé d’objets matériels ou de contraintes immatérielles comme des savoirsimmatérielles comme des savoirs

Le milieu peut lui-même changer d’état en réponse aux Le milieu peut lui-même changer d’état en réponse aux décisions des actants suivant des règles qui lui sont propres décisions des actants suivant des règles qui lui sont propres mais non intentionnellesmais non intentionnelles

Un ou plusieurs actants peuvent modifier les états d’un Un ou plusieurs actants peuvent modifier les états d’un système (dénué d’intention) suivant des règles convenues, système (dénué d’intention) suivant des règles convenues, afin d’atteindre en coopération ou en concurrence, un état afin d’atteindre en coopération ou en concurrence, un état final déterminé, muni d’un enjeu.final déterminé, muni d’un enjeu.

Ce système constitue le milieu sur lequel s’exerce l’action Ce système constitue le milieu sur lequel s’exerce l’action

de l’actant. Le milieu se manifeste à lui par des de l’actant. Le milieu se manifeste à lui par des changements d’états non décidés par l’actant et par changements d’états non décidés par l’actant et par certaines limitations de son action non pas interdites, mais certaines limitations de son action non pas interdites, mais impossibles. impossibles.

Le milieu Le milieu


Les actions, les connaissancesLes actions, les connaissances

Chaque état du milieu offre à l’actant des possibilités Chaque état du milieu offre à l’actant des possibilités d’actions. Un actant totalement ignorant distribue ses d’actions. Un actant totalement ignorant distribue ses choix de façon uniforme sur les issues qu’il envisage choix de façon uniforme sur les issues qu’il envisage (incertitude maximale) ce qui lui assure une certaine (incertitude maximale) ce qui lui assure une certaine probabilité d’atteindre le but. probabilité d’atteindre le but.

Les connaissances et les savoirs du sujet se Les connaissances et les savoirs du sujet se manifestent par ses décisions et par la réduction manifestent par ses décisions et par la réduction complète ou relative de cette incertitude qu’elles complète ou relative de cette incertitude qu’elles révèlent.révèlent.

A priori, l’incertitude n’est observable que sur des A priori, l’incertitude n’est observable que sur des cohortes de situations ou/et d’élèves et ces valeurs cohortes de situations ou/et d’élèves et ces valeurs sont attribuées à un élève ou a une situation sont attribuées à un élève ou a une situation hypothétique hypothétique


Propriétés générales d’un modèlePropriétés générales d’un modèle par rapport à un système observépar rapport à un système observé

La La consistanceconsistance : Les relations du modèle sont non : Les relations du modèle sont non contradictoires, valides et compatibles avec la théorie,contradictoires, valides et compatibles avec la théorie,

La La pertinencepertinence :Tous les objets et les relations figurant dans le :Tous les objets et les relations figurant dans le modèle sont bien réalisés dans le phénomène observé modèle sont bien réalisés dans le phénomène observé (l’épisode),(l’épisode),

La La constructibilitéconstructibilité: Le modèle est explicite et concrètement : Le modèle est explicite et concrètement significatif,significatif,

L’L’adéquation adéquation : Le modèle permet de « prévoir » l’évolution : Le modèle permet de « prévoir » l’évolution ou les conséquences du phénomène observé,ou les conséquences du phénomène observé,

Le caractère Le caractère minimalminimal, Tous les éléments du modèles , Tous les éléments du modèles contribuent à la détermination des résultats attendus,contribuent à la détermination des résultats attendus,

L’économieL’économie: la syntaxe du modèle est la plus simple de celles : la syntaxe du modèle est la plus simple de celles qui sont adéquates, qui sont adéquates,

La La fiabilité: fiabilité: les intervalles de confiance du résultat dans le les intervalles de confiance du résultat dans le cas d’un modèle stochastique,cas d’un modèle stochastique,

Le Le champ de validitéchamp de validité d’un modèle est composé du champ d’un modèle est composé du champ des systèmes où il est reconnu valide et des observateurs qui des systèmes où il est reconnu valide et des observateurs qui reconnaissent cette validité. reconnaissent cette validité.


