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Matrices

Plan du chapitre

1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 21.1 Définition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 21.2 L’espace vectoriel (Mn,p(K),+, .) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 2

1.2.1 Définition l’addition et de la loi externe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 21.2.2 Etude de la base canonique de Mn,p(K). Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 3

1.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 31.3.1 Définition du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 31.3.2 Produit de deux matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 61.3.3 L’anneau (Mn(K),+,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 71.3.4 Matrices carrées inversibles. Le groupe (GLn(K),×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 81.3.5 Les pièges de la multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10

1.4 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 111.5 Quelques grands types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12

1.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 121.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 121.5.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 131.5.4 Matrices symétriques, matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14

2 Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 152.1 Définition de la matrice d’une famille de vecteurs dans une base (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 152.2 Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 162.3 Ecriture matricielle d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 172.4 Isomorphisme entre Mp,n(K) et L(E, F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 182.5 Matrice d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 19

3 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 213.1 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 213.2 La formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 223.3 Applications linéaires et changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 243.4 Matrices équivalentes. Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 27

4 Calculs par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 285 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 30

5.1 Définition du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 305.2 Lien avec le rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 305.3 Lien avec le rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 315.4 Une caractérisation du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 315.5 Transformations élémentaires ne modifiant pas le rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 32

5.5.1 Rappel. Codage des transformations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 325.5.2 Interprétation en terme de calcul matriciel des opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 355.5.3 Matrices de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 37

5.5 Matrices extraites. Une autre caractérisation du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 395.6.1 Définition dune matrice extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 395.6.2 Caractérisation du rang comme le format maximal d’une matrice extraite inversible . . . . . . . . . . . . . . . page 39

6 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 406.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 406.2 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 41

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1 Opérations sur les matrices

1.1 Définition d’une matrice

On se donne deux entiers naturels non nuls n et p. La définition la plus propre d’une matrice à n lignes et p colonnes àcoefficients dans K est : « une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est une application de J1, nK× J1, pKdans K ou encore une famille d’éléments de K indexée par J1, nK × J1, pK ». Dans la pratique, une matrice est écrite sousune des formes suivantes (la notation avec des parenthèses étant de loin la plus utilisée) :

A = (ai,j)16i6n, 16j6p =

a1,1 . . . a1,j . . . a1,p

......

...ai,1 . . . ai,j . . . ai,p

......

...an,1 . . . an,j . . . an,p

=

a1,1 . . . a1,j . . . a1,p

......

...ai,1 . . . ai,j . . . ai,p

......

...an,1 . . . an,j . . . an,p

.

Nous adopterons donc la définition suivante :

Définition 1. Pour n et p entiers naturels non nuls donnés, une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dansK est un tableau à n lignes et p colonnes et donc à np cases, chaque case contenant un élément de K. Dans ce cas, lamatrice est de format (n, p). L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K se note Mn,p(K).

Si de plus n = p, la matrice est dite carrée. Dans ce cas, n est le format ou la taille de la matrice carrée. L’ensembledes matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans K se note Mn(K).

Une matrice à n lignes et 1 colonne s’appelle une matrice colonne. L’ensemble des matrices colonnes à n lignes senote Mn,1(K).Une matrice à 1 ligne et p colonnes s’appelle une matrice ligne. L’ensemble des matrices lignes à p colonnes se noteM1,p(K).

Par exemple, la matrice

(

2 −1 4

5 0 1

)

est une matrice à deux lignes et trois colonnes,

(

cosθ − sinθ

sinθ cosθ

)

est une matrice

carrée de format 2,

(

x1x2

)

est une matrice colonne et(

x1 x2)

est une matrice ligne.

Un élément de M1,1(K) est une matrice n’ayant qu’un seul coefficient ; A = (a1,1). On a souvent l’habitude d’identifier unetelle matrice et son unique coefficient : (a1,1) = a1,1 ou encore M1,1(K) = K de même que dans les chapitres précédents,on a identifié K1 et K.

Si A =

a1,1 . . . a1,j . . . a1,p

......

...ai,1 . . . ai,j . . . ai,p

......

...an,1 . . . an,j . . . an,p

, ai,j est le coefficient ligne i, colonne j, de A,

a1,j

...ai,j

...an,j

est la j-ème colonne de

A souvent notée Cj et(

ai,1 . . . ai,j . . . ai,p

)

est la i-ème ligne de A souvent notée Li.

Quand A est une matrice carrée, la diagonale principale de la matrice A est la diagonale formée par les coefficientsai,i, 1 6 i 6 n. Elle démarre en haut à gauche et finit en bas à droite. Les coefficients de cette diagonale principale sontsouvent appelés coefficients diagonaux.

1.2 L’espace vectoriel (Mn,p(K),+, .)

1.2.1 Définition l’addition et de la loi externe

On définit sur Mn,p(K) une addition et une loi externe de domaine K.

• Pour tout (A,B) =(

(ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK , (bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK

)

∈ (Mn,p(K))2, on pose

A+ B = (ai,j + bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK .

• Pour tout A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(K) et tout λ ∈ K, on pose

λA = (λai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK .

On vérifie facilement que :


Théorème 1. (Mn,p(K),+, .) est un K-espace vectoriel.

L’élément neutre pour l’addition est la matrice nulle notée 0 ou 0n,p. C’est la matrice rectangulaire de format (n, p)

dont tous les coefficients sont nuls.L’opposé d’une matrice A = (ai,j)(i,j)∈J×J1,pK est la matrice −A = (−ai,j)(i,j)∈J×J1,pK.

1.2.2 Etude de la base canonique de Mn,p(K). Matrices élémentaires

Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Pour (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, on note Ei,j la matrice rectangulaire de format(n, p) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient ligne i, colonne j, qui est égal à 1. Les matrices Ei,j sont lesmatrices élémentaires.Pour (k, l) ∈ J1, nK × J1, pK, le coefficient ligne k, colonne l de la matrice Ei,j, est donc égal à 1 si et seulement si k = i etl = j et est égal à 0 sinon. Le coefficient ligne k, colonne l, est donc δk,i × δl,j. Ainsi,

∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, Ei,j =

0 . . . 0 . . . 0...

......

00 . . . 0 1 0 . . . 0

0...

......

0 . . . 0 . . . 0

j

i

ou aussi

∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, Ei,j = (δk,i × δl,j)(k,l)∈J1,nK×J1,pK .

Si A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une matrice donnée, alors

A =∑

(i,j)∈J1,nK×J1,pK

ai,jEi,j.

Ceci montre que la famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est génératrice de Mn,p(K). D’autre part, si (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Knp

∑


ai,jEi,j = 0⇒ (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK = (0)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ⇒ ∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, ai,j = 0.

Donc, la famille de matrices (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est libre. Finalement, la famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une base de

Mn,p(K) : c’est la base canonique de l’espace vectoriel (Mn,p(K),+, .).

On en déduit que

Théorème 2. dim (Mn,p(K)) = np.

La famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une base de Mn,p(K)

L’égalité (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK =∑


ai,jEi,j est fréquemment utilisée. Par exemple,

(

1 0 3

−1 1 0

)

= E1,1 + 3E1,3 − E2,1 + E2,2.

1.3 Produit de deux matrices

1.3.1 Définition du produit matriciel

On définit maintenant le produit de deux matrices. Pour des raisons qui apparaitront ultérieurement, on ne multiplierapas tout type de matrice par tout type de matrice. On effectuera un produit A× B uniquement dans le cas où le nombrede colonnes de A est le nombre de lignes de B. Plus précisément, si n, p et q sont trois entiers naturels non nuls et siA = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(K) et B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK ∈ Mp,q(K), la matrice A× B est la matrice de format

(n, q) dont le coefficient ligne i, colonne j, où (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK, est

p∑

k=1

ai,kbk,j. Ainsi,


∀(

(ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK , (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK

)

∈ Mn,p(K)×Mp,q(K), A× B =

(

p∑

k=1

ai,kbk,j

)

(i,j)∈J1,nK×J1,qK

.

On note que dans le cas général, × n’est pas une loi interne car les matrices que l’on multiplie n’appartiennent pas aumême ensemble.

Ainsi, par exemple, le coefficient ligne 1 colonne 2, de la matrice AB est a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2 + . . . + a1,pbp,2.On dit que l’on a effectué le produit scalaire usuel du p-uplet (a1,1, a1,2, a1,3, . . . , a1,p) (constitué des coefficients dela ligne 1) par le p-uplet (b1,2, b2,2, b3,2 . . . , bp,2) (constitué des coefficients de la colonne 2). Plus généralement, pour

obtenir le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A×B, on effectue le produit de la ligne i par la colonne j :

p∑

k=1

ai,kbk,j.

Exemple. Si A =

(

1 5 −2

1 3 2

)

et B =

3 −1 1

−5 −2 1

2 3 2

, la matrice A est de format (2, 3) et la matrice B est de

format (3, 3). Donc, la matrice A× B est définie et de format (2, 3). De plus, son coefficient ligne 2, colonne 1, est obtenude la façon suivante :

(

1 5 −2

1 3 2

)

×

3 −1 1

−5 −2 1

2 3 2

=

(

• • •1× 3+ 3× (−5) + 2× 2 • •

)

=

(

• • •−8 • •

)

,

et plus généralement,

(

1 5 −21 3 2

)

×

3 −1 1−5 −2 1

2 3 2

=

(

−26 −17 2−8 −1 8

)

.

❏

On donne maintenant les premières règles de calcul avec des produits de matrices.

Théorème 3. Soient n, p, q, r quatre entiers naturels non nuls.

∀(A,B,C) ∈ Mn,p(K)×Mp,q(K)×Mq,r(K), (AB)C = A(BC).

Démonstration . On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK, B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK et C = (ci,j)(i,j)∈J1,qK×J1,rK.

A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K). Donc le produit A×B est défini et est élément de Mn,q(K). Ensuite, A×B ∈ Mn,q(K) et C ∈ Mq,r(K).Donc, le produit (AB)×C est défini et est élément de Mn,r(K). De même, le produit A× (BC) est défini et est élément de Mn,r(K).

Pour (i, k) ∈ J1, nK × J1, qK, le coefficient ligne i, colonne k, de la matrice A× B est

p∑

l=1

ai,lbl,k et donc, pour (i, j) ∈ J1, nK × J1, rK,

le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice (A× B)× C est

q∑

k=1

(

p∑

l=1

ai,lbl,k

)

ck,j =∑

16l6p16k6q

ai,lbl,kck,j =∑

16k ′6p

16l ′6q

ai,k ′bk ′,l ′cl ′,j.

De même, pour (i, j) ∈ J1, nK × J1, rK, le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A× (B× C) est

p∑

k=1

ai,k

(

p∑

l=1

bk,lcl,j

)

=∑

16k6p16l6q

ai,kbk,lcl,j.

Les matrices (A× B)× C et A× (B × C) ont les mêmes coefficients. Ces matrices sont donc égales.

❏

On note In la matrice carrée de format n dont le coefficient ligne i, colonne j, 1 6 i, j 6 n, vaut 1 si i = j et 0 sinon. Donc,

In = (δi,j)16i,j6n=

1 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . 0 1

.


Théorème 4. Soient n et p deux entiers naturels non nuls.

∀A ∈ Mn,p(K), In ×A = A et A× Ip = A.

Démonstration . On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.

In ∈ Mn,n(K) et A ∈ Mn,p(K). Donc, le produit In × A est défini et est élément de Mn,p(K).

Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice In × A est

n∑

k=1

δi,kak,j = ai,j (obtenu pour k = i).

Donc, In × A = A. De même, A× Ip = A.

❏

Théorème 5. ∀(A,B,C) ∈ Mn,p(K) × Mp,q(K) × Mp,q(K), A × (B + C) = AB + AC et ∀(B,C,A) ∈ Mn,p(K) ×Mn,p(K)×Mp,q(K), (B+ C)×A = BA + CA.

Démonstration . On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK, B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK et C = (ci,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK.

A est dans Mn,p(K) et B, C et B+C sont dans Mp,q(K). Donc, les produit A×B, A×C et A× (B+C) sont définis et sont élémentsde Mn,q(K).

Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne i, colonne j, de A× B est

p∑

k=1

ai,kbk,j et le coefficient ligne i, colonne j, de A× C est

p∑

k=1

ai,kck,j puis le coefficient ligne i, colonne j, de A× B +A× C est

p∑

k=1

ai,kbk,j +

p∑

k=1

ai,kck,j =

p∑

k=1

(ai,kbk,j + ai,kck,j) =

p∑

k=1

ai,k (bk,j + ck,j) ,

qui est le coefficient ligne i, colonne j, de A× (B + C). Donc, A× (B + C) = A× B +A× C.

L’autre égalité se démontre de la même manière.

❏

Théorème 6. ∀λ ∈ K, ∀(A,B) ∈ Mn,p(K)×Mp,q(K), (λA)× B = A× (λB) = λAB.

Démonstration . Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice (λA) × B est

n∑

k=1

(λai,k)bk,j =

λ

n∑

k=1

ai,kbk,j et celui de la matrice A× (λB) estn∑

k=1

ai,k (λbk,j) = λ

n∑

k=1

ai,kbk,j. Dans les deux cas, on a trouvé le coefficient ligne i,

colonne j, de la matrice λAB

❏

Exercice 1. Pour θ ∈ R, on pose M(θ) =

(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)

.

1) Calculer M(θ)×M(θ ′) pour tout (θ, θ ′) ∈ R2.

2) Calculer (M(θ))n pour tout θ ∈ R et pour tout n ∈ N∗ (où (M(θ))n =

n facteurs︷︸︸︷M(θ)× . . .×M(θ)).

Solution 1.

1) Soit (θ, θ ′) ∈ R2.

M(θ)×M(θ ′) =

(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)(

cos(θ ′) − sin(θ ′)

sin(θ ′) cos(θ ′)

)

=

(

cos(θ) cos(θ ′) − sin(θ) sin(θ ′) − sin(θ) cos(θ ′) − cos(θ) sin(θ ′)

sin(θ) cos(θ ′) + cos(θ) sin(θ ′) cos(θ) cos(θ ′) − sin(θ) sin(θ ′)

)

=

(

cos(θ+ θ ′) − sin(θ + θ ′)

sin(θ + θ ′) cos(θ+ θ ′)

)

= M(θ+ θ ′).


2) Soit θ ∈ R. Montrons par récurrence que ∀n ∈ N∗, (M(θ))n = M(nθ).

• L’égalité est vraie pour n = 1.

• Soit n > 1. Supposons que (M(θ))n = M(nθ). Alors,

(M(θ))n+1 = (M(θ))n ×M(θ)

= M(nθ)×M(θ) (par hypothèse de récurrence)

= M(nθ+ θ) (d’après 1))

= M((n + 1)θ).

Le résultat est démontré par récurrence.

1.3.2 Produit de deux matrices élémentaires

Théorème 7. ∀(i, j, k, l) ∈ J1, nK × J1, pK × J1, pK × J1, qK, Ei,j × Ek,l = δj,kEi,l.

Démonstration . Soit (u, v) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne u, colonne v, de Ei,j × Ek,l est

p∑

w=1

(δu,i δw,j)︸︷︷︸coef. ligne u,colonne w,

de Ei,j

(δw,k δv,l)︸︷︷︸coef. ligne w,

colonne v,de Ek,l

= δu,iδv,l

n∑

w=1

δw,jδw,k

= δj,kδu,iδv,l (obtenu pour w = j).

Ce coefficient est aussi celui de δj,kEi,l ce qui démontre le résultat.

❏

Ainsi, dans le cas de matrices carrées de format n > 2, E1,2 × E2,1 = E1,1 et E2,1 × E1,2 = E2,2. En particulier,E1,2 × E2,1 6= E2,1 × E1,2. On note aussi que E1,2 × E1,1 = 0 et pourtant E2,1 6= 0 et E1,1 6= 0.

Exercice 2. Soit N =

0 1 0

0 0 10 0 0

. Calculer N2 et N3.

