Cours schématique

Théorie de la production

1-803-96 Analyse microéconomique B02 et J10 automne 2005Guillermo Yanez

2

Thèmes abordés

Les facteurs de production

Les horizons temporels

La production à court terme

Production à long terme: les isoquantes

Les rendements à l’échelle

Exemples

3

Que cherchons-nous à comprendre?

Le comportement du producteur

Objectif ultime du producteur : maximiser ses profits sous sa contrainte de coûts

Il faut donc comprendre:

Comment le producteur prend ses décisions: quels facteurs de production employer et en quelles quantités afin de minimiser les coûts?

Comment les coûts varient en fonction de la production?

4

1. Présenter la production, identifier les phénomènes qui l’affectent à court et à long terme, et en déduire ses principales caractéristiques.

2. Présenter les coûts, la manière de les comptabiliser, leur comportement selon l’horizon temporel considéré et selon le niveau de production (chapitre 7).

3. Le choix de la combinaison optimale de facteurs de production (chapitre 7)

4. Utiliser les notions précédentes pour comprendre comment la firme détermine son niveau de production et son prix de vente dans différentes structures de marché (chapitres 8,10, 11 et 12).

Comment allons-nous procéder?

5

1. La technologie de production

Qu’est-ce que la production?↓

Transformation des matières premières et des biens intermédiaires en biens et services à l’aide

de facteurs de production

Quels sont les facteurs de production?↓

le travail, i.e. l’ensemble des ressources humaines l’entrepreneurship ⇒ L

le capital, i.e. machines, bâtiments, équipement ⇒ K

La terre, ⇒ T. On va exclure celle-ci et la fusionner avec le K.

Comment exprimer le lien qui existe entre les facteurs de production et la quantité produite?

↓La fonction de production

Q = f (K,L)

● La fonction de production décrit la relation entre la quantité produite d’un bien et les quantités des différents

facteurs nécessaires à sa fabrication.

● La fonction de production décrit ce qui est techniquement réalisable si la firme utilise de manière

efficace ses facteurs de production. Ceci est représenté par la fonction f(·)

À quoi la fonction de production servira-t-elle?↓

Elle aide le producteur à choisir la quantité de K et L

Mais les choix du producteur sont limitéspar l’horizon temporel envisagé

Exemple : Ford veut augmenter la production1) Embaucher davantage de travailleurs (↑L) : réalisable rapidement2) Construire une nouvelle usine ou installer une nouvelle chaîne de montage (↑K) : peut nécessiter plusieurs années

Il faut donc distinguer

Court terme vs Long terme

8

2. Les horizons temporels

Court termeSeul un facteur de production varie (L) tandis que l’autre

est maintenu constant (K) → K est fixe. Les capacités de production sont constantes.

Variation de l’utilisation des capacités de production.

Q = f (K,L)

Long termeTous les facteurs de production (K et L) sont variables.

Horizon suffisamment long pour changer les capacités de production. Ex : modifier les technologies de production dans une usine.

RemarqueIl est impossible de déterminer dans l’absolu à quelles durées correspondent le court terme et le long terme. Ces durées varient selon les situations. (Ici on ne peut pas se fier aux conventions comptables)

Q = f (K ,L)

9

3. La production à court terme

la seule manière d’augmenter laproduction est d’augmenter L.

↓Combien de travailleurs embaucher?

Quelle quantité produire?

Pour pouvoir répondre à ces questions, il faut déterminer comment la production augmente (ou diminue) quand

le nombre de travailleurs augmente (ou diminue).

Q = f (K ,L)

Puisque

L K PT(Q)

PM(Q/L)

PmΔQ/ΔL

0 10 0 - -

1 10 10 10 10

2 10 30 15 20

3 10 60 20 30

4 10 80 20 20

5 10 95 19 15

6 10 108 18 13

7 10 112 16 4

8 10 112 14 0

9 10 108 12 -4

10 10 100 10 -8

Remarques:

• La production totale (PT) augmente avec le nombre de travailleurs.

• Au début, la production totale augmente rapidement

• Ensuite la croissance est plus lente.

• Elle atteint un plafond à 112 unités lorsque la firme emploie 7 ou 8 travailleurs.