Propriétés d’une connaissance Propriétés d’une connaissance

par rapport à une situationpar rapport à une situation La validitéLa validité

La connaissance est vraieLa connaissance est vraie La pertinenceLa pertinence

Les objets et les relations figurant dans la l’expression de la Les objets et les relations figurant dans la l’expression de la connaissance sont bien réalisés dans la situation connaissance sont bien réalisés dans la situation

L’adéquationL’adéquation La connaissance résout la situation. rq.: adéquate La connaissance résout la situation. rq.: adéquate pertinente pertinente

La constructibilitéLa constructibilité La connaissance est déductible du répertoire mathématique de La connaissance est déductible du répertoire mathématique de

l’actantl’actant L’adaptationL’adaptation

La connaissance est adéquate et elle est la plus ‘économique’ La connaissance est adéquate et elle est la plus ‘économique’ parmi les solutionsparmi les solutions


Composants généraux des Composants généraux des situationssituations

Les interactions d’un actant avec son milieu peuvent être Les interactions d’un actant avec son milieu peuvent être classées: classées:

en en actionsactions, gestes qui modifient le milieu et qui expriment une , gestes qui modifient le milieu et qui expriment une décision, elle-même justifiée par une « connaissance », décision, elle-même justifiée par une « connaissance », explicitable et justifiée ou non. explicitable et justifiée ou non.

en en expressionsexpressions à l’intention de soi-même ou d’un tiers à l’intention de soi-même ou d’un tiers comprenant : comprenant :

-les -les formulationsformulations auxquelles on peut associer un objet auxquelles on peut associer un objet de pensée de pensée

-les -les déclarations dedéclarations de validation, validation, justifications, justifications, argumentations pour appuyer ou contredire des énoncés ou argumentations pour appuyer ou contredire des énoncés ou des opinions déjà émises des opinions déjà émises

Chaque type de situation correspond à des modes Chaque type de situation correspond à des modes d’apprentissages (selon Bateson) distinctsd’apprentissages (selon Bateson) distincts

L’ingénierie didactiqueL’ingénierie didactique consiste à construire des situations consiste à construire des situations spécifiques de la connaissance voulue spécifiques de la connaissance voulue


Type de Type de situationssituationsmathématiquesmathématiques

Manifestation Manifestation PerformancePerformance

Forme de Forme de connaissanceconnaissance

FonctionFonction répertoirerépertoire

Apprentissage Apprentissage Modification Modification des Répertoiresdes Répertoires

Action :Action : la connaissance la connaissance mathématique mathématique est implicite est implicite

Décision,Décision,Modèle Modèle impliciteimplicited’actiond’action

schèmesschèmesConnaissance Connaissance implicite…implicite…

Moyen de Moyen de prendre des prendre des décisions décisions

Acquisition de Acquisition de schèmes et de schèmes et de connaissances connaissances implicitesimplicites

FormulationFormulationCommunicationCommunicationEn langage En langage naturel ou naturel ou formelformelMétalangageMétalangage

ExpressionExpressionMessageMessage

verbale, verbale, écrite,écrite,gestuelle gestuelle Iconique Iconique Grammaire, Grammaire, vocabulaire vocabulaire

Moyen de Moyen de communiquer communiquer prise de prise de conscienceconscience

Acquisition Acquisition d’expressions et d’expressions et de vocabulairede vocabulaire

Validation Validation Preuves Preuves mathématiques mathématiques et méta- et méta- (logique) (logique)

déclaration déclaration conjecture,conjecture,argument argument Axiome Axiome théorèmethéorème

rhétoriquerhétoriqueopinionsopinionssavoirssavoirs

Moyen de Moyen de convaincre convaincre de prouverde prouver

Acquisition de Acquisition de connaissances connaissances candidates à la candidates à la référenceréférence