Solution 2. N = E1,2 + E2,3. Ensuite,

N2 = (E1,2 + E2,3) (E1,2 + E2,3) = E1,2E1,2 + E1,2E2,3 + E2,3E1,2 + E2,3E2,3 = E1,3

=

0 0 1

0 0 00 0 0

,

puis

N3 = N×N2 = (E1,2 + E2,3)E1,3

= 0.

➱ Commentaire .

⋄ Quand des matrices contiennent beaucoup de 0, on utilise fréquemment l’écriture de cette matrice à l’aide des matrices élémentairespour effectuer des produits.

⋄ La matrice N de l’exercice 2 vérifie N 6= 0, N2 6= 0 et N3 = 0. Une telle matrice est dite nilpotente d’indice 3. De manièregénérale, si A ∈ Mn(K), A est nilpotente si et seulement si il existe un entier naturel non nul k tel que Ak = 0. L’indice de

nilpotence de A est alors p = Min{k ∈ N

∗, Ak = 0}. Il existe une et une seule matrice nilpotente d’indice 1 à savoir la matrice

nulle 0.


1.3.3 L’anneau (Mn(K),+,×)

Le produit de deux matrices carrées de format n est défini et est une matrice carrée de format n. Donc, × est une loiinterne sur Mn(K). Les théorèmes 1, 3, 4 et 5, ainsi que les calculs précédant l’exercice 2, fournissent immédiatement

Théorème 8. Pour tout n > 1, (Mn(K),+,×) est un anneau. Cet anneau est non commutatif pour n > 2.

On note que l’élément neutre de × est In. D’autre part, comme dans tout anneau, l’élément neutre pour +, à savoir lamatrice nulle 0n, est absorbant pour la multiplication : ∀A ∈ Mn(K), A× 0n = 0n ×A = 0n.

Comme dans tout anneau, on peut définir les exposants : pour A ∈ Mn(K) et p ∈ N∗, on pose Ap = A× . . .×A︸︷︷︸

p facteurs

et on

adopte la convention A0 = In (convention douteuse faisant parfois commettre quelques erreurs, la notation A0 n’étantréellement cohérente que quand A est inversible pour ×).

On a alors les règles de calculs usuelles sur les exposants :

- ∀A ∈ Mn(K), ∀(p, q) ∈ N2, Ap ×Aq = Ap+q et (Ap)

q= Apq.

- ∀(A,B) ∈ (Mn(K))2, ∀p ∈ N, si A et B commutent, alors (AB)p = ApBp.

Comme dans tout anneau, on a aussi la formule du binôme de Newton et l’identité Ap − Bp = . . . :

Théorème 10. Soit n > 1.

• (formule du binôme de Newton) ∀(A,B) ∈ (Mn(K))2, si A et B commutent

∀p ∈ N, (A + B)p =

p∑

k=0

(

p

p

)

AkBp−k.

• ∀(A,B) ∈ (Mn(K))2, si A et B commutent

∀p ∈ N∗, Ap − Bp = (A− B)

p−1∑

k=0

AkBp−1−k.

Si A et B ne commutent pas, on a par exemple (A+ B)2 = (A+ B)(A + B) = A2 +AB+ BA + B2 et pas mieux.

Il est donc temps de s’intéresser aux matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées :

Exercice 3. Soit n > 2. Déterminer les matrices A ∈ Mn(K) telles que ∀B ∈ Mn(K), AB = BA.

Solution 3. Posons A = (ai,j)16i,j6n. Si A est solution du problème, alors ∀(i, j) ∈ J1, nK2, AEi,j = Ei,jA. Or,

AEi,j =∑

16k,l6n

ak,lEk,lEi,j =

n∑

k=1

ak,iEk,j

= a1,iE1,j + a2,iE2,j + . . .+ ai,iEi,j + . . .+ an,iEn,j,

et

Ei,jA =∑

16k,l6n

ak,lEi,jEk,l =

n∑

l=1

aj,lEi,l

= aj,1Ei,1 + aj,2Ei,2 + . . .+ aj,jEi,j + . . .+ aj,nEi,n.

Puisque la famille (Ei,j)16i,j6n est libre, on peut identifier les coefficients et on obtient : pour tout (i, k) ∈ J1, nK2 tel que

i 6= k, ai,k = 0 et pour tout (i, j) ∈ J1, nK2, ai,i = aj,j.

Ainsi, si A commutent avec toutes les matrices, alors A est nécessairement de la forme A =

λ 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . . 0

0 . . . 0 λ

= λIn

où λ ∈ K. Réciproquement, pour λ ∈ K et B ∈ Mn(K), B× (λIn) = λB = (λIn)× B.

Les matrices qui commutent avec toutes les matrices carrées sont les matrices de la forme λIn, λ ∈ K.


Exercice 4.

1) Soit N =

0 1 0

0 0 10 0 0

. Calculer Nk pour k ∈ N.

2) Soit A =

2 −1 00 2 −1

0 0 2

. Calculer An pour n ∈ N.

Solution 4.

1) N0 = I3 et N1 = N. On a vu dans l’exercice no 2 que N2 = E1,3 puis N3 = 0. On en déduit que pour k > 3 (de sorteque k− 3 > 0), Nk = Nk−3 ×N3 = Nk−3 × 0 = 0.

2) A0 = I3 et A1 = A. Soit n > 2. A = 2I3 −N et puisque les matrices A et −2In commutent, la formule du binôme deNewton permet d’écrire

An = (2I3 −N)n=

n∑

k=0

(

n

k

)

(2I3)n−k

(−N)k

=

(

n

0

)

(2I3)n(−N)

0+

(

n

1

)

(2I3)n−1

(−N)1+

(

n

2

)

(2I3)n−2

(−N)2(car pour k > 3, Nk = 0)

= 2nI3 − n2n−1N+ n(n − 1)2n−3N2

=

2n −n2n−1 n(n − 1)2n−3

0 2n −n2n−1

0 0 2n

,

ce qui reste vrai pour n = 0 ou n = 1. Donc,

∀n ∈ N, An =

2n −n2n−1 n(n − 1)2n−3

0 2n −n2n−1

0 0 2n

.

➱ Commentaire . Quand on écrit An =

n∑

k=0

(

n

k

)

(2I3)n−k

(−N)k, on remplace le problème du calcul des puissances successives

de A par le calcul des puissances successives de la matrice 2I3 et de la matrice −N. Si l’on n’était pas capable de calculer cespuissances, utiliser le binôme ne présente plus aucun intérêt. Cette mentalité est la même dans l’exercice suivant.

Exercice 5.

1) Soit J =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

. Calculer J2. En déduire Jk pour k ∈ N∗.

2) Soit A =

2 1 11 2 1

1 1 2

. Calculer An pour n ∈ N.

Solution 5.

1) J2 =

1 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1

1 1 11 1 1

=

3 3 3

3 3 33 3 3

= 3J. Montrons alors par récurrence que pour tout k ∈ N∗,

Jk = 3k−1J.

• 31−1J = J = J1 et donc, la formule est vraie quand k = 1.

• Soit k > 1. Si Jk = 3k−1J, alors

Jk+1 = Jk × J = 3k−1J× J = 3k−1 × 3J = 3(k+1)−1J.

On a montré par récurrence que ∀k ∈ N∗, Jk = 3k−1J. D’autre part, J0 = I3 (et en particulier J0 6= 30−1J).


2) A0 = I3. Soit n > 1. Puisque A = I3 + J et que les matrices I3 et J commutent, la formule du binôme de Newton

fournit

An = (I3 + J)n=

n∑

k=0

(

n

k

)

In−k3 Jk = I3 +

n∑

k=1

(

n

k

)

In−k3 Jk

= I3 +

n∑

k=1

(

n

k

)

3k−1J = I3 +

(

n∑

k=1

(

n

k

)

3k−1

)

J

= I3 +1

3

(

n∑

k=1

(

n

k

)

3k

)

J = I3 +1

3

(

n∑

k=0

(

n

k

)

3k1n−k − 1

)

J

= I3 +1

3((3 + 1)n − 1) J = I3 +

4n − 1

3J

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+4n − 1

3

1 1 1

1 1 1

1 1 1

=1

3

4n + 2 4n − 1 4n − 1

4n − 1 4n + 2 4n − 1

4n − 1 4n − 1 4n + 2

,

ce qui reste vrai quand n = 0. Donc,

∀n ∈ N, An =1

3

4n + 2 4n − 1 4n − 1

4n − 1 4n + 2 4n − 14n − 1 4n − 1 4n + 2

.

1.3.4 Matrices carrées inversibles. Le groupe (GLn(K,×)

On rappelle qu’une matrice carrée A ∈ Mn(K) est inversible pour × si et seulement si il existe une matrice carréeB ∈ Mn(K) telle que A × B = B × A = In. Dans ce cas, la matrice B est unique et se note A−1. On note GLn(K)

l’ensemble des matrices carrées inversibles pour ×. GLn(K) est l’ensemble des inversibles de l’anneau (Mn(K),+, .) et àce titre :

Théorème 11. Soit n > 1. (GLn(K),×) est un groupe.

En particulier, In ∈ GLn(K), si (A,B) ∈ (GLn(K))2, alors AB ∈ GLn(K) (et (AB)

−1= B−1A−1) et si A ∈ GLn(K), alors

A−1 ∈ GLn(K) (et(

A−1)−1

= A).

Théorème 12. Soit (n, p) ∈ (N∗)2.

∀A ∈ GLn(K), ∀(B,C) (Mn,p(K)2, AB = AC⇒ B = C.

∀A ∈ GLn(K), ∀(B,C) (Mp,n(K))2, BA = CA⇒ B = C.

Démonstration . Soient A ∈ GLn(K) et (B,C) (Mn,p(K)2.

AB = AC ⇒ A−1

AB = A−1

AC ⇒ InB = InC ⇒ B = C.

Et de même pour l’autre implication.

❏

Si A ∈ GLn(K), on peut définir Ap pour p ∈ Z : ∀p ∈ Z, Ap =

p facteurs

︷︸︸︷A× . . .×A si p > 1

In si p = 0

A−1 × . . .×A−1

︸︷︷︸−p facteurs

si p 6 −1

. Avec cette définition, on

a les règles de calcul usuelles sur les exposants :

• ∀A ∈ GLn(K), ∀(p, q) ∈ Z2, Ap ×Aq = Ap+q et (Ap)q= Apq.

• ∀(A,B) ∈ (GLn(K))2, ∀p ∈ Z, si A et B commutent, (AB)p = ApBp.

Au fur et à mesure du cours, nous rencontrerons de nombreuses méthodes, à utiliser en fonction des circonstances, pourmontrer qu’une certaine matrice carrée est inversible et déterminer son inverse. La première méthode est fournie par ladéfinition de l’inversibilité et de l’inverse. Cette méthode est mise en œuvre dans les deux exercices qui suivent.


Exercice 6. Soient A =

1 −1 0

0 1 −1

0 0 1

et N =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

.

1) Exprimer A en fonction de I3 et N.

2) Calculer N3.

3) En déduire que A ∈ GL3(R) et préciser A−1.

Solution 6.

1) A =

1 −1 0

0 1 −10 0 1

=

1 0 0

0 1 00 0 1

−

0 1 0

0 0 10 0 0

= I3 −N.

2) On a vu dans l’exercice 2 que N3 = 0.

3) Puisque les matrices I3 et N commutent, (I3 −N)(

I3 +N+N2)

= I3−N3 = I3 et de même,(

I3 +N+N2)

(I3 −N) =

I3 −N3 = I3. Donc, A est inversible et A−1 = I3 +N+N2. Plus précisément,

A−1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+

0 1 0

0 0 1

0 0 0

+

0 0 1

0 0 0

0 0 0

=

1 1 1

0 1 1

0 0 1

.

Exercice 7. Soient A =

2 1 1

1 2 11 1 2

et J =

1 1 1

1 1 11 1 1

.

1) Exprimer A en fonction de I3 et J.

2) Calculer J2. En déduire une égalité du type αA2 + βA+ γI2 où α, β et γ sont trois réels, α étant non nul.

3) En déduire que A ∈ GL3(R) et préciser A−1.

Solution 7.

1) A = I3 + J.

2) J2 =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

=

3 3 3

3 3 3

3 3 3

= 3

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= 3J, puis

J2 = 3J⇒ (A− I3)2= 3 (A− I3)⇒ A2 − 5A + 4I3 = 0.

3) A2 − 5A + 4I3 = 0⇒ I3 =1

4

(

−A2 + 5A)

. Donc,

A× 1

4(−A+ 5I3) = I3 =

1

4(−A+ 5I3)×A.

Par suite, A ∈ GL3(R) et

A−1 =1

4(−A+ 5I3) =

1

4

3 −1 −1−1 3 −1

−1 −1 3

.

1.3.5 Les pièges de la multiplication des matrices

Les pièges du produit des matrices sont les mêmes que les mêmes que les pièges de la composition des applications linéaires.

• Il est possible que A× B 6= B×A. Par exemple, E1,1 × E1,2 = E1,2 6= 0 et E1,2 × E1,1 = 0.

• Il est possible que A 6= 0, B 6= 0 et A× B = 0 ou encore un produit de facteurs peut être nul sans qu’aucun de sesfacteurs ne soit nul. Par exemple, E1,1 6= 0, E1,2 6= 0 et E1,2 × E1,1 = 0.

• Il est possible que A× B = 0 et B×A 6= 0. Par exemple, E1,1 × E1,2 6= 0 et E1,2 × E1,1 = 0.

• Il est possible que A× B = A× C et B 6= C. Par exemple, E1,2 × E1,1 = 0× E1,1 mais E1,2 6= 0.


• Il est possible que (A× B)2 6= A2 × B2. Par exemple, (E1,2E2,1)

2= (E1,1)

2= E1,1 mais E2

1,2E22,1 = 0.

• Il est possible que (A + B)2 6= A2 + 2AB+ B2.

Par exemple, (E1,2 + E2,1)2= (E1,2 + E2,1) (E1,2 + E2,1) = E2

1,2 + E1,2E2,1 + E2,1E1,2 + E22,1 = E1,1 + E2,2 mais

E21,2 + 2E1,2E2,1 + E2

2,1 = 2E1,1.

1.4 Transposée d’une matrice

Définition 2. Soit (n, p) ∈ (N∗)2. Soit A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(K).

La transposée de la matrice A, notée tA, est la matrice élément de Mp,n(K) dont le coefficient ligne i, colonne j,(i, j) ∈ J1, pK × J1, nK, est le coefficient de la matrice A situé ligne j, colonne i ou encore

tA =(

a ′i,j

)

(i,j)∈J1,pK×J1,nKoù ∀(i, j) ∈ J1, pK × J1, nK, a ′

i,j = aj,i.

Par exemple, si A =

1 3

−1 5

4 0

, alors tA =

(

1 −1 4

3 5 0

)

.

Les propriétés usuelles de calcul de la transposition sont :

Théorème 13.

1) ∀A ∈ Mn,p(K), t (tA) = A.

2) ∀(A,B) ∈ (Mn,p(K))2, ∀(λ, µ) ∈ K2, t (λA+ µB) = λtA+ µtB.

3) ∀(A,B) ∈ Mn,p(K)×Mp,q(K), t (AB) = tBtA.

4) ∀A ∈ Mn(K), tA ∈ GLn(K)⇔ A ∈ GLn(K). De plus, en cas d’inversibilité, (tA)−1

= t(

A−1)

.

Démonstration .

1) On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.tA est la matrice de format (p, n) dont le coefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, pK × J1, nK,

est a ′

i,j = aj,i.t(

tA)

est la matrice de format (n, p) dont coefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, est a ′′

i,j = a ′

j,i = ai,j.Donc, t

(

tA)

= A.

2) On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK et B = (bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.

Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice t (λA + µB) est λaj,i + µbj,i et est aussi le coefficient lignei, colonne j, de la matrice λtA + µtB. Donc, t (λA + µB) = λtA+ µtB.

