Travaux Diriges +Corriges de Microéconomie semestre 2

14/05/2015

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FILIERE:

Sciences Economiques et de Gestion

TRAVAUX DIRIGES (+ Corrigés):

1 Abdelhakim QACHAR - Analyse Microéconomique - 2 Abdelhakim QACHAR - Analyse Microéconomique -

TD II

EXERCICE.4

LE COMPORTEMENT DU PRODUCTEUR EN CPP :

Soit la fonction de production: Q = K L² avec PL = 50 ; PK = 20

L’équation donc d’isocoût: CT = 50 L + 20 K

Si on considère la quantité produite est Q = 10000

1. En utilisant l’équation du TMST, déterminez les quantité des

facteurs L et K qui nous permettrons d’atteindre l’équilibre.

2. a) Calculez l’équation de l’isocoût et de l’isoquant.

b) Quelles sont les quantités L et K qui minimisent le coût de

production. (conditions 1er ordre)

3 Abdelhakim QACHAR - Analyse Microéconomique -

TD II

EXERCICE.4 ( élément de réponse )


1. A l’équilibre: TMST = PmL / Pm K = PL / PK

PmL = 2KL et Pm K = L²

TMST = 2KL / L² = 2K / L = PL / PK = 50/20=5/2

K=1,25L

Q= 10000= K L²= 1,25L 3

L 3 = 10000/1,25=8000 donc: L=20 et K= 25

Résultats:

Q= KL²= 10000

CT= 50L + 20K = 1500


TD II



2.

a. CT = 50 L + 20 K donc CT=1500

1500= 50 L + 20 K donc K= 75 – 5/2 L

K = - 2,5 L + 75 Equation d’isocoût

Q= 10000 = K L²

K= 10000/ L² Equation d’isoquant


TD II

EXERCICE.1


b) Minimiser le coût sous la contrainte de la P°

s/c: Q = KL² == Q – KL² = 0

Principe de la méthode de LAGRANGE

L(L, K, λ) = CT+ λ (Q – KL²))

avec:

L’(L) = 0

L’(K) = 0

L’(λ) = 0


TD II



L(L, K, λ) = CT+ λ (Q – KL²)

L(L, K, λ) = PL.L + PK.K + λ (10000 - KL²)

L(L, K, λ) = 50 L + 20 K + 10000λ - λ KL²

L’(L) = 0 == 50 – 2KLλ = 0 == 50 = 2KLλ

L’(K) = 0 == 20 – L² λ = 0 == 20 = L² λ

L’(λ) = 0 == 10000 – KL² = 0 == 10000 = KL²

2KL λ /L² λ = 50/ 20 == 2K/L=5/2 == K=1,25L

10000 = KL² == 10000 = 1,25 L 3 == L=20 ; K=25

CT = 50 L + 20 K = 1500

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TD III

Exercice. 1


Dans le tableau suivant, remplir les différentes colonnes (coût fixe, coût variable, Coût Fixe Moyen, Coût variable Moyen et Coût marginal)

Supposons que le coût total moyen de long terme d’une entreprise soit donné par : CM = 100 + (150-Q)². Y a-t-il des économies ou des déséconomies d’échelle lorsque Q < 150 ?


TD III

Exercice. 1( éléments de réponse)


I -


TD III

Exercice. 1( éléments de réponse)


II -


TD III

Exercice. 2


Une entreprise est en situation de concurrence pure et parfaite sur le marché d’un produit donné dont le prix est fixé à P =163. En courte période, le coût total de production varie en fonction de la quantité produite selon la relation : CT = Q3 – 8Q2 + 64Q + 144. 1. Calculer et représenter sur un graphique le CM, Cm, CVM de

l’entreprise considérée. 2. Analyser le comportement de l’entrepreneur rationnel qui, en

courte période, cherche à réaliser le maximum de profit. Calculer le montant du profit réalisé.

3. Vérifier graphiquement et par calcul que le profit total réalisé est maximal.


TD III

Exercice. 2 ( éléments de réponse)


1-


TD III



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3


TD III LE COMPORTEMENT DU PRODUCTEUR EN CPP :





2-






Exercice. 2 ( éléments de réponse) 3-







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Rappel:

Dans une équation de second degré du genre ax² + bx + c =0, quand les

coefficients a, b et c sont des nombres entiers et b est pair. Si on définit b'

comme l'entier vérifiant l'égalité b = 2.b' , on simplifie les calculs :

Définition du discriminant réduit — Le discriminant réduit est la valeur Δ' définie

par :

Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines x 1 et x2 s'expriment, à l'aide

du discriminant réduit par les égalités :



Exercice. 2 ( éléments de réponse) Dans notre exercice, les deux racines de l’équation

- 3Q² +16 Q + 99= 0 sont :


TD III

Exercice. 3


Considérons les fonctions de production et d’isocoût suivantes :

Q = 4 L² K ½ et CT = 60 L + 20 K = 400

Calculer : 1. A partir du TMST, la combinaison optimale qui maximise la

production. 2. Le prix de revient unitaire. 3. Les productions obtenues lorsqu’on double les quantités des facteurs

L et K. que signifie le résultat obtenu ? 4. Le profit total réalisé par l’entreprise si le prix du marché du bien

produit est P = 15.


