CHAPITRE 4 COURS: TRIGONOMÉTRIE - … · 3ème Page 2/2 Fiche d’exercices trigonométrie....

CHAPITRE 4

COURS: TRIGONOMÉTRIE

Extrait du programme de la classe de troisième :

CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES

Triangle rectangle : rela-

tions trigonométriques

Connaître et utiliser dans le triangle

rectangle les relations entre le co-

sinus, le sinus ou la tangente d’un

angle aigu et les longueurs de deux

côtés du triangle.

Utiliser la calculatrice pour détermi-

ner des valeurs approchées :

– du sinus, du cosinus et de la tan-

gente d’un angle aigu donné

– de l’angle aigu dont on connaît le

sinus, le cosinus ou la tangente

La définition du cosinus a été vue

en quatrième. Le sinus et la tan-

gente d’un angle aigu seront intro-

duits comme rapports de longueurs

ou à partir du quart de cercle tri-

gonométrique. On établira les for-

mules :

cos2 x+sin2 x = 1 et tan x =sin xcos x

.

On n’utilisera pas d’autre unité que

le degré décimal.

1 Relations trigonométriques

Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A ; on notera α l’angle �AC B . Alors on a :

cos α=

Côté adjacent

Hypoténuse=

AC

BCsin α=

Côté opposé

Hypoténuse=

AB

BCtanα=

Côté opposé

Côté adjacent=

AB

AC

Illustration :

Côté adjacent à α

Côté opposé à α

Hypoténuse

bB

bA

bC

α

3ème /4 Cours Trigonométrie

2 Pour quoi faire ?...

2.1 ... Pour calculer des longueurs

Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un

des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deux autres côtés.

Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et α= 30◦. Alors on

peut calculer la longueur du côté [AC ] en utilisant la formule de la tangente :

tanα=

AB

AC

d’où

AC =

AB

tanα=

12

tan30◦≃ 20.8 cm

De même on peut calculer la longueur du côté [BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en

utilisant la formule du sinus :

sinα=

AB

BC

d’où

BC =

AB

sinα=

12

sin30◦= 24 cm

2.2 ...Pour calculer des mesures d’angles

Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on peut calculer les me-

sures des deux angles aigus du triangle.

Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et AC = 16 cm.

Alors on peut calculer la mesure de l’angle �AC B en utilisant la formule de la tangente :

tan �AC B =

AB

AC=

12

16= 0,75

d’où, à l’aide de la calculatrice et de sa touche

tan−1

tan ,

�AC B ≃ 36,9◦

Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure

approchée de l’angle �ABC par :

�ABC = 90◦− �AC B ≃ 90−36,9= 53,1◦


3 Formules trigonométriques

Propriété n°1 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α quelconque.

Alors on a, pour toute valeur de x :

0 < cos x < 1 et 0 < sin x < 1

Preuve :Cela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long : suppo-

sons que x soit la mesure en degrés d’un angle α= �AC B dans un triangle ABC rectangle en A (voir

figure page 1).

On a alors cos x = cos α=

AC

BCavec AC < BC (car [BC ] est l’hypoténuse), et donc il vient cos x < 1.

De plus, comme AC et BC sont des longueurs, on a AC > 0 et BC > 0 ;

par conséquent cos x = cos α=

AC

BC> 0



cos2 x + sin2 x = 1

Remarques :Ï On écrit cos2 x pour (cos x)2, et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cos x2, dans le cas où

l’on oublierait d’écrire les parenthèses...

Ï Cette formule peut permettre d’obtenir le sinus d’un angle aigu lorsque l’on connaît son cosinus, et

vice-versa.

Preuve :

Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α= �AC B dans un triangle ABC rectangle en

A (voir figure page 1).


AC

BCet sin x = sin α=

AB

BC.

Ainsi on peut écrire que

cos2 x + sin2 x =

(AC

BC

)2

+

(AB

BC

)2

=

AC 2

BC 2+

AB 2

BC 2=

AC 2+ AB 2

BC 2

Or, le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore nous dit que AB 2+ AC 2

= BC 2.

On peut donc conclure :

cos2 x + sin2 x =

AC 2+ AB 2

BC 2=

BC 2

BC 2= 1



tanx =

sin x

cos x

Preuve :Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α= �AC B dans un triangle ABC rectangle en

A (voir figure page 1).


AC

BCet sin x = sin α=

AB

BC.

Ainsi on peut écrire que

sin x

cos x=

AB

BCAC

BC

=

AB

BC×

BC

AC=

AB

��BC

×�

�BC

AC=

AB

AC= tan x


4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi ?

Hipparque de Nicée-190/-120

Celui que l’on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (tri-

gonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPARQUE DE NI-CEE, brillant astronome grec de l’antiquité (né dans l’actuelle Turquie au IIème

siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (don-

nant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui

s’en servit pour recenser les positions exactes de plus de 1000 étoiles au moyen de

l’une de ses inventions, l’astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres

sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui né-

cessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est

à noter que c’est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés,

empruntée aux Babyloniens, toujours d’actualité aujourd’hui.

PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et com-

pléta l’oeuvre d’HIPPARQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, in-

titulé l’Almageste, traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique

des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques

extrêmement précises.

Ptolémée90/168

Al Khwarizmi780/850

Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout

Arabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien

indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMIet AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un im-

mense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et consi-

déré comme le père de l’algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son

oeuvre majeure, intitulée Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala,

traitant de la résolution des équations)

L’astronome et mathématicien allemand REGIOMONTANUS, au XVème siècle,

est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris

connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie

comme branche à part entière des mathématiques (aujourd’hui on dirait même

"pilier" des mathématiques !), indépendante de l’astronomie, dans un traité fon-

dateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli si-

nuus, publié de façon posthume en 1561. Regiomontanus1436/1476

Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus

et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences ! En astronomie (depuis l’An-

tiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alter-

natif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hert-

ziennes ?), en mécanique, etc...


CHAPITRE 4

FICHE D’EXERCICES : TRIGONOMÉTRIEQUOTIDIENNE

EXERCICE 1 Un panneau routier

Le panneau routier représenté ci-contre avertit le conducteur d’une

descente dangereuse en annonçant une déclivité de 10 %.

1. D’après vous, que signifie concrètement ce panneau ?

2. On a la situation suivante :

100 m

10 m

α

a) Combien vaut l’angle α ?

b) Sachant que la descente est longue de 3700 mètres, quelle sera

la dénivellation totale ?

EXERCICE 2 Le théodolite

L’instrument représenté ci-contre, utilisé en topographie, est un théodolite ; c’est

un appareil posé sur un trépied que le géomètre expert utilise pour mesurer des

angles et des distances sur un terrain, une parcelle.

L’opérateur peut utiliser cet appareil pour mesurer l’altitude d’un point donné ; par exemple, on a sché-

matisé la situation suivante, où O est l’emplacement de l’oeil de l’observateur (lunette du théodolite) :

bb

b

b

OH

A

B

α

β

On connaît l’altitude du point A : la distance H A vaut 1,85 m.

Le théodolite permet de mesurer les mesures des angles α et β :

on a ainsi α= 12◦ et β= 37◦.

1. Compléter : tanα=

. . . . . .

. . . . . .et tan β=

. . . . . .

. . . . . .

2. Démontrer que l’on aAH

tanα=

B H

tan β

3. En déduire la valeur de B H .

4. Combien vaut la distance OH ?

3ème Page 1/2 Fiche d’exercices trigonométrie

EXERCICE 3 Goooooooooooaaaaaaaal ! ! ! !

Sur un stade de football, le point de penalty est situé à 11 m de la ligne de but. Les buts ont une largeur

de 7,32 m.

1. Faire un dessin pour représenter la situation. On appellera P le point de penalty, A et B les deux

poteaux de but, et I le point situé au milieu des deux poteaux.

2. Quel est l’angle de tir d’un footballeur lorsqu’il tire un penalty ?

EXERCICE 4 La pyramide de Kheops

La pyramide de Kheops, en Egypte, est une pyramide dont la base est un carré BC DE de 230 mètres de

côté, de centre H . Le sommet A de la pyramide culmine à 137 mètres d’altitude.

1. Faire un dessin en perspective cavalière.

2. Calculer les longueurs B H (demi-diagonale de la base) et B A (longueur d’une arète).

3. Calculer la mesure au degré près de l’angle �AB H

3ème Page 2/2 Fiche d’exercices trigonométrie

CHAPITRE 5

COURS : ECRITURES LITTÉRALES ; IDENTITÉSREMARQUABLES

Extrait du programme de la classe de Troisième :


Écritures littérales ;identités remar-quables

Factoriser des expressionstelles que :(x +1)(x +2)−5(x +2) ;(2x +1)2

+ (2x +1)(x +3)Connaître les égalités :(a+b)(a−b) = a2

−b2 ;(a+b)2

= a2+2ab +b2 ;

(a−b)2= a2

−2ab +b2.et les utiliser sur des expres-sions numériques ou littéralessimples telles que :1012

= (100+1)2= 1002

+200+1 ;(x + 5)2

− 4 = (x + 5)2− 22

=

(x +5+2)(x +5−2)

La reconnaissance de la forme d’une ex-pression algébrique faisant intervenir uneidentité remarquable peut représenter unedifficulté qui doit être prise en compte. Lestravaux s’articuleront sur deux axes :

– utilisation d’expressions littérales pourdes calculs numériques ;

– utilisation du calcul littéral dans la miseen équation et la résolution de pro-blèmes.

Les activités viseront à assurer la maîtrisedu développement d’expressions simples ;en revanche, le travail sur la factorisationqui se poursuivra au lycée, ne vise à déve-lopper l’autonomie des élèves que dans dessituations très simples.On consolidera les compétences en matièrede calcul sur les puissances, notammentsur les puissances de 10.

1 Développer un produit

Définition : Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique

Rappel : une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions, impliquant des nombres

et/ou des lettres

Nous avons, pour réaliser cela, plusieurs moyens à disposition :

1.1 Distributivité simple

Produit → Somme algébrique

k(a +b) → ka +kb

k(a −b) → ka −kb

3ème Page 1/3 Cours calcul littéral

Applications et exemples :

– Calcul mental :Ï 13×99 = 13× (100−1) = 13×100−13×1 = 1300−13 = 1287Ï 25×104 = 25× (100+4) = 25×100+25×4 = 2500+100 = 2600

– Développement d’une expression littérale :Ï 3(5a+7) = 3×5a+3×7 = 15a+21Ï−2(5−4x) = −2×5− (−2)×4x = −10+8x

1.2 Distributivité double


(a +b)(c +d ) → ac +ad +bc +bd

Applications et exemples :Développement d’une expression littérale :Ï (3−a)(4a+2) = 3×4a + 3×2 − a×4a − a×2 = 12a+6−4a2

−2a = −4a2+10a+6

Ï (3x −2)(1−4x) = 3x ×1 + 3x × (−4x) − 2×1 − 2× (−4x) = 3x −12x2−2+8x = −12x2

+11x −2B : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir que, par exemple, 3x −2 est lasomme de 3x et de −2, et que 1−4x est la somme de 1 et de −4x. Ainsi, pour le calcul précédent, on a :

(3x −2)(1−4x) = (3x + (−2))(1+ (−4x)) = (3x)×1 + (3x)× (−4x) + (−2)×1 + (−2)× (−4x) = . . . Ï

1.3 Identités remarquables


Carré d’une somme(a +b)2

→ a2+2ab +b2

Carré d’une différence(a −b)2

→ a2−2ab +b2

Produit d’une somme par une différence(a −b)(a +b) → a2

−b2


– Calcul mental :Ï 1012 = (100+1)2 = 1002

+2×100+12 = 10000+200+1 = 10201Ï 192 = (20−1)2 = 202

−2×20+12 = 400−40+1 = 361Ï 39×41 = (40−1)(40+1) = 402

−12 = 1600−1 = 1599

– Développement d’une expression littérale :Ï (y +7)2 = y2

+2× y ×7+72 = y2+14y +49

Ï (1−3x)2 = 12−2×1×3x + (3x)2 = 1−6x +9x2

Ï (20−8x)(20+8x) = 202− (8x)2 = 400−64x2

2 Factoriser une somme algébrique

Définition : Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit

En fait, pour résumer : Produit Somme algébrique

Développer

Factoriser


2.1 Avec un facteur commun

On utilise la propriété de simple distributivité, mais "à l’envers" :

Sommealgébrique

→ Produit

ka +kb → k(a +b)

ka −kb → k(a −b)

Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deux termes, chacun étant un produit de deux facteurs.Comme k se retrouve dans les deux termes, on dit que c’est un facteur commun aux deux termes. Ondit également que l’on a "mis k en facteur".


– Calcul mental :Ï 13×62+13×38 = 13× (62+38) = 13×100 = 1300Ï 18.1×34.8−8.1×34.8 = (18.1−8.1)×34.8 = 10×34.8 = 348

– Factorisation d’une expression littérale grâce à un facteur commun :Ï 4a2

+3a = 4×a×a+3×a = a(4a+3)Ï (x +7)(5−4x)−2(5−4x) = (5−4x)× (x +7−2) = (5−4x)(x +5)Ï (x +3)2

−5(x +3) = (x +3)× (x +3−5) = (x +3)(x −2)

2.2 Avec les identités remarquables

Là aussi, on utilise les identités remarquables vues au paragraphe 1.3, mais "dans l’autre sens" :

Sommealgébrique

→ Produit

a2+2ab +b2

→ (a +b)2

a2−2ab +b2

→ (a −b)2

a2−b2

→ (a −b)(a +b)

Applications à la factorisation d’expressions littérales :Ï y2

+4y +4 = y2+ 2× y ×2 + 22 = (y +2)2

Ï 9x2−6x +1 = (3x)2

− 2×3x ×1 + 12 = (3x −1)2

Ï (x +5)2−9 = (x +5)2

−32 = [(x +5)−3]× [(x +5)+3]= (x +2)× (x +8)


CHAPITRE 5

FICHE D’EXERCICES : FACTORISATION

EXERCICE 1

Factoriser les expressions suivantes en mettant x en facteur :

A =3x −8x

B =5x2−12x

C =x(x −2)−3x

D=4x2−x(1−3x)

E =6x3−x

EXERCICE 2

Factoriser les expressions suivantes en mettant x −3 en facteur :

A =3(x −3)+8(x −3)

B =5(x −3)2−x(x −3)

C =(x +2)(x −3)+3x(x −3)

D=(x −3)2−2x(x −3)

E =x(4x −6)−2(x −3)

F =(x −3)2− (x −3)

EXERCICE 3

Factoriser les expressions suivantes en utilisant un facteur commun :

A =3(x −2)+ (x +3)(x −2)

B =5x(x −3)−x(2x +1)

C =(x +5)2+ (x −5)(x +5)

D=(7x +1)−2x(7x +1)2

E =(x +9)(x −5)+2(6x −30)

EXERCICE 4

Compléter les identités remarquables suivantes :

(x −7)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2x − . . .)2 = . . . . . .−4x +1

(. . .+8)2 = 25x2+ . . . . . .+ . . . . . .

(x + . . .)(x − . . .) = . . .−81

(. . .+ . . .)2 = 4x2+12x +9

(. . .− . . .)2 = x2−8x +16

(. . .− . . .)(. . .+ . . .) = 9x2−36

EXERCICE 5

Factoriser en utilisant une identité remarquable :

A =x2+10x +25

B =100−25x2

C =1−12x +36x2

D=(x +7)2−1

E =16x2−8x +1

F =49− (2x +3)2

3ème Page 1/1 Fiche d’exercices: factorisation

CHAPITRE 5

FICHE D’EXERCICES : FACTORISATION (NIVEAU 2)

EXERCICE 1

Factoriser les expressions suivantes :

A =(3x −1)2−9 B =4x2

− (x −5)2

C =4x2−20x +25 D =

1

4x2

+x +1

E =(2x +3)2− (5x −1)2 F =81+4x2

+36x

G =100− (3x +10)2 H=

(

x +

3

2

)2

−

(

1

3x +

2

3

)2

I =9(x +1)2−36 J =

4

9− (2x +

1

2)2

K =x2−9+ (x −3)(2x +5) L =5x(4x −1)+16x2

−1

M=x2−25+x −5 N =4x2

+4x +1− (2x +1)(1−5x)

EXERCICE 2 Comme au brevet...

Antilles 2004

On donne l’expression

D = (3x +5)(6x −1)+ (3x +5)2.

1. Développer D, puis réduire.

2. Factoriser D.

3. Calculer D pour x =−13

.

Amérique du sud novembre 2002

On considère l’expression :

D = (3x −5)(5−2x)− (3x −5)2.

1. Développer puis réduire D.

2. Factoriser D.

3. Calculer D pour x =−1.

Martinique septembre 2002

On donne

D = (5x −3)2−81.

1. Développer et réduire D.

2. Factoriser D.

3. Calculer D pour x =−23

Nouvelle-Calédonie décembre 2002

Soit l’expression

A = 9x2−49+ (3x +7)(2x +3).

1. Développer l’expression A.

2. Factoriser 9x2−49, puis l’expression A.

Amiens 97

1. Développer et réduire D = (a+5)2− (a−5)2.

2. On pose D = 10 0052−9 9952.

Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la

question 1, trouver la valeur de D (indiquer les

étapes du calcul).

Ouest 2002

1. Développer et réduire P = (x +12)(x +2).

2. Factoriser l’expression : Q = (x +7)2−25.

3. ABC est un triangle rectangle en A ; x désigne

un nombre positif ; BC = x +7 ; AB = 5.

Faire un schéma et montrer que

AC 2= x2

+14x +24.

3ème Page 1/1 Fiche d’exercices factorisation 2

CHAPITRE 5

FICHE D’EXERCICES : FACTORISATION (NIVEAU 3)

Quelques factorisations plus subtiles...

Premier exemple

On se donne l’expression A = x2−6x +5

1. Montrer que l’on a, pour tout nombre x, A = (x −3)2−4.

2. En déduire une factorisation de A

Deuxième exemple

On se donne l’expression B = 9x2+12x −7

1. Montrer que l’on a, pour tout nombre x, B = (2x +3)2−16.

2. En déduire une factorisation de B

Troisième exemple

On se donne l’expression C = 4x2+20x +9

1. Compléter : 4x2+20x + . . . . . . = (. . . . . .+ . . .)2

2. En déduire que l’on peut écrire C sous la forme C = (. . . . . .+ . . .)2− . . .

3. En déduire une factorisation de C .

Classe Page 1/1 Fiche d’exercices

CHAPITRE 6

COURS : GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Extrait du programme de la classe de 3ème :


Sphère - Savoir que la section d’une sphèrepar un plan est un cercle.- Savoir placer le centre de ce cercleet calculer son rayon connaissant lerayon de la sphère et la distance duplan au centre de la sphère.- Représenter une sphère et certainsde ses grands cercles.

On mettra en évidence les grandscercles de la sphère, les couples depoints diamétralement opposés.On examinera le cas particulier où leplan est tangent à la sphère.On fera le rapprochement avec lesconnaissances que les élèves ontdéjà de la sphère terrestre, notam-ment pour les questions relativesaux méridiens et aux parallèles.

Problèmes de sectionsplanes de solides

- Connaître la nature des sections ducube, du parallélépipède rectanglepar un plan parallèle à une face, àune arête.- Connaître la nature des sections decylindre de révolution par un planparallèle ou perpendiculaire à sonaxe.- Représenter et déterminer les sec-tions d’un cône de révolution etd’une pyramide par un plan paral-lèle à la base.