3) On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK et B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK puis tA =(

a ′

i,j

)

(i,j)∈J1,pK×J1,nKet tB =

(

b ′

i,j

)

(i,j)∈J1,qK×J1,pK.

• AB est un élément de Mn,q(K) et donc t(AB) est un élément de Mq,n(K). Soit (i, j) ∈ J1, qK× J1, nK. Le coefficient ligne i, colonnej, de la matrice t(AB) est encore le coefficient ligne j, colonne i, de la matrice AB c’est-à-dire

p∑

k=1

aj,kbk,i.

• tA est un élément de Mp,n(K) et tB est un élément de Mq,p(K). Donc, tBtA est défini et est un élément de Mq,n(K). Soit(i, j) ∈ J1, qK × J1, nK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice tBtA est le « produit » de la ligne i de tB par la colonne j detA c’est-à-dire

p∑

k=1

b′

i,ka′

k,j =

p∑

k=1

aj,kbk,i.

Donc, t(AB) = tBtA.

4) Si A ∈ GLn(K), alors tA × t(

A−1)

= t(

A−1A)

= tIn = In et t(

A−1)

× tA = t(

AA−1)

= tIn = In. Donc, tA ∈ GLn(K) et(

tA)−1

= t(

A−1)

.En appliquant ce résultat à la matrice tA, on obtient : si tA ∈ GLn(K), alors A = t

(

tA)

∈ GLn(K).

❏

Exercice 6. Soient U =

u1

...un

et V =

v1...vn

deux éléments de Mn,1(K). Calculer tUV et UtV .

Solution 6.


• tU est une matrice de format (1, n) et V est une matrice de format (n, 1). Donc, tUV est définie et de format (1, 1).tUV est le nombre :

tUV =(

u1 . . . un

)

v1...vn

= u1v1 + . . .+ unvn.

• U est une matrice de format (n, 1) et V est une matrice de format (1, n). Donc, UtV est définie et de format (n,n). Si(i, j) ∈ J1, nK2, le coefficient ligne i, colonne j, est uivj et donc

UtV =

u1

...un

(

v1 . . . vn)

=

u1v1 . . . u1vj . . . u1vn...

......

uiv1 . . . uivj . . . uivn...

......

unv1 . . . unvj . . . unvn

= (uivj)16i,j6n .

1.5 Quelques grands types de matrices

1.5.1 Matrices scalaires

Définition 3. Une matrice scalaire de format n ∈ N∗ est une matrice de la forme

λ 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 . . . 0 λ

= λIn.

➱ Commentaire .

⋄ On a vu dans l’exercice 3, page 7, que les matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées sont exactement lesmatrices scalaires.

⋄ L’ensemble des matrices scalaires de format n est un sous-espace vectoriel de Mn(K) de dimension 1. Une base de ce sous-espaceest (In). L’espace des matrices scalaires étant de dimension 1, il est isomorphe à K

1 = K l’espace des scalaires, un isomorphismeétant λ 7→ λIn. Ceci motive la dénomination « matrices scalaires ».

1.5.2 Matrices diagonales

Définition 4. Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(K). A est une matrice diagonale si et seulement si ∀i 6= j, ai,j = 0.

Une matrice diagonale est donc une matrice de la forme : D =

λ1 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . 0 λn

où (λ1, . . . , λn) ∈ Kn. Une telle

matrice se note D = diag (λ1, . . . , λn) = diag (λi)16i6n.

L’ensemble des matrices diagonales se note Dn(K).

Théorème 14. Dn(K) est un sous-espace de Mn(K) de dimension n. Une base de Dn(K) est (Ei,i)16i6n.

Démonstration . Pour tout (λ1, . . . , λn) ∈ Kn, diag (λ1, . . . , λn) =

n∑

i=1

λiEi,i. Par suite, Dn(K) = Vect (Ei,i)16i6n et en

particulier, Dn(K) est un sous-espace de Mn(K).

De plus, la famille (Ei,i)16i6n est génératrice de Dn(K) et libre en tant que sous-famille d’une famille libre. Finalement, la famille

(Ei,i)16i6n est une base de Dn(K) et en particulier, dim (Dn(K)) = card(

(Ei,i)16i6n

)

= n. ❏

On donne maintenant les règles de calcul sur les matrices diagonales. Elles sont remarquablement simples :


Théorème 15.

1) ∀(

(λi)16i6n , (µi)16i6n

)

∈ (Kn)2, ∀(α,β) ∈ K2, α diag (λi)16i6n + β diag (µi)16i6n = diag (αλi + βµi)16i6n.

2) a) ∀(

(λi)16i6n , (µi)16i6n

)

∈ (Kn)2, diag (λi)16i6n × diag (µi)16i6n = diag (λiµi)16i6n.

b) ∀ (λi)16i6n ∈ Kn, ∀k ∈ N,(

diag (λi)16i6n

)k

= diag(

λki)

16i6n.

3) a) ∀ (λi)16i6n ∈ Kn,(

diag (λi)16i6n ∈ GLn(K)⇔ ∀i ∈ J1, nK, λi 6= 0)

et dans ce cas(

diag (λi)16i6n

)−1

= diag

(

1

λi

)

16i6n

.

b) Pour (λi)16i6n ∈ Kn tel que pour tout i ∈ J1, nK, λi 6= 0, ∀k ∈ Z,(

diag (λi)16i6n

)k

= diag(

λki)

16i6n.

Démonstration .

1) Immédiat.

2) a) diag (λi)16i6n × diag (µi)16i6n =

(

n∑

i=1

λiEi,i

)

n∑

j=1

µjEj,j

=∑

16i,j6n

λiµjEi,iEj,j =

n∑

i=1

λiµiEi,i = diag (λiµi)16i6n.

b) Se déduit immédiatement du a) par récurrence sur k.

3) a) Si tous les λi, 1 6 i 6 n, sont non nuls, alors

diag (λi)16i6n × diag

(

1

λi

)

16i6n

= diag

(

λi ×1

λi

)

16i6n

= diag (1)16i6n = In

et de même, diag

(

1

λi

)

16i6n

×diag (λi)16i6n = In. Dans ce cas, diag (λi)16i6n ∈ GLn(K) et(

diag (λi)16i6n

)−1

= diag

(

1

λi

)

16i6n

.

Si l’un des λi est nul, soit i0 ∈ J1, nK tel que λi0 = 0. Alors, pour toute matrice A ∈ Mn(K), la i0-ème colonne de la matriceA × diag (λi)16i6n est nulle. En particulier, pour toute matrice A ∈ Mn(K), A × diag (λi)16i6n 6= In. Ceci montre que la matricediag (λi)16i6n n’est pas inversible.

b) Le résultat est acquis pour k > 0 et si k < 0,

(

diag (λi)16i6n

)k

=

(

(

diag (λi)16i6n

)−1)−k(

diag(

λ−1i

)

16i6n

)−k

= diag

(

(

λ−1i

)−k)

16i6n

= diag(

λki

)

16i6n.

❏

1.5.3 Matrices triangulaires

Commençons par analyser différentes « régions » dans une matrice carrée. La diagonale principale est constituée descoefficients ai,j tels que j = i.Un coefficient ai,j situé strictement au-dessous cette diagonale a un numéro de colonne j strictement inférieur au numérode ligne i et un coefficient ai,j situé strictement au-dessus cette diagonale a un numéro de colonne j strictement supérieurau numéro de ligne i. On peut résumer ceci avec le graphique :

. . .

. . . j > i

i = j

j < i. . .

. . .

.

On peut maintenant donner la définition d’une matrice triangulaire :


Définition 5. Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(K). A est une matrice triangulaire supérieure (resp. triangulaire

inférieure) si et seulement si ∀(i, j) ∈ J1, nK2, (i > j⇒ ai,j = 0) (resp. (i < j⇒ ai,j = 0).

Une matrice triangulaire supérieure est donc une matrice de la forme : T =

a1,1 . . . . . . a1,n

0. . .

......

. . .. . .

...0 . . . 0 an,n

et une matrice

triangulaire inférieure est une matrice de la forme : T =

a1,1 0 . . . 0...

. . .. . .

......

. . . 0

an,1 . . . . . . an,n

.

L’ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) se note Tn,s(K) (resp. Tn,i(K)).

On note que Tn,s(K) ∩ Tn,i(K) = Dn(K). On note aussi que la transposée d’une matrice triangulaire inférieure est unematrice triangulaire supérieure et que la transposée d’une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaireinférieure

Théorème 16. Tn,s(K) et Tn,i(K) sont des sous-espaces de Mn(K) de dimensionn(n + 1)

2. Une base de Tn,s(K)

(resp. Tn,i(K)) est (Ei,j)16i6j6n (resp. (Ei,j)16j6i6n).

Démonstration . Par la même démarche que pour Dn(K), il est clair que Tn,s(K) = Vect (Ei,j)16i6j6n (et donc Tn,s(K) est

un sous-espace de Mn(K)) puis que (Ei,j)16i6j6n est une base de Tn,s(K). Par suite,

dim (Tn,s(K)) = card(

(Ei,j)16i6j6n

)

= n + (n− 1) + . . . + 2 + 1 =n(n+ 1)

2.

❏

Exercice 7. Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.

Solution 7. Soient A = (ai,j)16i,j6n et B = (bi,j)16i,j6n deux matrices triangulaires supérieures. Donc, pour tout

(i, j) ∈ J1, nK2, si i > j, alors ai,j = 0 et bi,j = 0.

Soit (i, j) ∈ J1, nK2 tel que i > j. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice AB est

n∑

k=1

ai,kbk,j.

Dans cette somme, si k > j, alors bk,j = 0 puis ai,kbk,j = 0 et si k 6 j, alors i > j > k et en particulier i > k de sorte queai,k = 0 puis ai,kbk,j = 0. Finalement, tous les termes de la somme sont nuls puis la somme est nulle.

En résumé, pour tout (i, j) ∈ J1, nK2 tel que i > j, on a

n∑

k=1

ai,kbk,j = 0. Ceci montre que la matrice AB est triangulaire

supérieure.

1.5.4 Matrices symétriques, matrices antisymétriques

Définition 6. Soit A = (ai,j)16i,j6n∈ Mn(K).

A est une matrice symétrique ⇔ tA = A⇔ ∀(i, j) ∈ J1, nK2, aj,i = ai,j.

A est une matrice anti-symétrique ⇔ tA = −A⇔ ∀(i, j) ∈ J1, nK2, aj,i = −ai,j.

L’ensemble des matrices symétriques se note Sn(K) et l’ensemble des matrices anti-symétriques se note An(K).


Théorème 17.

• Sn(K) et An(K) sont des sous-espaces de Mn(K).• Mn(K) = Sn(K)⊕An(K). De plus, la décomposistion d’un élément A de Mn(K) relativement à cette décompositionde Mn(K) est :

A =1

2

(

A+ tA)

+1

2

(

A− tA)

.

• dim (Sn(K)) =n(n + 1)

2et dim (An(K)) =

n(n − 1)

2.

Démonstration . Soit ϕ : Mn(K) → Mn(K)

A 7→ tA

.

- ϕ ∈ L (Mn(K)) et ϕ2 = IdMn(K) d’après le théorème 13, page 11.- ϕ est donc une symétrie et on sait que Mn(K) = Ker

(

ϕ − IdMn(K)

)

⊕ Ker(

ϕ + IdMn(K)

)

. Maintenant, pour A ∈ Mn(K),

A ∈ Ker(

ϕ − IdMn(K)

)

⇔ ϕ(A) −A = 0 ⇔ tA = A ⇔ A ∈ Sn(K),

et de même

A ∈ Ker(

ϕ + IdMn(K)

)

⇔ ϕ(A) +A = 0 ⇔ tA = −A ⇔ A ∈ An(K).

Finalement, Sn(K) = Ker(

ϕ − IdMn(K)

)

est un sous-espace vectoriel de Mn(K et An(K) = Ker(

ϕ + IdMn(K)

)

. Enfin, Mn(K) =

Sn(K) ⊕An(K).

- Soient A ∈ Mn(K) puis B =1

2

(

A + tA)

et C =1

2

(

A− tA)

.

• B + C = A.

• tB =1

2

(

tA+ A)

= B et donc B ∈ Sn(K).

• tC =1

2

(

tA −A)

= −C et donc C ∈ An(K).

- Déterminons maintenant la dimension de Sn(K). Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Sn(K).

A =∑

16i,j6n

ai,jEi,j =

n∑

i=1

ai,iEi,i +∑

16i<j6n

ai,j (Ei,j + Ej,i) (∗).

Ceci montre que toute matrice symétrique est combinaison linéaire de la famille (Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16i<j6n. (∗) montreaussi qu’une combinaison linéaire de la famille (Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16i<j6n est une matrice symétrique et finalement Sn(K) =

Vect(

(Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16i<j6n

)

. D’autre part, cette famille est libre car sin∑

i=1

λi,iEi,i +∑

16i<j6n

λi,j (Ei,j + Ej,i) = 0, alors

∑

16i,j6n

λi,jEi,j où on a posé λi,j = λj,i pour i > j, et donc tous les coefficients sont nuls.

Finalement, (Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16i<j6n est une base de Sn(K). Parmi ces n2 couples (i, j) de J1, nK2, il y en a n tels que i = j

et il y a autant de couples (i, j) tels que i < j que de couples (i, j) tels que i > j. Le nombre de couples (i, j) tels que i < j estn2 − n

2=

n(n− 1)

2puis

dim (Sn(K)) = card(

(Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16i<j6n

)

= n +n(n− 1)

2=

n(n+ 1)

2.

❏

2 Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases

2.1 Définition de la matrice d’une famille de vecteurs dans une base (rappel)

On rappelle la définition de la matrice d’une famille finie (u1, . . . , up) de vecteurs d’un K-espace E de dimension finien ∈ N∗, dans une base B = (e1, . . . , en) donnée de cette espace : MatB (u1, . . . , up) est l’élément de Mn,p(K) dont lecoefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, est la i-ème coordonnée de uj dans la base B.La j-ème colonne, 1 6 j 6 p, de Mn,p(K) est constituée des coordonnées du vecteur uj dans la base B et la i-ème ligne,1 6 i 6 n, de Mn,p(K) est constituée des i-èmes coordonnées des vecteurs u1, . . . ,up dans la base B.

On peut condenser les notations. Pour i ∈ J1, nK, on pose :


∀x =

n∑

i=1

xiei ∈ E, e∗i (x) = xi.

Pour chaque i, e∗i est une forme linéaire sur E : les n formes linéaires e∗1, . . . , e∗n sont les formes coordonnées dans labase (e1, . . . , en). Avec ces notations, on a alors

Mat(e1,...,en) (u1, . . . , up) = (e∗i (uj))16i6n, 16j6p.

Par exemple, si (e1, e2, e3) est la base canonique de R3 et si u1 = e1 − 2e3 et u2 = e1 + 2e2 − e3, alors

Mat(e1,e2,e3) (u1, u2) =

1 1

0 2−2 −1

.

Si P0 = 1, P1 = X− 1 et P2 = (X− 1)2, alors la matrice de la famille (P0, P1, P2) dans la base(

1, X, X2)

de R2[X] est

Mat(X2,X,1) (P0, P1, P2) =

1 −1 1

0 1 −20 0 1

.

Exercice 8. Soient n un entier naturel puis a0, . . . , an, n + 1 nombres complexes deux à deux distincts. Pouri ∈ J0, nK, on pose

Li =∏

j6=i

X− aj

ai − aj

.

1) Montrer que la famille (Li)06i6n est une base de Cn[X] et déterminer les coordonnées d’un élément P ∈ Cn[X] danscette base.

2) Déterminer la matrice de la base (1, X, . . . , Xn) dans la base (L0, . . . , Ln).

Solution 8.