TD III



1. La combinaison optimale:

A l’équilibre, nous avons: TMST = PmL / Pm K = PL / PK

PmL = 4K et Pm K = L

TMST = 4K / L = PL / PK = 60/20 = 3 == K = 3 / 4 L

Remplaçons K par sa valeur dans la fonction de coût:

400 = 60L + 3/4 (20) L == L = 5 , 33 == K = 4


TD III



2. Le prix de revient unitaire:

Q = 4 (5 , 33)² . (4) ½ == Q = 227,27

CT / Q = 400 / 227,27 == CT / Q = 1,76

3. La production obtenue lorsqu’on double les facteurs de P°:

Q = 4 (2 . 5 , 33)² . (2 . 4) ½ == Q = 1281,8

Les rendements sont croissants, en effet:

F(2L, 2K) = 4 (2 L) ² . (2 K) ½ = 4 (2² . L²) . (2 ½ . K ½)

F(2L, 2K) = 2 2,5 ( 4 L² . K½ )

(Le degré d’homogénéité : k = 2,5)


TD III



4. Profit total si P = 15:

π = RT – CT

= P . Q – CT

= ( 15 . 227, 27 ) – 400

π = 3009,05

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TD III

Exercice. 4


On suppose une entreprise avec une fonction de production :

Q = L1/4 K 3/4

Les prix des inputs PL = 2 PK = 4. ;

Ses coûts fixes sont d’autre part CF = 4. 1. Quelle est le coût minimum pour produire 16 unités d’output? 2. Quelle est l’équation du sentier d’expansion et quelle est sa

signification?

1. Minimiser : PL . L + PK . K + CF = 2L + 4K + 4 s/c : Q = 16 = L1/4 K 3/4

Posons le lagrangien: L(L, K, λ) = 2L + 4K + 4 + λ (16 - L1/4 K 3/4 )

Dérivons:

1) L’(L) = 0 == 2 + λ (-1/4 L - 3/4 K 3/4 ) = 0 ==

2) L’(K) = 0 == 4 + λ (- 3/4 L 1/4 K - 1/4 ) = 0 ==

3) L’(λ) = 0 == 16 - L1/4 K 3/4 = 0 == 16 = L1/4 K 3/4

Remplaçons L par sa valeur dans 3):

16 - (2/3 K) 1/4 K 3/4 = 0 == (2/3 K) K 3/4 = 16 == K = 24

16 - L 1/4 (24) 3/4 = 0 == L = 4,7

Donc, le coût minimum pour produire 16 unités d’output est donc:

9,4 + 96 + 4 = 109,4


EXERCICE.4 (éléments de réponse)

Contrôle CORRIGE

21

K L3/4

K L1/4

1/4 -1/4

3/4 3/4-

K 3 /2L

2.

- L’équation du sentier d’expansion est de la forme: K = a . L

dans notre exemple, l’équation est donc: K = 3/2 L

- Ce rapport signifie que l’entrepreneur pourra augmenter sa production en

réalisant des combinaisons de plus en plus grandes des facteurs L et K mais

avec une quantité d’input de K supérieur à la quantité d’input L.



Contrôle CORRIGE


TD III

Exercice. 5


On dispose pour une entreprise des informations suivantes :

Q = 2L K + 2 et CT = 3 L + 4 K

1. Déterminer le coût minimum pour produire Q = 98. (condition de 2nd ordre)

2- L’entreprise dispose d’un revenu permettant de couvrir un CT = 60:

Quelles seront dans ce cas les quantités des facteurs utilisées pour maximiser la production. (condition de 2nd ordre)

Quelle sera la valeur correspondante de la production dans ce cas?