Des manipulations préalables (sec-tions de solides en polystyrène parexemple) permettent de conjecturerou d’illustrer la nature des sectionsplanes étudiées.Ce sera une occasion de faire descalculs de longueur et d’utiliser lespropriétés rencontrées dans d’autrerubriques ou au cours des annéesantérieures.À propos de pyramides, les activitésse limiteront à celles dont la hauteurest une arête latérale et aux pyra-mides régulières qui permettent deretrouver les polygones étudiés parailleurs.

3ème Page 1/5 Cours Géométrie Espace

1 Sphère et boule ; section d’une sphère par un plan

Définitions :Si O est un point de l’espace et R est un nombre positif donné :

• La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distancede O exactement égale à R .

• La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distancede O inférieure ou égale à R .

• Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R .

RR

R

bO

b

S

bN

bA

bB

bC

A, B , C sont des points de la sphère, et O estle centre de cette sphère, qui a pour rayonR =OA =OB =OC .Le segments [NS] est un diamètre de lasphère.Deux grands cercles de la sphère sont tracésici, dont l’un d’eux a pour diamètre [NS]

Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, alors les points N et S seraient les pôlesNord et Sud ; le grand cercle qui passe par les deux pôles serait un méridien, et l’autre grand cercle (si-tué dans un plan perpendiculaire à l’axe des pôles) serait l’équateur. Tout point de la surface du globeterrestre est repéré par deux nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien par-ticulier, celui de Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l’équateur) : voir par ailleurs.

Propriétés : Aire d’une sphère, volume d’une boule

Si R est un nombre positif donné : • L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR2.

• Le volume d’une boule de rayon R est égal à4

3πR

3.

Exemples :

– L’aire d’une sphère de rayon 7 cm est égale à : 4×π×72 = 196π≃ 616 cm2

– le volume de la boule de même rayon 7 cm est égal à : 43 ×π×73 = 1372

3 ×π≃ 1437 cm3

Propriété : La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Plus précisément, considérons une sphère de centre O et de rayon R .On se donne un plan P , et on appelle [NS] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P . Enfin,soit H le point d’intersection de (NS) et de P .On dit que OH est la distance du centre O au plan P . Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de ladistance OH :


Ï lorsque 0 <OH < R , la section de la sphèrede centre O et de rayon R par le plan P est uncercle de centre H . Pour tout point M de cecercle, le triangle HOM est rectangle en H .

Calculons le rayon r de ce cercle en ap-pliquant le théorème de Pythagore dans letriangle HOM rectangle en H :OM2 = HO2 +H M2 soit R2 = HO2 + r 2

donc r =p

R2 −OH2

Exemple :Soit S la sphère de centre O et de rayonR = 5 cm coupée par un plan P tel queOH = 3 cm. La section obtenue est le cerclede centre H et de rayon r = 4 cm, carr =

pR2 −OH2 =

p52 −32 =

p16= 4.

Fig. 1 : cas où 0 <OH < R

Ï lorsque OH = 0 , le cercle de section a même centre O et même rayon que la sphère : c’estalors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deux hémi-sphères (voir Fig. 2)

Ï lorsque OH = R , le cercle de section a pour rayon 0 : il est réduit à un point. On dit que leplan P est tangent à la sphère en S (voir Fig. 3).

Ï lorsque OH > R , le plan P ne coupe pas la sphère.

Fig. 2 : cas où OH = 0 Fig. 3 : cas où OH = R


2 Section d’un cube, d’un pavé, d’un cylindre par un plan

La section d’un cube par un plan parallèle àune face est un carré :

La section d’un cube par un plan parallèle àune arète est un rectangle :

La section d’un pavé par un plan parallèle àune face est un rectangle :

La section d’un pavé par un plan parallèle àune arète est un rectangle :


La section d’un cylindre par un plan parallèleà la base est un cercle de même rayon que lecercle de base :

La section d’un cylindre par un plan parallèleà l’axe est un rectangle :

3 Section d’une pyramide, d’un cône par un plan

La section d’un cône par un plan parallèle à labase est un cercle :

Ce cercle de section est une réduction du cerclede base ; le coefficient de réduction k est égal àk = AO′

AO.

Le rayon de ce cercle de section est alors égal àk ×R

Voici la section d’une pyramide par un planparallèle à la base :

Le polygone de section A′B ′C ′D ′ est une réduc-tion du polygone de base ABC D ; le coefficientde réduction k est égal à k = E A′

E A= EB ′

EB= . . . .

Les longueurs des côtés de ce polygone de sec-tion sont alors égales à celles des côtés du poly-gone de base, multipliées par k : A′B ′ = k × AB ,etc.


CHAPITRE 5

DÉCOUVERTE : LE GLOBE TERRESTRE

Figure 1 :

bO

b

S

bN

bC

bAb

BbW bE

La Terre est assimilable à une boule d’environ 6400 km

de rayon. Appelons O le centre de la Terre. Le point N re-

présente le pôle Nord, le point S le pôle Sud.

Sur la sphère représentant la surface terrestre, un grand

cercle de centre O passant par N et S est appelé méri-dien. Le grand cercle de centre O et tracé dans un plan

perpendiculaire au diamètre [N S] est, lui, appelé l’équa-teur. Ici est tracé le méridien qui sert de référence, appelé

méridien de Greenwich (car il passe par Greenwich, pe-

tite ville située non lion de Londres)

Chaque point à la surface de la Terre peut être repéré

grâce à deux nombres : la longitude et la latitude. La

longitude est calculée par rapport au méridien de Green-

wich, la latitude par rapport à l’équateur ; par exemple,

le point C sur cette figure, qui représente la position de

la ville de Chicago, a pour longitude �AOB = 87◦, et pour

latitude �BOC = 41◦

Figure 2 :

bO′

bO

b

S

bN

bC

bA

bI

bW bE

Le cercle de centre O′ et passant par C , parallèle au plan

de l’équateur, est appelé parallèle, justement. Ce n’est

pas ce que l’on appelle un grand cercle (car il n’a pas

O pour centre). La situation d’Istanbul, ville située sur le

même parallèle que Chicago (et qui a donc la même la-

titude, mais pas la même longitude), est représentée par

le point I .

Les question à traiter sont les suivantes :

1. Connaissant les coordonnées (longitude et latitude)

des deux villes, quel est le chemin le plus court pour lesjoindre en avion ? en suivant le parallèle passant par I et

C ? (voir figure 2), ou en suivant le grand cercle passant

par I et C ? (voir figure 3)

2. Quelle est l’aire totale, en km2, de la surface terrestre ?

Quel est le volume total, en km3, de la Terre ? (donner les

réponses sous forme scientifique)

Figure 3 :

bO

b

S

bN

bC

bA

bI

bW bE

Voici ce dont vous avez besoin pour répondre à ces ques-

tions :

Ï Coordonnées géographiques de Chicago : Latitude 41◦

Nord, longitude 87◦ Ouest.

Ï Coordonnées géographiques d’Istanbul : Latitude 41◦

Nord, longitude 28◦ Est.

Ï OO′= 4200 km, �COI = 79◦

Ï Formule pour calculer la longueur d’un arc de cercle

défini par un angle de mesure α :

L = 2×π×R ×α

360

Ï Aire d’une sphère de rayon R : A = 4×π×R2.

Ï Volume d’une boule de rayon R : V =43×π×R3

3ème Page 1/1 Activité de découverte: le globe terrestre

CHAPITRE 6

FICHE D’EXERCICES : SECTIONS PLANES

EXERCICE 1

L’unité de longueur est le centimètre.

On considère le pavé droit ABC DE FG H ci-contre, dans

lequel AB = 6, AD = 3 et AE = 4 ; de plus, M est un point

de l’arête [AB] tel que B M = BC .

1. Quelques calculs :

a) Calculer le volume, en cm3, de ce pavé droit.

b) Calculer les longueurs AC , EC et MC .

c) Calcule une mesure, au degré près, des angles �MGC

et �AC E .

2. Quelques sections :

a) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par

le plan parallèle à la face C BFG et passant par M .

b) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par

le plan parallèle à l’arête [BF ] et passant par A et C .

c) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par

le plan parallèle à l’arête [BF ] et passant par M et C .

A B

CD

E F

GH

b

M

EXERCICE 2

L’unité est le centimètre. On considère le cylindre C ci-

contre, dont la base a pour rayon R = 5 et dont la hauteur

est h = 8. Les points M et N sont sur la circonférence du

disque formant la base supérieure, et �MON est un angle

droit.

1. Calculer la longueur M N , puis la mesure de l’angleàOO′M au degré près.

2. Tracer en vraie grandeur :

a) la section de ce cylindre par le plan passant par P et

parallèle à la base.

b) la section de ce cylindre par le plan passant par M

et N , et parallèle à l’axe du cylindre.

b

M

bN

O′

O

bP

b

b

3ème Page 1/2 Fiche d’exercices: sections planes

EXERCICE 3

On considère une pyramide de hauteur SB = 10 cm et

dont la base est un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm,

BC = 7,5 cm et AC = 6 cm.

1. Montrer que ABC est un triangle rectangle ; calculer

son aire.

2. Calculer la valeur exacte du volume de cette pyramide.

3. Soit B′ le point de l’arête [SB] tel que SB

′= 8 cm. On

coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et

passant par ce point B′. On obtient les points A

′ sur

[S A] et C′ sur [SC ].

a) Dessiner en vraie grandeur le triangle A′B′C

′, en

donnant ses dimensions précises. De quelle nature

est ce triangle ? Quelle est son aire ?

b) La pyramide S A′B′C

′ est une réduction de la pyra-

mide S ABC ; quel est le rapport de cette réduction ?

c) Calculer le volume de la pyramide S A′B′C

′. On don-

nera la valeur exacte puis la valeur arrondie au

mm3.

B

S

A

C

EXERCICE 4

On considère un cône de révolution de hauteur SO= 8 cm

et dont la base est un disque de 3 cm de rayon. A et B sont

deux points diamétralement opposés sur la circonférence

du disque de base.

1. De quelle nature est le triangle S AB ? Calculer la me-

sure au degré près de l’angle �S AB .

2. Calculer la valeur exacte du volume de ce cône.

3. Soit O′ le milieu de [SO]. On considère la section du

cône par le plan parallèle à la base et passant par ce

point O′.

a) Dessiner en vraie grandeur cette section.

b) Le petit cône est une réduction du grand cône ;

donner le rapport de cette réduction, et en déduire

la valeur exacte du volume du petit cône.

bS

bO

bA

bB

bO′

3ème Page 2/2 Fiche d’exercices: sections planes

CHAPITRE 6

FICHE D’EXERCICES : LES SOLIDES

1. Voici plusieurs solides, représentés en perspective cavalière :

①

bA

②

A B

CD

E F

GH

③

A

B

C

D

E

④

b

b

b

b

A

B

C

D

⑤bA

bB

bC

bD

bE

bF

bG

bH

⑥

bA

bB

bC

bF

bD

bE

⑦b

Bb

C

b

Eb

D

b

F

b

A

⑧

A B

CD

E F

GH

⑨

a) Donner le nom de chacun d’entre eux.

b) En ce qui concerne les polyèdres (solides de l’espace délimité par des faces polygonales), com-

pléter le tableau suivant :

Solide Nombre de sommets S Nombre d’arêtes A Nombre de faces F

Voyez-vous une relation entre le nombre d’arêtes, le nombre des sommets et le nombre de faces ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C’est ce que l’on appelle la relation d’Euler, valable pour tous les polyèdres "sans trous".

3ème Page 1/2 Fiche d’exercices: les solides

2. Calculez le volume de chacun des solides ci-dessous, en vous souvenant de cette "règle" simple :

Ï Pour tous les solides "droits" (prismes, cubes, pavés, cylindres), le volume est égal à l’aire

de la base multipliée par la hauteur du solide : V =B×h

Ï Pour tous les solides "pointus" (cônes, pyramides, tétraèdres), le volume est égal au tiers

de l’aire de la base multipliée par la hauteur du solide : V =

1

3B×h

A B

CD

E F

GH

AB = 4, AE = 3, AD = 2,5

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R

h

R = 3cm, h = 5cm

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b

Ab

B

b

E

b

Db

C

h

ABC D est un carré de côté 8 cm, h = 11 cm

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b

Ab

B

b

D

b

C

ABC est rectangle en C ,

C B = 5 cm, C A = 4 cm, AD = 7 cm

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b

A

b

B

b

C

b

F

b

D

b

E

ABC est rectangle et isocèle en B ,

B A = BC = BF = 5 cm

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

①

bA

h

R

R = 6 cm, h = 8 cm.

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3ème Page 2/2 Fiche d’exercices: les solides

CHAPITRE 6

FICHE D’EXERCICES : AIRE ET VOLUME DE LA SPHÈRE

Rappel de cours :

Aire d’une sphère et volume d’une boule

• L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR2.

• Le volume d’une boule de rayon R est égal à4

3πR

3.

Volume d’un cylindre et d’un cône

• Le volume d’un cône de rayon R et de hauteur h est égal àπR

2h

3• Le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est égal àπR

2h.

EXERCICE 1Calculer l’aire et le volume de chacun des solides suivants :

Cas n°1 : OA = 25 cm

bO

b

A

Cas n°2 : AB = 3476 km Cas n°3 : OM = 1,2 m

bO

bM

EXERCICE 2Calculer le volume de chacun des solides suivants :

Cas n°1 : AB = 12 cm

bB

bA

Cas n°2 : OA =OB = 5 cm

b

ObA

bB

Cas n°3 : OP = 5 mm, ON = 2 mm

bO

bP

bN

EXERCICE 3

1. Quel est le rayon d’une sphère dont l’aire est égale à 200 cm2 ? Quel est le volume que peut contenir cette

sphère ?

2. Puis-je verser le contenu (liquide) d’une sphère de 5 cm de rayon dans un cylindre creux de 5 cm de rayon et

de 7 cm de hauteur ?

3. Un verre parallélépipédique (longueur 3cm, largeur 3 cm, hauteur 8 cm) contient 63 ml d’eau. Quelle est la

hauteur d’eau dans ce récipient ? On y plonge deux glaçons sphériques de 2 cm de diamètre. L’eau va-t-elle

déborder du verre ?

3ème Page 1/1 Fiche d’exercices: aire et volume de la sphère

CHAPITRE 6

EXERCICE : SECTIONS PLANES DE LA SPHÈRE

Ici on voit que le plan vient sectionner la

sphère de centre O de rayon R selon un cercle ;

1. Calculer le rayon de ce cercle de section :

a) dans le cas où OH = 12 cm et R = 15 cm,

b) dans le cas où N H = 12 cm et R = 10 cm,

c) dans le cas où R = 5 cm et �HOM = 26◦,

2. Quelle est la distance du plan de section au

centre de la sphère :

a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm,

b) dans le cas où R = 12 cm et �HOM = 35◦

CHAPITRE 6

EXERCICE : SECTIONS PLANES DE LA SPHÈRE

Ici on voit que le plan vient sectionner la

sphère de centre O de rayon R selon un cercle ;

1. Calculer le rayon de ce cercle de section :

a) dans le cas où OH = 12 cm et R = 15 cm,

b) dans le cas où N H = 12 cm et R = 10 cm,

c) dans le cas où R = 5 cm et �HOM = 26◦,

2. Quelle est la distance du plan de section au

centre de la sphère :

a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm,

b) dans le cas où R = 12 cm et �HOM = 35◦

Annexe :

réduction et agrandissement d’une figure, d’un solide

Définition :

ÏAppliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c’est multiplier les dimensions de cette

figure (ou de ce solide) par un nombre k supérieur à 1.

ÏAppliquer une réduction à une figure ou à un solide, c’est multiplier les dimensions de cette figure (ou

de ce solide) par un nombre k compris entre 0 et 1.

Par exemple :

AB′C

′D

′ est une réduction de rapport k = 0,5

d’un rectangle ABC D de dimensions 6 cm

et 8 cm ; toutes les dimensions du rectangle

ABC D sont multipliées par 0,5 :

On remarque que, si les dimensions du rec-

tangle sont divisées par 2 (c’est-à-dire multi-

pliées par 0,5), l’aire du rectangle est, elle, di-

visée par 4 (c’est-à-dire multipliée par 0,25).

b

Ab

B

b

Cb

D

b

B′

b

C′

b

D′

Le cube AB′C

′D

′E′F′G

′H

′ est un agran-

dissement de rapport k = 2 d’un cube

ABC DE FG H de côté 2 cm : toutes les dimen-

sions de ce cube sont multipliées par 2.

On remarque que, si les dimensions du cube

sont multipliées par 2, le volume du cube est,

lui, multiplié par 8.b

Ab

B

b

C

bD

b

Eb F

b

Gb

H

b

B′

b

F′

bE′

b

C′

bG

′

bD′

bH

′

Propriété :

ÏLorsque l’on réduit ou agrandit une figure d’un rapport k,

alors l’aire de cette figure est multipliée par k2.

ÏLorsque l’on réduit ou agrandit un solide d’un rapport k,

alors le volume de ce solide est multiplié par k3.

Par exemple :

Ï Si on agrandit une figure d’un rapport 3, alors l’aire de cette figure est multipliée par 32= 9.

Ï Si on réduit un solide d’un rapport 0,2, alors le volume de ce solide est multiplié par 0,23= 0,008

3ème Page 1/1 Annexe Cours Géométrie Espace

CHAPITRE 7

COURS : EQUATIONS ET INÉQUATIONS



Équations et inéqua-tions du 1er degré

Ordre et multiplica-

tion

Utiliser le fait que des nombres rela-

tifs de la forme ab et ac sont dans le

même ordre que b et c si a est stric-

tement positif, dans l’ordre inverse

si a est strictement négatif.

On pourra s’appuyer dans toute

cette partie sur des activités déjà

pratiquées dans les classes anté-

rieures, notamment celles de tests

par substitution de valeurs numé-

riques à des lettres.

Inéquation du premier

degré à une inconnue

Résoudre une inéquation du pre-

mier degré à une inconnue à coeffi-

cients numériques. Représenter ses

solutions sur une droite graduée.

Résolution de pro-

blèmes du premier

degré ou s’y ramenant

Résoudre une équation mise sous la

forme A.B = 0, où A et B désignent

deux expressions du premier degré

de la même variable.

Mettre en équation et résoudre un

problème conduisant à une équa-

tion, une inéquation [ou un système

de deux équations] du premier de-

gré.

L’étude du signe d’un produit ou

d’un quotient de deux expressions

du premier ordre de la même va-

riable est, elle, hors programme.

Les problèmes sont issus des dif-

férentes parties du programme.

comme en classe de 4e, on dégagera

à chaque fois les différentes étapes

du travail : mise en équation, résolu-

tion de l’équation et interprétation

du résultat.

1 Equations du premier degré

Définitions :

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre,

appelée inconnue de l’équation.

Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.

Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions.

Par exemple 3x −7 = 5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est

3x −7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5.

Ï 4 est une solution de l’équation 3x −7= 5

car, lorsque je remplace l’inconnue x par 4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : 3×4−7= 12−7= 5

Ï 2 n’est pas une solution de l’équation 3x −7= 5

car, lorsque je remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : 3×2−7 = 6−7=−1 6= 5 ! !

3ème Page 1/3 Cours Equations Inéquations

Règles de manipulation des égalités :

Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelle

équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’équation ini-

tiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :

Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant)un même nombre aux deux membres de l’équation.

Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en multipliant (ou divisant)les deux membres de l’équation par un même nombre non nul.

Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s’y ramenant). Ce sont des

équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s’écrire sous la forme ax = b, avec a 6= 0.

Cette équation a alors une unique solution, qui est ba

.

Par exemple,

l’équation 3x −5= 7 est une équation du premier degré : résolvons-la

ÏEn utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’équation :

3x −5+5 = 7+5, c’est-à-dire 3x = 12.