1) Chaque Li, 0 6 i 6 n, est un polynôme de degré n et en particulier un élément de Cn[X]. Soit (λi)06i6n ∈ Cn+1.

n∑

i=0

λiLi = 0⇒ ∀j ∈ J0, nK,

n∑

i=0

λiLi (aj) = 0⇒ ∀j ∈ J0, nK,

n∑

i=0

λiδi,j = 0⇒ ∀j ∈ J0, nK, λj = 0.

Ainsi, la famille (Li)06i6n est une famille libre de l’espace Cn[X]. De plus,

card (Li)06i6n = n + 1 = dim (Cn[X]) < +∞.

On en déduit que la famille (Li)06i6n est une base de l’espace Cn[X].

Soit P ∈ Cn[X]. Il existe (λi)06i6n ∈ Cn+1 tel que P =

n∑

i=0

λiLi. Pour tout j ∈ J0, nK, P (aj) =

n∑

i=1

λiLi (aj) = λj. On a

montré que

∀P ∈ Cn[X], P =

n∑

i=0

P (ai)Li.

2) En particulier, pour j ∈ J0, nK,

Xj =

n∑

i=0

ajiLi.

La matrice de (1, X, . . . , Xn) dans la base (L0, . . . , Ln) est donc

1 a0 a20 . . . an

0

1 a1 a21 . . . an

1

1 a2 a22 . . . an

2...

......

...1 an a2

n . . . ann

.


2.2 Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases

Définition 7. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles n et p. Soient B = (e1, . . . , en)

une base de E et B ′ =(

e ′1, . . . , e

′p

)

une base de F. Soit f ∈ L(E, F).

La matrice de f relativement aux bases B et B ′, notée MatB,B ′f, est la matrice de la famille f (B) = (f (e1) , . . . , f (en))dans la base B ′ =

(

e ′1, . . . , e

′p

)

:

MatB,B ′f = MatB ′ (f(B)) .

MatB,B ′f est un élément de Mp,n(K).

Aves les formes coordonnées dans la base B ′, on peut écrire :

MatB,B ′f =(

ei′∗ (f (ej))

)

16i6p16j6n

.

Exemple. On note B = (e1, e2, e3) et B ′ = (e ′1, e

′2) les bases canoniques respectives de R3 et R2. Soit f l’élément de

L(

R3,R2

)

défini par f (e1) = 2e ′1 − e ′

2, f (e2) = e ′2 et f (e3) = −e ′

1 + e ′2. La matrice de f relativement aux bases B et B ′

est :

MatB,B ′f =

(

2 0 −1−1 1 1

)

.

C’est un élément de M2,3(R). ❏

2.3 Ecriture matricielle d’une application linéaire

Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles n et p respectivement. Soient B = (e1, . . . , en) unebase de E et B ′ =

(

e ′1, . . . , e

′p

)

une base de F.Soit f ∈ L(E, F). Soit A = (ai,j)16i6p

16i6n

la matrice de f relativement aux bases B et B ′. Par définition de A, on a

∀j ∈ J1, nK, f (ej) =

p∑

i=1

ai,je′i.

Soit alors x =

n∑

j=1

xjej un élément de E.

f(x) =

n∑

j=1

xjf (ej) =

n∑

j=1

xj

(

p∑

i=1

ai,je′i

)

=

p∑

i=1

n∑

j=1

ai,jxje′i

=

p∑

i=1

n∑

j=1

ai,jxj

e ′i.

Ainsi, si on pose f(x) =

p∑

i=1

yie′i, alors, ∀i ∈ J1, pK, yi =

n∑

j=1

ai,jxj. Ces égalités peuvent encore s’écrire matriciellement

a1,1 . . . . . . a1,n

......

ap,1 . . . . . . ap,n

x1...

...xn

=

y1

...yp

et on peut donc énoncer


Théorème 18. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles n et p. Soient B = (e1, . . . , en)une base de E et B ′ =

(

e ′1, . . . , e

′p

)

une base de F.Soient f ∈ L(E, F) puis A = (ai,j)16i6p

16i6n

la matrice de f relativement aux bases B et B ′.

Soient x =

n∑

j=1

xjej ∈ E puis y = f(x) =

p∑

i=1

yie′i. Soient X =

x1...xn

le vecteur colonne dont les composantes sont

les coordonnées de x dans la base B et Y =

y1

...yp

le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de

y = f(x) dans la base B ′. Alors

Y = AX.

➱ Commentaire . Le plus long est effectivement de définir toutes les données.

Exemple. On reprend l’exemple du paragraphe 2.2. Soit f l’élément de R3 dans R2 de matrice A =

(

2 0 −1

−1 1 1

)

relativement aux bases canoniques de R3 et R2. L’image par f du triplet u = (x, y, z) est obtenu par le calcul matriciel

suivant : en posant X =

x

y

z

,

AX =

(

2 0 −1−1 1 1

)

xy

z

=

(

2x− z−x+ y+ z

)

,

ou encore f((x, y, z)) = (2x − z,−x+ y+ z). ❏

Une conséquence immédiate du théorème 18 est

Théorème 19. Soit (A,B) ∈ (Mn,p(K))2.

(

∀X ∈ (Mp,1(K))2AX = BX

)

⇒ A = B.

Démonstration . Soit f (resp. g) l’élément de L (Kp,Kn) de matrice A (resp. B) relativement aux bases canoniques de Kp

et Kn.

(

∀X ∈ (Mp,1(K))2AX = BX

)

⇒ (∀x ∈ Kp, f(x) = g(x)) ⇒ f = g ⇒ A = B.

❏

2.4 Isomorphisme entre Mp,n(K) et L(E, F)

Si E est de dimension n ∈ N∗ et F est de dimension p ∈ N∗, alors L(E, F) est de dimension np de même que Mp,n(K) (ouaussi Mn,p(K)). On sait alors que ces deux espaces sont isomorphes. On va expliciter un isomorphisme.

Théorème 20. Soient E et F deux K-espaces de dimensions finies non nulles. Soient B une base de E et B ′ une basede F.

1) a) ∀(f, g) ∈ (L(E, F))2, MatB,B ′(f + g) = MatB,B ′(f) + MatB,B ′(g).

b) ∀f ∈ L(E, F), MatB,B ′(λf) = λ MatB,B ′(f).

2) ∀(f, g) ∈ (L(E, F))2, ∀(λ, µ) ∈ K2, MatB,B ′(λf + µg) = λMatB,B ′(f) + µMatB,B ′(g).

Démonstration . Notons B = (e1, . . . , en) une base de E et (e ′

1, . . . , e′

p) une base de F. Le coefficient line i, colonne j,

(i, j) ∈ J1, pK × J1, bK, de MatB,B ′(λf + µg) est la i-ème coordonnée du vecteur λf (ej) + µg (ej) de même que le coefficient ligne i,colonne j de la matrice λMatB,B ′(f) + µMatB,B ′(g). Les deux matrices sont donc égales.

❏


Théorème 21. Soient E et F deux K-espaces de dimensions finies non nulles notées respectivement n et p. Soient B

une base de E et B ′ une base de F.

L’application L(E, F) → Mp,n(K)

f 7→ MatB,B ′(f)

est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Démonstration . L’application ϕ est linéaire d’après le théorème précédent. Ensuite, si f est un élément de L(E, F) tel que

MatB,B ′(f) = 0, alors l’application linéaire f s’annule sur la base B et donc f = 0. Puisque dim (L(E, F)) = np = dim (Mp,n(K)) < +∞,on en déduit que ϕ est un isomorphisme.

❏

➱ Commentaire .

⋄ Une conséquence parmi d’autres du théorème 21 est le fait qu’une application linéaire est uniquement déterminée par la donnéede sa matrice relativement à deux bases.

⋄ L’isomorphisme du théorème 21 n’est pas un isomorphisme canonique ou encore n’est pas un isomorphisme privilégié parmi tousles isomorphismes car il dépend du choix de deux bases. Si on prend deux autres bases, on obtient un nouvel isomorphisme qui a lemême statut que le premier isomorphisme fourni.

2.5 Matrice d’une composée. Interprétation du produit de deux matrices

Théorème 22. Soient E, F et G trois K-espaces de dimensions finies non nulles notées respectivement n, p et q. SoientB une base de E, B ′ une base de F et B ′′ une base de G. Soient f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F,G).

Alors, MatB,B ′′(g ◦ f) = MatB ′,B ′′(g) × MatB,B ′(f).

Démonstration . Posons A = MatB,B ′(f), B = MatB ′,B ′′(g) et C = MatB,B ′′(g ◦ f).

Soit x ∈ E. Soient X, Y et Z les vecteurs colonnes, éléments de Mn,1(K), Mp,1(K) et Mq,1(K) respectivement, dont les composantessont les coordonnées de x, f(x) et g(f(x)) dans les bases B, B ′ et B ′′ respectivement.

On a d’une part Z = CX et d’autre part Z = BY = BAX. Par suite, pour tout X de Mn,1(K), on a CX = BAX. D’après le théorème19, on en déduit que C = BA.

❏

Théorème 23. Soit E un K-espace de dimension finie non nulle notée n. Soit B une base de E.

Alors, MatB (IdE) = In.

Démonstration . Posons B = (e1, . . . , en). Pour j ∈ J1, nK, IdE (ej) = ej =

n∑

i=1

δi,jei. Donc, MatB (IdE) = (δi,j)16i,j6n = In.

❏

Théorème 24. Soient E et F deux K-espaces de même dimension finie non nulle notée n. Soient B une base de E etB ′ une base de F. Soit f ∈ L(E, F).

Alors, f est un isomorphisme si et seulement si MatB,B ′ (f) est inversible. Dans ce cas,

MatB ′,B

(

f−1)

= (MatB ′,B (f))−1

.

Démonstration .

• Supposons MatB,B ′ (f) = A inversible. Notons g l’élément de L(F, E) de matrice A−1 relativement aux bases B ′ et B.

MatB (g ◦ f) = MatB ′,B (g) × MatB,B ′ (f) = A× A−1

= In,

et donc g ◦ f = IdE. De même,

MatB ′ (f ◦ g) = MatB,B ′ (f)× MatB ′,B (g) = A×A−1

= In,

et donc f ◦ g = IdE ′ . On en déduit que l’application linéaire f est bijective et donc, est un isomorphisme de E sur F.

• Supposons que f soit un isomorphisme de E sur F. Posons B = MatB ′,B

(

f−1)

(et toujours A = MatB,B ′ (f)).


B× A = MatB ′,B

(

f−1)

× MatB,B ′ (f) = MatB(

f−1

◦ f)

= MatB (IdE) = In,

et de même,

A× B = MatB,B ′ (f)× MatB ′,B

(

f−1)

= MatB ′

(

f ◦ f−1)

= MatB (IdF) = In.

On en déduit que la matrice A est inversible et que A−1 = MatB ′,B

(

f−1)

.

❏

Exercice 9. Soit A =

(

0

0

) (

1

0

) (

2

0

)

. . .

(

n − 1

0

) (

n

0

)

0

(

1

1

) (

2

1

) (

n − 1

1

) (

n

1

)

0 0

(

2

2

) (

n − 1

2

) (

n

2

)

.... . .

. . ....

.... . .

(

n − 1

n − 1

) (

n

n − 1

)

0 . . . . . . 0

(

n

n

)

∈ Mn+1(K).

Montrer que A ∈ GLn(R) et déterminer A−1.

Solution 9. Soit f : Rn[X] → Rn[X]

P(X) 7→ P(X+ 1)

. f est un endomorphisme de Kn[X]. Pour j ∈ J0, kK, la formule du binôme

de Newton fournit

f(

Xj)

= (X+ 1)j =

j∑

i=0

(

j

i

)

Xj.

Par suite, A est la matrice de l’endomorphisme f dans la base canonique B = (1, X, . . . , Xn) de Rn[X].Soit g : Rn[X] → Rn[X]

P(X) 7→ P(X− 1). On a g ◦ f = IdRn[X]. Donc, f ∈ GL (Rn[X]) (car dim (Rn[X]) < +∞) et g = f−1.

Mais alors, A ∈ GLn(K) et A−1 = MatB(

f−1)

. Plus précisément,

A−1 =

(

0

0

)

−

(

1

0

) (

2

0

)

. . . (−1)n−1

(

n − 1

0

)

(−1)n(

n

0

)

0

(

1

1

)

−

(

2

1

)

(−1)n−2

(

n − 1

1

)

(−1)n−1

(

n

1

)

0 0

(

2

2

)

(−1)n−3

(

n − 1

2

)

(−1)n−2

(

n

2

)

.... . .

. . ....

.... . .

(

n − 1

n − 1

)

−

(

n

n − 1

)

0 . . . . . . 0

(

n

n

)

.

Théorème 25. Soit A ∈ Mn(K).

1) A est inversible si et seulement si A est inversible à droite si et seulement si A est inversible à gauche.

2) A est inversible si et seulement si Ker(A) = {0} où Ker(A) = {X ∈ Mn,1(K)/ AX = 0}.

Démonstration . Soit f l’endomorphisme de Kn de matrice A dans la base canonique de K

n.

1) Si A est inversible à gauche, il existe B ∈ Mn(K) telle que B×A = In. Soit g l’endomorphisme de Kn de matrice B dans la base

canonique de Kn.

MatB(g ◦ f) = MatB(g)× MatB(f) = B×A = In

et donc g ◦ f = IdKn . Ainsi, f est inversible à gauche et donc inversible car dim (Kn) < +∞. Mais alors A ∈ GLn(K).


2) Puisque dim (Kn) < +∞,

A ∈ GLn(K) ⇔ f ∈ GL (Kn) ⇔ Ker(f) = {0} ⇔ Ker(A) = {0}.

❏

Exercice 10. (Théorème de Hadamard). Soient n > 2 puis A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(C) telle que

∀i ∈ J1, nK, |ai,i| >∑

j6=i

|ai,j| .

(A est dite « à diagonale strictement dominante »). Montrer que A ∈ GLn(C).

Solution 10. Montrons que Ker(A) = {0}. Soit X = (xi)16i6n ∈ Mn,1(K).

X ∈ Ker(A)⇒ AX = 0⇒ ∀i ∈ J1, nK,

n∑

j=1

ai,jxj = 0⇒ ∀i ∈ J1, nK, ai,ixi = −∑

j6=i

ai,jxj

⇒ ∀i ∈ J1, nK, |ai,i| |xi| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−∑

j6=i

ai,jxj

∣

∣

∣

∣

∣

∣

⇒ ∀i ∈ J1, nK, |ai,i| |xi| 6∑

j6=i

|ai,j| |xj|

⇒ ∀i ∈ J1, nK, |ai,i| |xi| 6

∑

j6=i

|ai,j|

× Max {|xj| , j ∈ J1, nK} .

Supposons de plus Ker(A) 6= {0}. Soit X un vecteur non nul de Ker(A). Soit i0 ∈ J1, nK tel que |xi0 | = Max {|xj| , j ∈ J1, nK}.Puisque X 6= 0, |xi0 | > 0.

D’après ce qui précède, |ai0,i0 | |xi0 | 6

∑

j6=i0

|ai0,j|

|xi0 | puis |ai0,i0 | 6∑

j6=i0

|ai0,j|.

En résumé, Ker(A) 6= {0}⇒ ∃i0 ∈ J1, nK/ |ai0,i0 | 6∑

j6=i0

|ai0,j|. Par contraposition,

∀i ∈ J1, nK, |ai,i| >∑

j6=i

|ai,j|

⇒ Ker(A) = {0}⇒ A ∈ GLn(C).

Théorème 26. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis B une base de E. Soit f ∈ L(E).

1) ∀p ∈ N, MatB (fp) = (MatBf)p.

2) Si de plus f ∈ GL(E), alors ∀p ∈ Z, MatB (fp) = (MatBf)p.

Démonstration . 1) se démontre par récurrence grâce aux théorèmes 22 et 23. Si p < 0, le théorème 24 fournit MatB (fp) =

(

MatB(

f−P))−1

=(

MatB (f)−p)−1

= (MatB (f))p.