• Elle baisse lorsque la firme augmente encore le nombre de travailleurs

Tab. 6.2

La production à court terme

La production totale (PT) décrit l’évolution de la production en fonction de l’utilisation du facteur variable L

A → B : La production augmente plus rapidement que le nombre de travailleurs. Pourquoi? Grâce à la division et à la spécialisation du travail.

B → D : La production augmente moins rapidement que le nombre de travailleurs. Pourquoi? Comment expliquer que les bénéfices de la spécialisation et de la division du travail ne soient pas constants?

Fig. 6.2

PT = f (L)

8 L

112

60

30

Croissants Décroissants

B

D

A

Q

La productivité moyenne (PM) décrit l’évolution de la contribution moyenne du facteur variable L à la production

PM= f(L)L

= QL

La productivité moyenne pour un point quelconque correspond à la pente de la droite reliant l’origine (0,0) et ce point sur la courbe de production totale

Fig. 6.2

8 L

112

60

30

B

D

A

Q/L

La productivité marginale (Pm) : variation de la production totale suite à l’ajout d’une unité de facteur variable. Reflète la contribution du travailleur additionnel à la production totale.

La productivité marginale pour un point quelconque correspond à la pente de la tangente à ce point sur la courbe de production totale

Pm = f’(L)Pm = ΔQ / ΔL

Fig. 6.2

8 L

112

60

30

B

D

A

Pm = dPT/dLC

Pente = 0

Q

Remarques:

1. PM = Pm au point où PM atteint son maximum

2. Pm = 0 quand PT atteint son Maximum

3. Si Pm > PM, alors PM augmente

4. Si Pm < PM, alors PM diminue

5. Si Pm = PM, alors ΔPM =0

6. De 0 au point d’inflexion : Pm augmente et PT augmente de plus en plus vite

7. Entre B et D : Pm diminue et la PT augmente de moins en moins vite.

L

Q

60

0

B

C

D

8

10

20E

0 3 4

30

L

112

PM

Pm

PT

Fig. 6.2

►Pourquoi les courbes ont-elles ces formes?► Pourquoi la PT n’augmente-t-elle pas toujours au même

rythme que le nombre de travailleurs► Pourquoi la Pm n’est-elle pas constante?

► Pourquoi la Pm augmente-t-elle pour ensuite diminuer?

↓Loi des rendements marginaux décroissants

À court terme, si on combine un facteur de production variable (L)

à un facteur de production fixe (K), il existe un point au-delàduquel la production totale va croître à un rythme sans cessedécroissant (i.e contribution additionnelle suscitée par l’ajout

de facteurs variables est de plus en plus faible→ la productivité marginale diminue).

(voir exemple 1)

Remarques : 1- La loi des rendements marginaux décroissants n’est pas liée à la

qualité du travailleur. Les rendements sont décroissants parce que l’utilisation du facteur fixe est limitée, et non pas parce que les travailleurs sont moins bons.

2- La loi des rendements marginaux décroissants s’applique pour un niveau donné de technologie. Les améliorations technologiques amènent un déplacement vers le haut de la fonction de production. Ceci signifie que l’on peut produire davantage avec le même nombre de travailleurs.

L

PT

Q1

Q2

Q3

y1

y2

y3

L1 L2 L3

Fig. 6.3

17

4. La production à long terme

Ceci signifie que la production peut être réalisée

avec différentes combinaisons de K et L

Q = f (K,L)Puisque les deux facteurs de production K et L sont variables:

L

K 1 2 3 4 5

1 20 40 55 65 75

2 40 60 75 85 90

3 55 75 90 100 105

4 65 85 100 100 115

5 75 90 105 115 120

Tab. 6.1

Que désire le producteur?

Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire une quantité donnée au coût le plus bas

Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire la plus grande quantité pour un coût donné

La démarche?

Développer un outil pour représenter la production dans un contexte de long terme (l’isoquante)

Identifier les propriétés de cet outil

Comprendre comment un facteur de production peut être substitué à un autre tout en maintenant constant le niveau de production

Vérifier comment la production évolue quand tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions

L’isoquanteUne isoquante est le lieu des points représentatifs des

combinaisons de K et L qui permettent d’obtenir le même niveau de production

L

5

2

3

1 2 3

A

D

Q = 75

F

K

Note : Comme il existe un certain degré de substituabilité entre les facteurs de production, cette isoquante est appropriée dans le cas d’une fonction de production Cobb-Douglass.