Types de composantes, situations et effetsTypes de composantes, situations et effets


Les propriétés des situationsLes propriétés des situationsLa définition des situations permet d’introduire et d’étudier des La définition des situations permet d’introduire et d’étudier des

caractères d’activités qui n’apparaissent pas dans les textes de caractères d’activités qui n’apparaissent pas dans les textes de mathématiques : mathématiques :

Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation

des stratégies et des tactiques des stratégies et des tactiques Caractères des actants et de leurs enjeuxCaractères des actants et de leurs enjeux

L’objet de la modélisation n’est pas de décrire finement des L’objet de la modélisation n’est pas de décrire finement des élèves ni même « l’élève » à l’aide d’une liste de questionsélèves ni même « l’élève » à l’aide d’une liste de questions

Au contraire, ce sont les cohortes d’élèves qui révèlent les Au contraire, ce sont les cohortes d’élèves qui révèlent les propriétés propriétés

didactiques d’une situation, des questions, et des savoirs qui s’y didactiques d’une situation, des questions, et des savoirs qui s’y rapportent. rapportent.


Les variables didactiquesLes variables didactiques Un modèle de situation présente des paramètres, par Un modèle de situation présente des paramètres, par

nature fixes ou variables, et contrôlés ou libres dans le nature fixes ou variables, et contrôlés ou libres dans le modèle ou dans l’expérience modèle ou dans l’expérience

Une variable peut être Une variable peut être active active lorsqu’elle présente des variations observables lorsqu’elle présente des variations observables

dans le corpus des comportements des élèvesdans le corpus des comportements des élèves « « de commandede commande » si ses variations peuvent être » si ses variations peuvent être

décidées arbitrairement par le professeur (ou par décidées arbitrairement par le professeur (ou par l’expérimentateur)l’expérimentateur)

Une variable est de nature Une variable est de nature didactiquedidactique si elle est « de si elle est « de commande » et si elle est active. commande » et si elle est active.


L’observation L’observation desdes expériencesexpériences

Les valeurs des Les valeurs des variables observées…variables observées… durée du déroulement, durée du déroulement, résultats, …résultats, …

……accompagnées des accompagnées des valeurs fixéesvaleurs fixées (et contrôlées) ou (et contrôlées) ou estiméesestimées, pour toutes les variables didactiques d’une situation , pour toutes les variables didactiques d’une situation

permettent… permettent… d’inférer la valeur de certaines autres variables : d’inférer la valeur de certaines autres variables :

dispersion ou homogénéité des résultatsdispersion ou homogénéité des résultats fiabilité, fiabilité, pénibilité etc. pénibilité etc.

Et éventuellement d’en déduire Et éventuellement d’en déduire un domaine des conditions didactiques optimales de cette un domaine des conditions didactiques optimales de cette

situation (ingénierie didactique). situation (ingénierie didactique). Ou des conclusions sur les hypothèses de la recherche Ou des conclusions sur les hypothèses de la recherche

Ces performances peuvent être comparées à celles d’autres Ces performances peuvent être comparées à celles d’autres modèles de situations. (exemples dans le prochain diaporama)modèles de situations. (exemples dans le prochain diaporama)


La recherche de situations correspondant à La recherche de situations correspondant à un énoncé mathématique déterminéun énoncé mathématique déterminé

Cet énoncé doit être le seul moyen d’établir une conclusion Cet énoncé doit être le seul moyen d’établir une conclusion L’élève doit pouvoir constater la réussite lui-même L’élève doit pouvoir constater la réussite lui-même Il doit alors pouvoir reprendre sa démarche en la corrigeantIl doit alors pouvoir reprendre sa démarche en la corrigeant

Il doit pouvoir recueillir des informations pertinentes de ses Il doit pouvoir recueillir des informations pertinentes de ses tentatives tentatives