❏

3 Changement de bases

3.1 Matrices de passage

Théorème 27. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis B = (e1, . . . , en) une base de E. Soit(u1, . . . , un) une famille de n vecteurs de E.

(u1, . . . , un) est une base de E si et seulement si MatB (u1, . . . , un) est inversible.

Démonstration . Posons A = MatB (u1, . . . , un). Soit f l’endomorphisme de E de matrice A dans la base B. Par définition


de A, pour tout i ∈ J1, nK, f (ei) = ui et donc

(u1, . . . , un) base de E ⇔ f ∈ GL(E) ⇔ A ∈ GLn(K).

❏

Définition 8. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis B et B ′ deux bases de E.

La matrice de passage de la base B à la base B ′, notée PB′

B, est la matrice de la base B ′ dans la base B.

Un cas particulier du théorème 27 est

Théorème 28. Soit A ∈ Mn(K).

A est inversible si et seulement si la famille (C1, . . . , Cn) des colonnes de A est une base de Mn,1(K).A est inversible si et seulement si la famille (L1, . . . , Ln) des lignes de A est une base de M1,n(K).

Démonstration . Si on note C1, . . . , Cn les colonnes de la matrice, A est aussi la matrice de la famille (C1, . . . , Cn) dans la

base canonique de Mn,1(K). Donc, A est inversible si et seulement si (C1, . . . , Cn) est une base de Mn,1(K).

On sait que A est inversible si et seulement si t(A) est inversible ou encore A est inversible si et seulement si la famille des colonnesde tA est une base de Mn,1(K) ou enfin A est inversible si et seulement si la famille des lignes de A est une base de M1,n(K).

❏

3.2 La formule de changement de base

Soit E un K-espace de dimension finie non nulle n. Soient B = (e1, . . . , en) et B ′ = (e ′1, . . . , e

′n) deux bases de E.

Soit x ∈ E. Soit X = (xi)16i6n (resp. X ′ = (x ′i)16i6n

) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de

x dans la base B (resp. la base B ′). Soit enfin P = (pi,j)16i,j6nla matrice de passage de la base B à la base B ′. Par

définition de P, pour tout j ∈ J1, nK, e ′j =

n∑

i=1

pi,jei. On en déduit que

x =

n∑

j=1

x ′je

′j =

n∑

j=1

x ′j

(

n∑

i=1

pi,jei

)

=

n∑

j=1

(

n∑

i=1

pi,jx′jei

)

=

n∑

i=1

n∑

j=1

pi,jx′jei

=

n∑

i=1

n∑

j=1

pi,jx′j

ei

et donc

∀i ∈ J1, nK, xi =n∑

j=1

pi,jx′j.

Pour i ∈ J1, nK donné,

n∑

j=1

pi,jx′j est le produit de la i-ème ligne de la matrice P par le vecteur colonne X ′ et on a donc

montré que X = PX ′. On peut énoncer :

Théorème 29. (la formule de changement de base)

Soit E un K-espace de dimension finie non nulle n. Soient B et B ′ deux bases de E. Soit P la matrice de passage de labase B à la base B ′.Soit x ∈ E. Soit X (resp. X ′) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées du vecteur x dans la baseB (resp. la base B ′). Alors,

X = PX ′.

➱ Commentaire . On doit noter que la formule X = PX ′ expriment les anciennes coordonnées de x (c’est-à-dire les coor-données de x dans la base initiale B) en fonction des nouvelles coordonnées de x (c’est-à-dire les coordonnées de x dans lanouvelle base B ′).

Exemple. Notons B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Posons u1 = (2, 0, 0) = 2e1, u2 = (−1, 1, 0) = −e1 + e2 etu3 = (3, 1,−1) = 3e1 + e2 − e3. La matrice de la famille (u1, u2, u3) dans la base (e1, e2, e3) est


2 −1 3

0 1 1

0 0 −1

.

Au vu de cette matrice, la famille (u1, u2, u3) est de rang 3 et donc est une base B ′ de R3. La matrice ci-dessus est alorsPB

′

B.

Soit v = (x, y, z) ∈ R3. Les composantes x, y et z de ce triplet sont aussi ses coordonnées dans la base canonique de R3

(v = xe1 +ye2 + ze3). Si on note (x ′, y ′, z ′) les coordonnées de v dans la base (u1, u2, u3), les formules de changement debases fournissent :

x

y

z

=

2 −1 3

0 1 1

0 0 −1

x ′

y ′

z ′

=

2x ′ − y ′ + 3z ′

y ′ + z ′

−z ′

.

❏

Exercice 11. Dans R2, on considère la courbe C d’équation x2 − y2 = 2 dans le repère R = (O, e1, e2) = (O,B) oùe1 = (1, 0) et e2 = (0, 1).

On pose e ′1 =

1√2(1,−1) et e ′

2 =1√2(1, 1).

1) Montrer que (e ′1, e

′2) est une base B ′ de R2 et préciser la matrice de passage de B à B ′.

2) Ecrire les formules de changement de base (et donc de changement de repère).

3) Déterminer une équation de la courbe C dans le repère R ′ = (O, e ′1, e

′2). Identifier la courbe C et la construire.

Solution 11. 1) e ′1 et e ′

2 sont deux vecteurs non colinéaires de R2. Donc, B ′ = (e ′1, e

′2) est une base de R2. La matrice

de passage de B à B ′ est

P =

1√2

1√2

−1√2

1√2

.

2) Les formules de changement de base s’écrivent

(

xy

)

=

1√2

1√2

−1√2

1√2

(

x ′

y ′

)

=

x ′ + y ′

√2

−x ′ + y ′

√2

.

3) Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) dans le repère R = (O, e1, e2) et (x ′, y ′) dans le repère R ′ = (O, e ′1, e

′2).

M ∈ C⇔ x2 − y2 = 2⇔(

x ′ + y ′

√2

)2

−

(

x ′ + y ′

√2

)2

= 2⇔1

2

(

x ′2 + 2x ′y ′ + y ′2)

−1

2

(

x ′2 − 2x ′y ′ + y ′2)

= 2

⇔ x ′y ′ = 1.

On reconnaît l’hyperbole d’équation y ′ =1

x ′dans le repère R ′.

e ′1

e′2

e1

e2

C


On déduit du théorème 29 un certain nombre de propriétés de calcul des matrices de passage :

Théorème 30.

Soit E un K-espace de dimension finie non nulle.

1) Pour toutes bases B, B ′ et B ′′ de E, PB′

B× PB

′′

B ′ = PB′′

B.

2) a) Pour toute base B de E, PB

B= In.

b) Pour toutes bases B et B ′ de E, PB

B ′ =(

PB′

B

)−1

.

Démonstration .

1) Soit x ∈ E. Soit X (resp. X ′, X ′′) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de x dans B (resp. B ′, B ′′).

PB

′′

B X′′= X = P

B′

B X′= P

B′

B × PB

′′

B ′ X′′.

Ainsi, pour tout élément X ′′ de Mn,1(K), PB′′

B X ′′ = PB′

B × PB′′

B ′ X′′. On en déduit que PB

′′

B = PB′

B × PB′′

B ′ .

2) a) Il est clair que PB

B = In.

b) On sait déjà que PB′

B est inversible. Ensuite,

PB

′

B × PB

B ′ = PB

B = In

et donc PB

B ′ =(

PB′

B

)−1

.

❏

3.3 Changements de bases et applications linéaires

Théorème 31.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles notées n et p respectivement.

Soient B et B ′ deux bases de E et B1 et B ′1 deux bases de F. Soient P = PB

′

B∈ GLn(K) et Q = P

B′

1

B1∈ GLp(K).

Soit f ∈ L(E, F). Soient A = MatB,B1(f) ∈ Mp,n(K) et B = MatB ′,B ′

1(f) ∈ Mp,n(K). Alors,

B = Q−1AP.

Démonstration . Soit x ∈ E. Soit X (resp. X ′) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de x dans B

(resp. B ′). Soit Y (resp. Y ′) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de f(x) dans B1 (resp. B ′

1).

D’après les théorèmes 18 et 29,

QY ′= Y = AX = APX ′

et donc Y ′ = Q−1APX ′. D’autre part, Y ′ = BX ′. Ainsi, ∀X ′ ∈ Mn,1(K), Q−1APX ′ = BX ′. D’après le théorème 19, B = Q−1AP.

❏

Un cas particulier très important du théorème 31 est :

Théorème 32.

Soit E un K-espace vectoriel de dimensions finie non nulle notées n.Soient B et B ′ deux bases de E. Soit P = PB

′

B∈ GLn(K).

Soit f ∈ L(E). Soient A = MatB(f) ∈ Mn(K) et B = MatB ′(f) ∈ Mn(K). Alors,

B = P−1AP.

Démonstration . C’est le cas particulier où F = E puis B1 = B et B ′

1 = B ′.

❏

Le théorème précédent est très utilisé, entre autres pour calculer des puissances de matrices et ceci en liaison avec lethéorème suivant :


Théorème 33. Soit (A,B) ∈ (Mn(K))2. On suppose qu’il existe P ∈ GLn(K) telle que B = P−1AP.

Alors, ∀p ∈ N, Bp = P−1ApP.

De plus A ∈ GLn(K)⇔ B ∈ GLn(K) et dans ce cas, ∀p ∈ Z, Bp = P−1ApP.

Démonstration . Soient B la base canonique de Kn puis B ′ la base de K

n telle que PB′

B . Soit f l’endomorphisme de Kn tel

que MatB(f) = A. Alors, MatB ′(f) = P−1AP = B. Soit p ∈ N.

Bp= (MatB ′ (f))

p= MatB ′ (f

p) = P

−1MatB (fp) P = P

−1(MatB (f))

pP = P

−1A

pP.

Si de plus, A est inversible, alors B = P−1AP est inversible en tant que produit de matrices inversibles et si B est inversible alorsA = PBP−1 est inversible et dans ce cas, le calcul ci-dessus est valable pour p ∈ Z.

❏

Exercice 12. Soit A =

1 −3/2 3/2

3 5/2 −9/2

3 −3/2 −1/2

. Le but de l’exercice est de calculer An pour n ∈ Z.

On note f l’endomorphisme de R3 de matrice A dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de R3.

1) Déterminer une base (u1) de Ker (f − IdR3), une base (u2) de Ker (f+ 2IdR3) et une base (u3) de Ker (f− 4IdR3).

2) a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base de R3. Ecrire la matrice de passage P de la base B = (e1, e2, e3) à labase B ′ = (u1, u2, u3).

b) Déterminer P−1.c) Déterminer la matrice D de f dans la base (u1, u2, u3).

3) a) A l’aide des formules de changement de base, exprimer A en fonction de P et D.b) En déduire An pour n ∈ Z (après en avoir justifié l’existence).

Solution 12.

1) • Soient u = (x, y, z) ∈ R3 puis X =

xy

z

.

u ∈ Ker (f− IdR3)⇔ (f − IdR3) (u) = 0⇔ (A− I3)X = 0

⇔

0 −3/2 3/23 3/2 −9/2

3 −3/2 −3/2

xy

z

=

00

0

⇔

−3

2y+

3

2z = 0

3x +3

2y−

9

2z = 0

3x −3

2y−

3

2z = 0

⇔

z = y3x − 3y = 0

3x − 3y = 0⇔ x = y = z.

Donc, Ker (f− IdR3) = Vect (u1) où u1 = (1, 1, 1).

• Soient u = (x, y, z) ∈ R3 puis X =

xy

z

.

u ∈ Ker (f + 2IdR3)⇔ (f+ 2IdR3) (u) = 0⇔ (A+ 2I3)X = 0

⇔

3 −3/2 3/23 9/2 −9/2

3 −3/2 3/2

xy

z

=

00

0

⇔

3x −3

2y+

3

2z = 0

3x +9

2y−

9

2z = 0

3x −3

2y+

3

2z = 0

⇔

2x − y+ z = 0

2x + 3y− 3z = 02x − y+ z = 0

⇔{

z = −2x+ y2x+ 3y− 3(−2x + y) = 0

⇔ x = 0 et y = z.


Donc, Ker (f+ 2IdR3) = Vect (u2) où u2 = (0, 1, 1).

• Soient u = (x, y, z) ∈ R3 puis X =

x

y

z

.

u ∈ Ker (f− 4IdR3)⇔ (f− 4IdR3) (u) = 0⇔ (A− 4I3)X = 0

⇔

−3 −3/2 3/23 −3/2 −9/2

3 −3/2 −9/2

xy

z

=

00

0

⇔

−3x −3

2y+

3

2z = 0

3x −3

2y−

9

2z = 0

3x −3

2y−

9

2z = 0

⇔

−2x− y+ z = 0

2x− y− 3z = 02x− y− 3z = 0

⇔{

z = 2x + y

2x − y− 3(2x + y) = 0⇔ y = −x et z = x.

Donc, Ker (f− 4IdR3) = Vect (u3) où u3 = (1,−1, 1).

2) a) Soit (a, b, c) ∈ R3.

au1 + bu2 + cu3 = 0⇒

a+ c = 0

a+ b− c = 0

a+ b+ c = 0⇒

c = −a

2a + b = 0

b = 0⇒ a = b = c = 0.

Donc, la famille (u1, u2, u3) est libre. De plus, card (u1, u2, u3) = 3 = dim(

R3)

< +∞. Finalement, la famille (u1, u2, u3)

est une base de R3.

La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base (u1, u2, u3) est P =

1 0 1

1 1 −11 1 1

b) P−1 est la matrice de passage de la base (u1, u2, u3) à la base (e1, e2, e3). Or

u1 = e1 + e2 + e3 (I)

u2 = e2 + e3 (II)u3 = e1 − e2 + e3 (III)

⇔

e2 =1

2(u1 − u3) (I) − (III)

u1 = e1 +1

2(u1 − u3) + e3

u2 =1

2(u1 − u3) + e3

⇔

e2 =1

2(u1 − u3) (I) − (III)

e3 =1

2(−u1 + 2u2 + u3)

e1 = u1 −1

2(u1 − u3) −

1

2(−u1 + 2u2 + u3)

⇔

e2 =1

2(u1 − u3) (I) − (III)

e3 =1

2(−u1 + 2u2 + u3)

e1 = u1 − u2

Finalement, P−1 =1

2

2 1 −1−2 0 2

0 −1 1

.

c) Par construction, f (u1) = u1, f (u2) = −2u2 et f (u3) = 4u3. Donc,

D = MatB ′(f) = diag(1,−2, 4).

3) a) La formule de changement de base fournit :

A = MatB(f) = PB′

B MatB ′(f)PB

B ′ = PDP−1.


b) D est inversible car aucun des coefficients diagonaux de D n’est nul puis A est inversible en tant que produit de matrices

inversibles (d’inverse(

PDP−1)−1

= PD−1P−1). Donc, An existe pour tout n de Z et

An = MatB (fn) = PB′

B MatB ′ (fn)PB

B ′ = PDnP−1

=

1 0 11 1 −1

1 1 1

1 0 00 (−2)n 0

0 0 4n

1

2

2 1 −1−2 0 2

0 −1 1

=1

2

1 0 4n

1 (−2)n −4n

1 (−2)n 4n

2 1 −1−2 0 2

0 −1 1

=1

2

2 1− 4n −1+ 4n

2− 2(−2)n 1+ 4n −1+ 2(−2)n − 4n

2− 2(−2)n 1− 4n −1+ 2(−2)n + 4n

.

3.4 Matrices équivalentes. Matrices semblables

Définition 9.

Soit (A,B) ∈ (Mn,p(K))2. B est équivalente à A si et seulement si il existe (P,Q) ∈ GLp(K) × GLn(K) tel que

B = QAP.

Soit (A,B) ∈ (Mn(K))2. B est semblable à A si et seulement si il existe P ∈ GLn(K) tel que B = P−1AP.

Un premier théorème immédiat est :

Théorème 34. Soit (A,B) ∈ (Mn(K))2.

Si B est semblable à A, alors B est équivalente à A.