Mais une firme n’est pas limitée à un seul niveau de production.Elle peut choisir entre un grand nombre de niveaux de production

Une carte d’isoquantes

K

LL1 L2 L3

K5

Q1 = 55

A

D

B

Q2 = 75

Q3 = 100

C

E

K3

K1

Fig. 6.6

Les propriétés des isoquantes

1. Chaque isoquante est associée à un niveau de production donné.

2. Plus le niveau de production est élevé, plus l’isoquante correspondante est éloignée de l’origine

3. Les isoquantes ont une pente négative : pour que le niveau de la production soit constant, quand le capital employé baisse, il faut utiliser plus de main-d’œuvre.

4. Les isoquantes ne se coupent jamais (parallélisme) : 1. Si A = B et A = C

alors B = C → impossible !K

C

B

L

PT = 100

PT = 200A

Les propriétés des isoquantes (suite)

5. Les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine. La convexité signifie qu’il n’y a pas parfaite substituabilité entre K et L, car la Pm des facteurs est décroissante.

6. Les isoquantes reflètent la loi des rendements marginaux décroissants. Pour K constant, chaque unité supplémentaire de L permet d’augmenter PT de plus en plus faiblement. Également, pour L constant, chaque unité supplémentaire de K permet d’augmenter PT de plus en plus faiblement.

L

K

D

B

C

A

PT = 100

1 2 3

3

E

L

K

D

B CA

PT=55

PT=75

PT=90

Nous savons qu’il faut augmenter K si L diminuepour maintenir la production constante

QuestionSi le nombre de travailleurs diminue de 1, combien d’unités de K faut-il ajouter pour maintenir le niveau de production constant.

En d’autres termes, à quel taux pouvons-nous substituer un facteur de production à un autre?

SolutionLa pente en un point sur l’isoquante indique le taux auquel un facteur de production peut être remplacé par un autre sans

changer le niveau de production

↓Taux marginal de substitution technique (TMST)

Que représente le TMSTLK ?

Le TMSTLK mesure le nombre d’unités d’un facteur de production que l’on doit ajouter ou retrancher afin de maintenir le niveau de production constant, après avoir retranché ou ajouté une unité

de l’autre facteur de production.

(Cas discret i.e quand on ne possède pas la fonction de production. On dispose uniquement d’observations)

C

2 3 4 51L

K

1

2

3

5

-2

1

1-2/3

TMSTLK = 2

TMSTLK = 2/3

Q1 = 100

A

B

D

TMSTLK = - ΔK / ΔL

Fig. 6.7

TMSTLK = - dK/ dLTMSTLK = pente de la tangente en un point sur l’isoquante en valeur absolue

(Cas continu : cas où l’on connaît la fonction de production Q = f(K,L))

TMSTLKTMSTLK

A

L

K

PT = 100

B

TMSTLK = - dK/ dLmais aussi

TMSTLK = PmL/PmK

Preuve

De A vers B il y a perte de QPerte = -∆K • PmK

De B vers C il y a gain de QGain = ∆L • PmL

Or, Perte = Gain puisque le niveau de production reste constant

► -∆K • PmK = ∆L • PmL

► -∆K/ ∆L = PmL /PmK

Donc TMSTKL= PmL /PmK

mais PmL = dQ/dLet Pmk = dQ/dK

Ainsi TMSTKL = - (dQ/dL) / (dQ/dK)

TMSTKL = PmL/Pmk = - dK/dL

Q2

Q1

L

A

C

B

K

∆K

∆L

Les propriétés du TMST

1) L’augmentation d’un facteur de production nécessite la diminution de l’autre pour maintenir la production constante. Ainsi, on fait précéder le TMST d’un signe négatif afin que sa valeur soit toujours positive.

2) Le TMST est une notion ponctuelle. Il se calcule pour un point bien précis de l’isoquante et change à tous les points.

3) Le TMST correspond à la pente de la tangente à l’isoquante en valeur absolue.

