Trigonométrie

Résolution de triangles

Résoudre un triangle, c’est trouver les mesures de ses côtés ou de ses angles.

Cependant, on ne connaît pas les mesures des angles, sauf l’angle de 900,

mais on peut les déterminer en utilisant les rapports trigonométriques :

Sinus Cosinus Tangente

A B

C

3

4

5

Résous le triangle suivant.

On connaît les mesures des côtés.

A B

C

3

4

5

Sin A = 35

= 0,6 Sin-1 0,6 ≈ 36,90

Remarque

Pour calculer plus rapidement et plus précisément, tu peux utiliser la séquence suivante :

Sin-1 (3 ÷ 5) ENTER ≈ 36,90

Remarque

Tu aurais pu déterminer la mesure de l’angle A en utilisant n’importe quel rapport.

Cos-1 (4 ÷ 5) ≈ 36,90 Tan-1 (3 ÷ 4) ≈ 36,90

36,90

car « Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.››

m C = 900 - 36,90 ≈ 53,10,

Quelle est la mesure de l’angle C ?

Tu pourrais utiliser les rapports Sinus, Cosinus et Tangente; cependant,

Quelle est la mesure du segment AB ?

Ici, on connaît la mesure d’un angle et d’un côté.

En utilisant les rapports trigonométriques, nous avons l’information suffisante pour déterminer cette mesure.

Pour cela, il faut comprendre ceci :

- la calculatrice fournit la valeur des rapports trigonométriques pour un angle.

Exemple : Sin 300 =

300

3,5x

A

B

C

Démarche : 1) la calculatrice affiche sin.

2) Inscris la mesure de l’angle et pèse sur ENTER

La calculatrice affiche 0,5; c’est le rapport entre les côtés.

0,5

Pèse sur la touche Sin ;

300

10,5

2

1

3

1,5

Que signifie ce rapport ?

Sin 300 = 0,5

On sait que tous les triangles rectangles ayant un angle de 300 sont semblables.

Le rapport entre les côtés est toujours le même.

Donc, 0,5 signifie 0,5

1

Soit le rapport ramené à l’unité, c’est-à-dire ayant comme dénominateur 1.

Nous pourrons donc utiliser ce rapport pour construire une proportion.

- déterminer le rapport entre les côtés en fonction de l’angle;

- utiliser ce rapport pour former une proportion.

300

3,5x

A

B

C

Quelle est la mesure du segment AB ?

Pour déterminer cette mesure, il faut :

Selon l’information fournie, il faut utiliser le rapport Sinus.

0,5

1

3,5

x= 0,5 x = 3,5

x = 7Remarque

Cela correspond, en effet, à l’axiome :

« Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.»

m BC

m ABSin 300 =

côté opposé

hypoténuse=

3,5

x

37,80

A

B

C

On cherche la mesure de x :

Selon l’information fournie, il faut utiliser le rapport Tangente.

Démarche :

1) Déterminer le rapport Tangente d’un angle de 37,80 :

Tan 37,80 = 0,775679511

Remarque : On garde habituellement 4 chiffres après la virgule pour plus de précision.

≈ 0,7757

2) Établir la proportion :

Tan 37,80 =

0, 7757

1

3,5

x≈

3) Isoler x : 0,7757 x ≈ 3,5 X 1

0,7757 x ≈ 3,5

0,7757 0,7757x ≈ 4,512053629 ≈ 4,5

m BC

m AC

3,5

37,80

A

B

C4,5

Détermine la mesure de AB :

Sin 37,80 : x

3,5

x

0,6129 x ≈ 3,5

x ≈ 3,5

0,6129≈ 5,7

Remarques :

Tu aurais pu aussi utiliser la relation de Pythagore.

0,6129

1≈

m BC

m AB

Tu aurais pu utiliser Cos 37,80 =4,5

x

m AC

m AB=

Pour résoudre un triangle rectangle ou pour trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle, plusieurs outils sont possibles.

Sin, Cos, Tan.

Les axiomes suivants :

Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Pour des cas particuliers :

Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300 , la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

Dans un triangle rectangle isocèle, les angles aigus mesurent 450.

c = a2 + b2La relation de Pythagore :

Problèmes

56,40

A B

C

3,6

x

Quelle est la mesure du segment AB ?

Selon les informations fournies, le rapport à utiliser est Cosinus.

3,6 X Cos 56,40 = x

0,5534

1≈

x

3,6

3,6 X 0,5534 ≈ x x ≈ 2

Remarque

Pour plus de rapidité et de précision, tu peux opérer comme suit :

Cos 56,40 =x

3,6Cos 56,40 x

3,61=peut s’écrire , donc

Avec la calculatrice : 3,6 X Cos 56,40 =

1.99… ≈ 2ou simplement 3,6 Cos 56,40 ≈

Cos 56,40 = m AB

m AC

Attention

Peu importe la façon dont tu procèderas,

prends toujours le temps d’écrire ta proportion.

56,40

A B

C

3,6

x

3,6 X Cos 56,40 = x

Avec la calculatrice : 3,6 X Cos 56,40 ≈ 2

Cos 56,40 =m AB

m AC

x

3,6Cos 56,40 =

x Cos 56,40 = 2

x =

Avec la calculatrice : 2 ÷ Cos 56,40 ≈ 3,6

56,40

A B

C

x

2Cos 56,40 Cos 56,40

2

Cos 56,40

Cos 56,40 =m AB

m AC

x

2Cos 56,40 =

Soit un triangle rectangle en B tel que m AC = 34 mm et m A= 290.

Calcule la mesure du segment BC.

34290

x

Rapport :

34 sin 290 = x x ≈ 16,5 mm

Soit un triangle rectangle en C tel que m AB = 347 cm et m A= 80.

Calcule la mesure du segment AC.

347 xRapport :

347 Cos 80 = x x ≈ 343,6 cm

Représente la situation par un dessin. A

B C

B C

A

Sin 290 = m BC

m AC

Cos 80 = m AC

m AB

x

34Sin 290 =

347

xCos 80 =

Conclusion

Résoudre un triangle rectangle, c’est trouver les mesures des angles et les mesures des côtés.

Sin 500 ≈ 0,7660Exemple : Cos 500 ≈ 0,6428 Tan 500 ≈ 1,1918

Exemple : Sin-1 0,7660 ≈ 500 Cos-1 0,6428 ≈ 500 Tan-1 1,1918 ≈ 500

Si tu veux obtenir le rapport entre les côtés en fonction d’un angle, tu dois utiliser Sinus, Cosinus ou Tangente.

Si tu veux obtenir l’angle associé à un rapport de côtés, tu dois utiliser Sinus-1, Cosinus-1 et Tangente-1.

Attention : Ta calculatrice doit être réglée en mode DEGRÉ.