La réciproque de l’implication précédente est fausse, ne serait-ce que parce que la notion d’équivalence des matrices concerneles matrices rectangulaires, alors que la notion de matrices semblables ne concerne que les matrices carrées. Même dans lecas de matrices carrées, on verra au fur et à mesure des exemples de matrices équivalentes mais pas semblables.

Théorème 35.

La relation « B est équivalente à A » est une relation d’équivalence sur Mn,p(K).

La relation « B est semblable à A » est une relation d’équivalence sur Mn(K).

Démonstration . On démontre le théorème pour la relation « B est équivalente à A ». On note R cette relation ou encore,

on pose : ∀(A,B) ∈ (Mn,p(K))2, ARB ⇔ B est équivalente à A ⇔ ∃(P,Q) ∈ GLp(K) ×GLn(K)/ B = QAP.

• Soit A ∈ Mn,p(K). On prend Q = In ∈ GLn(K) et P = Ip ∈ GLp(K). On a alors QAP = InAIp = A. Par suite, ∀A ∈ Mn,p(K),ARA. La relation R est réflexive.

• Soit (A,B) ∈ (Mn,p(K))2. Supposons ARB ou encore supposons B équivalente à A. Il existe Q ∈ GLn(K) et P ∈ GLp(K) telles

que B = QAP. Mais alors, Q−1BP−1 = Q−1QAPP−1 = A. Ainsi, si on prend Q1 = Q−1 ∈ GLn(K) et P1 = P−1 ∈ GLp(K), alorsA = Q1BP1 et donc BRA. La relation R est symétrique.

• Soit (A,B,C) ∈ (Mn,p(K))3. Supposons ARB et BRC. Il existe (Q1, Q2) ∈ (GLn(K))

2 et (P1, P2) ∈ (GLp(K))2 telles que B = Q1AP1

et C = Q2BP2. Mais alors, C = Q2Q1AP1P2. Ainsi, si on prend Q = Q2Q1 ∈ GLn(K) et P = P1P2 ∈ GLp(K), alors C = QAP et doncARC. La relation R est transtive.

On a montré que la relation R est une relation d’équivalence sur Mn,p(K).

❏

➱ Commentaire . Dorénavant, on peut dire que les matrices A et B sont équivalentes (ou pas) à la place de B est équivalente

à A. De même pour A et B sont semblables (ou pas).


Théorème 36.

Soit (A,B) ∈ (Mn,p(K))2. A et B sont équivalentes si et seulement si il existe E et F espaces de dimensions respectives

p et n, B et B ′ bases de E, B1 et B ′1 base de F, f ∈ L(E, F) tels que A = MatB,B1

(f) et B = MatB ′,B ′

1(f).

Soit (A,B) ∈ (Mn(K))2. A et B sont semblables si et seulement si il existe E espace de dimension n, B et B ′ bases de

E, f ∈ L(E) tels que A = MatB(f) et B = MatB ′(f).

Démonstration . Supposons qu’il existe E et F espaces de dimensions respectives p et n, B et B ′ bases de E, B1 et B ′

1 base

de F, f ∈ L(E, F) tels que A = MatB,B1(f) et B = MatB ′,B ′

1(f). Si on pose P = PB

′

B et Q = PB

′

1B1

, les formules de changement de base

fournissent B = Q−1AP où Q−1 ∈ GLp(K) et P ∈ GLn(K). Les matrices A et B sont donc équivalentes.

Réciproquement, supposons A et B équivalentes. Il existe (P,Q) ∈ GLn(K)× GLp(K) tel que B = QAP.Soient B et B1 les bases canoniques de K

p et Kn respectivement. Soient B ′ et B ′

1 les bases de Kp et K

n respectivement définies par

PB′

B = P et PB

′

1B1

= Q−1. Soit enfin f l’élément de L (Kp,Kn) tel que A = MatB,B1(f). D’après les formules de changement de base,

on a B = MatB ′,B ′

1(f).

❏

Ainsi, deux matrices rectangulaires équivalentes peuvent être interprétées comme les matrices d’une même applicationlinéaire relativement à deux couples de bases éventuellement différents. De même, deux matrices carrées semblables peuventêtre interprétées comme les matrices d’un même endomorphisme relativement à deux bases éventuellement différentes.

4 Calculs par blocs

Etudions d’abord un exemple. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis F et G deux sous-espacessupplémentaires de E, de dimensions respectives p et q = n − p où p et q sont deux entiers naturels non nuls. SoitB = (e1, . . . , ep, ep+1, en) une base de E adaptée à la décomposition E = F⊕G. Soit f la projection sur F parallèlement àG. Pour i ∈ J1, pK, f (ei) = ei et pour i ∈ Jp + 1, nK, f (ei) = 0. Donc,

MatB(f) =

1 0 . . . . . . 0

0. . .

. . ....

.... . . 1

0. . .

......

. . .. . . 0

0 . . . . . . 0 0

.

p q

On dispose d’une manière beaucoup plus synthétique de décrire cette matrice, une description par blocs :

MatB(f) =

(

Ip 0q,p0p,q 0q,q

)

,

où Ip est la matrice unité de format p et 0u,v est la matrice nulle de format (u, v). Les termes écrits dans la matrice nesont plus des nombres mais des matrices rectangulaires.

De même, si s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G et B est la base définie plus haut,

MatB(s) =

(

Ip 0q,p0p,q −Iq

)

.

De manière générale, une matrice A ∈ Mn,p(K) pourra être décrite par blocs : A =

(

A1 A3

A2 A4

)

ou plus généralement

A =

A1,1 . . . A1,j . . . A1,l

......

...Ai,1 . . . Ai,j . . . Ai,l

......

...Ak,1 . . . Ak,j . . . Ak,l

les Ai,j sont des matrices de format (ni, pj) où n1, . . . , nk, p1, . . . , pl sont des entiers naturels non nuls tels quen1 + . . .+ nk = n et p1 + . . . + pl = p.


Il s’agit maintenant d’apprendre à calculer par blocs.

• Il est immédiat que si A =

A1,1 . . . A1,j . . . A1,l

......

...Ai,1 . . . Ai,j . . . Ai,l

......

...Ak,1 . . . Ak,j . . . Ak,l

et B =

B1,1 . . . B1,j . . . B1,l

......

...Bi,1 . . . Bi,j . . . Bi,l

......

...Bk,1 . . . Bk,j . . . Bk,l

où pour tout

(i, j), Ai,j et Bi,j sont de format (ni, pj), alors pour tout (λ, µ) ∈ K2,

λA + µB =

λA1,1 + µB1,1 . . . λA1,j + µB1,j . . . λA1,l + µB1,l

......

...λAi,1 + µBi,1 . . . λAi,j + µBi,j . . . λAi,l + µBi,l

......

...λAk,1 + µBk,1 . . . λAk,j + µBk,j . . . λAk,l + µBk,l

.

• Le produit de deux matrices définies par blocs n’est pas plus compliqué. Il y a juste quelque précautions à prendre. Onse donne deux matrices A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K) de sorte que le produit AB est défini. Commençons par découper A

et B en quatre blocs : A =

(

A1,1 A1,2

A2,1 A2,2

)

et B =

(

B1,1 B1,2

B2,1 B2,2

)

. Si on a envie que les produits A1,1B1,1 ou A1,1B1,2

ou . . . soient définis, il s’agit à chaque fois que le nombre de colonnes de Ai,k soit égal au nombre de lignes de Bk,j. Onimpose donc au découpage de A en colonnes d’être identique au découpage de B en lignes :

A =

(

A1,1 A1,2

A2,1 A2,2

)

p1 p2

n1

n2et B =

(

B1,1 B1,2

B2,1 B2,2

)

p1

p2

q1 q2

On a alors

AB =

(

A1,1B1,1 +A1,2B2,1 A1,1B1,2 +A1,2B2,2

A2,1B1,1 +A2,2B2,1 A2,1B1,2 +A2,2B2,2

)

.

Vérifions-le en analysant par exemple le bloc en haut à gauche. A1,1B1,1 est défini et de format (n1, q1) de même queA1,2B2,1. Donc, A1,1B1,1 + A1,2B2,1 est défini et de format (n1, q1). On pose alors A = (ai,j)16i6n

16j6p

, B = (bi,j)16i6p16j6q

,

A1,1 = (αi,j)16i6n1

16j6p1

, A1,2 =(

α ′i,j

)

16i6n1

16j6p2

, B1,1 = (βi,j)16i6p1

16j6q1

et B2,1 =(

β ′i,j

)

16i6p2

16j6q1

.

Soit (i, j) ∈ J1, n1K × J1, q1K. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice AB est

p∑

k=1

ai,kbk,j =

p1∑

k=1

ai,kbk,j +

p∑

k=p1+1

ai,kbk,j =

p1∑

k=1

αi,kβk,j +

p∑

k=p1+1

α ′i,k−p1

β ′k−p1,j

=

p1∑

k=1

αi,kβk,j +

p2∑

l=1

α ′i,lβ

′l,j

qui est bien le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A1,1B1,1 +A1,2B2,1.

Plus généralement, si on découpe la matrice A en blocs Ai,k et la matrice B en blocs Bk,j, de sorte que le découpage encolonne de A soit le même que le découpage en ligne de B (n = n1 + . . .+ns, p = p1 + . . .+ pt, q = q1 + . . .+ qu), alors

on peut effectuer le calcul de AB par blocs, le bloc no (i, j) étant

t∑

k=1

Ai,kBk,j.

Exemple. Soit A =

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 −1 00 0 0 2

. A peut s’écrire

A =

(

S 0

0 D

)

,

où S =

(

0 11 0

)

et D =

(

−1 00 2

)

= diag(−1, 2). On a S2 = I2 (si s est l’endomorphisme de R2 de matrice S dans la

base canonique (e1, e2) de R2, alors s (e1) = e2 et s (e2) = e1 puis s2 (e1) = e1 et s2 (e2) = e2 puis s2 = Id). On peutalors calculer A2 et plus généralement les puissances de A par blocs :


A =

(

S 0

0 D

)(

S 0

0 D

)

=

(

S2 0

0 D2

)

=

(

I2 0

0 D2

)

= diag(1, 1, 1, 4) =

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 0

0 0 0 4

.

Plus généralement, pour p ∈ N, A2p =

(

S2p 0

0 D2p

)

=

(

I2 0

0 D2p

)

= diag (1, 1, 1, 2p) =

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 0

0 0 0 2p

et

A2p+1 =

(

S 0

0 D2p+1

)

=

0 1 0 01 0 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 22p+1

. ❏

5 Rang d’une matrice

5.1 Définition du rang d’une matrice

Définition 10. Soit A ∈ Mn,p(K). Le rang de A, noté rg(A), est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes dansMn,1(K).

Par exemple, rg

(

0 0

0 0

)

= 0, rg

(

1 0

0 0

)

= 1 et rg

(

1 0

0 1

)

= 2.

5.2 Lien avec le rang d’une famille de vecteurs

Théorème 37. Soient E un espace de dimension n ∈ N∗ puis B une base de E. Soit (u1, . . . , up) une famille de p

vecteurs de E, p ∈ N∗. Soit A = MatB (u1, . . . , up).

Alors, rg(A) = rg (u1, . . . , up).

Démonstration . Posons B = (e1, . . . , en). Soit ϕ : Mn,1(K) → E

x1...xn

7→

n∑

i=1

xiei

. ϕ est linéaire et l’image par ϕ de la base

canonique de Mn,1(K) est la base (e1, . . . , en) de E. Donc, ϕ est un isomorphisme.

Par suite, en notant C1, . . . , Cp, les colonnes de A

rg(A) = rg (C1, . . . , Cp) = dim (Vect (C1, . . . , Cp)) = dim (ϕ (Vect (C1, . . . , Cp))) = dim (Vect (ϕ (C1) , . . . , ϕ (Cp)))

= dim (Vect (u1, . . . , up)) = rg (u1, . . . , up) .

❏

En reprenant les premières propriétés du rang d’une famille de vecteurs, on en déduit immédiatement

Théorème 38. Soit A ∈ Mn,p(K). Alors, rg(A) 6 Min{n, p}.

De plus,rg(A) = n⇔ les colonnes de A forment une famille génératrice de Mn,1(K).rg(A) = p⇔ les colonnes de A forment une famille libre de Mn,1(K).

et en particulier

Théorème 39. Soit A ∈ Mn(K). Alors, rg(A) 6 n.

De plus, rg(A) = n⇔ les colonnes de A forment une base de Mn,1(K)⇔ A ∈ GLn(K).


5.3 Lien avec le rang d’une application linéaire

Théorème 40. Soient E et F deux espaces de dimensions respectives n et p puis B une base de E et B ′ une base deF. Soient f ∈ L(E, F) puis A = MatB,B ′(f) ∈ Mp,n(K).

Alors, rg(A) = rg(f).

Démonstration . Posons B = (e1, . . . , en) de sorte que A = MatB ′ (f (e1) , . . . , f (en)). Alors,

rg(f) = rg (f (e1) , . . . , f (en)) = rg (MatB ′ (f (e1) , . . . , f (en))) = rg(A).

❏

En appliquant les propriétés déjà connues du rang d’une application linéaire (voir la fin du chapitre « Dimension d’unespace vectoriel »), on obtient :

Théorème 41.

• ∀(A,B) ∈ (Mn,p(K))2, rg(A + B) 6 rg(A) + rg(B).

• ∀A ∈ Mn,p(K), ∀λ ∈ K, rg(λA) =

{rg(A) si λ 6= 00 si λ = 0

6 rg(A).

• ∀(A,B) ∈ (Mn,p(K))2, ∀(λ, µ) ∈ K2, rg(λA + λB) 6 rg(A) + rg(B).

De même,

Théorème 42.

• ∀(A,B) ∈ Mn,p(K)×Mp,q(K), rg(A× B) 6 Min{rg(A), rg(B)} ou encore rg(A× B) 6 rg(A) et rg(A× B) 6 rg(B).• ∀A ∈ Mn,p(K), ∀(P,Q) ∈ GLn(K)×GLp(K), rg(AP) = rg(A) et rg(QA) = rg(A).

Démonstration . L’inégalité rg(A× B) 6 Min{rg(A), rg(B)} est la traduction en termes de matrices de l’inégalité déjà connuerg(f ◦ g) 6 Min{rg(f), rg(g)}.

Etudions alors les deux cas d’égalité. Soit P ∈ GLn(K). On a déjà rg(AP) 6 rg(A). Mais d’autre part, rg(A) = rg(

(AP)P−1)

6 rg(AP).Finalement, rg(AP) = rg(A). De même, rg(QA) = rg(A) si Q est inversible.

❏

On en déduit encore :

Théorème 43. Deux matrices équivalentes ont même rang. Deux matrices semblables ont même rang.

5.4 Une caractérisation du rang d’une matrice

Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Pour r ∈ J0,Min{n, p}K, on définit la matrice Jr par : si r = 0, Jr = 0n,p et sir > 1, Jr est la matrice de format (n, p) telle que pour 1 6 i 6 r, le coefficient ligne i, colonne i, de Jr est égal à 1, tousles autres coefficients étant nuls. La matrice Jr peut se définir par blocs (en adaptant la lecture dans les cas particuliersr = 0, ou r = p ou r = n) :

Jr =

(

Ir 0r,p−r

0n−r,r 0n−r,p−r

)

,

Ir désignant la matrice unité de format r et 0u,v désignant la matrice nulle de format (u, v).

On peut alors caractériser le rang d’une matrice à partir de la matrice Jr.

Théorème 44. Soit A ∈ Mn,p(K). Soit r ∈ J0,Min{n, p}K.

rg(A) = r⇔ A est équivalente à Jr.

Démonstration .

• Supposons A équivalente à Jr. Alors rg(A) = rg (Jr), puisque deux matrices équivalentes ont même rang, et donc rg(A) = r (d’aprèsle travail effectué sur le calcul du rang d’une famille de vecteurs dans le chapitre « Dimension d’un espace vectoriel »).