ÏEn utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’équation :3x

3=

12

3, c’est à dire x = 4.

Ïon conclut par une phrase : l’équation 3x −7= 5 admet une unique solution, qui est 4.

2 Equations-produits

Définition :

Une équation-produit est une équation qui s’écrit sous la forme (ax +b)(cx +d) = 0 (il peut y avoir

plus de deux facteurs)

Remarque : cette équation (ax+b)(cx+d) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on dévelop-

pait le membre de gauche, l’inconnue x apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par exemple l’équa-

tion (x +1)(3x −6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l’équation 3x2 −3x −6 = 0.

Mais nous ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d’équation... Comment faire ?

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Autrement dit,

dire que "A×B = 0" équivaut à dire que "A = 0 ou B = 0".

Méthode : Ainsi, le produit (ax +b)(cx +d) sera nul si, et seulement si, l’un des facteurs ((ax +b) ou

(cx +d)) est nul : (ax +b)(c x +d ) = 0 si et seulement si ax +b = 0 ou c x +d = 0.

On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré ! !

Propriété :

Les solutions de l’équation (ax+b)(cx+d) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax+b = 0

et cx +d = 0

Par exemple : résolvons l’équation (3x −7)(2x +5)= 0

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul.

3x −7= 0 ou 2x +5= 0

3x = 7 ou 2x =−5

x =73

ou x =−52

Ainsi, l’équation (3x −7)(2x +5)= 0 admet deux solutions, qui sont 73

et −52


3 Inéquations du premier degré

Définitions :

Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une

lettre, appelée inconnue de l’inéquation.

Une solution de cette inéquation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’inégalité est vraie.

Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions.

Par exemple 3x −7 > 5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est

3x −7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5.

Ï 6 est une solution de l’inéquation 3x −7 > 5

car, lorsque je remplace l’inconnue x par 6 dans l’inéquation, l’inégalité est vérifiée :

3×6−7 = 18−7= 11> 5

Ï 10 est une autre solution de l’inéquation 3x −7> 5

car, lorsque je remplace l’inconnue x par 10 dans l’inéquation, l’inégalité est vérifiée :

3×10−7= 30−7 = 23> 5

Ï 2 n’est pas une solution de l’inéquation 3x −7 > 5

car, lorsque je remplace x par 2, l’inégalité n’est pas vérifiée : 3×2−7= 6−7 =−1 ≯ 5 ! !

Règles de manipulation des inégalités :

Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nou-

velle inéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’in-

équation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition :

Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en ajoutant (ou retran-chant) un même nombre aux deux membres de l’inéquation.

Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divi-sant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement positif.

Règle n°3 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divi-sant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement négatif, à condi-

tion de changer le sens de l’inégalité.

Par exemple,

l’inéquation 3x −5> 7 est une équation du premier degré : résolvons-la

ÏEn utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’inéquation :

3x −5+5 > 7+53x > 12.

ÏEn utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’inéquation :3x

3>

12

3x > 4.

ÏOn conclut par une phrase : l’inéquation 3x −7 > 5 admet pour solutions les nombres strictement

supérieurs à 4.

ÏOn peut représenter l’ensemble des solutions sur un axe, en hachurant la partie de la droite gra-duée constituée des nombres qui ne sont pas solutions :

| | | | | | | | |||||

O I

4O 1

solutions

B Attention au sens du crochet ! Le crochet n’est pas tourné vers les solutions, car 4 n’est pas solu-

tion de l’inéquation 3x −7> 5.


CHAPITRE 7

FICHE D’EXERCICES : RÉSOLUTIONSD’INÉQUATIONS

EXERCICE 1 Inégalités larges

Notation : :

Les symboles Ê et É signifient respectivement "supérieur ou égal à" et "inférieur ou égal à".

Les inégalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? .

3 < 5 ❒ V ❒ F

3 Ê 5 ❒ V ❒ F

3 Ê 3 ❒ V ❒ F

3 < 3 ❒ V ❒ F

−8 É−7 ❒ V ❒ F

−8 <−7 ❒ V ❒ F

−8 É−8 ❒ V ❒ F

−8 <−8 ❒ V ❒ F

−8 Ê 0 ❒ V ❒ F

EXERCICE 2Pour chacune des inéquations suivantes, cochez la ou les solutions éventuelles parmi les nombres pro-

posés :

x +7 < 3 ❒ x = 7 ❒ x = 4 ❒ x = 2 ❒ x = 0 ❒ x =−2 ❒ x =−5

3x <−5 ❒ x = 7 ❒ x = 4 ❒ x = 2 ❒ x = 0 ❒ x =−2 ❒ x =−5

−2x Ê 4 ❒ x = 7 ❒ x = 4 ❒ x = 2 ❒ x = 0 ❒ x =−2 ❒ x =−5

2x +1 É 1 ❒ x = 7 ❒ x = 4 ❒ x = 2 ❒ x = 0 ❒ x =−2 ❒ x =−5

−x −6 >−4 ❒ x = 7 ❒ x = 4 ❒ x = 2 ❒ x = 0 ❒ x =−2 ❒ x =−5

x −15 É−2x +9 ❒ x = 7 ❒ x = 4 ❒ x = 2 ❒ x = 0 ❒ x =−2 ❒ x =−5

EXERCICE 3Repasser en rouge l’ensemble des solutions des inéquations suivantes, et hachurer l’ensemble des nombres

qui ne sont pas solutions, comme dans l’exemple ci-dessous :

x < 2 | | | | | | |||||||O I

2O 1

solutions

x > 1 | | | | | | |||||||O I

O 1

x Ê−2 | | | | | | |||||||O I

O 1

x É 3 | | | | | | |||||||O I

O 1

x < 0 | | | | | | |||||||O I

O 1

x Ê−3 | | | | | | |||||||O I

O 1

3ème Page 1/2 Fiche d’exercices: inéquations

EXERCICE 4 Résolutions d’inéquations

Pour résoudre une inéquation :

Premier exemple

2x −7 <−3

2x −7+7 <−3+7 On élimine le "-7" du premier membre en ajoutant

2x < 4 7 à chaque membre

2x

2<

4

2On isole x en divisant chaque membre par 2.

x < 2 Comme 2 > 0, on ne change pas le sens de l’inégalité

| | | | ||||O I

2O 1

solutions On représente graphiquement l’ensemble

des solutions

Deuxième exemple

−5x +1 Ê−4

−5x +1−1 Ê−4−1 On élimine le "+1" du premier membre en

−5x Ê−5 retranchant 1 à chaque membre

−5x

−5É

−5

−5On isole x en divisant chaque membre par −5.

x É 1 Comme −5 < 0, on change le sens de l’inégalité.

| | | | ||||O I

O 1

solutions On représente graphiquement l’ensemble

des solutions

Sur le même modèle, résolvez les inéquations suivantes (on présentera les ensembles de solutions à

l’aide d’une phrase, puis à l’aide d’une représentation graphique) :

a. 2x +7>−5

b. −3x +1 É 7

c. −x +7 < 6

d. 2x +3 Ê−6x −5

e. 3(x −1) <−9

f. 5x −4Ê 2x −4

g. 23

x >−8

h. −54

x +2 É38

i. 3(x −2)− (2x −7)< 2x +11

j. 3(x −1)−3(−3x +5)Ê 0

k. 2x −1> 2− (7+x)

l. 4x +9É 3(3+2x)

m. B 3(x −1)< 5x − (4+2x)

n. B 3(x −1)Ê 5x − (4+2x)

EXERCICE 5 Mise en inéquationLa société ALO propose un abonnement téléphonique de 15 ¤ par mois et 0,20 ¤ par minute de com-

munication.

La société LAO propose un abonnement téléphonique de 14 ¤ par mois et 0,25 ¤ par minute de com-

munication.

On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois.

1. Exprimer en fonction de x le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de LAO.

2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?

3ème Page 2/2 Fiche d’exercices: inéquations

CHAPITRE 8

COURS : RACINES CARRÉES



Calculs élémentaires

sur les radicaux (ra-

cines carrées)

Racine carrée d’un

nombre positif.

Savoir que, si a désigne un nombre

positif,p

a est le nombre positif

dont le carré est a.

Sur des exemples numériques où a

est un nombre positif, utiliser les

égalités :(p

a)2 = a,

pa2 = a.

Déterminer, sur des exemples nu-

mériques, les nombres x tels que

x2 = a, où a désigne un nombre

positif.

La touchep

de la calculatrice,

qui a déjà été utilisée en classe

de quatrième, fournit une valeur

approchée d’une racine carrée.

Le travail mentionné sur les

identités remarquables per-

met d’écrire des égalités

comme :(p

2+1)(p

2−1)

= 1,(

1+p

2)2 = 3+2

p2.

Produit et quotient de

deux radicaux

Sur des exemples numériques, où a

et b sont deux nombres positifs, uti-

liser les égalités :p

ab =p

ap

b,

√

a

b=

pa

pb

Ces résultats, que l’on peut facile-

ment démontrer à partir de la dé-

finition de la racine carrée d’un

nombre positif, permettent d’écrire

des égalités telles que :p

45 = 3p

5,

√

4

3=

2p

3,

1p

5=

p5

5.

On habituera ainsi les élèves à écrire

un nombre sous la forme la mieux

adaptée au problème posé.

1 Définition

Définition :

Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est

appelé racine carrée de a, et est notép

a.

Vocabulaire : Le symbolep

est appelé radical ; dans l’expressionp

a, a est appelé radicande.

Par exemple :Ï Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a donc

p9 = 3

Ï Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l’on notep

2. Ce nombre n’est ni un

nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur exacte que sous la formep

2, mais

on peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touchep

2 :p

2 ≃ 1,414213562

Ï Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des

premiers carrés parfaits :

a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225pa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3ème Page 1/3 Cours racines carrées

Premières propriétés :

Ï Pour tout nombre a positif, on a(p

a)2 = a

Ï Pour tout nombre a, on a

{ pa2 = a si a Ê 0.pa2 =−a si a É 0.

La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir :

Ïp

a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par(p

a)2 = a

Ïp

a2 est le nombre positif dont le carré est égal à a2.

Par exemple, pour a = 3, cela donnep

32 =p

9 = 3 (p

a2 = a si a Ê 0.).

Pour a =−5, cela donne√

(−5)2 =p

25= 5 =−(−5) (p

a2 =−a si a É 0.)

2 Produit, quotient de racines carrées

Propriété :

Pour tous nombres positifs a et b, on ap

a×b =p

a ×p

b

Preuve :(p

a ×p

b

)2=

(pa ×

pb

)

×(p

a ×p

b

)

=(p

a ×p

a)

×(p

b ×p

b

)

=(p

a)2 ×

(pb

)2= a×b

Or, par définition,p

a×b est l’unique nombre positif dont le carré est égal à a×b.

On a doncp

a×b =p

a×p

b

Propriété :

Pour tous nombres positifs a et b (b 6= 0), on a

√

a

b=

pa

pb

Preuve :(p

ap

b

)2

=p

ap

b×p

ap

b=

pa ×

pa

pb ×

pb=

(pa)2

(pb

)2=

a

b

Or, par définition,

√

a

best l’unique nombre positif dont le carré est égal à

a

b. On a donc

√

a

b=

pa

pb

Exemples d’utilisation :

Ïp

2×p

18=p

2×18 =p

36= 6

Ïp

45=p

9×5 =p

9×p

5 = 3×p

5 = 3p

5

Ï√

9

16=

p9

p16

=3

4

Ï√

9

5=

p9

p5=

3p

5

Ïp

3p

27=

√

3

27=

√

1

9=

p1

p9=

1

3

Un exercice important :Ecrire

p45 + 2

p5 − 3

p20 sous la forme la plus

simple possible.

p45+2

p5−5

p20 =

p9×5+2

p5−5

p4×5

=p

9p

5+2p

5−5p

4p

5

= 3p

5+2p

5−5×2p

5

= 3p

5+2p

5−10p

5

= (3+2−10)p

5

= −5p

5

B Attention :

En règle générale,p

a+b 6=p

a+p

b

Voyez l’exemple suivant :p16+9 6=

p16+

p9 ; en effet :

p16+

p9 = 4+3 = 7 mais

p16+9=

p25= 5


3 Equation x2 = a

Un résultat important :

Ï Si a > 0, l’équation x2 = a a deux solutions, qui sont

pa et −

pa

Ï Si a = 0, l’équation x2 = a a une seule solution, qui est 0.

Ï Si a < 0, l’équation n’a aucune solution

Preuve :Si a > 0 alors x

2 = a

x2 −a = 0

x2 −

(pa)2 = 0

(

x −p

a)(

x +p

a)

= 0

Un produit est nul si et seulement si

au moins l’un des facteurs est nul

x −p

a = 0 ou x +p

a = 0

x =p

a ou x =−p

a

Par exemple :

Ï l’équation x2 +4= 0, qui équivaut à

x2 = −4, n’a pas de solution ; en effet, un

carré est toujours positif.

Ï l’équation 2x2 + 3 = 3+ x

2, qui équivaut à

x2 = 0, a une unique solution, qui est x = 0.

Ï l’équation 3x2−6= 9, qui équivaut à x

2 = 5,

a deux solutions, qui sontp

5 et −p

5.

4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ?

Premier exemple :

On considère le nombre A =2p

3+1

5p

2On va multiplier le numérateur et le dénomina-

teur de cette fraction parp

2. On obtient alors :

A =(2p

3+1)×p

2

5p

2×p

2=

2p

3p

2+p

2

5×2=

2p

6+p

2

10

Deuxième exemple :

On considère le nombre A =p

2p

2+1On va multiplier le numérateur et le dénomina-

teur de cette fraction par(p

2−1)

, qui est ap-

pelée expression conjuguée de(p

2−1)

. On ob-

tient alors :

A =p

2×(p

2−1)

(p2+1

)

×(p

2−1) =

2−p

2(p

2)2 −1

= 2−p

2

5 En géométrie

Diagonale d’un carréSoit ABC D un carré de côté 1

d2 = AC

2 = B A2 +BC

2 = 12 +12 = 1+1 = 2 d’où

d = AC =p

2

A B

CD

d =p

2

45◦

1

1

Hauteur d’un triangle équilatéralSoit ABC un triangle équilatéral de côté 1

h2 = AH

2 = B A2−B H

2 = 12−(

12

)2 = 1− 14= 3

4d’où

h = AH =√

34=

p3p4=

p3

2

A B

C

H

h =p

32

60◦

30◦1 1

On en déduit les valeurs exactesdes cosinus, sinus et tangentes des

angles de 30, 45 et 60 degrés :

Mesure de l’angle (en degrés) 30◦ 45◦ 60◦

Sinus de l’angle 12

p2

2

p3

2

Cosinus de l’anglep

32

p2

212

Tangente de l’angle 1p3

1p

3


CHAPITRE 8

FICHE D’EXERCICES : RACINES CARRÉES

EXERCICE 1Calculer mentalement :

p1 = . . . . . . . . . . . .

p0= . . . . . . . . . . . .

p400= . . . . . . . . . . . .

p10 000= . . . . . . . . . . . .

p0,09= . . . . . . . . . . . .

p8100= . . . . . . . . . . . .

p0,003 6 = . . . . . . . . . . . .

p5×

p20= . . . . . . . . . . . .

p3×

p12 = . . . . . . . . . . . .

√

16

25= . . . . . . . . . . . .

p18

p2

= . . . . . . . . . . . .p

144+25= . . . . . . . . . . . .√

8

18= . . . . . . . . . . . .

p121= . . . . . . . . . . . .

p1,44= . . . . . . . . . . . .

√

(−1)2 = . . . . . . . . . . . .

(p14

)2= . . . . . . . . . . . .

√

1,1712 = . . . . . . . . . . . .p

16+p

9 = . . . . . . . . . . . .p

1−p

100= . . . . . . . . . . . .p

32 +42 = . . . . . . . . . . . .p

32 +p

42 = . . . . . . . . . . . .p

32 ×42 = . . . . . . . . . . . .(p

3+4)2

= . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2Calculer à l’aide de la calculatrice :

p36+64= . . . . . . . . . . . .

p36+

p64= . . . . . . . . . . . .

p36+64= . . . . . . . . . . . .

p25×4= . . . . . . . . . . . .

p25×4 = . . . . . . . . . . . .

√

100

4= . . . . . . . . . . . .

p100

4= . . . . . . . . . . . .

p4−8 = . . . . . . . . . . . .

Toujours à la calculatrice, donner un arrondi au centième près des nombres suivants :p

2+p

3 ≃ . . . . . . . . . . . .√

2+p

3 ≃ . . . . . . . . . . . .1+

p5

2≃ . . . . . . . . . . . . 1+

p2

1+p

2≃ . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 3Ecrire plus simplement, après avoir développé et réduit les expressions numériques suivantes :

Exemple :(p

3−2)2

=p

32−2×

p3×2+22 = 3−4

p3+4 = 7−4

p3

(p

11−3)(p

11+3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5+p

3)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1−p

2)(1+p

2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(p

5−2)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(p

5−p

3)(p

5+p

3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(p

7+p

2)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 4Ecrire plus simplement les expressions numériques suivantes :

Exemples :p20=

p4×5=

p4×

p5 = 2

p5p

12−2p

48=p

4×3−2p

16×3=p

4×p

3−2p

16×p

3 = 2p

3−2×4p

3 = 2p

3−8p

3 =−6p

3p

75= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p

108= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p

40−p

160= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p

48+p

27 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2p

500−3p

75 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3ème Page 1/2 Fiche d’exercices

5p

24−p

54+2p

150= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−3p

63+5p

49+7p

112= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−3p

18+7p

72−5p

121+4p

8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 5Ecrire les nombres suivants avec un dénominateur entier :

1p

2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14p

7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−10

3p

5= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p5

2p

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1p

2+1= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p3

p3−

p2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 6On pose x = 1+

p3 et y = 1−2

p3.

On mettra les résultats sous la forme a +bp

3, où

a et b sont des entiers.

1. Calculer x + y et x − y .

2. Calculer x2 et y2.

3. Calculer x2 − y2 de deux manières différentes.

EXERCICE 7On donne A = x2 −2x −7

On mettra les résultats sous la forme a +bp

2, où

a et b sont des entiers.

1. Calculer A pour x =p

2

2. Calculer A pour x = 5−p

2

3. Calculer A pour x = 2p

2+1

EXERCICE 8Résoudre les équations suivantes :

x2 = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x2 =−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3x2 = 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4x2 = 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−5x2 =−25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5x2 = 3x2 +242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3x2 +2 = 2(x2 +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

x2 − 94= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

x2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7−x2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3x2 −25 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5+2x2 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x

2=

8

x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 9Quelques problèmes à résoudre...

Problème n°1Déterminer trois nombres entiers consécutifs

dont la somme des carrés est égale à 13 874.

Problème n°2Une pyramide à base carrée a une hauteur de 10

cm, et un volume de 480 cm3. Quel est le côté du

carré de base ?

Problème n°3Une sphère a pour aire 628 cm2. Quel est son

rayon ? (On prendra π= 3,14).

Problème n°4Un carré ABC D de centre O est tel que OA=3 cm.

Calculer le côté du carré ABC D, puis calculer

l’aire exacte de ce carré.

EXERCICE 10Est-il vrai que les nombres A = 2+

p3 et B =

√

7+4p

3 sont égaux ? Justifier votre réponse.


CHAPITRE 9

COURS : TRANSLATIONS ET VECTEURS



Vecteurs et transla-tionsÉgalité vectorielle

ÏConnaître et utiliserl’écriture vectorielle# �AB =

# �C D pour expri-

mer que la translationqui transforme A en Btransforme aussi C en D.