3. Comment sont les rendements d’échelle de l’entreprise à travers les résultats obtenus ?

1. Minimiser : CT= 3L + 4K s/c : Q = 98 = 2LK + 2

a) Condition de 1er ordre: annuler les dérivées de Lagrangien:

Posons le lagrangien: L(L, K, λ) = 3L + 4K + λ (98 - 2 L K - 2 )

Dérivons:

1) L’(L) = 0 == 3 + λ (- 2 L ) = 0 ==

2) L’(K) = 0 == 4 + λ (- 2 K ) = 0 ==

3) L’(λ) = 0 == 96 – 2L K = 0 == 16 = L1/4 K 3/4

Remplaçons L par sa valeur dans 3):

96 – 2 (3/4 K) K = 0 == 6/4 K 2 = 96 == K = 8

96 – 2 (8) L= 0 == L = 6



Contrôle CORRIGE

4

3

K

L K 4 /3L

1. Minimiser : CT= 3L + 4K s/c : Q = 98 = 2LK + 2

b) Condition de second ordre:



Contrôle CORRIGE

L K

K L

L

K

K

K

K L

K L K L L

L K

L K K

L

K L

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2. Maximiser : Q = 2LK + 2 s/c : CT = 60 = 3L + 4K

a) Condition de 1er ordre: annuler les dérivées de Lagrangien:

Posons le lagrangien: L(L, K, λ) = 2 LK + 2+ λ (60 - 3L - 4K)

Dérivons:

1) L’(L) = 0 == 2K - 3λ = 0 ==

2) L’(K) = 0 == 2L - 4λ = 0 ==

3) L’(λ) = 0 == 60 - 3L - 4K = 0

Remplaçons K par sa valeur dans 3):

60 - 3L – 4(3/4 L) = 0 == 60 - 6 K = 0 == L = 10

60 - 3 (10) - 4K= 0 == K = 7,5



Contrôle CORRIGE

4

3

L

K L 4 /3K

2. Maximiser : Q = 2LK + 2 s/c : CT = 60 = 3L + 4K

b) Condition de second ordre:



Contrôle CORRIGE

043

402

320

H

4-3-

023)(

03-

4-2

04-

4-0 0Δ 2

04824242 4-3-

023)(

03-

4-2

04-

4-0 0Δ

Donc il y a maximum



Contrôle CORRIGE

La production correspondante:

Q = 2KL + 2

Q = 2 (10) (7,5) + 2

Q = 152

3. Rendements d’échelle

Calcul direct:

Les facteurs de production ont augmenté:

pour L de 8 à 10 et pour K de 6 à 7,5. Soit de 25% pour les deux.

Et la production est passée 98 à 152 soit une augmentation de 55%.

Les rendements d’échelle sont donc croissants de degré 55/25 = 2,2



Contrôle CORRIGE

3. Rendements d’échelle

Calcul du degré d’homogénéité de la fonction:

Q1 = f(λ L, λ K) = 2(λ L) (λ K) = 2 λ² L K + 2

Q1 = λ² 2 L K + 2

K = 2, valeur proche de celle trouvé par le calcul directe. Les

rendements d’échelle sont donc croissants de degré 2.


TD III

Exercice. 6


Considérons la fonction de production suivante :

Q = - L² - K² + 2L + 2K + 6

Le prix du produit est : P = 20 ; Le coût fixe de l’entreprise : CF = 3

Le prix du premier facteur : PL = 4 ; Le prix du deuxième facteur : PK = 8

1. Pour quelles quantités de L et K le producteur réalise un maximum de profit ? (Condition de 2nd ordre)

2. Quelle est dans ce cas la recette totale, le coût total et le profit maximum réalisé ?


TD III

Exercice. 6 (éléments de réponse)


1. Les quantités des facteurs de production qui maximisent le profit quand P=20 Q= - L ² - 2 K ² + 2 L + 2 K + 6

π = RT – CT

π = P . Q - PL . L - PK . K - CF

π = 20 (- L ² - 2 K ² + 2 L + 2 K + 6 ) - 4L - 8K - 3

π = - 20 L² - 40 K² + 474 L + 395 K

Conditions de 1er ordre:

π’ L = dπ / dL = - 40 L + 36 = 0 == L = 0,9 π’ K = d π / dK = - 40 K + 32 = 0 == K = 0,8

Conditions de second ordre:

π’’ L = - 40 ˂ 0 ; π’’ K = - 40 ˂ 0

Donc c’est un maximum.

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TD III

Exercice. 6 (éléments de réponse)


2. Recette totale, coût total et profit maximum: a) RT = P.Q = 20 (- L ² - 2 K ² + 2 L + 2 K + 6 )

En remplaçant L et K par leurs valeurs respectives: RT = 159 b) CT =PL . L + PK . K + CF

En remplaçant L et K par leurs valeurs respectives : CT = 13

c) π = RT – CT

En remplaçant L et K par leurs valeurs respectives : π = 146

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