• Inversement, soit A ∈ Mn,p(K) de rang r ∈ J0,Min{n, p}K. Il s’agit de montrer que A est équivalente à Jr.

Soit f l’élément de L (Kp,Kn) de matrice A relativement aux bases canoniques B et B1 de Kp et K

n respectivement. D’après lethéorème du rang,

dim(Ker(f)) = dim (Kp) − rg(f) = p− rg(A) = p− r.


Si r = 0, alors f = 0 puis A = 0n,p et d’autre part, Jr = 0n,p. Dans ce cas, A et Jr sont équivalentes. Dorénavant, 1 6 r 6 p.Soit F = (er+1, . . . , ep) si r < p ou F = ∅ si r = p, une base de Ker(f). On complète (éventuellement) la famille libre F enB ′ = (e1, . . . , ep) base de K

p. On sait que S = Vect (e1, . . . , er) est un supplémentaire de Ker(f) dans Kp.

D’après le théorème du rang, on sait que la restriction de f à S est un isomorphisme de S sur Im(f). On en déduit que la familleF ′ = (e ′

1, . . . , e′

r) = (f (e1) , . . . , f (er)) est une base de Im(f). On la complète (éventuellement) en B ′

1 = (e ′

1, . . . , e′

n) base de Kn.

Pour i ∈ J1, rK, on a f (ei) = e ′

i et pour i > r (si r < p), on a f (ei) = 0. Donc, MatB ′,B ′

1(f) = Jr. Soient P = PB

′

B et Q = PB

′

1B1

. Les

formules de changement de base fournissent Jr = Q−1AP. Ceci montre que A et Jr sont équivalentes.

❏

On déduit du théorème 44 :

Théorème 45. Soit (A,B) ∈ (Mn,p(K))2. A et B sont équivalentes si et seulement si rg(A) = rg(B).

Démonstration . On sait déjà que deux matrices équivalentes ont même rang.

Inversement, si rg(A) = rg(B) = r, alors A et B sont toutes deux équivalentes à Jr et donc, par transitivité, A et B sont équivalentes.

❏

Du théorème 44, on déduit aussi :

Théorème 46. ∀A ∈ Mn,p(K), rg (tA) = rg(A).

Démonstration . Soit r le rang de A. La matrice A est équivalente à la matrice Jr et donc il existe P ∈ GLn(K) et Q ∈ GLp(K

telles que A = QJrP. Mais alors, tA = tPtJrtQ avec tP ∈ GLn(K) et tQ ∈ GLp(K). Maintenant, la matrice tJr est la matrice Jr de

format (p, n) : tJr =

(

Ir 0r,n−r

0r,p−r 0p−r,n−r

)

. Ceci montre que tA est de rang r. ❏

➱ Commentaire .

⋄ Une conséquence de ce résultat est que tout résultat concernant le rang d’une matrice, énoncé en termes de colonnes de cettematrice, peut aussi être énoncé en termes de lignes. Par exemple, pour A ∈ Mn,p(K),

rg(A) est la dimension du sous-espace de Mn,1(K) engendré par les colonnes de A

rg(A) est la dimension du sous-espace de M1,p(K) engendré par les lignes de A

rg(A) = n ⇔ les colonnes de A forment une famille génératrice de Mn,1(K)

⇔ les lignes de A forment une famille libre de M1,p(K)

rg(A) = p ⇔ les colonnes de A forment une famille libre de Mn,1(K)

⇔ les lignes de A forment une famille génératrice de M1,p(K)

et si de plus A ∈ Mn(K),

rg(A) = n ⇔ les colonnes de A forment une base de Mn,1(K)

⇔ les lignes de A forment une base de M1,n(K)

⋄ Il faut concrétiser le fait que rg(A) = rg(

tA)

. Construisons une matrice A carrée de format 3 et de rang 2 en plaçant d’abord 2

colonnes non colinéaires puis en mettant en troisième colonne la somme des deux autres :

A =

−1 3 2

2 2 4

5 7 12

.

La famille des lignes de cette matrice doit aussi être de rang 2 et donc, puisque les deux premières lignes sont non colinéaires, et bien

que nous n’ayons rien fait pour ça, la troisième ligne doit être une combinaison linéaire des deux premières. De fait, L3 =1

2L1+

11

4L2

(nous n’avons vraiment pas fait exprès).

5.5 Transformations élémentaires ne modifiant pas le rang d’une matrice

5.5.1 Rappel. Codage des transformations élémentaires

On sait que le rang d’une matrice peut s’interpréter comme le rang d’une certaine famille de vecteurs et on a donné dansle chapitre « Dimensions » des transformations sur les vecteurs de cette famille ne modifiant pas le rang de cette famille.En s’adaptant aux notations matricielles, on obtient des transformations sur les colonnes d’une matrice ne modifiant pas


son rang : en appliquant l’une de ces transformations, on obtient une nouvelle matrice qui a même rang que la matrice dedépart ou encore, on obtient une matrice équivalente à la matrice de départ.

On sait aussi que rg(A) = rg (tA). Les transformations sur les colonnes fournissent aussi des transformations sur les lignesd’une matrice, ne modifiant pas le rang de cette matrice.

Les transformations élémentaires sur les colonnes ou les lignes d’une matrice, ne modifiant pas le rang de cette matricesont :

• Echange de deux colonnes. L’échange de la colonne i et de la colonne j (i 6= j) se note Ci ↔ Cj.Echange de deux lignes. L’échange de la ligne i et de la ligne j (i 6= j) se note Li ↔ Lj.

• Multiplier une colonne par un nombre λ 6= 0. Le remplacement de la colonne j par λ fois cette ligne se note Cj ← λCj.Multiplier une ligne par un nombre λ 6= 0. Le remplacement de la ligne i par λ fois cette ligne se note Li ← λLi.

• Ajouter une colonne à une autre. Le remplacement de la colonne j par la colonne j + la colonne i se note Cj ← Cj+Ci.Ajouter une ligne à une autre. Le remplacement de la ligne i par la ligne i plus la ligne j se note Li ← Li + Lj.

On en déduit d’autres transformations moins élémentaires sur les colonnes ou les lignes d’une matrice, ne modifiant pasle rang de cette matrice :

• Permuter des colonnes : pour toute permutation σ de J1, nK, rg(

C1 . . . Cp

)

= rg(

Cσ(1) . . . Cσ(p)

)

.

Permuter des lignes : pour toute permutation σ de J1, nK, rg

L1...Ln

= rg

Lσ(1)...

Lσ(n)

.

• Ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes : Cj ← Cj +∑

i6=j

λiCi.

Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes : Li ← Li +∑

j6=i

λjLj.

� On peut appliquer la transformation Ci ←n∑

j=1

λjCj sans changer le rang si on prend bien garde au fait que λi

(le coefficient de Ci) soit non nul. De même pour les lignes.

Notons encore qu’on ne change pas le rang d’une matrice quand :

• on supprime une colonne de 0 ou une ligne de 0 (la nouvelle matrice a alors un format différent du format de départ),

• On supprime une colonne (ou une ligne) qui est égale ou plus généralement colinéaire à une autre colonne (ou uneautre ligne).

• On supprime une colonne (ou une ligne) qui est combinaison linéaire d’autres colonnes (ou d’autres lignes).

Exercice 13. Soit p > 2. Soit A =

a 0 . . . . . . 0 b

0. . .

. . . 0...

. . .. . . 0 0

...0 a b 0

0 b a 0... 0 0

. . .. . .

...

0. . .

. . . 0b 0 . . . . . . 0 a

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

∈ M2p(C).

Déterminer rg(A) en fonction de a et b.

Solution 13. On effectue les transformations : ∀j ∈ J1, pK, Cj ← Cj + C2p+1−j. On obtient


rg(A) = rg

a+ b 0 . . . . . . 0 b

0. . .

. . . 0...

. . .. . . 0 0

...0 a+ b b 0

0 a+ b a 0... 0 0

. . .. . .

...

0. . .

. . . 0a+ b 0 . . . . . . 0 a

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

• Si a + b = 0 ou encore si b = −a, en supprimant les colonnes de 0 puis en supprimant les p premières lignes, chacuneétant colinéaire à l’une des p dernières, on a

rg(A) = rg

0 . . . 0 −a... 0

0...

−a 0

a 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . 0 a

. ..

. ..

. ..

. ..

= rg

a 0 . . . 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 . . . 0 a

= rg (aIp).

Si b = −a 6= 0, rg(A) = p et si a = b = 0, rg(A) = 0.

• Si a+ b 6= 0 ou encore si b 6= −a,

rg(A) = rg

1 0 . . . . . . 0 b

0. . .

. . . 0...

. . .. . . 0 0

...0 1 b 0

0 1 a 0... 0 0

. . .. . .

...

0. . .

. . . 0

1 0 . . . . . . 0 a

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

. ..

On effectue les transformations : ∀i ∈ Jp + 1, 2pK, Li ← Li − L2p+1−i. On obtient

rg(A) = rg

1 0 . . . . . . 0 b

0. . .

. . . 0...

. . .. . . 0 0

...1 b 0

0 a− b 0. . .

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . . . . 0 a− b

. ..

. ..

. ..

. ..

Si b 6= a (et b 6= −a), rg(A) = 2p (matrice triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls). Si a = b 6= 0, ensupprimant les p dernières lignes qui sont nulles puis les p dernières colonnes, chacune colinéaire à l’une des p premières,on obtient rg(A) = rg (Ip) = p.

En résumé,

• Si b 6= a et b 6= −a, rg(A) = 2p et en particulier, A est inversible.• Si b = a 6= 0 ou b = −a 6= 0, rg(A) = p.• Si a = b = 0, rg(A) = 0.


Exercice 14. Soient n ∈ N∗ puis A ∈ Mn(K). Soit B la matrice diagonales par blocs définie par

B =

A 0n . . . 0n

0n A. . .

......

. . .. . . 0n

0n . . . 0n A

∈ Mnp(K) (où p ∈ N∗ et 0n est la matrice nulle de format n).

Déterminer le rang de B en fonction du rang de A.

Solution 14. Soit r = rg(A) ∈ J0, nK. Si r = 0, alors A = 0 puis B = 0 et donc rg(B) = 0. On suppose maintenantr ∈ J1, nK.

Il existe (P1, Q1) ∈ (GLn(K))2

tel que A = Q1JrP1.

On pose P =

P1 0n . . . 0n

0n P1

. . ....

.... . .

. . . 0n0n . . . 0n P1

∈ Mnp(K) et Q =

Q1 0n . . . 0n

0n Q1

. . ....

.... . .

. . . 0n0n . . . 0n Q1

∈ Mnp(K). Un calcul par blocs montre

que P et Q sont inversibles, d’inverses respectifs

P−11 0n . . . 0n

0n P−11

. . ....

.... . .

. . . 0n0n . . . 0n P−1

1

et

Q−11 0n . . . 0n

0n Q−11

. . ....

.... . .

. . . 0n0n . . . 0n Q−1

1

.

De nouveau, un calcul par blocs fournit A = Q

Jr 0n . . . 0n

0n Jr. . .

......

. . .. . . 0n

0n . . . 0n Jr

P puis rg(A) = rg

Jr 0n . . . 0n

0n Jr. . .

......

. . .. . . 0n

0n . . . 0n Jr

. En

supprimant les colonnes nulles puis les lignes nulles, on obtient

rg(A) = rg

Ir 0n . . . 0n

0n Ir. . .

......

. . .. . . 0n

0n . . . 0n Ir

= rg (Ipr) = pr = p rg(A),

ce qui reste vrai quand r = 0.

On a montré que rg(B) = p rg(A).

5.5.2 Interprétation en terme de calcul matriciel des transformations élémentaires

On va voir que chacune des transformations précédentes peut s’interpréter en terme de calcul matriciel. Commençons parun résultat utile pour la suite et à connaître en tant que tel. On calcule une bonne fois pour toutes le produit d’une matriceA par une matrice élémentaire Ei,j.

Théorème 47. Soit A ∈ Mn,p(K). On note L1, . . . , Ln les lignes de A et C1, . . . , Cp les colonnes de A.

• Soient (i, j) ∈ J1, pK2 puis Ei,j = (δk,iδl,j)16k,l6p ∈ Mp(K).

AEi,j =(

0 . . . 0 Ci 0 . . . 0)

j

• Soient (i, j) ∈ J1, nK2 puis Ei,j = (δk,iδl,j)16k,l6n∈ Mn(K).

Ei,jA =

0...0

Lj0...0

i


Démonstration .

• Soit A = (ak,l)16k6n16l6p

∈ Mn,p(K). Soient (i, j) ∈ J1, pK2 puis Ei,j = (δk,iδl,j)16k,l6p ∈ Mp(K).

AEi,j =

∑

16k6n, 16l6p

ak,lEk,l

Ei,j =∑

16k6n, 16l6p

ak,lEk,lEi,j =∑

16k6n, 16l6p

ak,lδl,iEk,j

=

p∑

k=1

ak,iEk,j.

Donc, AEi,j =

0 . . . 0 a1,i 0 . . . 0...

......

......

0 . . . 0 an,i 0 . . . 0

ou encore AEi,j est la matrice définie en colonnes par

AEi,j =(

0 . . . 0 Ci 0 . . . 0)

j

.

• Soit A = (ak,l)16k6n16l6p

∈ Mn,p(K). Soient (i, j) ∈ J1, nK2 puis Ei,j = (δk,iδl,j)16k,l6n ∈ Mn(K).

Ei,jA = Ei,j

∑

16k6n, 16l6p

ak,lEk,l

=∑

16k6n, 16l6p

ak,lEi,jEk,l =∑

16k6n, 16l6p

ak,lδk,jEi,l

=

n∑

l=1

aj,lEi,l.

Donc, Ei,jA =

0 . . . . . . 0...

...0 . . . . . . 0

aj,1 . . . . . . aj,p

0 . . . . . . 0...

...0 . . . . . . 0

ou encore Ei,jA est la matrice définie en lignes par

Ei,jA =

0

. . .

0

Lj

0

. . .

0

i

❏

On sert maintenant du résultat précédent pour interpréter en terme de calcul matriciel les deux transformations Cj ←Cj + Ci (ou Li ← Li + Lj) et Cj ← λCj (ou Li ← λLi) dans une matrice A ∈ Mn,p(K).

• Pour remplacer Cj par λCj, il suffit d’ajouter (λ − 1)Cj à Cj. D’après le théorème 47, ceci s’obtient en remplaçant lamatrice A par la matrice A+ (λ− 1)AEj,j = A (Ip + (λ − 1)Ej,j). On pose ∆j(λ) = Ip + (λ − 1)Ej,j. On a explicitement

∆j(λ) =

1 0 . . . . . . 0

0. . .

. . ....

.... . . 1

λ

1. . .

......

. . .. . . 0

0 . . . . . . 0 1

= diag(1, . . . , 1, λ, 1, . . . , 1),

où λ a été placé en j-ème colonne. ∆j(λ) s’appelle une matrice de dilatation. En résumant les calculs précédents, on a

si A =(

C1 . . . Cj . . . Cp

)

, alors A∆j(λ) =(

C1 . . . λCj . . . Cp

)

.

De même,


si A =

L1...Li...Ln

, alors ∆i(λ)A =

L1...

λLi...Ln

.

On note que si λ 6= 0, ∆j(λ) est une matrice carrée inversible en tant que matrice diagonale à coefficients diagonauxtous non nuls. Dans ce cas, l’égalité rg(A) = rg (A∆j(λ)) fournit de nouveau le fait que rg

(

C1 . . . Cj . . . Cp

)

=

rg(

C1 . . . λCj . . . Cp

)

. Et de même, si on multiplie la ligne Li par λ 6= 0.

• Pour remplacer Cj par Cj+Ci (i 6= j), il suffit d’ajouter Ci à Cj. D’après le théorème 47, ceci s’obtient en remplaçant lamatrice A par la matrice A+AEi,j = A (Ip + Ei,j). On pose Λi,j = Ip+Ei,j. Λi,j s’appelle une matrice de transvection.Explicitement,

Λi,j = Ip + Ei,j =

1 0 . . . . . . 0

0. . .