Cette rubrique prend en compte les acquis du cycle

central sur les parallélogrammes et sur la transla-

tion. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans

les couples (A, A′), (B ,B ′), (C ,C ′). . . de points ho-

mologues par une même translation, d’un même

objet nommé vecteur.

On écrira #�u =

# �A A′

=

# �BB ′

=

# �CC ′

= . . . .

L’un des objectifs est que les élèves se représentent

un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et

d’une longueur.ÏLier cette écriturevectorielle au paral-lélogramme ABC D

éventuellement aplati.

On mettra en évidence la caractérisation d’une éga-

lité vectorielle à l’aide de milieux de [AD] et [BC ] :

Si# �AB =

# �C D alors les segments [AD] et [BC ] ont le

même milieu.

Si les segments [AD] et [BC ] ont le même milieu,

alors on a# �AB =

# �C D et

# �AC =

# �BD.

Composition de deuxtranslations ; sommede deux vecteurs.

ÏUtiliser l’égalité# �AB +

# �BC =

# �AC et la relier

à la composée de deuxtranslations.

Des activités de construction conduiront à l’idée

que la composée de deux translations est une

translation.

ÏConstruire un représen-tant du vecteur sommeà l’aide d’un parallélo-gramme.

À partir de ce résultat, à établir ou admettre, on dé-

finira la somme de deux vecteurs. On introduira le

vecteur nul#�0 =

# �A A =

# �BB = . . . ainsi que l’opposé

d’un vecteur. Aucune compétence n’est exigible des

élèves sur l’égalité vectorielle# �AC−

# �AB =

# �BC ni, plus

généralement, sur la soustraction vectorielle.

Composition de deuxsymétries centrales.

Ï Savoir que l’imaged’une figure par deuxsymétries centrales suc-cessives de centres dif-férents est aussi l’imagede cette figure par unetranslation.

Des activités de construction permettront de

conjecturer le résultat de composition de deux sy-

métries centrales. La démonstration sera l’occasion

de revoir la configuration des milieux dans un tri-

angle.

ÏConnaître le vecteur dela translation composéede deux symétries cen-trales.

On pourra utiliser, pour sa commodité, la notation

2# �AB pour désigner

# �AB +

# �AB .

Tout commentaire sur le produit d’un vecteur par

un entier est hors programme, ainsi que la notation

"o" pour désigner la composée.

3ème Page 1/4 Cours translations et vecteurs

1 Notion de vecteur

Définition :Si, par une translation donnée, les points A, B , C

ont pour images respectives les points A′, B ′ et C ′,alors on dit que les couples de points (A, A′), (B ,B ′),(C ,C ′) définissent un vecteur.Si on note #�u ce vecteur, alors on peut écrire#�u =

# �A A′

=

# �BB ′

=

# �CC ′, et on dit que

# �A A′,

# �BB ′ et

# �CC ′

sont des représentants du vecteur #�u .

A

A′

B

B′

C

C ′

~u

Caractéristiques d’un vecteur :

Si A et B sont deux points distincts, alors on peut entièrement déterminer le vecteur# �AB par :

– sa direction (celle de la droite (AB)),

– son sens (de A vers B)

– et sa longueur, ou norme (celle du segment [AB]).

Vocabulaire : Dans ce cas, le point A est appelé origine du vecteur, et le point B en est l’extrémité.

2 Vecteurs égaux

Définition :On dit que deux vecteurs #�u et #�v sont égaux s’ils ont la mêmedirection, le même sens et la même longueur.

~u~v

Définition :Si A et B sont deux points distincts du plan, alors le vecteur# �B A a la même direction et la même longueur que le vecteur# �AB , mais il n’a pas le même sens. On dit que

# �B A est le vecteur

opposé au vecteur# �AB , et on note

# �B A =−

# �AB .

A

B

A

B

Propriétés :Soient A, B , C et D quatre points du plan.ÏSi les vecteurs

# �AB et

# �C D sont égaux,

alors ABDC est un parallélogramme (éventuellementaplati).ÏSi ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati),alors les vecteurs

# �AB et

# �C D sont égaux (tout comme les vec-

teurs# �AC et

# �BD).

A

B

D

C

A

B

C

D

ou

Propriétés :Soient A, B , C et D quatre points du plan.ÏSi les vecteurs

# �AB et

# �C D sont égaux,

alors les segments [AD] et [BC ] ont le même milieu.ÏSi les segments [AD] et [BC ] ont le même milieu,alors les vecteurs

# �AB et

# �C D sont égaux (tout comme les vec-

teurs# �AC et

# �BD).

A

B

D

C

I


Comment placer un point défini par une égalité vectorielle :A, B et C sont trois points du plan. On veut placer le point D tel que

# �AB =

# �C D.

Sur un quadrillage :On commence par repérer, à peu près, la zonedans laquelle sera situé le point D (étape 1).Puis on utilise le quadrillage pour construire lequatrième sommet du parallélogramme ABDC

(étape 2) ; ici, on décale de deux carreaux vers ladroite et de cinq carreaux vers le bas.

A

B

C

A

B

C

D

Sur du papier blanc :On commence par repérer, à peu près, la zonedans laquelle sera situé le point D (étape 1).Puis on utilise le compas pour construire lequatrième sommet du parallélogramme ABDC

(étape 2) ; ici, on trace un arc de cercle de centreC de rayon AB , puis un second arc de cercle decentre B de rayon AC .

A

B

C

A

B

C

D

Propriété :Soient A, I et B trois points distincts du plan.Dire que

# �AI =

# �I B revient à dire que I est le milieu de [AB]

A

B

I

3 Somme de deux vecteurs

Propriété :

La composée de deux translations de vecteurs #�u et #�v est elle-même une translation, dont le vecteurest appelé somme des vecteurs #�

u et #�v , et est noté #�

u +#�v .

~u + ~v

~u

~u

~v

~v

~u + ~v

A

B

C


Relation de Chasles :

Si, avec les notations précédentes,# �AB est un représentant de #�u , et

# �BC est un représentant de #�v , alors

on peut écrire la relation# �AB +

# �BC =

# �AC , connue sous le nom de relation de Chasles.

Remarque : On peut retenir que "faire la translation de vecteur# �AB , puis faire la translation de vecteur# �

BC , cela revient à faire directement la translation de vecteur# �AC ."

Définition :

Si A et B sont deux points distincts, on a, d’après la relation de Chasles,# �AB+

# �B A =

# �A A, qui correspond

à un déplacement nul.Le vecteur

# �A A est par conséquent appelé vecteur nul, et on note

#�0 =

# �A A.

Comment construire la somme de deux vecteurs :A est un point du plan, #�u et #�v sont deux vecteurs. On veut placer le point B tel que

# �AB =

#�u +#�v .

En mettant les vecteurs "bout à bout" :On construit le point M tel que

# �AM =

#�u , puis onconstruit le représentant du vecteur #�v ayant cepoint M pour origine ; un représentant du vec-teur #�u +

#�v est le vecteur# �AB .

~u+

~v

~u

~v

~u

~v

A

B

M

En prenant des représentants de même origine :On construit des représentants des vecteurs #�uet #�v d’origine A, et on appelle M et N les ex-trémités de ces deux représentants. On construitle point B comme quatrième sommet du paral-lélogramme AMB N ; un représentant du vecteur#�u +

#�v est le vecteur# �AB .

B

~u+

~v

~u

~v

~u

~v

A

M

N

4 Composée de deux symétries centrales

Propriété :Soient A et B deux points distincts du plan. La composée dela symétrie de centre A et de la symétrie de centre B est unetranslation de vecteur

# �AB+

# �AB (que l’on notera 2

# �AB par ana-

logie avec le calcul numérique)

AB

2 ~AB


CHAPITRE 9

FICHE D’EXERCICES : VECTEURS (1)

EXERCICE 1

1. Construire les points A1, B1, C1, D1, images respectives de A, B , C , D par la translation de vecteur #�u .

2. Construire les points A2, B2, C2, D2, images respectives des points A, B , C , D par la translation de

vecteur #�v .

3. Construire le point A3 image de A par la translation de vecteur# �DB , le point B3 image de B par la

translation de vecteur# �C D, le point C3 image de C par la translation de vecteur

# �D A et enfin le point

D3 image de D par la translation de vecteur# �C A.

4. Au vu de la figure, écrire un maximum d’égalités de vecteurs.

A

B

C

D

~u

~v

EXERCICE 2

Construire :

Ï le point A′ image de A par la

translation de vecteur #�u ,

Ï le point B′ image de B par la

translation de vecteur# �AC ,

Ï le point C′ image de C par la

translation de vecteur# �E A.

Ï le point D′ tel que

# �DD

′=

# �C A,

Ï le point E′ tel que

# �E E

′=

# �BC

A

B

C

D

E

~u


CHAPITRE 9


EXERCICE 1

Sur la figure ci-dessous :

1. construis l’image de la figure F par la translation de vecteur# �AB .

2. construis l’image de la figure G par la translation de vecteur# �C D.

3. construis l’image de la figure H par la translation de vecteur# �F E .

4. construis l’image de la figure I par la translation de vecteur# �G H .

5. construis l’image de la figure H par la translation de vecteur# �AD .

6. construis l’image de la figure J par la translation de vecteur# �DE .

F

A

B

G

C

DH

F

E

G

H

I

J


EXERCICE 2

Sur la figure ci-dessous :

1. construis l’image du carré par la translation de vecteur# �E B .

2. construis l’image du triangle par la translation de vecteur# �AB .

3. construis l’image du cercle par la translation de vecteur# �BD.

4. construis l’image de la droite par la translation de vecteur# �DC .

A

B C

D

E


CHAPITRE 9


Placer les points M et N dans chacun des cas suivants :

1.# �AM =

#�u et

# �AN =

#�u +

#�v 2.

# �AM =

#�v et

# �AN =

#�u +

#�v

A

~u

~v

A

~u

~v

3.# �AM =

# �C B et

# �AN =

# �AB +

# �AC 4.

# �B M =

# �C B et

# �B N =

# �B A +

# �BC

A

B

C

A

B

C

5.# �DM =

# �BC et

# �DN =

# �BC +

# �E A 6.

# �E M =

# �AB +

# �C D et

# �B N =

# �AE +

# �C D

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E


CHAPITRE 9

FICHE D’EXERCICES : DÉMONTRER AVEC LESVECTEURS

EXERCICE 1 DNB Guadeloupe 2003Construire un parallélogramme E FG H et I , milieu de [E F ].

1. Faire une figure.

2. On considère la translation de vecteur# �E H .

a) Quelle est l’image de E ?

b) Quelle est l’image de F ? Justifier.

3. Construire le point J , translaté du point I par la translation de vecteur# �E H .

Que représente le point J pour le segment [G H] ? Justifier la réponse.

4. Construire le point K tel que# �E K =

# �EG +

# �E H .

Montrer que J est le milieu de [E K ].

EXERCICE 2 DNB Centres étrangers (Bordeaux) 2006

1. Tracer un triangle isocèle ABC de sommet principal B tel que AC = 4 cm et AB = 5 cm.

2. a) Placer les points R et M tels que # �C R =

# �AB et

# �B M =

# �B A+

# �BC .

b) Quelle est la nature du quadrilatère ABRC ? Justifier.

c) Préciser la nature du quadrilatère ABC M . Justifier.

3. Démontrer que le point C est le milieu du segment [MR].

EXERCICE 3 DNB Lyon 2005Pour cet exercice, compléter la figure donnée ci-dessous.

A

B

C

On a placé trois points A, B et C .

1. Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.

2. a) Construire le point F tel que# �BF =

# �B A +

# �BC .

b) Quelle est la nature du quadrilatère ABC F ? On ne demande pas de justification.

3. Démontrer que# �FC =

# �C E . Que peut-on en déduire pour le point C ?


CHAPITRE 9


Placer les points M et N dans chacun des cas suivants :

1.# �AM =

#�u et

# �AN =

#�u +

#�v 2.

# �AM =

#�v et

# �AN =

#�u +

#�v

A

~u

~v

A

~u

~v

3.# �AM =

# �C B et

# �AN =

# �AB +

# �AC 4.

# �B M =

# �C B et

# �B N =

# �B A +

# �BC

A

B

C

A

B

C

5.# �DM =

# �BC et

# �DN =

# �BC +

# �E A 6.

# �E M =

# �AB +

# �C D et

# �B N =

# �AE +

# �C D

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E


CHAPITRE 10

COURS : VECTEURS & REPÈRES



Coordonnées d’un

vecteur dans le plan

muni d’un repère

Lire sur un graphique les coordon-

nées d’un vecteur.

Représenter, dans le plan muni d’un

repère, un vecteur dont on donne les

coordonnées.

Calculer les coordonnées d’un vec-

teur connaissant les coordonnées

des extrémités de l’un quelconque

de ses représentants.

Calculer les coordonnées du milieu

d’un segment.

Les coordonnées d’un vecteur se-

ront introduites à partir de la com-

position de deux translations selon

les axes.

Distance de deux

points dans un repère

orthonormé du plan

Le plan étant muni d’un repère or-

thonormé, calculer la distance de

deux points dont on donne les coor-

données.

Le calcul de la distance de deux

points se fera en référence au théo-

rème de Pythagore, de façon à

visualiser ce que représentent diffé-

rence des abscisses et différence des

ordonnées.

1 Repères du plan

Il existe différentes sortes de repères du plan :

O 1

1

M

O1

1

x

y

M

O1

1

x

y

M

Les repères quelconques Les repères orthogonaux, dans

lesquels les axes sont perpendi-

culaires.

Les repères orthonormés, dans

lesquels les axes sont perpendi-

culaires, et les unités sur chaque

axe sont égales.

Dans chacun des cas ici représentés, le point M a pour coordonnées (3;−2).

3ème Page 1/3 Cours vecteurs et repères

2 Coordonnées d’un vecteur dans un repère

Dans chacun des cas suivants, #�u est un vecteur, dont un représentant est# �AB dans un repère du plan.

Pour passer de A à B , on effectue deux translations successives :

– La première parallèlement à l’axe des abscisses, de a carreaux dans le sens de l’axe (alors comptés

positivement) ou dans le sens opposé à l’axe (alors comptés négativement) ;

– la seconde parallèlement à l’axe des ordonnées de b carreaux dans le sens de l’axe (alors comptés

positivement) ou dans le sens opposé à l’axe (alors comptés négativement) ;

Le couple (a;b) sont les coordonnées du vecteur #�u .

O1

1

x

y

A

B

−5

+3

Le vecteur ~u a pour coordonnées (−5;3)

O1

1

x

y

A

B

−4

−7

Le vecteur ~u a pour coordonnées (−4;−7)

Calcul des coordonnées d’un vecteur :

Si, dans un repère du plan, les coordonnées des points A et B sont respectivement (xA; y A) et (xB ; yB ),

alors les coordonnées du vecteur# �AB sont (xB −xA ; yB − y A).

Exemple :Si on a A(−1,−3) et B(4,3) alors le vecteur

# �AB a pour coordonnées (4− (−1);3− (−3)), c’est-à-dire (5;6).

Remarque n°1 : B Attention à l’ordre des lettres ! ! On fait :

(abscisse de l’extrémité−abscisse de l’origine ; ordonnée de l’extrémité−ordonnée de l’origine)

Remarque n°2 : Les coordonnées du vecteur #�u sont les coordonnées de l’extrémité du représentant de

ce vecteur, ayant l’origine du repère comme origine :

O1

1

x

y

B

A+5

+6

Le vecteur ~u a pour coordonnées (5;6)

6

5

Vecteurs égaux :

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan.


3 Milieu d’un segment

Calcul des coordonnées du milieu d’un segment :

Si, dans un repère du plan, les coordonnées des points A et B sont respectivement (xA; y A) et (xB ; yB ),

alors les coordonnées du point I milieu de [AB] sont(xA +xB

2;

y A + yB

2

)

.

O1

1

x

y

A

B

xA+xB

2

y A+yB

2I

Preuve :Dire que I est le milieu de [AB] revient à dire que les

vecteurs# �AI et

# �I B sont égaux.

Or les coordonnées du vecteur# �AI dans le repère sont

(xI −xA ; yI − y A)

Les coordonnées du vecteur# �I B dans le repère sont

(xB −xI ; yB − yI )

Ces deux vecteurs étant égaux, leurs coordonnées sont

égales entre elles, et il vient :

xI −xA = xB −xI yI − y A = yB − yI

xI +xI = xA +xB yI + yI = y A + yB

2xI = xA +xB 2yI = y A + yB

xI =xA+xB

2yI =

yA+yB

2

Exemple : Si on a A(−1,−3) et B(4,3) alors le point I milieu de [AB] a pour coordonnées(−1+4

2; −3+3

2

)

,

c’est-à-dire (1,5;0).

4 Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Calcul de la distance entre deux points :

Dans un repère orthonormé, si les coordonnées des points A et B sont respectivement (xA ; y A) et

(xB ; yB ), alors la distance entre les points A et B est donnée par : AB =√

(xB −xA)2 + (yB − y A)2

O x

y

A

B

yB−

yA

xA −xB

H

xAxB

y A

yB

Preuve :L’idée est d’utiliser le théorème de Pythagoredans le triangle AHB . Pour que AHB soit rec-

tangle en H , il faut bien que le repère soit or-

thogonal. De plus, pour exprimer les distances

AH et B H dans la même unité, il faut que les

unités portées par les deux axes soient égales,

et donc que le repère soit orthonormé.

Une fois cette condition remplie, on a donc

AHB rectangle en H , et AB 2 = AH2 +B H2.

Or la distance AH est égale soit à xB −xA , soit à xA−xB (cela dépend de savoir lequel est le plus "à droite").

Quoi qu’il en soit, on a AH2 = (xB−xA)2 (car, de toutes façons, deux nombres opposés ont le même carré :

(xB −xA)2 = (xA −xB )2. . .).

De même, la distance B H est égale soit à yB − y A , soit à y A − yB (cela dépend de savoir lequel est le plus

"haut"). Quoi qu’il en soit, on a B H2 = (yB − y A)2 (car, de toutes façons, (yB − y A)2 = (y A − yB )2. . .).

On a donc bien AB 2 = AH2 +B H2 = (xB −xA)2 + (yB − y A)2, et donc la formule annoncée.

Exemple : Si dans un repère orthonormé on a A(−1,−3) et B(4,3) alors la distance AB vaut√

(4− (−1))2 + (3− (−3))2 =p

52 +62 =p

25+36=p

61≈ 7,8 unités.


CHAPITRE 11

COURS : FONCTIONS LINÉAIRES & AFFINES

Extrait du programme de la classe de troisième :


Fonctionlinéaire.

Connaître la notation x 7−→ ax,pour une valeur numérique dea fixée.

La définition d’une fonction linéaire, de coefficient a, s’appuie

sur l’étude des situations de proportionnalité rencontrées dans

les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de

proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de

correspondance est "je multiplie par a". Pour des pourcentages

d’augmentation ou de diminution, une mise en évidence simi-

laire peut être faite ; par exemple, augmenter de 5 % c’est multi-

plier par 1,05 et diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95.

Déterminer l’expression algé-brique d’une fonction linéaireà partir de la donnée d’unnombre non nul et de sonimage.

L’étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d’utiliser la

notion d’image. On introduira la notation x 7−→ ax, pour la fonc-

tion. À propos de la notation des images f (2), f (−0,25), . . ., on

remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu’en cal-

cul algébrique.

Représenter graphiquementune fonction linéaire.Lire sur la représentation gra-phique d’une fonction linéairel’image d’un nombre donnéet le nombre ayant une imagedonnée.