La recherche par essai-erreur-reprise (tâtonnement) ne doit La recherche par essai-erreur-reprise (tâtonnement) ne doit pas donner la solution complète, l’invention du moyen doit pas donner la solution complète, l’invention du moyen doit être nécessaire. Au nom de quoi la recherche par être nécessaire. Au nom de quoi la recherche par exhaustivité est ordinairement rejetée par les exhaustivité est ordinairement rejetée par les enseignants… elle ne devrait pas être stigmatisée si elle est enseignants… elle ne devrait pas être stigmatisée si elle est raisonnable.raisonnable.

L’essentiel n’est pas toujours que l’élève trouve L’essentiel n’est pas toujours que l’élève trouve personnellement la solution mais qu’il éprouve personnellement la solution mais qu’il éprouve personnellement sa nécessité, sa validité … personnellement sa nécessité, sa validité …


La TSM est-elle une partie des La TSM est-elle une partie des mathématiques ? mathématiques ?

Nous avons montré la possibilité théorique de faire Nous avons montré la possibilité théorique de faire correspondre au moins une situation à tout énoncé correspondre au moins une situation à tout énoncé mathématique.mathématique.

Les conditions de l’apparition de cet énoncé dans la culture Les conditions de l’apparition de cet énoncé dans la culture attestent de la validité empirique de cette assertion. attestent de la validité empirique de cette assertion.

La construction de situations effectives différentes de celles La construction de situations effectives différentes de celles présentées par l’histoire et choisies par les mathématiciens présentées par l’histoire et choisies par les mathématiciens pour les besoins de leurs recherches peut mobiliser des pour les besoins de leurs recherches peut mobiliser des ressources mathématiques dont l’inventaire n’est pas arrêté. ressources mathématiques dont l’inventaire n’est pas arrêté.

Entre celles-ci, le choix de situations optimales, et leur Entre celles-ci, le choix de situations optimales, et leur

adaptation aux caractéristiques d’actants ou d’apprenants réels adaptation aux caractéristiques d’actants ou d’apprenants réels est un nouveau champ de problèmes… de nature est un nouveau champ de problèmes… de nature mathématique (appliquées) mathématique (appliquées)


L’essentiel des travaux de TSD ont porté sur des L’essentiel des travaux de TSD ont porté sur des connaissances de base. Leur origine, très ancienne, leurs connaissances de base. Leur origine, très ancienne, leurs usages par des populations entières dans des activités usages par des populations entières dans des activités variées et l’apparente simplicité des concepts variées et l’apparente simplicité des concepts mathématiques étudiés a pu laisser penser que la TSD mathématiques étudiés a pu laisser penser que la TSD deviendrait inefficace ou sans intérêt si les concepts deviendrait inefficace ou sans intérêt si les concepts mathématiques concernés devenaient plus complexes…mathématiques concernés devenaient plus complexes…

Certes, les raisons d’être d’une formule mathématique Certes, les raisons d’être d’une formule mathématique

quelle qu’elle soit ne doivent pas être cherchées dans des quelle qu’elle soit ne doivent pas être cherchées dans des rapports imaginaires avec des objets courants mais dans rapports imaginaires avec des objets courants mais dans l’analyse historique, épistémologique, mathématique et l’analyse historique, épistémologique, mathématique et prospective de sa place, de sa constitution et de son rôle prospective de sa place, de sa constitution et de son rôle dans un champ de connaissances, de problèmes et de dans un champ de connaissances, de problèmes et de questions (son milieu).questions (son milieu).

Décortiquer la syntaxe d’une formule comme nous l’avons Décortiquer la syntaxe d’une formule comme nous l’avons fait pour l’égalité n’est qu’une des possibilités. Le fait pour l’égalité n’est qu’une des possibilités. Le curriculum sur les statistiques en montre une autre curriculum sur les statistiques en montre une autre (diaporama 15) . (diaporama 15) .