4) Nous savons que les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine. Ainsi, la pente de la tangente en un point de l’isoquante diminue (en valeur absolue) lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de l’isoquante. Puisque TMST = pente de la tangente à l’isoquante en valeur absolue, il s’ensuit qui le TMST diminue lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de l’isoquante

(voir exemple 2)

Des isoquantes un peu particulières

Nous venons de présenter les isoquantes et le TMST dans le cas d’une fonction Cobb-Douglas.

Mais différentes formes de fonction de production signifient également différentes isoquantes et différents TMST.

Des isoquantes un peu particulières (suite)

1) Fonction de production linéaire ►► isoquantes linéaires.

L

K

Q1Q2 Q3

A

B

C

Le taux auquel on peut remplacer un facteur de

production par un autre ne varie pas lorsqu’on se déplace

le long de l’isoquante↓

Les facteurs de production sont parfaitement

substituables↓

Le TMST est une constante

Fig. 6.8

Des isoquantes un peu particulières (suite)

2) Fonction de production de Leontief ►► isoquantes en forme de L

Chaque niveau de production nécessite une combinaison

précise de K et L↓

Il est impossible de remplacer un facteur de production par un autre. Ils doivent être employés

en proportions fixes↓

Les facteurs de production sont de parfaits compléments

L

K

L1

K1Q1

Q2

Q3

A

B

C

Fig. 6.9

31

5. Les rendements à l’échelle

Nous savons qu’à long terme tous les facteursde production sont variables

↓On pourrait donc changer le niveau de production en changeant

l’échelle de production, c’est-à-dire en faisant varier tous les facteurs de production dans les mêmes proportions

↓Question

À quel rythme la production augmente-t-elle si tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions?

La production va-t-elle augmenter proportionnellement, plus que proportionnellement ou moins que proportionnellement ?

↓Réponse

Tout dépend des rendements à l’échelle

Que représentent les rendements à l’échelle?

La réaction de la production à un accroissement simultané de tous les facteurs de production (K et L)

dans une même proportion

Les rendements à l’échelle peuvent être :

Constants

Croissants

Décroissants

(voir exemple 3)

Les rendements à l’échelle constants

La production s’accroît proportionnellement àl’augmentation des facteurs de production

Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteur t, la quantité produite est multipliée par t.

La taille de la firme n’affecte pas la productivité des facteurs

L

K

10

20

30

155 10

2

4

0

6

Comment expliquer les rendements à l’échelle constants?

↓Il est en principe possible pour

une firme de reproduire ce qu’elle fait déjà

Fig. 6.11

Les rendements à l’échelle croissants

La production s’accroît plus que proportionnellement àl’augmentation des facteurs de production

Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteur t, la quantité produite est multipliée par plus que t

Comment expliquer les rendements à l’échelle croissants?

↓Spécialisation de l’entreprise et

division des tâches. Raisons techniques.

Fig. 6.11

L10

20

30

5 10

2

4

0

K

Les rendements à l’échelle décroissants

La production s’accroît moins que proportionnellement àl’augmentation des facteurs de production

Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteurs t, la quantité produite est multipliée par moins que t

La taille de la firme réduit la productivité des facteurs

Comment expliquer les rendements à l’échelle décroissants?

↓Complexification de la structure

organisationnelle et problèmes de gestion liés à la production à

grande échelle

Fig. 6.11

L

K

1013

18

5 10

2

4

0

Les formes algébriques des fonctions de production

1) La fonction de production linéaire :

Q = f(K, L) = aK + bL

Dans ce cas, les facteurs de production sont de parfaits substituts. Il y a une relation linéaire parfaite entre les facteurs de production et la production totale réalisée.

Ex : Q = f(K,L) = 4K + L

Cette expression mathématique signifie que K est 4 fois plus productif que L.

Si K = 5 et L = 2 alors Q = 4(5) + 1(2) = 22

Les formes algébriques des fonctions de production (suite)

2) La fonction de production de Leontief (fonction de production à proportions fixes) (Fonction semblable à l’utilité dans le cas des biens

complémentaires, aux chapitres précédents): Q = f(K, L) = min (bK, cL)

Dans ce cas, les facteurs de production sont nécessairement utilisés dans des proportions fixes. Aucune substitution n’est possible entre les facteurs de production. Ils sont de parfaits compléments.