L’énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation

graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par

l’origine ; cette droite a une équation de la forme y = ax. On in-

terprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de

la droite. C’est une occasion de prendre conscience de l’exis-

tence de fonctions dont la représentation graphique n’est pas

une droite (par exemple, en examinant comment varie l’aire d’un

carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3).Fonctionaffine.Fonctionaffine etfonctionlinéaireassociée.

Connaître la notationx 7−→ ax + b pour des va-leurs numériques de a et b

fixées.

Déterminer une fonctionaffine par la donnée de deuxnombres et de leurs images.

Représenter graphiquementune fonction affine.

Lire sur la représentationgraphique d’une fonctionaffine l’image d’un nombredonné et le nombre ayant uneimage donnée.

Pour des valeurs de a et b numériquement fixée, le processus de

correspondance sera aussi explicité sous la forme "je multiplie

par a, puis j’ajoute b". La représentation graphique de la fonc-

tion affine peut être obtenue par une translation à partir de celle

de la fonction linéaire associée. C’est une droite, qui a une équa-

tion de la forme y = ax + b. On interprétera graphiquement le

coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b ; on remarquera

la proportionnalité des accroissements de x et y .

Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée

dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de

deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation gra-

phique. On fera remarquer qu’une fonction linéaire est une fonc-

tion affine.

Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives

de fonctions non affines peuvent servir de support à la construc-

tion de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités

d’une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un

intervalle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance

spécifique n’est exigible sur ce sujet.

3ème Page 1/6 Cours fonctions

1 Fonction linéaire

1.1 Définitions

L’unité de longueur est le centimètre. Notons x la longueur du côté d’un carré et y le périmètre de cecarré. On trouve :

x 1 0,8 3y 4 3,2 12

×4

On obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté et 4 estle coefficient de proportionnalité. On peut écrire y = 4×x ou y = 4x.

Définition :Soit a un nombre quelconque « fixe ».Si, à chaque nombre x, on peut associer son produit par a (c’est à dire y = a × x), alors on définit lafonction linéaire de coefficient a, que l’on notera f : x 7−→ ax.

Vocabulaire et notation :La fonction qui, à chaque nombre x, associe le périmètre du carré decôté x est une fonction linéaire de coefficient 4, que nous pouvonsnoter f : x 7−→ 4x. L’image de 0,8 par cette fonction est 3,2, ce quel’on peut noter f (0,8) = 3,2 (et qui se lit " f de 0,8 est égal à 3,2")

Fonction linéairede coefficient a :

Nombre 7−→ Imagex 7−→ a x

×a

Remarque : Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (danslaquelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour passer d’un nombre à son image, on multi-plie par a.

1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire

Propriété :Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droitepassant par l’origine du repère.

ÏReprésenter graphiquement une fonction linéaire

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

1

2

−1

−2

x

yCi-contre est représentée graphiquement la fonctionlinéaire f de coefficient 0,6, que l’on peut noterf : x 7→ 0,6x

Comme f est une fonction linéaire, sa représen-tation graphique est une droite qui passe par

l’origine du repère .De plus, pour trouver un second point de cette droite,on peut calculer l’image de 3 : f (3) = 0,6×3= 1,8.Je place le point de coordonnées (3;1,8) .En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :

x 0 3y 0 1,8


ÏLire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire l’image d’un nombre donné et le nombreayant une image donnée.

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

−1

−2

−3

−4

x

y Ci-contre est représentée graphiquement une fonc-tion linéaire f de coefficient a, que l’on peut noterf : x 7→ ax

Pour lire l’image (par exemple) du nombre 4 surcette représentation graphique, on commence par

repérer le point de la droite dont l’abscisse est 4 ,puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lireque l’image de 4 est 3 , c’est-à-dire que f (4)= 3De plus, pour trouver le nombre dontl’image est −1,2 par cette fonction li-néaire, on commence par repérerle point de la droite dont l’ordonnée est −1,2 ,

puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lireque le nombre dont l’image est −1,2 est −1,6 ,c’est-à-dire que f (−1,6) =−1,2.

ÏDéterminer le coefficient d’une fonction linéaire, lorsqu’on connaît un nombre et son image

Dans l’exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficient a inconnu, que l’on notef : x 7−→ ax. Or nous avons vu que l’image de 4 par cette fonction est égale à 3 ; cela signifie que 3= a×4,ce qui nous permet de déterminer le coefficient de la fonction : a =

34 = 0,75.

Remarque : ce nombre a n’est autre que le coefficient de proportionnalité du tableau suivant :

x 4 −1,6y 3 1,2

×a

Définitions :Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient a.On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d) et que y = ax est une équation de ladroite (d).

Ï Interprétation graphique du coeffi-cient directeur :

Soit (d) la droite qui représente graphi-quement la fonction linéaire de coeffi-cient −1,2 ; le coefficient directeur de ladroite (d) est donc −1,2 , et son équa-tion est y =−1,2 x.Graphiquement, voici comment lire lecoefficient directeur :

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

−1

−2

−3

−4

x

y

+1

−1.2

+1

−1.2

+1

−1.2


1.3 Fonction linéaire et pourcentage

Calculer avec des pourcentages :

Ï Prendre t % d’un nombre, c’est multiplier ce nombre part

100.

ÏAugmenter un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par

(

1+t

100

)

.

ÏDiminuer un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par

(

1−t

100

)

.

Exemples

Ï Prendre 15 % de x c’est effectuer x ×

15

100. A cette action, on associe la fonction linéaire x 7→ 0,15×x.

Ï Diminuer un nombre x de 12 % c’est effectuer x ×

(

1−12

100

)

= x × 0,88. A cette action, on associe la

fonction linéaire x 7→ 0,88×x.

Ï Augmenter un nombre x de 3 % c’est effectuer x ×

(

1+3

100

)

= x × 1,03. A cette action, on associe la

fonction linéaire x 7→ 1,03×x.

2 Fonction affine

2.1 Définitions

Définition :Soient a et b deux nombres quelconques « fixes ».Si, à chaque nombre x, on peut associer le nombre a×x+b, alors on définit une fonction affine, quel’on notera f : x 7−→ ax +b.On dit que x 7→ ax est la fontion linéaire associée à la fonction affine x 7→ ax +b.

Vocabulaire et notation :La fonction qui, à chaque nombre x, associe le nombre 2x+3 estune fonction affine (où a = 2, et b = 3), que nous pouvons noterf : x 7−→ 2x+3. L’image de 5 par cette fonction est 2×5+3= 13,ce que l’on peut noter f (5) = 13 .

Fonction affineNombre 7−→ 7−→ Image

x 7−→ ax 7−→ ax +b

×a +b

Remarque 1 : Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie par a, puis on ajoute b.Remarque 2 : Lorsque b = 0 On obtient f : x 7→ ax, c’est à dire une fonction linéaire.

2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire

Propriété :Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite :

– passant par le point de coordonnées (0;b)

– qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée


ÏReprésenter graphiquement une fonction affine

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

11

2

3

4

5

x

yCi-contre est représentée graphiquement la fonction

affine f : x 7→ 0,5x + 3Comme f est une fonction affine, sa représen-tation graphique est une droite qui passe par

le point de coordonnées (0; 3 ) .

De plus, pour trouver un second point de cettedroite, on peut calculer, par exemple, l’image de 4 :f (4) = 0,5×4+3= 5.Je place le point de coordonnées (4;5) .En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :

x 0 4y 3 5

Remarquez que la droite représentant cette fonction (x 7−→ 0,5x +3) est parallèle à la droite représen-tant la fonction linéaire associée (x 7−→ 0,5x).

ÏLire sur la représentation graphique d’une fonction affine l’image d’un nombre donné et le nombreayant une image donnée.

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

1

2

3

4

−1

−2

x

y Ci-contre est représentée graphiquement une fonc-tion affine f : x 7→ ax +b

Pour lire l’image (par exemple) du nombre −2 surcette représentation graphique, on commence par

repérer le point de la droite dont l’abscisse est −2 ,puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lireque l’image de −2 est 5 , c’est-à-dire que f (−2) = 5De plus, pour trouver le nombre dont l’image est−1,6 par cette fonction, on commence par repérerle point de la droite dont l’ordonnée est −1,6 ,

puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lireque le nombre dont l’image est −1,6 est 2,4 , c’est-à-dire que f (2,4) =−1,6.

Définitions :Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affine f : x 7−→ ax +b.On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d), que b est l’ordonnée à l’origine, et quey = ax +b est une équation de la droite (d).

Ï Interprétation graphique du coefficient directeur et del’ordonnée à l’origine :

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonctionaffine x 7−→−0,7x +1,5 ; le coefficient directeur de la droite(d) est donc −0,7 , son ordonnée à l’origine est 1,5 et sonéquation est y =−0,7 x +1,5.Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeuret l’ordonnée à l’origine :

O1

1

−1−2−3−4 1 2

11

2

1

x

y

+1

−0, 7

+1

−0, 7


ÏDéterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs imagesExemple : Déterminer la fonction affine f tel que f (1) = 4 et f (3) = 8.Une application affine est de la forme x 7→ ax +b.De f (1) = 4, on tire a×1+b = 4, c’est-à-dire a+b = 4 (égalité n°1)

De f (3) = 8, on tire a×3+b = 8, c’est-à-dire 3a+b = 8 (égalité n°2)

Calcul de a :Si on soustrait membre à membre les deux égali-tés encadrées ci-dessus,on obtient (a+b)− (3a+b) = 4−8 ,ce qui nous donne a+b −3a−b =−4,c’est-à-dire −2a =−4,ce qui nous permet d’obtenir la valeur de a :

a =−4−2 = 2 .

Calcul de b :On reprend l’une des deux égalités (n°1 ou n°2), eton remplace a par la valeur trouvée, pour calculerla valeur de b :Comme on a trouvé a = 2, on reprend (parexemple) l’égalité n°1, et on y remplace a par 2 :a+b = 4 qui donne 2+b = 4, et donc

b = 4−2 = 2 .

La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 3 et f (3) = 8, est donc la fonction f : x 7−→ 2x +2

2.3 Proportionnalité des accroissements

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité ; ce n’est pas le cas d’une fonctionaffine, comme on peut s’en convaincre en observant le tableau de valeurs de la fonction f : x 7−→ 0,2x−1,reproduit ci-dessous :

x 1 2 4 7 11f (x) −0,8 −0,6 −0,2 0,4 1,2

Ce tableau n’est manifestement pas un tableau de proportionnalité. Cependant, regardons ce qui sepasse lorsque l’on regarde les accroissements de cette fonction :

Lorsque x augmente de . . . 1 2 3 4 5 6 7alors f (x) augmente de . . . 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est 0,2 !Ceci nous amène à énoncer la propriété suivante :

Propriété :Soit f une fonction affine x 7→ ax +b.Si x varie (c’est à dire augmente ou diminue) d’un nombre h, alors son image f (x) varie de ah. Autre-ment dit, si x1 − x2 = h, alors f (x1)− f (x2) = ah : les accroissements de f (x) sont proportionnels auxaccroissements de x, et le coefficient de proportionnalité est a.

Ï Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images (2)Soit f une fonction affine, telle que f (1) = 5 et f (4)= 7.

Calcul de a :Comme on sait que les accroissements de f (x)sont proportionnels aux accroissements de x, etque le coefficient de proportionnalité est a, onpeut écrire que f (4)− f (1) = a× (4−1), ce qui nous

donne 7−5 = a(4−1), c’est-à-dire a =7−54−1 =

23

Calcul de b :On sait que f est une fonction affine, et donc qu’onpeut écrire son expression : f : x 7−→ ax+b ; en par-ticulier, on a f (1) = a×1+b. Or, on a vu que a =

23 :

on a donc f (1) = 23+b. De plus, on sait que f (1) = 5 ;

on a donc 5 =23 +b, qui donne b = 5− 2

3 =133

La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 5 et f (4) = 7, est donc f : x 7−→23 x +

133


CHAPITRE 11

FICHE D’EXERCICES : FONCTIONS LINÉAIRES (1)

EXERCICE 1La fonction associée à la situation est-elle une fonction linéaire ? Si oui, donner son coefficient :

1. f (x) désigne le périmètre (en cm) d’un cercle de rayon x cm : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. g (x) désigne le volume (en cm3) d’un cube d’arête x cm : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. h(x) désigne le prix (en ¤) de x kg de pommes vendues à 2,40 ¤ le kg : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. k(x) désigne le volume d’une pyramide de hauteur x et dont l’aire de la base carrée est 9 cm2 : . . . . . .

5. l (x) désigne le volume d’un cône de hauteur 10 cm, et dont le rayon de la base vaut 5 cm : . . . . . . . . . . .

6. u(x) désigne l’aire (en cm2) d’une figure plane dont l’aire mesure x cm2, après un agrandissement de

rapport 1,5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. v(x) désigne le volume (en cm3) d’un solide dont le volume mesure x cm3, après une réduction de

rapport 310

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2

1. Soit f la fonction linéaire de coefficient −2,5.

a) Compléter : La fonction f est définie par f : x 7−→ . . . . . . .

b) Calculer l’image de 6 par la fonction f : f (6) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer l’image de −3,5 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Calculer le nombre qui a pour image 10 par f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer le nombre qui a pour image 53

par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Soit f la fonction linéaire de coefficient 73

.


b) Calculer l’image de 2,4 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer f(

−35

)

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Calculer le nombre qui a pour image 14 par f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer le nombre qui a pour image 53

par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f la fonction linéaire telle que f (3) =−9.


b) Calculer f(

−56

)

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer f (−0,7) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Calculer le nombre qui a pour image −5 par f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer le nombre qui a pour image −17

par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Calculer le coefficient de la fonction linéaire f dans chacun des cas suivants :

a) L’image de 5 est −20 : f : x 7−→ . . . . . . . . . . . .

b) L’image de −3 est 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) 12 est l’image de 8 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) f (6) =−5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) f(

23

)

=−2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) f (p

18) =p

8 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Dans chaque cas, calculer le coefficient de la fonction linéaire f , et compléter le tableau de valeurs :

a)x 5 −3 2

7

f (x) 7 2,1b)

x 3 −37

f (x) −4 4,4 1


CHAPITRE 11

FICHE D’EXERCICES : FONCTIONS LINÉAIRES (2)

EXERCICE 1Parmi ces représentations graphiques, lesquelles sont celles d’une fonction linéaire ?

O1

1

x

y

O1

1

x

y

O1

1

x

y

O1

1

x

y

O1

1

x

y

O1

1

x

y

EXERCICE 2La droite (d) représente une fonction linéaire f :

1. Lire l’image du nombre 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Lire l’image du nombre −1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Lire le nombre dont l’image est 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Lire le nombre dont l’image est −1 : . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Quel est le coefficient de cette fonction linéaire ? . .

6. Donner l’équation de la droite (d) : . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Calculer f (7) et f(

−54

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Est-il vrai que le point de coordonnées (7;−3,5) est

sur la droite (d) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Calculer les nombres x et y pour lesquels les points

de coordonnées (x;14) et (10; y) sont sur la droite

(d) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O1

1

x

y

EXERCICE 31. Dans ce repère, tracer les droites (d1), (d2) et (d3) qui, res-

pectivement :

– représente la fonction linéaire f1 de coefficient 5

– représente la fonction linéaire f2 de coefficient −0,4

– a pour équation y =−43

x

2. Déterminer les coefficients des fonctions linéaires f4, f5

et f6 représentées respectivement par les droites (d4), (d5)

et (d6) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Ecrire les équations des droites :

(d1) : . . . . . . . . . (d4) : . . . . . . . . . (d5) : . . . . . . . . .

4. Vrai ou faux ? M(15;−6) ∈ (d2) . . . . . . N (9;11) ∈ (d3) . . . . . .

O1

1

x

y

d5

d6


CHAPITRE 11

FICHE D’EXERCICES : FONCTIONS AFFINES

EXERCICE 1

1. Soit f la fonction affine définie par x 7−→ 2x −5.

a) Calculer l’image de 6 par la fonction f : f (6) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer l’image de −3,5 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer l’image de −74

par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Calculer le nombre qui a pour image 11 par f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer le nombre qui a pour image −1 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer le nombre qui a pour image −5 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Trouver un nombre qui a pour image lui-même par la fonction affine f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Soit g la fonction affine définie par g : x 7−→ 23

x +3.

a) Calculer

g (2,4)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , g (−3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , g(

−67

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Calculer le nombre a tel que g (a) = 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer le nombre b tel que g (b) = 13

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résoudre l’équation g (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit h la fonction affine définie par x 7−→ 16

x + 23

.

a) Compléter le tableau suivant :x −6 4

30

f (x) 1 76

0

4. Soit k la fonction affine définie par x 7−→p

3x +1

a) Calculer les images de 1, de −5p

3 et dep

12 par la fonction h :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Déterminer le nombre qui a pour imagep

3 par la fonction k (donnez la réponse sous la forme

ap

3, où a est un entier relatif)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2Dites si les situations suivantes sont modélisables par des fonctions affines ; dans l’affirmative, donnez

l’expression de la fonction sous la forme x 7−→ ax +b.5 m 4 mx 10 m x 6 m 5 mx

1. l’aire du polygone grisé dans la figure n°1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. le périmètre de la figure n°2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. l’aire de la figure n°2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. l’aire du rectangle grisé dans la figure n°3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. le périmètre du rectangle grisé dans la figure n°3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


CHAPITRE 11

EXERCICES : REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE

EXERCICE 1On donne les trois fonctions

f : x 7−→ x +3, g : x 7−→13

x +3 et h : x 7−→−1,5x +3.

1. Calculer les images de 0 et de 3 par chacune de ces

fonctions :

f (0) = . . . . . . . . . g (0)= . . . . . . . . . h(0)= . . . . . . . . .

f (3) = . . . . . . . . . g (3)= . . . . . . . . . h(3)= . . . . . . . . .

2. Tracer les droites (d1), (d2) et (d3) qui représentent ces

trois fonctions dans le repère ci-contre.

3. Quel est le point commun à ces trois droites ? . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Ecrire les équations de ces trois droites, et entourer en

rouge leurs coefficients directeurs, en vert leur ordon-

née à l’origine :

(d1) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d2) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d3) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O1

1

x

y

−1−2−3−4 1 2 3

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

−3

−4

EXERCICE 21. f est la fonction affine x 7−→−

12

x +5

a) Calculer f (0) = . . . . . . . . . et f (4) = . . . . . . . . . .

b) Tracer la droite (d) représentant la fonction

f dans ce repère :

c) Vrai ou Faux ?

– Le point A de coordonnées (16;3) appar-

tient à la droite (d).

– Le point B de coordonnées (−10;9) appar-


O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

2. g est la fonction affine x 7−→ 3x −1

a) Calculer f (−2) = . . . . . . . . . et f (3) = . . . . . . . . . .

b) Tracer la droite (d) représentant la fonction

f dans ce repère :

c) Vrai ou Faux ?

– Le point C de coordonnées (25;75) appar-


– Le point D de coordonnées ( 127

;4) appar-


O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

123456789

101112

123456789

1011

−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11−12


EXERCICE 3

Dans le repère ci-contre, tracer les

droites (d1), (d2), (d3) et (d4) représen-

tations graphiques respectives des fonc-

tions

f1 : x 7−→−x +2,

f2 : x 7−→ 2,5x,

f3 : x 7−→53

x −4,

f4 : x 7−→−2x −1.

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

6

EXERCICE 4En graduant convenablement les axes du repère, tracer la droite représentant la fonction affine donnée :

x 7−→ 12x

O x

yx 7−→ 40x +50

O x

yx 7−→ 0,05x +3

O x

y

EXERCICE 5

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

(d)

(d′)

Dans le repère ci-contre, les droites (d) et (d ′)

sont les représentations graphiques respectives

de deux fonctions affines f et g .