. . ....

.... . . 1

. . .. . .

1 1. . .

......

. . .. . . 0

0 . . . . . . 0 1

où le 1 non situé sur la diagonale, est situé ligne i, colonne j (i 6= j). En résumant les calculs précédents, on a

si A =(

C1 . . . Ci . . . Cj . . . Cp

)

, alors AΛi,j =(

C1 . . . Ci . . . Cj + Ci . . . Cp

)

.

De même,

si A =

L1...Li...Lj...Ln

, alors Λi,jA =

L1...

Li + Lj...Lj...Ln

.

On note que Λi,j est une matrice carrée de rang son format, et donc est inversible. Dans ce cas, l’égalité rg(A) = rg (AΛi,j)

fournit de nouveau le fait que rg(

C1 . . . Ci . . . Cj . . . Cp

)

= rg(

C1 . . . Ci . . . Cj + Ci . . . Cp

)

. Etde même, si on remplace la ligne Li par Li + Lj (i 6= j).

5.5.3 Matrices de permutations

On consacre maintenant un paragraphe aux matrices de permutations qui vont nous permettre d’interpréter en terme decalcul matriciel une permutation des lignes ou des colonnes d’une matrice donnée.

Soit n ∈ N∗. On rappelle qu’une permutation de J1, nK est une bijection de J1, nK sur lui-même. L’ensemble des permuta-tions de J1, nK se note Sn et on sait que (Sn, ◦) est un groupe.

On se donne alors un élément σ de Sn. On lui associe une matrice carrée de format n, notée Pσ :

Pσ =(

δi,σ(j))

16i,j6n.

Par exemple, si σ est la permutation de J1, 4K défini par σ(1) = 4, σ(2) = 2, σ(3) = 1 et σ(4) = 3, alors

Pσ =

0 0 1 00 1 0 0

0 0 0 11 0 0 0

.


En colonne j = 1, on a placé un 1 en ligne i = σ(1) = 4.

De manière générale, si σ ∈ Sn, Pσ est une matrice carrée de format n ayant exactement un 1 par ligne et par colonne etdes 0 partout ailleurs. Une telle matrice est appelée matrice de permutation. Les règles de calcul sur les matrices depermutation sont les suivantes :

Théorème 48.

• ∀(σ, σ ′) ∈ (Sn)2, Pσ × Pσ ′ = Pσ◦σ ′ .

• PIdJ1,nK= In.

• ∀σ ∈ Sn, Pσ ∈ GLn(C) et (Pσ)−1

= Pσ−1 .

Démonstration .

• Soit (σ, σ ′) ∈ (Sn)2. Soit (i, j) ∈ J1, nK2. Le coefficient ligne i, colonne j, de Pσ × Pσ ′ est

n∑

k=1

δi,σ(k)δk,σ ′(j) = δi,σ(σ ′(j)) (obtenu pour k = σ′(j))

qui est aussi le coefficient ligne i, colonne j, de Pσ◦σ ′ . Ceci montre que Pσ × Pσ ′ = Pσ◦σ ′ .

• PIdJ1,nK=(

δi,σ(i))

16i,j6n= In

• Soit σ ∈ Sn. Alors, σ−1 ∈ Sn

Pσ × Pσ−1 = Pσ◦σ−1 = PIdJ1,nK= In

Ceci montre que Pσ ∈ GLn(C) et (Pσ)−1

= Pσ−1 .

❏

Analysons maintenant le produit d’une matrice A ∈ Mn,p(K) par une matrice de permutation Pσ, à droite ou à gauche.

Soient A ∈ Mn,p(K) et σ ∈ Sp. Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. Le coefficient ligne i, colonne j, de APσ est

p∑

k=1

ai,kδk,σ(j) = ai,σ(j) (obtenu quand k = σ(j).

La matrice APσ est donc

a1,σ(1) . . . a1,σ(j) . . . a1,σ(p)

......

...an,σ(1) . . . an,σ(j) . . . an,σ(p)

. Cette nouvelle matrice est plus agréablement décrite

en colonnes :

Si A =(

C1 . . . Cj . . . Cn

)

, alors APσ =(

Cσ(1) . . . Cσ(j) . . . Cσ(n)

)

.

Ainsi, multiplier A par Pσ à droite consiste à appliquer aux colonnes de A la permutation σ. Par exemple, si

3 0 −1

2 4 7−3 −2 0

1 0 0

0 0 10 1 0

=

3 −1 0

2 7 4−3 0 −2

.

Analysons de même le produit d’une matrice A ∈ Mn,p(K) par une matrice de permutation Pσ, à gauche. Soient A ∈Mn,p(K) et σ ∈ Sn. Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. Le coefficient ligne i, colonne j, de PσA est

p∑

k=1

δi,σ(k)ak,j = aσ−1(i),j (obtenu quand k = σ−1(i)).

La matrice PσA est donc

aσ−1(1),1 . . . aσ−1(1),p

......

aσ−1(i),1 . . . aσ−1(i),p

......

aσ−1(n),1 . . . aσ−1(n),p

=

Lσ−1(1)

...Lσ−1(i)

...Lσ−1(n)

. Multiplier A par Pσ à gauche consiste à

appliquer aux lignes de A la permutation σ−1.

On note enfin que, puisque Pσ est inversible, on retrouve le fait que permuter les lignes ou les colonnes d’une matrice nemodifie pas son rang.


5.6 Matrices extraites. Une autre caractérisation du rang

5.6.1 Définition d’une matrice extraite

On se donne une matrice A = (ai,j)16i6n16j6p

∈ Mn,p(K). Une matrice extraite de la matrice A est une matrice de la forme

AI,J = (αk,l)16k6m16l6q

où

• (m,q) ∈ J1, nK × J1, pK,• I = {i1, . . . , im} ⊂ J1, nK avec i1 < . . . < im,• J = {j1, . . . , jq} ⊂ J1, pK avec j1 < . . . < jq,• ∀(k, l) ∈ J1,mK × J1, qK, αk,l = aik,jl .

Exemple. La matrice

(

0 2−3 −1

)

est une matrice carrée de format 2, extraite de la matrice A =

−1 0 4 2

2 −3 7 −10 0 3 −3

.

Elle est obtenue en « barrant puis supprimant » dans la matrice A les colonnes 1 et 3 et la ligne 3. ❏

5.6.2 Caractérisation du rang comme le format maximal d’une matrice extraite inversible

Théorème 49. Soit A ∈ Mn,p(K) \ {0}.

Le rang de A est le format maximum d’une matrice carrée extraite de A et inversible.

Plus explicitement, si r ∈ J1,Min{n, p}K,rg(A) = r si et seulement si il existe une matrice carrée de format r extraite de A et inversible et toute matrice carréeextraite de A de format strictement supérieur à r est non inversible.

Démonstration . Soit A = (ai,j)16i6n16j6p

∈ Mn,p(K) \ {0}. On note C1, . . . , Cp les colonnes de A.

• Soit r ∈ J1,Min{n, p}K. On suppose qu’il existe une matrice carrée de format r, extraite de A et inversible. Quite à permuter lescolonnes de A puis les lignes de A, ce qui ne modifie pas le rang de A, on peut supposer que la matrice extraite A ′ = (ai,j)16i,j6r

est inversible. Montrons que la famille (C1, . . . , Cr) est une famille libre de Mn,1(K).Soient C ′

1, . . . , C ′

r, les vecteurs C1, . . . , Cr tronqués à la r-ème composante (si pour j ∈ J1, rK, Cj = (ai,j)16i6n, alors C ′

j = (ai,j)16i6r).

La matrice A ′ =(

C ′

1 . . . C ′

r

)

est une matrice carrée inversible. Donc, (C ′

1, . . . , C′

r) est une base de Mr,1(K) et en particulierune famille libre de Mr,1(K). Mais alors, pour (λ1, . . . , λr) ∈ K

r,

r∑

j=1

λjCj = 0 ⇒r∑

j=1

λjC′

j = 0 ⇒ ∀j ∈ J1, rK, λj = 0.

La famille (C1, . . . , Cr) est donc une famille libre de Mn,1(K). On en déduit que rg(A) > r.

• Réciproquement, supposons que rg(A) > r. Il existe r colonnes de A constituant une famille libre de Mn,1(K). Quite à permuterles colonnes de A, ce qui ne modifie pas le rang de A, on peut supposer que (C1, . . . , Cr) est une famille libre de Mn,1(K).Soit A1 =

(

C1 . . . Cr

)

∈ Mn,p(K). rg (A1) = r et donc, on peut trouver r lignes de A1 constituant une famille libre de M1,r(K).Soit A ′ la matrice carrée de format r constituée de ces r lignes. A ′ est une matrice carrée de format r, extraite de A et de plus A ′

est inversible car de rang r.

On a montré que rg(A) > r si et seulement si il existe une matrice carrée de format r, extraite de A et inversible.

Puisque, rg(A) = r si et seulement si rg(A) > r et rg(A) 6> r + 1, on en déduit que rg(A) = r si et seulement si il existe une matricecarrée de format r, extraite de A et inversible et toute matrice carrée de format strictement supérieur à r, extraite de A, est noninversible.

❏

On peut améliorer le théorème 49 en limitant le nombre de vérifications :

Théorème 50. Soit A ∈ Mn,p(K) \ {0}. Soit r ∈ J1,Mi{n, p}− 1K.

rg(A) = r si et seulement si il existe une matrice carrée de format r extraite de A et inversible et toute matrice carréeextraite de A de format r + 1 est non inversible.

Démonstration . L’implication de gauche à droite est une conséquence du théorème 49.

Inversement, supposons qu’il existe une matrice carrée de format r extraite de A et inversible et que toute matrice carrée extraitede A de format r + 1 est non inversible. Puisqu’il existe une matrice carrée de format r extraite de A et inversible, on a rg(A) > r.Mais on ne peut avoir rg(A) > r + 1, car sinon il existe une matrice carrée de format r + 1 extraite de A et inversible. Ceci montreque rg(A) = r.

❏


6 Trace

6.1 Trace d’une matrice carrée

Définition 11. Soient n > 1 puis A = (ai,j)16i,j6n∈ Mn(K).

La trace de la matrice A, notée Tr(A), est la somme des coefficients diagonaux de A :

Tr(A) =

n∑

i=1

ai,i.

Théorème 51. La trace est une forme linéaire sur Mn(K) :

∀(A,B) ∈ (Mn(K))2, ∀(λ, µ) ∈ K

2, Tr(λA + µB) = λTr(A) + µTr(B).

Démonstration . Posons A = (ai,j)16i,j6n et B = (bi,j)16i,j6n.

Tr(λA + µB) =

n∑

i=1

(λai,i + µbi,i) = λ

n∑

i=1

ai,i + µ

n∑

i=1

bi,i = λTr(A) + µTr(B).

❏

Théorème 52. ∀(A,B) ∈ (Mn(K))2, Tr(AB) = Tr(BA).

Démonstration . Posons A = (ai,j)16i,j6n et B = (bi,j)16i,j6n. Le coefficient ligne i, colonne i, de AB estn∑

j=1

ai,jbj,i et le

coefficient ligne j, colonne j, de BA est

n∑

i=1

bj,iai,j. Donc

Tr(AB) =

n∑

i=1

n∑

j=1

ai,jbj,i

=

n∑

j=1

(

n∑

i=1

bj,iai,j

)

= Tr(BA).

❏

Exercice 15. Existe-t-il (A,B) ∈ (Mn(K))2

tel que AB− BA = In ?

Solution 15. Non, car pour tout (A,B) ∈ (Mn(K))2, Tr(AB− BA) = Tr(AB) − Tr(BA) = 0 6= n = Tr (In).

Théorème 53. Deux matrices semblables ont même trace.

Démonstration . Soient A ∈ Mn(K), P ∈ GLn(K) puis B = P−1AP.

Tr(B) = Tr(

P−1

(AP))

= Tr(

(AP)P−1)

= Tr(A).

❏

� Si A, B et C sont trois matrices carrées, on a Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA) car par exempleTr(ABC) = Tr((AB)C) = Tr(C(AB)) = Tr(CAB). Mais en général, Tr(ABC) 6= Tr(ACB).

Par exemple, prenons A = E1,2, B = E2,2, C = E2,1. Alors, ABC = E1,1 et donc Tr(ABC) = 1 et ACB = 0 et doncTr(ACB) = 0.

Exercice 16.

1) Les matrices A =

1 0 −12 2 1

3 −1 4

et B =

−2 4 70 1 0

−5 2 2

sont -elles semblables dans M3(C) ?

2) Les matrices I3 =

1 0 0

0 1 00 0 1

et A =

1 1 0

−1 4 76 5 −2

sont -elles semblables dans M3(C) ?


Solution 16.

1) Tr(A) = 4+ 2+ 1 = 7 et Tr(B) = −2+ 1+ 2 = 1. Tr(A) 6= Tr(B) et donc A et B ne sont pas semblables.

2) Pour P ∈ GL3(C), P−1I3P = I3 ou encore une matrice semblable à I3 est égale à I3. On en déduit que I3 et A ne sont

pas semblables. Pourtant, Tr(A) = 1+ 4− 2 = 3 = Tr (I3).

Ainsi, deux matrices carrées peuvent avoir mettre trace sans être semblables. La réciproque du théorème 53 est fausse.

6.2 Trace d’un endomorphisme

Théorème 54. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle n. Soit f ∈ L(E).Soient B et B ′ deux bases de E. Soient A = MatB(f) et A ′ = MatB ′(f).

Alors, Tr(A) = Tr(A ′).

Démonstration . Soit P la matrice de passage de B à B ′. Les formules de changement de base fournissent A ′ = P−1AP. Les

matrices A et A ′ sont semblables et on en déduit que ces matrices ont même trace.

❏

Ainsi, le nombre Tr (MatB(f)) ne dépend pas de la base B (ce nombre ne dépend que de f). Ceci motive la définitionsuivante :

Définition 12. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle n. Soit f ∈ L(E).

La trace de f, notée Tr(f), est la trace de sa matrice dans une base donnée B de E.

Le théorème qui suit montre que la trace peut avoir une signification très concrète.

Théorème 55. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle n. Soit p une projection.

Alors, Tr(p) = rg(p).

Démonstration . Si rg(p) = 0, alors p = 0 puis Tr(p) = 0 = rg(p). Si rg(p) = n, alors p = IdE (car par exemple,

rg(p) = n ⇒ p ∈ GL(E) puis p2 = p ⇒ p = IdE). Dans ce cas, Tr(p) = n = rg(p).

On suppose dorénavant que rg(p) = r ∈ J1, n− 1K. Dans une base B de E adaptée à la décomposition E = Im(p)⊕Ker(p), la matrice

A de p est

(

Ir 0r,n−r

0n−r,r 0n−r,n−r

)

. Mais alors, Tr(p) = Tr(A) = r = rg(p).

❏

Exemple. Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice A =1

9

1 2 2

2 4 4

2 4 4

dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de R3.

A2 =1

81

1 2 22 4 4

2 4 4

1 2 22 4 4

2 4 4

=1

81

9 18 1818 36 36

18 36 36

=1

9

1 2 22 4 4

2 4 4

= A. Donc, f2 = f et f est une

projection.

rg(f) = Tr(f) =1

9(1+ 4+ 4) = 1,

(ce qui est encore plus immédiat ici à partir de la matrice mais dans le cas général, la trace est certainement plus facile àcalculer que le rang). Ainsi, f est une projection sur une droite parallèlement à un plan.

Plus explicitement, f est la projection sur Vect(u) où u = e1 + 2e2 + 2e3 (obtenu à partir des colonnes de la matrice eten particulier de la première) parallèlement au plan d’équation x + 2y + 2z = 0 (obtenu à partir des lignes de la matriceet en particulier de la première).

❏


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