Ex : Q = f(K,L) = min (3K; 4L)

Si K = 5 et L = 2 alors Q = min (3(5),4(2) = min (15,8)

Ainsi, 5K et 2L permettent de produire 8 unités

Les formes algébriques des fonctions de production (suite)

3) La fonction de production de Cobb-Douglas :

Q = f(K, L) = AKaLb

Dans ce cas, la relation entre les facteurs de production et Q n’est pas linéaire et, contrairement à la fonction de Leontief, il n’est pas nécessaire d’utiliser K et L dans des proportions fixes. Cette fonction assume un certain degré de substituabilité entre les facteurs de production.

Ex : Q = f(K,L) = 2K1/2L1/2

Si K = 9 et L = 4 alors Q = 2(9)1/2(4)1/2

Ainsi, 9K et 4L permettent de produire 12 unités

39

Exemples

Exemple 1:

Une municipalité entreprend de transformer un terrain vague en parc de villégiature et doit embaucher des travailleurs afin de procéder au nettoyage du terrain. Les données suivantes ont été recueillies :

Nombre de travailleurs

Superficie nettoyée (mètres)

2 200

3 360

4 500

5 620

1. La productivité moyenne lorsque 3 travailleurs sont embauchés est de :a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m

2. La productivité marginale du troisième travailleur est de :a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m

3. La loi des rendements marginaux décroissants :a) ne s’applique pas, car la PM est toujours croissanteb) ne s’applique pas, car la Pm est toujours croissantec) s’applique, car la PM est décroissanted) s’applique, car la Pm est décroissante

Réponses : 1) b; 2) c; 3) d

Exemple 2

On considère la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = K1/2 L1/3

1) Soit K = 4 (facteur fixe). Déterminer la production totale et la productivité moyenne de L

2) Soit K = 1. Posons L = 8. a) Calculer la production correspondante

b) On augmente la quantité de L d’une unité. Déterminer l’augmentation de la production qui en résulte.

c) Même question si on augmente la quantité de L de 0,1 unité.

d) Calculer la productivité marginale de L.

Réponses:

On considère la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = K1/2 L1/3

1) Q = PT = 41/2 L1/3 = 2L1/3

PML = Q/L = 2L1/3/LPML = 2L-2/3

2)a) Q = 11/281/3

Q = 81/3 = 2

b) ΔL = 1 ou L = 9 →Q = 91/3 = 2,08 donc si ΔL = 1 alors ΔQ = 0,08

c) ΔL = 0,1 ou L = 8,1→Q = 8,11/3 = 2,00829 donc si ΔL = 0,1 alors ΔQ = 0,00829

Réponses (suite)

d)PmL = dQ/dL = 1/3K1/2L-2/3

Puisque K = 1PmL = dQ/dL = 1/3L-2/3

Si L = 8, alors PmL = 1/3 * 8-2/3 = 0,083

Ainsi, ΔQ/ ΔL se rapproche de PmL quand ΔL diminue

Exemple 3

Soit la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = 6K2/3L1/2

a) Calculer le TMSTLK

b) Q est-elle homogène? Si oui, en déduire la nature des rendements à l’échelle.

Rappel : une fonction est dite homogène de degré « m » si, pour tout nombre réel strictement positif t, l’égalité suivante est respectée :

f(tx, ty) = tm f(x,y),

Réponses

a)Nous savons que TMSTLK = PmL/PmK

et PmL = dQ/dL PmK = dQ/dK

PmL = ½ 6K2/3L1/2 -1

PmL = 3K2/3L-1/2

PmK = 2/36K2/3 -1L1/2

PmK = 4K-1/3L1/2

3K2/3L-1/2 3KTMSTLK = PmL / PmK = --------------- = -----------

4K-1/3L1/2 4L

Réponses (suite)

b)Q = f(K,L) = 6K2/3L1/2

Q* = f(tK, tL) = 6(tK)2/3(tL)1/2

Q* = f(tK, tL) = 6 t2/3 K2/3 t1/2 L1/2

Q* = f(tK, tL) = t7/6 6 K2/3L1/2

Q* = t7/6 *Q

Q est donc homogène de degré 7/6.

Ainsi, si t = 2 (i.e. si on double tous les facteurs de production)Q* = 2,24Q → On double la quantité de facteurs de production et le

niveau de production fait plus que doubler

les rendements à l’échelle sont croissants!