Observations… à compléter et à Observations… à compléter et à organiserorganiser

La présence des alternatives à la solution cherchée joue un La présence des alternatives à la solution cherchée joue un rôle important, la mise en évidence des façons ou des rôle important, la mise en évidence des façons ou des raisons d’écarter les moins favorables peut conduire plus raisons d’écarter les moins favorables peut conduire plus rapidement à une meilleure connaissance que la rapidement à une meilleure connaissance que la construction de la solution par une chaîne d’inférences construction de la solution par une chaîne d’inférences vraies vraies

Les variables ergonomiques sont rarement maximales sur Les variables ergonomiques sont rarement maximales sur les frontières de leur domaine de meilleure efficacité les frontières de leur domaine de meilleure efficacité

A chaque formule peut correspondre un grand nombre de A chaque formule peut correspondre un grand nombre de situations aux propriétés différentes. situations aux propriétés différentes.

La recherche procède par l’analyse et l’amélioration des La recherche procède par l’analyse et l’amélioration des solutions connuessolutions connues


Un grand nombre de conditions permettentUn grand nombre de conditions permettentd’améliorer la qualité des situations. d’améliorer la qualité des situations.

Exemples :Exemples : Il est important que chaque élève puisse produire et éprouver sa Il est important que chaque élève puisse produire et éprouver sa

solution par son effet sur une situation particulière, la sienne. solution par son effet sur une situation particulière, la sienne. Il est important qu’il puisse aussi la confronter à celles produites Il est important qu’il puisse aussi la confronter à celles produites

par d’autres élèves dans « la même situation » et donc qu’elle soit par d’autres élèves dans « la même situation » et donc qu’elle soit proposée à un groupe d’élèvesproposée à un groupe d’élèves

Mais la comparaison doit porter sur la résolution et non pas Mais la comparaison doit porter sur la résolution et non pas seulement sur le résultat. seulement sur le résultat.

Il faut donc que les élèves aient des situations similaires à celle de Il faut donc que les élèves aient des situations similaires à celle de leurs voisins mais non pas identiques (par exemple les mêmes leurs voisins mais non pas identiques (par exemple les mêmes calculs mais avec des données différentes)calculs mais avec des données différentes)

Différents aspects d’un même concept doivent souvent être mis en Différents aspects d’un même concept doivent souvent être mis en évidence par des situations présentant plusieurs postes. Les évidence par des situations présentant plusieurs postes. Les situations de coopération représentent mieux le fonctionnement situations de coopération représentent mieux le fonctionnement des connaissances dans une société.des connaissances dans une société.

Dans une même situation, les élèves doivent occuper les différents Dans une même situation, les élèves doivent occuper les différents postes qui peuvent éclairer différemment un même concept postes qui peuvent éclairer différemment un même concept

etc.etc.


Conditions optimales pour la mise en Conditions optimales pour la mise en œuvre d’une connaissanceœuvre d’une connaissance

Les conditions optimales pour une situation et pour « une » Les conditions optimales pour une situation et pour « une » connaissance donnée peuvent être déterminées par des connaissance donnée peuvent être déterminées par des études ergonomiques comme celles évoquées dans le études ergonomiques comme celles évoquées dans le diaporama suivant:diaporama suivant:

Économie et Ergonomie (ex. du calcul humain)Économie et Ergonomie (ex. du calcul humain)

de nombreux autres exemples peuvent être tirés des travaux de nombreux autres exemples peuvent être tirés des travaux passés et actuels passés et actuels

Leur choix est un chantier auquel vous pouvez participer Leur choix est un chantier auquel vous pouvez participer

Référence : voir Référence : voir l’observation des activités didactiques 78l’observation des activités didactiques 78 sur sur ce sitece site

ULYSSE 8 Cours G-B 2010 1 Les situations mathématiques Propriétés et composantes.

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