7/22/2019 TS Sp Chap 3 : Cours sur les Matrices

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3. Matrices

3.1 Gnralits

Dfinition. UnematriceMde taillen pest un tableau deux dimensions de nombres (Mij)

o i est la ligne et j la colonne, avec 1 i n et 1 j p.

Par exemple, voici comment est note et indexe une matrice 3 5 :

M11 M12 M13 M14 M15M21 M22 M23 M24 M25M31 M32 M33 M34 M35

.

Dfinition. Sil ny a quune seule ligne alors M est une matrice ligne; sil ny a quune seule colonne alors M est une matrice colonne;

si le nombre de lignes est gal au nombre de colonnes alors M est une matrice carre.

Dfinition. Deux matrices sont gales si elles ont mme taille et si leurs lments respectifs

sont gaux.

Dfinition. Si M = (Mij) est une matrice alors Mt = (Mji) est sa matrice transpose. Si M

est de taille n p alors Mt est de taille p n.

Par exemple :

M=

a b c

d e f

, Mt =

a db ec f

.

3.2 Oprations algbriques

3.2.1 Somme

Dfinition. La sommede deux matrices de mme taille n p est la matrice de taille n p

forme naturellement comme somme terme terme. Formellement, (A + B)ij =Aij+ Bij avec1 i net 1 j p.

Thorme. Soient A, B et Ctrois matrices de mme taille. Alors :

A+B =B +A (commutativit) ;

A+O = O +A= A (lment neutre) o O est la matrice nulle de taille idoine ;

A+ (B+C) = (A+B) +C(associativit).

Preuve. Ces rsultats sont directement issus des proprits des proprits des ensembles num-

riques usuels.

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3.2.2 Multiplication par un scalaire

Dfinition. Lamultiplicationdune matrice par un scalaire est la matrice de mme taille forme

naturellement comme multiplication de tous ses coefficients. Formellement, si C alors

(M)ij =Mij.

Thorme. Soient Aet B deux matrices de mme taille. Soient et deux scalaires. Alors :

(A+B) =A+B;

(+)A= A+A ;

(A) = ()A.

3.2.3 Produit

Remarque.Il y a de bonnes raisons (lies la dfinition des applications linaires) la dfinition

suivante, qui peut de prime abord paratre sortie de lesprit dun mathmaticien fou. Autrement

exprim, cette dfinition est une manire de rendre compatible le produit matriciel avec la

substitution dans les systmes linaires (voir plus loin).

Dfinition. Le produitdune matrice Ade taille n p par une matrice B de taille p qest la

matrice Cde taille n qdfinie par Cij =p

k=1

AikBkj , i.e. le produit de la ligne i de A par la

colonne j de B.

Thorme. Soient A, B et Ctrois matrices de dimensions compatibles. Alors :

C(A+B) =C A+CB (distributivit gauche) ;

(A+B)C=AC+ BC (distributivit droite).

Remarque.Attention ! lanneau des matrices nest pas intgre, i.e. il ne vrifie pas le thorme

du produit nul.

Voici un exemple tout bte :

0 11

0

= (0) et pourtant aucun des deux facteurs nest une

matrice nulle.

3.3 Matrices carres

Dfinition. La matrice identitde taille n est la matrice carre de taille n dfinie par Iij = 1

si i= j et Iij = 0 si i=j :

In =

1 0 0

0 1 . . .

......

. . . . . . 0

0 0 1

Thorme. Si Aest une matrice carre de taille nalors InA= AIn = A (lment neutre).

Preuve. Cest un simple calcul.

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Dfinition. Deux matrices carresA et B de mme dimension n n sont inversessi

AB=B A= In;

dans ce cas Aest inversibleet son inverseB est note A1.

Preuve. Nous devons montrer, afin que la dfinition ci-dessus soit correcte, que linverse dune

matrice est unique. Si Apossde deux inverses B et C, alors AB =In=AC. En multipliant gauche par B, il vient (BA)B = (BA)C i.e. B =C.

Remarque. Pour prouver queB est linverse de A, vrifierAB =Inou B A= Insuffit.

Sil existe, linverse du produitM N est N1M1.

Remarque.Un systme linaire nvariables :

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2

.

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

..an1x1 + an2x2 + + annxn = yn

peut se traduire matriciellement par AX=Y, o :

A=

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n...

... ...

...

an1 an2 ann

, X=

x1x2...

xn

, Y =

y1y2...

yn

.

Rsoudre ce systme linaire consiste trouverXen fonction de Y, i.e. inverserA pour pouvoircrire X=A1Y.

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