1. En lisant sur ce graphique, donner :

– l’image de −2 par la fonction f : . . . . . . . . . . . .

– f (0) = . . . . . . . . . , f (4) = . . . . . . . . . .

– le nombre dont l’image par f est 5 : . . . . . . .

2. En lisant sur ce graphique, donner :

– l’image de 4 par la fonction g : . . . . . . . . . . . . .

– g (−2)= . . . . . . . . . , g (1) = . . . . . . . . . .

– le nombre dont l’image par g est −3 : . . . . . .

– le nombre x tel que g (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les deux fonctions ont pour expressions x 7−→−34

x +2 et x 7−→32

x −3

a) laquelle est f ? laquelle est g ? Retrouver par le calcul les résultats des questions 1. et 2.

b) Résoudre l’équation−34

x+2 =32

x−3 ; quel est le nombre qui donne la même image par f et par g ?

Placer le point correspondant sur le graphique, et donner ses coordonnées exactes par le calcul.


CHAPITRE 11

FICHE D’EXERCICES : DÉTERMINER UNE FONCTION AFFINE

EXERCICE 1On cherche à déterminer la fonction affine f : x 7−→ ax +b vérifiant f (−1) = 5 et f (5) = 2

Méthode n°1 :

De f (−1) = 5 on tire l’égalité −a +b = 5

et de f (5) = 2 on tire 5a +b = 2

On soustrait membre à membre les deux

égalités : (−a +b)− (5a +b) = 5−2,

ce qui donne −a +b −5a −b = 3,

c’est-à-dire −6a = 3,

qui donne a =3−6 =−0,5 .

On reprend l’égalité −a +b = 5 pour trouver

la valeur de b, en remplaçant a par −0,5 :

cela donne −(−0,5)+b = 5,

c’est-à-dire 0,5+b = 5

qui nous donne b = 5−0,5 = 4,5

En conclusion, la fonction affine recherchée

est f : x 7−→−0,5x +4,5.

Méthode n°2 :

On utilise la propriété de proportionnalité des accroissements :

x −1 5

f (x) 5 2

−3

+6

Lorsque x augmente de 6, son image diminue de 3 ; on doit donc

avoir a =

Variations de f (x)

Variations de x=

−3

6d’où a =−0,5 . De plus, de

f (−1) = 5 on tire l’égalité −a +b = 5 , ce qui nous donne, en rem-

plaçant a par sa valeur, −(−0,5)+b = 5, c’est-à-dire 0,5+b = 5 d’où

l’on tire b = 5−0,5 = 4,5

En conclusion, la fonction affine recherchée est

f : x 7−→−0,5x +4,5.

En suivant l’une de ces méthodes, donner l’expression de la fonction affine f dans chacun des cas sui-

vants :

1. f (0) = 5 et f (4) = 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. f (−2) = 1 et f (6) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. f (2) = 3 et f (5) =−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. f (3) = 5 et f (−5) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

7

(d)

(d′)

A

B

C

D

Dans le repère ci-contre, les droites (d) et (d ′) sont

les représentations graphiques respectives de deux

fonctions affines f et g .

1. a) Lire les coordonnées des points A et B

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Compléter : f (. . .) = . . . et f (. . .) = . . .

c) Déterminer l’expression de la fonction f .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. a) Lire les coordonnées des points C et D

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Compléter : g (. . .) = . . . et g (. . .) = . . .

c) Déterminer l’expression de la fonction g .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Ecrire les équations des deux droites (d) et (d ′) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


CHAPITRE 11

FICHE D’EXERCICES : FONCTIONS AFFINES (4)

EXERCICE 1

1. Dans un repère orthogonal (1cm pour 5 unités sur l’axe des abscisses, et 1cm pour 1 unité sur l’axe des ordon-nées), tracez les représentations graphiques des fonctions x 7−→ 0,1x, x 7−→ 0,25x −3 et x 7−→ 4.

2. Résoudre l’équation 0,1x = 4 ; interpréter graphiquement la solution de cette équation (mettre en évidencecomment trouver cette valeur sur le graphique en utilisant des pointillés).

3. Résoudre graphiquement l’équation 0,1x = 0,25x−3 en laissant apparents les traits de construction ; retrouverle résultat par le calcul.

4. Résoudre graphiquement l’inéquation 0,25x −3 Ê 4 ; retrouver ce résultat par le calcul.

EXERCICE 2 DNB Groupe Ouest 2006

Dans un magasin, une cartouche d’encre pour imprimante coûte 15 ¤. Sur un site internet, cette même cartouchecoûte 10 ¤, avec des frais de livraison fixes de 40 ¤ quel que soit le nombre de cartouches achetées.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14Prix à payer en magasin en eurosPrix à payer par internet en euros

2. Le nombre de cartouches achetées est noté x.

a) On note P A le prix à payer pour l’achat de x cartouches en magasin.Exprimer P A en fonction de x.

b) On note PB le prix à payer, en comptant la livraison, pour l’achat de x cartouches par internet. Exprimer PB

en fonction de x.

3. Dans un repère orthogonal, tracer les droites (d ) et (d ′) définies par :

– d représente la fonction x 7−→ 15x

– d ′ représente la fonction x 7−→ 10x +40

4. En utilisant le graphique précédent :

a) déterminer le prix le plus avantageux pour l’achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents les traits deconstructions.

b) Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il plus avantageux pour elle d’acheter des car-touches en magasin ou sur internet ? Vous laisserez apparents les traits de constructions.

5. À partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Expliquervotre réponse.

EXERCICE 3 DNB Amérique du Nord 2005

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4 cm et AC = 3 cm.M est un point de [BC ], P est un point de [AB ] et Q un point de [AC ] tels que le quadrilatère AP MQ soit unrectangle. Notons x la longueur BP en cm.

Partie I

1. Montrer que P M =34 x.

2. Montrer que le périmètre du rectangle AP MQ est égal à 8− x2 .

3. a) Expliquer pourquoi on a 0 É x É 4.

b) Est-il possible de placer M sur [BC ] pour que le périmètre du rectangle AP MQ soit égal à : 7 cm ? 4 cm ?10 cm ?

4. Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7 cm.

Partie II


1. a) Calculer la longueur BC .

b) Montrer que B M =5x4 .

2. En déduire, en fonction de x, le périmètre du triangle BP M .

3. Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions : x 7−→ 3x et x 7−→ 8− x2

4. a) Déterminer graphiquement une valeur approchée de x pour laquelle BP M et AP MQ ont le même péri-mètre.

b) Trouver par un calcul la valeur exacte de x.

EXERCICE 4 DNB Bordeaux 2005

Un vidéo-club propose différents tarifs pour l’emprunt de DVD.

– Tarif A : 4 ¤ par DVD emprunté.

– Tarif B : 2,50 ¤ par DVD emprunté, après avoir payé un abonnement de 18 ¤.

– Tarif C : abonnement de 70 ¤ pour un nombre illimité de DVD.

1. Compléter le tableau suivant indiquant le prix à payer pour 5 ou 15 ou 25 DVD, aux tarifs A, B ou C.

5 DVD 15 DVD 25 DVDCoût au tarif ACoût au tarif BCoût au tarif C

On note x le nombre de DVD empruntés.

2. On admet que les trois tarifs peuvent être exprimés à l’aide des fonctions suivantes :

f : x 7−→ 2,5x +18 g : x 7−→ 70 h : x 7−→ 4x

a) Associer à chaque tarif la fonction qui lui correspond.

b) Tracer dans un même repère les représentations graphiques de ces trois fonctions. On prendra en abscisse1 cm pour 2 DVD et en ordonnée 1 cm pour 5 ¤.

3. a) Résoudre l’équation : 4x = 2,5x +18. Interpréter le résultat.

b) Mettre en évidence comment trouver la solution de cette équation sur le graphique en utilisant des poin-tillés.

4. a) Résoudre graphiquement l’inéquation : 70 É 2,5x +18, en laissant apparents les traits de construction.

b) Retrouver ensuite le résultat par le calcul.

5. Synthèse : donner le tarif le plus intéressant selon le nombre de DVD empruntés.

EXERCICE 5 DNB Pondichéry 2004

Une association de jeunes dessinateurs décide de publier un livret présentant les œuvres de chacun de ses membres.Ils ont le choix entre les tarifs de deux imprimeurs.

Tarif A : 2,4 euros par exemplaire.

Tarif B : 2,16 euros par exemplaire, auxquels on ajoute 30 euros de frais de livraison.

On appelle x le nombre d’exemplaires imprimés.

1. Compléter le tableau ci-dessous.

Nombre d’exemplaires imprimés 50Prix en euros selon le tarif A 540Prix en euros selon le tarif B 354

2. Écrire, en fonction de x, le prix payé pour le tarif A, puis pour le tarif B.

3. Construire dans un repère (Prendre sur l’axe des abscisses : 1 cm pour 10 exemplaires ; sur l’axe des ordonnées :1 cm pour 50 euros) les représentations graphiques des fonctions suivantes :

p1 : x 7→ 2,4x p2 : x 7→ 2,16x +30

4. Les deux représentations graphiques se coupent en un point M . Calculer les coordonnées de M .

5. Déduire des questions 3. et 4. la condition pour laquelle le tarif B est le plus intéressant.


CHAPITRE 11

EXERCICES : POURCENTAGES ET FONCTIONS LINÉAIRES

EXERCICE 1Compléter les phrases suivantes :

Ï Prendre 20 % d’une quantité, cela revient à multiplier cette quantité par . . . . . . . . . . . .

Ï Prendre . . . . . . . . . . . . % d’une quantité, cela revient à multiplier cette quantité par 0,08

Ï Augmenter une quantité de 15 %, cela revient à multiplier cette quantité par . . . . . . . . . . . .

Ï Augmenter une quantité de . . . . . . . . . . . . %, cela revient à multiplier cette quantité par 1,06

Ï Diminuer une quantité de 25 %, cela revient à multiplier cette quantité par . . . . . . . . . . . .

Ï Diminuer une quantité de . . . . . . . . . . . . %, cela revient à multiplier cette quantité par 0,9

EXERCICE 2A chacune des situations suivantes on peut associer une fonction linéaire ; mais laquelle ?

Prendre 20 % d’une quantité x • • x 7−→ 0.75x

Augmenter une quantité x de 10 % • • x 7−→ 0,2x

Diminuer une quantité x de 40 % • • x 7−→ 0,96x

Prendre 75 % d’une quantité x • • x 7−→ 1,1x

Augmenter une quantité x de 1 % • • x 7−→ 0,6x

Diminuer une quantité x de 4 % • • x 7−→ 1,01x

EXERCICE 3

1. Dans un magasin, le prix affiché sur un article est 350 ¤ ; après remise, ce prix est tombé à 297,50 ¤.

Calculer le pourcentage de remise.

2. La population d’une ville A augmente de 3 % tous les ans. En 2004, la ville comptait 25000 habitants.

Combien en compte-t-elle en 2005 ? Combien en comptait-elle en 2003 ?

3. Un libraire accorde un réduction de 5 % sur tous les livres du magasin.

a) Exprimer le prix réduit y en fonction du prix initial x.

b) Un livre coûte 32,80 ¤ ; calculer le prix réduit de ce livre.

c) Calculer le prix initial d’un livre payé 24,08 ¤.

4. On augmente de 10 % la longueur des côtés d’un triangle, dont l’aire vaut x cm2.

a) Calculer le pourcentage d’augmentation de l’aire du triangle.

b) Exprimer l’aire du triangle après agrandissement, y , en fonction de x.

c) Si l’aire du triangle initial est de 15 cm2, quelle sera l’aire après agrandissement ?

d) Après agrandissement, l’aire du triangle est de 24,2 cm2. Quelle était l’aire initiale de ce triangle ?

EXERCICE 4 Méfiance...

1. Entre 1995 et 2000, la valeur marchande d’une maison a augmenté de 20 % ; puis, entre 2000 et 2005,

la valeur marchande de cette maison a encore augmenté de 30 %. Globalement, de quel pourcentage

cette valeur a-t-elle augmenté entre 1995 et 2005 ?

2. En Février, il y a eu 20 % de plus d’accidents de la route qu’en Janvier. En Mars, il y en a eu 20 %

de moins qu’en Février. D’après vous, en Mars, y a-t-il eu autant, moins, ou plus d’accidents qu’en

Janvier ?


CHAPITRE 11

INTRODUCTION AUX FONCTIONS : DISTANCE DEFREINAGE

Quelques informations à lire attentivement avant de commencer :

La vitesse est un facteur déterminant ou aggravant d’accident de la route ; elle peut être mise en

cause dans un accident mortel sur deux. Si la vitesse ne constitue pas toujours le facteur unique

de l’accident, elle en est très souvent un facteur aggravant : une baisse de vigilance, de mauvaises

conditions météorologiques, un dépassement dangereux, un taux d’alcoolémie trop élevé. . . ont des

conséquences encore plus dangereuses lorsqu’ils sont associés avec une vitesse élevée.

La vitesse est souvent inadaptée aux lieux et aux circonstances : un véhicule peut rouler trop vite

dans une situation donnée (par exemple en cas de pluie), dans un lieu donné (à la sortie d’une école

ou dans un virage), ou encore en fonction de l’état du conducteur (sa fatigue) sans pour autant en-

freindre les limites légales. Ce qui importe, ce n’est pas seulement sa vitesse mais sa vitesse par rap-

port aux autres.

Un cyclomoteur est conçu pour ne pas dépasser les 45 km/h : Cette vitesse est relativement élevée

pour un engin ne pesant pas plus de 75 kg. Si le moteur est gonflé au-delà de la puissance légale, les

freins et les pneus (en particulier) ne sont plus adaptés : Le risque augmente alors considérablement.

1 Rouler plus vite : une nécessité ?

Rappel :

La vitesse moyenne v d’un objet mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée t du

parcours. Si d est en kilomètres et t en heures, alors v est en kilomètre par heure (km.h−1).

On a donc v =

d

t.

1. Je dois parcourir une distance de 9 km en scooter.

a) Si je roule en moyenne à 40 km.h−1. Combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir

ces 9 km ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Si je roule en moyenne à 45 km.h−1. Combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir

ces 9 km ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Quel est le gain de temps réalisé en augmentant ma vitesse de 5 km.h−1 ? Que vous inspire ce

résultat ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Je dois parcourir une distance de 70 km en voiture, sur autoroute.

a) Si je roule en moyenne à 130 km.h−1, combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir

ces 70 km ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Si je roule en moyenne à 140 km.h−1, combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcou-

rir ces 70 km ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Quel est le gain de temps réalisé en augmentant ma vitesse de 5 km.h−1 ? Que vous inspire ce

résultat ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Classe Page 1/4

2 Distance de freinage

Définition :

Tout objet en mouvement cumule de l’énergie appelée énergie cinétique ; lorsque la vitesse aug-

mente, l’énergie cinétique augmente également. . .

Pour arrêter un objet en mouvement, il faut que son énergie cinétique devienne nulle : c’est le frei-

nage, qui prend du temps et nécessite une certaine distance, la distance de freinage.

1. Soit v la vitesse d’un véhicule en km.h−1 ; la distance de freinage dF en mètres de ce véhicule est

donnée par la relation dF =

v 2

254× f( f est un coefficient qui dépend de l’état de la route).

a) Dans des conditions "normales", lorsque la route est sèche, le coefficient f est égal à 0,8. Calculer

pour chacune des vitesses v du tableau ci-dessous la distance de freinage dF .

v (en km.h−1) 0 10 20 30 40 50 60

dF (en m)

b) Lorsque la route est mouillée, en cas de pluie, le coefficient f est égal à 0,4. Calculer pour chacune

des vitesses v du tableau ci-dessous la distance de freinage dF .

v (en km.h−1) 0 10 20 30 40 50 60

dF (en m)

2. Je roule en scooter, en ville, à une vitesse de 40 km.h−1.

a) A l’aide des tableaux, donner la distance de freinage du scooter sur route sèche, puis sur route

mouillée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Sur la route, un enfant surgit brusquement ; au moment où je commence à freiner, l’enfant est à 9

m de moi.

– Y a-t-il un risque de collision ? Comment doit-on adapter sa vitesse ? Expliquer la réponse. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Déterminer par le calcul la vitesse maximale à laquelle j’aurais dû rouler sur la route mouillée

pour éviter l’accident. On donnera d’abord une valeur approchée à l’unité en km.h−1.. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la distance de freinage dF en fonction

de la vitesse v , sur route mouillée (on utilisera les données du tableau de la question 2.b.).

O10 20 30 40 50 60

55

10

15

20

25

30

35

5

v en km.h−1

dF en m

Classe Page 2/4

4. En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

– Quelle est la distance de freinage lorsqu’on roule à 45 km.h−1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– A quelle vitesse correspond une distance de freinage de 9 m ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(faire le lien avec la question 3)

5. En utilisant les informations acquises lors de cette partie, commenter le tableau ci-dessous :

Vitesses maximales en km.h−1

En agglo Hors agglo Voie express Autoroute

Route sèche 50 90 110 130

Route mouillée 50 80 100 110

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Distance d’arrêt

La distance de freinage n’obéit pas à une simple loi physique : le conducteur a aussi besoin d’un temps

de réaction pour identifier la situation, prendre une décision adéquate (décider de freiner) et répondre

efficacement (freiner). On estime que dans des conditions psychologiques et physiologiques normales,

ce temps de réaction oscille entre 0,6 seconde et 2 secondes.

1. Entre le moment où le conducteur identifie la situation et commence effectivement à freiner, il a

donc parcouru une certaine distance, appelée "distance de réaction".

a) Je roule en voiture sur une route nationale à 90 km.h−1. En considérant que mon temps de réaction

est d’une seconde, calculer la distance de réaction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Je roule maintenant sur une autoroute, à 126 km.h−1. Je suis fatigué, mon attention est moins

soutenue, mon temps de réaction s’allonge d’une demi-seconde. Calculer la distance de réaction :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition :

Finalement, entre le moment où le conducteur identifie la situation et s’arrête effectivement, il a

donc parcouru une certaine distance, appelée distance d’arrêt : La distance d’arrêt est la somme de

la distance de réaction et de la distance de freinage. En notant dA la distance d’arrêt et dR la distance

de réaction, on a donc : dA = dR +dF .

Dans la suite, on suppose que le temps de réaction du conducteur est égal à 1 seconde.

2. Compléter le tableau ci-dessous, donnant les distances de réaction, de freinage et d’arrêt d’un indi-

vidu roulant sur route sèche ( f = 0,8), en fonction de sa vitesse :

v (en km.h−1) 0 20 40 60 80 100 120 140

dR (en m)

dF (en m)

dA (en m)

3. a) Exprimer en fonction de la vitesse v (en km.h−1) d’un véhicule, sa distance d’arrêt d1 (en m) sur

route sèche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Exprimer en fonction de la vitesse v (en km.h−1) d’un véhicule, sa distance d’arrêt d2 (en m) sur

route mouillée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe Page 3/4

c) Dans le repère ci-dessous, tracer les représentations graphiques de d1 (en bleu) et d2 (en rouge)

en fonction de la vitesse v , pour v compris entre 0 et 140 km.h−1.

O10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

50

100

150

200

250

v en km.h−1

d en m

d) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de la distance d’arrêt sur route sèche, puis

sur route mouillée, d’un véhicule dont la vitesse est de 95 km.h−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de la vitesse sur route sèche, puis sur route

mouillée d’un véhicule dont la distance d’arrêt est de 120m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Compléter ce tableau récapitulatif :

Sur route sèche

Vitesse (en km.h−1) 50 90 110 130

Distance d’arrêt (en m)

Sur route mouillée

Vitesse (en km.h−1) 50 90 110 130

Distance d’arrêt (en m)

Classe Page 4/4

CHAPITRE 12

COURS : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS



Système de deuxéquations à deuxinconnues.

Résoudre algébriquement un sys-

tème de deux équations du premier

degré à deux inconnues admettant

une solution et une seule ; en don-

ner une interprétation graphique.

Pour l’interprétation graphique, on

utilisera la représentation des fonc-

tions affines.

Résolution de pro-blèmes du premierdegré ou s’y rame-nant.

Mettre en équation et résoudre un

problème conduisant à une équa-

tion, une inéquation ou un système

de deux équations du premier de-

gré.

Les problèmes sont issus des dif-

férentes parties du programme.

comme en classe de 4e, on dégagera

à chaque fois les différentes étapes

du travail : mise en équation, résolu-

tion de l’équation et interprétation

du résultat.

1 Equation à deux inconnues, système

Définition :

Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s’écrire sous la forme

ux +v y = w , où u, v et w sont trois nombres réels.

Un couple (x0; y0) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l’on rem-

place x par x0 et y par y0, l’égalité est vérifiée.

Par exemple, on considère l’équation 2x −4y = 4.

Ï le couple (5;2)ä est

❒✓, n’est pasun couple solution de cette équation, car 2×5−4×2= 2 6= 4

Ï le couple (4;1)❒✓ est

ä n’est pasun couple solution de cette équation, car 2×4−4×1= 4

Interprétation graphique des couples solutions :

En fait, si les nombres u et v sont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solu-tions, qui sont les coordonnées des points de la droite (d) d’équation y = ax +b, où a =−

uv

et b =wv

.

Dans notre exemple,

l’ensemble des couples solutions de l’équation 2x−4y = 4

est donc constitué des coordonnées des points de la

droite (d) d’équation y = 0,5x −1.

Nous pouvons lire quelques couples solutions de l’équa-

tion 2x−4y = 4, comme (4;1) et (−2;−2), ou encore (0;−1)

(voir ci-contre), mais on conçoit qu’il existe une infinité

de tels couples (un pour chaque point de la droite (d)).

O1

1

x

y

(d)

(4; 1)

(−2;−2)

(0;−1)

3ème Page 1/3 Cours systèmes

Définition :

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire

sous la forme

{

ux + v y = w

u′x + v ′y = w ′ où u, v , w , u′, v ′ et w ′ sont des nombres réels.

Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples qui sont solutions des

deux équations à la fois.

Par exemple,

{

2x − 4y = 4

x − 3y = 6est un système a deux équations à deux inconnues.

Ï le couple (4;1)ä, est

❒✓ n’est pasun couple solution de ce système, car

{

2×4− 4×1 = 4

4− 3×1 = 1 6= 6

Ï le couple (−6;−4)❒✓, est

ä n’est pasun couple solution de ce système, car

{

2× (−6) − 4× (−4) = 4

−6 − 3× (−4) = 6

2 Méthodes de résolution d’un système

Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deux manières différentes :

{

2x − 4y = 4

x − 3y = 6

Première méthode : substitution

Etape 1 : On exprime, grâce à l’une des deux équations, une inconnue en

fonction de l’autre. Ici il est facile d’exprimer x en fonction de y grâce à la

seconde équation :

{

2x − 4y = 4

x = 3y +6

Etape 2 : On substitue x par 3y +6 dans la première équation :

{

2(3y +6)− 4y = 4

x = 3y +6

Etape 3 : On développe, on réduit et on résout l’équation d’inconnue y

ainsi obtenue :

{

6y +12− 4y = 4

x = 3y +6

{

2y + 12= 4

x = 3y +6

{

2y =−8

x = 3y +6

{

y =−4

x = 3y +6

Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la seconde équation pour trou-

ver x

{

y =−4

x = 3(−4)+6

{

y =−4

x =−6

Etape 5 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y conviennent :

{

2× (−6)− 4× (−4)= 4

(−6)− 3× (−4)= 6

Etape 6 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).


Deuxième méthode : élimination par combinaison

Etape 1 : On multiplie une des équations (ou les deux) par

un (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficients

d’une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la se-

conde équation par −2 :

{

2x − 4y = 4

−2x + 6y =−12

Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membre

pour éliminer l’une des inconnues, et on remplace l’une des

équations (par exemple, ici, la seconde) par l’équation ainsi ob-

tenue :

{

2x −4y = 4

(2x −4y) + (−2x +6y) = 4+ (−12)

{

2y − 4y = 4

2y =−8

Etape 3 : On résout l’équation d’inconnue y ainsi obtenue :

{

2x − 4y = 4

y =−4

Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la première équa-

tion pour trouver x

{

2x − 4× (−4) = 4

y =−4

Etape 5 : On résout l’équation d’inconnue x ainsi obtenue :

{

2x = 4−16

y =−4

{

2x =−12

y =−4

{

x =−6

y =−4

Etape 6 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y

conviennent :

{

2× (−6) − 4× (−4) = 4

(−6) − 3× (−4) = 6

Etape 7 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).

Interprétation graphique

Ï On commence par transformer les deux équa-

tions du système, de façon à les mettre sous la

forme d’une équation de droite du type (y = ax+b).{

2x − 4y = 4

x − 3y = 6

{

−4y =−2x +4

−3y =−x +6

{

y = 0,5x −1

y =13

x −2

Ï Dans un repère, on trace les deux droites corres-

pondant à ces deux équations.

Soit (d) la droite d’équation y = 0,5x −1,

et (d ′) la droite d’équation y =13

x −2

les couples solutions de ce système sont les coor-

données des points communs aux deux droites,

s’il y en a.

O1

1

x

y

(d)

(d′)

x = −6

y = −4


CHAPITRE 12

FICHE D’EXERCICES : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

EXERCICE 1Dans chaque cas, donner trois couples solutions de l’équation donnée :

1. 2x −3y = 4 2. x −5y =−3 3. −3x +7y = 1 4.x

2−

y

6= 1

EXERCICE 2

1. Résoudre les trois systèmes suivants en utilisant la méthode de substitution :

a)

{

3x + 5y = 4

2x + y = 5b)

{

x − 2y = 3

−4x + 3y = 3c)

{

3x − y =−3

5x + 4y = 12

2. Résoudre les trois systèmes suivants en utilisant la méthode d’élimination par combinaison :

a)

{

3x − 5y = 3

7x + 5y = 17b)

{

7x − 4y = 1

−5x + 2y =−1c)

{

4x − 3y = 0

6x + 7y = 4

3. Résoudre les quatre systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix :

a)

{

2x − y =−8

−x + 4y = 1b)

{

7x + y = 3

−11x − 3y = 15c)

{

5x − 7y = 10

−6x + 8y = 5 d)

{

x5−

y

2= 1

−2x +y

4= 11

EXERCICE 3Dans chaque cas :

1. résoudre le système par la méthode de votre choix

2. confirmer votre réponse par le graphique, en traçant dans un repère les deux droites correspondant

aux équations du système, et en lisant les coordonnées de leur point d’intersection.{

2x + y = 1

−2x + 4y =−6

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

{

x + 3y = 3

3x + 2y =−5

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

EXERCICE 4 DNB Madagascar 2003Trouver deux nombres, connaissant leur somme 2 003 et leur différence 51.

EXERCICE 5 DNB Groupe Nord 2006

1. Résoudre le système suivant :

{

8x + 3y = 39,5

7x + 9y = 50,5


2. Une balade d’une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.

Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 ¤. Le second, composé de 7

adultes et de 9 enfants, paie 50,50 ¤.

Quel est donc le prix d’un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?

EXERCICE 6 DNB Groupe Sud 2006

1. Résoudre le système

{

6x + 5y = 57

3x + 7y = 55,5

2. Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes.

Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 ¤ ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 ¤. Quel

est le prix d’une boîte ? Quel est le prix d’un album ?

EXERCICE 7 DNB Amérique du Nord 2005

1. Résoudre le système :

{

10x − 3y = 35

5x − 4y =−20

2. Montrer que les valeurs trouvées pour x et y vérifient la condition 8

(

x −5

y −5

)

= 3

(

x +20

y +20

)

EXERCICE 8 DNB Groupe Est Septembre 2004Au rugby, un essai transformé permet d’augmenter le score de l’équipe de 7 points, un essai non trans-

formé augmente le score de 5 points et une pénalité augmente le score de 3 points.

Si, par exemple, au cours d’un match, l’équipe de France marque 4 essais transformés, 2 essais non

transformés et 3 pénalités, le nombre de points marqués par la France est : 4×7+2×5+3×3 = 47.

1. Résoudre le système suivant :

{

x + y = 7

7x + 5y = 39

2. Lors d’une autre rencontre, l’équipe de France a marqué 7 essais (certains transformés et d’autres

non) et 2 pénalités pour un total de 45 points.

Déterminer le nombre d’essais transformés et le nombre d’essais non transformés marqués par l’équipe

de France au cours de ce match.

EXERCICE 9Dans chaque cas :

1. tenter de résoudre le système par la méthode de votre choix

2. éclairer votre réponse par le graphique, en traçant dans un repère les deux droites correspondant aux

équations du système.{

2x + y = 1

−4x − 2y = 6

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

−1

−2

−3

−4

{

x + 3y = 3

5x + 15y = 15

O1

1

x

y

−1−2−3−4−5 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

−1

−2

−3

−4


CHAPITRE 13

COURS : ROTATION - ANGLES



Rotation, angles, po-lygones réguliersImages de figures par

une rotation

Construire l’image par

une rotation donnée d’un

point, d’un cercle, d’une

droite, d’un segment et

d’une demi-droite.

Les activités porteront d’abord sur un travail expé-

rimental permettant d’obtenir un inventaire abon-

dant de figures à partir desquelles seront déga-

gées des propriétés d’une rotation (conservation

des longueurs, des alignements, des angles, des

aires). Ces propriétés pourront être utilisées dans

la résolution d’exercices simples de construction.

Dans des pavages on rencontrera des figures inva-

riantes par rotation.

Les configurations rencontrées permettent d’utili-

ser les connaissances sur les cercles, les tangentes,

le calcul trigonométrique...

Polygones réguliers Construire un triangle

équilatéral, un carré,

un hexagone régulier

connaissant son centre et

un sommet.

Les activités sur les polygones réguliers, notam-

ment leur tracé à partir d’un côté, porteront

sur le triangle équilatéral, le carré, l’hexagone et

éventuellement l’octogone. Certaines d’entre elles

pourront conduire à utiliser la propriété de l’angle

inscrit.

Les activités de recherche de transformations lais-

sant invariant un triangle équilatéral ou un carré

sont l’occasion de revenir sur les transformations

étudiées au collège.

Angle inscrit Comparer un angle ins-

crit et l’angle au centre

qui intercepte le même

arc.

On généralise le résultat relatif à l’angle droit,

établi en classe de quatrième. Cette comparaison

permet celle de deux angles inscrits interceptant

le même arc, mais la recherche de l’ensemble des

points du plan d’où l’on voit un segment sous

un angle donné, autre qu’un angle droit, est hors

programme.

3ème Page 1/4 Cours rotation - angles

1 Image d’une figure par une rotation

Définition :

O désigne un point du plan, M un point différent de O et α la mesure d’un angle en degrés.

L’image M1 du point M par la rotation de centre O et de rayon α (dans un sens précisé) est tel que : OM

1 �OM ; àMOM 1 �α en tenant compte du sens de la rotation ;

Remarque : Il existe deux sens de rotation :

– le sens inverse des aiguilles d’une montre , encore appelé sens direct ou positif :ö ;

– le sens des aiguilles d’une montre, encore appelé sens indirect ou négatif :÷Constructions :

Rotation de sens directöcentre O, angle 140�

O

M

M ′

140◦x

Rotation de sens indirect÷centre O, angle 65�

O

M

M ′

65◦x

Pour construire le point M1 image de M par une rotation de centre O et d’angleα, on trace la demi-droiterOMq, puis on trace la demi-droite rOxq avec le rapporteur (attention au sens de la rotation ! !) puis, avec

le compas pointé en O, on prend l’écartement OM que l’on reporte sur rOxq. Le point d’intersection est

le point M1, image du point M .

Cas particuliers :

– Une rotation de centre O et d’angle 180° est une

symétrie (centrale) de centre O.

O

M ′

M

180◦x

– Une rotation de centre O et d’angle 90° s’appelle

un quart de tour.

O

M ′

Mx


Propriétés de conservation :

Soient A, B , C , I quatre points et A1, B

1, C1, I

1 leurs images respectives par une rotation. La rotation conserve les distances : A1B

1 � AB . La rotation conserve les aires. La rotation conserve les angles : �ABC � àA1B 1C 1. La rotation conserve l’alignement : si A, B , C sont alignés alors A1, B

1, C1 le sont aussi. La rotation conserve les milieux : si I est le milieu du segment rABs alors I

1 est le milieu du segmentrA1B

1s. La rotation transforme un segment en un segment, une droite en une droite, une demi-droite en

une demi-droite. La rotation transforme un cercle en un cercle de même rayon.

Exemple :La figure F

1 est l’image de F par la rotation de centre O, d’angle 110°, de sens direct. F1 et F sont

superposables. Par cette rotation, A1, B

1, C1 sont les images respectives de A, B et C .

O

AB

C

I

J

A′

B′

C ′

I ′

J ′ 110◦F

F′

L’image du segment rABs est le segment rA1B

1s et on a A1B

1 = AB . L’image du cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I1 et de même rayon. L’image de la droite (BC ) est la droite (B

1C

1). Les images des deux droites parallèles (I K ) et (C B) sont deux droites parallèles : (I1K

1) et (C 1B

1). Les images des deux droites perpendiculaires (I K ) et (C A) sont deux droites perpendiculaires : (I1K

1)et (C 1

A1).

2 Polygones réguliers

Définition :

Un polygone régulier est un polygone dont tous les sommets sont sur un même cercle et dont tous

les côtés ont la même longueur.

Exemples :


Le triangle équilatéral

O

360

43= 120◦

Le carré

O

360

4= 90◦

L’hexagone régulier

O

360

6= 60◦

L’octogone régulier

O

360

8= 45◦

Propriété :

Tous les angles au centre d’un polygone régulier sont égaux.

Si n est le nombre de côtés de ce polygone régulier alors l’angle au centre est égal à360

n.

3 Le théorème de l’angle inscrit

Vocabulaire :

Soit C un cercle de centre O.

– On dit qu’un angle �AMB est inscrit dans le cercle C lorsque son

sommet M appartient au cercle C et lorsque rM As et rMBs sont

des cordes du cercle C .

– On dit que l’angle �AMB intercepte l’arc �AB .

– L’angle �AOB est l’angle au centre associé à l’angle inscrit �AMB :

ces deux angles interceptent le même arc �AB .

M

N

A

B

O

Théorème (dit de l’angle inscrit) :

Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre

associé : �AMB � 12

�AOB .

En conséquence, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deux angles sont égaux :�AMB ��ANB


CHAPITRE 13

EXERCICES : THÉORÈME DE L’ANGLE INSCRIT

EXERCICE 1 DNB Groupe Nord 2004

1. Tracer sur la copie un segment [E F ] de longueur 7 cm et de milieu O.

Tracer le cercle de diamètre [E F ] puis placer un point G sur le cercle tel que �F EG = 26°.

2. Démontrer que le triangle E FG est rectangle en G .

3. Calculer une valeur approchée de la longueur FG , arrondie au millimètre.

4. Déterminer la mesure de l’angle �GOF (justifier votre réponse).

EXERCICE 2 DNB Groupe Est 2005

Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle :

50◦

40◦

A

C

B

E

EXERCICE 3 DNB Antilles - Guyane 2006

On considère un cercle C de diamètre H A = 9 cm. M est un

point du cercle C tel que M H = 5,3 cm et T un autre point du

cercle C . (la figure est à l’échelle 2/3).

1. Justifie que le triangle M AH est un triangle rectangle.

2. Calcule la mesure de l’angle �H AM , arrondi au degré près.

3. Calcule la mesure de l’angle �HT M , arrondi au degré près.

H

AM

T

EXERCICE 4Soit C un cercle de centre O, dont [BC ] est un diamètre.

Une corde [AD] coupe le segment [BC ] en I . On a �B AD = 25◦ et �AC B = 50◦.

1. Fais une figure.

2. Détermine les mesures des angles suivants :

�C AB = . . . . . . . . . . . .

�ABC = . . . . . . . . . . . .

�AI B = . . . . . . . . . . . .

�AOB = . . . . . . . . . . . .

�ADB = . . . . . . . . . . . .

�C AD = . . . . . . . . . . . .

�C BD = . . . . . . . . . . . .

�COD = . . . . . . . . . . . .


CHAPITRE 13

FICHE D’EXERCICES : IMAGE D’UN POINT PAR UNEROTATION

EXERCICE 1

À l’aide du quadrillage ci-contre, construis :

– l’image A′ de A par la rotation de centre B , d’angle

90°, dans le sens direct.

– l’image C′ de C par la rotation de centre D,

d’angle 90°, dans le sens indirect.

– l’image F′ de F par la rotation de centre E , d’angle


– l’image G′ de G par la rotation de centre H ,


A B

C D

E

F

G

H

EXERCICE 2

A

B

CD

EF

GH

À l’aide du quadrillage ci-contre, entièrementconstitué de triangles équilatéraux, construis :






60°, dans le sens indirect.


d’angle 120°, dans le sens direct.

EXERCICE 3

À l’aide d’un compas, d’un rapporteur et d’une règlegraduée, construis :




d’angle 110°, dans le sens direct.


30°, dans le sens indirect.


d’angle 140°, dans le sens indirect. A

B

CD

E

F

G

H


CHAPITRE 13

FICHE D’EXERCICES : IMAGE D’UNE FIGURE PAR UNE ROTATION OU PAR

UNE AUTRE TRANSFORMATION DU PL AN

EXERCICE 1

Dans les cadres ci-dessous :

1. trace l’image du segment [AB ] par

– la rotation de centre A d’angle 90°(sens indirect) ;

– la rotation de centre O d’angle 120°(sens direct).

2. trace l’image de la demi-droite [Ax) par

– la rotation de centre A d’angle 30°(sens direct) ;

– la rotation de centre O d’angle 145°(sens indirect).

3. trace l’image de la droite (d ) par



4. trace l’image du cercle C par



5. trace l’image du triangle ABC par

– la rotation de centre A d’angle 150°(sens indirect) ;

– la rotation de centre O d’angle 90°(sens direct).

6. trace l’image du carré ABC D par



A

B

O

A

O

x

A

O

(d)

A

O

C

A

B

C

OA

B

C

D

O


EXERCICE 2

Sur les quadrillages ci-dessous, construis l’image F1 de la figure F par la symétrie axiale d’axe (E F ) ;l’image F2 de la figure F par la symétrie centrale de centre P ; l’image F3 de la figure F par la translationde vecteur

# �AB et l’image F4 de la figure F par la rotation de centre O, d’angle 90° dans le sens positif.

E F

PA

B

O

E

F

PA

B

O

EXERCICE 3 DNB Amérique du Nord 2005, à peine modifié. . .La figure grise est obtenue après avoir appliqué une transformation du plan à la figure blanche. Danschaque cas :

– Préciser le type de transformation (symétrie axiale centrale, translation, rotation).

– Faire apparaître et préciser le(s) élément(s) caractéristique(s) de cette transformation (axe, centre,vecteur, angle, sens de rotation).

Transformation : Transformation : Transformation :

Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques :

Transformation : Transformation : Transformation :

Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques : Éléments caractéristiques :


CHAPITRE 13

FICHE D’EXERCICES : POLYGONES RÉGULIERS

EXERCICE 1On considère ABC DE F un hexagone régulier de centre O.

OA

BC

D

E F

1. Identifions quelques rotations :

a) Détermine l’angle et le sens de la rotation de centre O qui transforme D en B .

b) Détermine l’angle et le sens de la rotation de centre B qui transforme O en A.

c) Détermine le centre, l’angle et le sens de la rotation qui transforme B en D et C en E .

d) Détermine le centre, l’angle et le sens de la rotation qui transforme A en D et F en C .

2. Extrait du DNB, Groupe Ouest, 2006 :

a) Quel est le symétrique du triangle OC D par rapport au point O ?

b) Quel est le symétrique du triangle E FO par rapport à la droite (EO) ?

c) Quelle est l’image du triangle OC D par la rotation de centre O, d’angle 60° dans le sens des ai-

guilles d’une montre ?

EXERCICE 2 DNB Groupe Est 2003

Sur la figure ci-après sont représentés 8

hexagones réguliers.

1. Construire le point M tel que# �AM =

# �AB +

# �AC .

2. Construire le point Q, symétrique de

H par rapport à la droite (BE ).

3. Construire le point P , image du point

C par la rotation de centre E et

d’angle 60° dans le sens des aiguilles

d’une montre.F

A

B

G

H

C

D

E

Classe Page 1/1 Fiche d’exercices

CHAPITRE 14

COURS : STATISTIQUES


CONTENU COMPÉTTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES

Statistique Il s’agit essentiellement, d’une partde faire acquérir aux élèves les pre-miers outils de comparaison de sé-ries statistiques, d’autre part de leshabituer à avoir une attitude de lec-teurs responsables face aux infor-mations de nature statistique.

Caractéristiques deposition d’une sériestatistique

Une série statistique étant don-née (sous forme de liste ou detableau, ou par une représenta-tion graphique), proposer une va-leur médiane de cette série et endonner la signification.

On repère, en utilisant effectifs oufréquences cumulées, à partir dequelle valeur du caractère on peutêtre assuré que la moitié de l’effec-tif est englobée. Les exemples ne de-vront soulever aucune difficulté ausujet de la détermination de la va-leur de la médiane.

Approche de caracté-ristiques de dispersiond’une série statistique

Une série statistique étant donnée,déterminer son étendue ou celled’une partie donnée de cette série.

L’étude de séries statistiques ayantmême moyenne permettra l’ap-proche de la notion de dispersionavant toute introduction d’indicede dispersion. On introduira l’éten-due de la série ou de la partiede la partie de la série obtenueaprès élimination des valeurs ex-trêmes. On pourra ainsi aborderla comparaison de deux séries encalculant quelques caractéristiquesde position et de dispersion, ou eninterprétant des représentationsgraphiques données.

Initiation à l’utili-sation de tableurs-grapheurs en statis-tique

Les tableurs que l’on peut utilisersur tous les types d’ordinateurs per-mettent, notamment en liaison avecl’enseignement de la technologie,d’appliquer de manière rapide à desdonnées statistiques les traitementsétudiés.

3ème Page 1/7 Cours Stats

1 Définitions et vocabulaire des statistiques

Faire une étude statistique, c’est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données,numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat. . .Les plus gros "consommateurs" de statistiques sont les assureurs (risques d’accidents, de maladie desassurés), les médecins (épidémiologie), les démographes (qui étudient les populations et leur dyna-mique) et sociologues (qui étudient les phénomènes sociaux humains), les économistes (emploi, conjonc-ture économique), les météorologues . . .

La population est l’ensemble des individus sur lesquels portent l’étude statistique. Le caractère (ouvariable statistique) d’une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu.

Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (ou modalités) numériques, on dit qu’il est quantitatif.Sinon, on dit qu’il est qualitatif : les valeurs de la série ne sont pas des nombres.

Effectifs, effectifs cumulés, fréquences :Ï A chaque valeur (ou classe) est associée un effectif n : c’est le nombre d’individus associés à cettevaleur.Ï De même à chaque valeur (ou classe) est associée une fréquence f : c’est la proportion d’individusassociés à cette valeur. f est un nombre compris entre 0 et 1, que l’on peut écrire sous forme de pour-centage.

Ï Si N est l’effectif total (l’effectif de la population entière) alors on a f =n

N(ou f =

n

N× 100 si on

l’exprime sous forme de pourcentage).

Effectifs et fréquences cumulées :Lorsque les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, on obtient l’effectif cumulé croissant d’unevaleur en additionnant son effectif à ceux qui le précèdent (on additionne à partir de la gauche dutableau).De la même manière, les fréquences cumulées croissantes s’obtiennent en divisant l’effectif cumulécroissant par l’effectif total.Pour obtenir les effectifs ou les fréquences cumulés décroissants, on additionne à partir de la droitedu tableau.

Remarque : les effectifs cumulés croissants indiquent quel est l’effectif de la série dont la valeur estinférieure à une valeur donnée.Exemple : Voici le relevé, par tranche d’âge, de la population en France métropolitaine pour l’année2002 :

Tranche d’âge 0-19 ans 20-39 ans 40-59 ans 60-74 ans + 75 ans Total

Effectifs (en milliers) 14 988 16 371 15 758 7 727 4 499 59 343

Fréquences 25,3 % 27,5 % 26,6 % 13 % 7,6 % 100 %

Effectifs cumulés croissants 14 988 31 359 47 117 54 844 59 343 59 343

Fréq. cumulées croissantes 25,3 % 52,8 % 79,4 % 92,4 % 100 % 100 %

Par exemple, on peut lire dans ce tableau que 16 371 individus ont entre 20 et 49 ans, que 31 359 indi-vidus ont 39 ans ou moins, que 26,6 % des individus ont entre 40 et 59 ans, ou encore que 79,4 % desindividus ont 59 ans ou moins.


2 Représentation graphique d’une série statistique

2.1 Diagramme en bâtons

Lorsque le caractère étudié est quantitatif et discret, on peut représenter la série statistique étudiée parun diagramme en bâtons :

la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associé à chaque valeur.

Par exemple, voici le diagramme en bâtons représentant la série des notes obtenues par une classe à uncontrôle :

Notes 2 4 6 7 8 9 10 11 12 14 17 Total

Effectif 1 2 1 2 2 3 4 6 2 1 1 25

Fréquence % 4 8 4 8 8 12 16 24 8 4 4 100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

1

2

3

4

5

6

Notes

Effectif

2.2 Histogramme

Lorsque le caractère étudié est quantitatif et continu, et lorsque les modalités sont regroupées enclasses, on peut représenter la série par un histogramme :

l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe

Lorsque les classes ont la même amplitude, c’est la hauteur de chaque rectangle qui est proportion-nelle à l’effectif. Par exemple, voici un histogramme représentant la répartition des salaires dans uneentreprise :

Salaires 1000 É S < 1200 1200 É S < 1400 1400 É S < 1600 1600 É S < 1800 1800 É S < 2000 Total

Effectif 36 44 64 40 16 200

Fréquence 0,18 0,22 0,32 0,2 0,08 1


1000 1200 1400 1600 1800 2000

1 salarié

2.3 Diagramme circulaire

Enfin, lorsque le caractère est qualitatif, on représente la série par un diagramme circulaire ou semi-circulaire ("camemberts") :

la mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associé.

Par exemple, voici un diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif :

Sport Tennis Football Handball Rugby Autres Total

Effectif 4 19 7 15 5 50

Fréquence % 8 38 14 30 10 100

Mesure de l’angle en degrés 28,8 136,8 50,4 108 36 360

Tennis

Football

Handball

Rugby

Autres


3 Mesures de tendance centrale : moyenne, médiane

3.1 Moyenne d’une série statistique

Ï Si la série est donnée sous la forme d’une liste

Par exemple, voici les notes obtenues à un contrôle par les 21 élèves d’une classe :8 3 14 17 5 12 11 9 10 15 8 19 4 11 6 9 9 10 10 9 14

Pour calculer la moyenne de cette série de notes, on additionne toutes les notes, et on divise par lenombre total de notes :

m =8+3+14+17+5+12+11+9+10+15+8+19+4+11+6+9+9+10+10+9+14

21=

213

21≈ 10,14

Ï Si les valeurs de la série sont regroupées dans un tableau avec effectifs associés

Par exemple, voici les notes obtenues à un autre contrôle par les 25 élèves d’une autre classe :

Notes 2 4 6 7 8 9 10 11 12 14 17 Total

Effectif 1 2 1 2 2 3 4 6 2 1 1 25

La moyenne est alors dite pondérée par les effectifs.Pour calculer cette moyenne, on commence par effectuer les produits des notes par les effectifs associés,puis on additionne tous ces produits, et on divise la somme obtenue par le nombre total de notes :

m =2+4×2+6+7×2+8×2+9×3+10×4+11×6+12×2+14+17

25=

234

25= 9,36

Ï Si les valeurs de la série sont regroupées par classes

Par exemple, voici la répartition des salaires de 200 salariés d’une entreprise :

Salaires 1000 É S < 1200 1200 É S < 1400 1400 É S < 1600 1600 É S < 1800 1800 É S < 2000 Total

Centre 1100 1300 1500 1700 1900 1

Effectif 36 44 64 40 16 200

On considère alors qu’une classe donnée sera représentée, dans le calcul, par son centre, et on utilise lecentre de la classe pour calculer la moyenne pondérée par les effectifs :

m =1100×36+1300×44+1500×64+1700×40+1900×16

200=

291200

200= 1456

On obtient une valeur approchée du salaire moyen réel.

3.2 Médiane d’une série statistique

Reprenons l’exemple des notes obtenues à un contrôle par les 25 élèves d’une classe :

Notes 2 4 6 7 8 9 10 11 12 14 17 Total

Effectif 1 2 1 2 2 3 4 6 2 1 1 25


Nous avons calculé, dans le paragraphe précédent, que la moyenne de la classe valait 9,34.D’après le tableau qui présente la série, 11 élèves ont eu une note inférieure à la moyenne du contrôle,alors que 14 élèves ont eu une note supérieure à la moyenne du contrôle.

on observe que la moyenne d’une série statistique dont les éléments sont rangés par ordre croissantne sépare pas ceux-ci - en tous cas, pas toujours - en deux parties de même effectif

Définition :La médiane M d’une série statistique est la valeur qui partage la population étudiée en deux sous-groupes de même effectif, chacun tels que :

– tous les éléments du premier groupe on des valeurs inférieures ou égales à M ;

– tous les éléments du deuxième groupe ont des valeurs supérieures ou égales à M .

Détermination de la médiane d’une série statistique

• A partir d’un tableau d’effectifs cumulés ou de fréquences cumuléesExemple :

Reprenons l’exemple des notes obtenues à un contrôle par les 25 élèves d’une classe :

Notes 2 4 6 7 8 9 10 11 12 14 17 Total

Effectif 1 2 1 2 2 3 4 6 2 1 1 25

E.C.C.∗ 1 3 4 6 8 11 15 21 23 24 25 25

∗ : Effectifs cumulés croissants

Les notes étant rangées dans l’ordre croissant, la case grisée indique que, de la 12ème à la 15ème, lesnotes sont égales à 10.Or 25= 12+1+12 donc la médiane est la 13ème note c’est-à-dire 10.

Rang : 1r e 2e . . . 11e 12e 13e 14e . . . 25e

Notes : 2 4 . . . 9 10 10 10 . . . 17︸︷︷︸

12 élèves︸︷︷︸

12 élèves

On rappelle que la moyenne de la classe à ce contrôle était de 9,34, donc la médiane et la moyennesont (en général) différentes.

• À partir d’une représentation graphiqueUne valeur approchée de la médiane peut être obtenue à l’aide de la courbe polygonale des effectifscumulés croissants (ou des fréquences cumulées) en lisant la valeur correspondant à la moitié del’effectif total (ou à une fréquence cumulée égale à 50 %) :À la question "Quelle quantité d’eau buvez-vous par jour ?", les cinquante personnes interrogées ontdonné des réponses qui ont permis de compléter le tableau suivant :

Quantité d’eau (en L) [0 ;0,5[ [0,5 ;1[ [1 ;1,5[ [1,5 ;2[ [2 ;2,5[ [2,5 ;3[

Fréquences % 24 42 18 10 4 2

F.C.C.∗ % 24 66 84 94 98 100

∗ : Fréquences cumulées croissantes

La courbe polygonale des effectifs cumulés est obtenue en joignant par des segments les points dontl’abscisse est une valeur de la série (ou l’extrémité d’une classe) et dont l’ordonnée est l’effectif cumulécorrespondant à cette valeur :


×

×

×

×× ×

0,5 0,8 1 1,5 2 2,5 3

24 %

50 %

100 %

66 %

84 %

94 %98 %

Fréquence cumulée

Quantité d’eau (en L)

La médiane M est environégale à 0,8 L ;en effet, la moitié des per-sonnes interrogées consommemoins de 0,8 L par jour (ou, cequi revient au même, la moi-tié des personnes interrogéesconsomme plus de 0,8 L parjour).

4 Mesure de dispersion

Comparons les notes obtenues à un contrôle par deux classe différentes :

Classe n°1 :Notes 2 3 6 7 8 9 10 11 13 14 15 17 Total

Effectif 1 1 1 2 2 3 3 6 2 2 1 1 25

La moyenne de cette classe à ce contrôle est égale à :

m1 =2+3+6+7×2+8×2+9×3+10×3+11×6+13×2+14×2+15+17

25=

250

25= 10

La médiane de cette classe à ce contrôle est égale à :la 13ème note (car 25= 12+1+12) , c’est-à-dire que M1 = 10

Classe n°2 :Notes 5 7 8 9 10 11 12 13 Total

Effectif 2 1 2 2 5 6 2 3 23

La moyenne de cette classe à ce contrôle est égale à :

m2 =5×2+7+8×2+9×2+10×5+11×6+12×2+13×3

23=

230

23= 10

La médiane de cette classe à ce contrôle est égale à :la 11ème note (car 23= 11+1+11), c’est-à-dire que M2 = 10

Ces deux séries ne sont pas différenciables par les mesures de tendance centrale ; pourtant, on ne peutpas dire la même chose des deux classes : elles n’ont pas le même profil !

Définition :On appelle étendue d’une série statistique la différence entre la plus grande valeur de la série et laplus petite. L’étendue est une mesure de dispersion des valeurs : plus l’étendue est grande, plus lesvaleurs sont dispersées.

Ici, l’étendue de la série de notes de la classe n°1 vaut : 17−2= 15 points.L’étendue de la série de notes de la classe n°2 vaut, elle : 13−5= 8 points.On pourrait dire que la classe n°2 a eu des résultats plus homogènes que la classe n°1.


CHAPITRE 14

FICHE D’EXERCICES TYPE DNB : STATISTIQUES

EXERCICE 1 Centres étrangers (Lyon) 2006Le tableau ci-dessous présente la série des notes obtenues par les élèves de 3e B lors du dernier devoir

en classe :

Note sur 20 5 6 8 9 11 12 13 15 18 19

Effectif 1 2 6 2 1 4 2 3 1 1

1. Quel est l’effectif de la classe de 3e B ?

2. Calculer la note moyenne de ce devoir. En donner la valeur arrondie au dixième de point.

3. Quel est le pourcentage, arrondi à l’unité, de l’effectif total représentent les élèves ayant obtenu une

note inférieure ou égale à 8 ?

4. Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note ?

EXERCICE 2 Amérique du Nord 2005Madame A et Monsieur B sont tous les deux professeurs de Mathématiques et ont tous les deux une

classe de troisième ayant 20 élèves.

Ils comparent les notes obtenues par leurs élèves au dernier devoir commun.

Notes attribuées par Madame A7 - 8 - 12 - 12 - 18 - 5 - 11 - 6 - 3 - 8 - 5 -

18 - 9 - 20 - 6 - 16 - 6 - 18 - 7 - 15

Notes attribuées par Monsieur B8 - 8 - 9 - 12 - 11 - 8 - 13 - 15 - 7 - 9 - 10 -

10 - 12 - 8 - 10 - 14 - 12 - 11 - 14 - 9

1. Construire, sur la copie et sur un même dessin, les diagrammes en bâtons représentant les deux séries

de notes. (Utiliser deux couleurs.)

2. Calculer la moyenne de chaque série.

3. Déterminer une médiane de chaque série.

4. Comparer ces deux classes.

EXERCICE 3 Centres étrangers (Bordeaux) 2006

L’histogramme ci-contre illustre une enquête faite

sur l’âge des 30 adhérents d’un club de badminton

mais le rectangle correspondant au adhérents de 16

ans a été effacé.

1. Calculer le nombre d’adhérents ayant 16 ans.

2. Quel est le pourcentage du nombre d’adhérents

ayant 15 ans ?

3. Quel est l’âge moyen des adhérents du club ?

Donner une valeur arrondie au dixième. 0

2

4

6

8

10

14 15 16 17Age

Effec

tifs

4. Compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme semi-circulaire représentant la réparti-

tion des adhérents selon leur âge.

Âge 14 ans 15ans 16 ans 17 ans Total

Nombre d’adhérents 7 6 10 30

Mesure de l’angle en degrés 180


EXERCICE 4 Groupe Sud 2005Ci-après, est présenté l’histogramme des notes d’un

contrôle notée sur 5 pour une classe de 25 élèves.

1. Reproduire et remplir le tableau de notes suivant :

Note 0 1 2 3 4 5

EffectifEffectif cumulé croissant

2. Calculer la moyenne des notes de la classe.

3. Quelle est la médiane des notes de la classe ?

4. Calculer la fréquence des notes inférieures ou égales à

3 points sur 5. 0/5 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Notes

Effectif

EXERCICE 5 Nice 2004Au cours d’une course d’athlétisme (400 m), le temps mis par chaque coureur a été chronométré.

Ces mesures (en secondes) sont reportées ci-dessous :

48,65 – 49,20 – 50 – 50,12 – 50,13 – 50,45 – 51 – 51,80 – 51,85 – 51,90 – 52,05 – 52,20 – 52,60 – 53,28 – 54,80

1. Quelle est l’étendue de cette série ?

2. Donner la moyenne arrondie au centième de cette série.

3. Donner la médiane de cette série.

4. Quel pourcentage de coureurs ont mis moins de 52,50 secondes pour 400 mètres ?

EXERCICE 6 Lyon 2004Au cours d’une enquête réalisée sur 671 élèves d’un collège, on relève la durée d (en minutes) passée

par chacun d’entre eux pour effectuer leur travail scolaire chaque jour. Les résultats ont été regroupés

en quatre classes dans le tableau ci-après.

1. Compléter ce tableau en arrondissant les fréquences à 1 %.

2. En remplaçant chaque classe par son centre, calculer la durée moyenne passée chaque jour par unélève pour effectuer son travail scolaire. On donnera cette durée arrondie à la minute.

Durée du travail d Centre de classe Effectif Fréquence %

0 É d < 30 15 106 16

30 É d < 60

60 É d < 90 235

90 É d < 120 144

Total 671 100

EXERCICE 7 Aix 2004Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l’enquêtesont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leurâge (en années) :

âge [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[

Centre de classe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Effectifs 27 45 48 39 42 36 33 24 6

Eff. cumulés croissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Compléter le tableau en indiquant le centre de chaque classe d’âge et les effectifs cumulés croissants.

2. Calculer l’âge moyen des skieurs fréquentant cette station.

3. Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans ?

4. (Ajout personnel) Construire le polygone des effectifs cumulés croissants afin de déterminer gra-

phiquement une valeur approchée de l’âge médian des skieurs fréquentant la station (unités gra-

phiques : 1 cm pour 5 ans en abscisse, 1 cm pour 20 skieurs en ordonnée).


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