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TRANSFORMATION DE LAPLACE

1 Dé?nition de l’espace E0

1.1 Fonctions causales

1.1.1 Dé?nition

Une fonction f est dite causale si f(t) = 0 pour tout t strictement négatif.

1.1.2 Exemple fondamental : la fonction de Heaviside

On appelle aussi cette fonction, échelon unité. Elle est notée U et dé?nie par :½

U(t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t ¸ 0

et

ses translatées, toutes aussi importantes sont dé?nies par : t 7! U(t ¡ α), α réel positif et on a donc :½U(t ¡ α) = 0 si t < αU(t ¡ α) = 1 si t ¸ α

1

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La fonction U sert à fabriquer des fonctions causales comme ci­dessous :nous avons sin(t) qui n’est pas causaleet sin(t)U(t) qui l’est.

Ici nous avons sin(t)U(t) et sa translatée de π qui est donc : sin(t ¡ π)U(t ¡ π)

1.2 Les fonctions de E0

1.2.1 Dé?nition

E0 est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires à coef?cients réels ou complexes des fonctions de laforme t 7! U (t ¡ α)tner t où α est un réel positif, n un entier positif et r un nombre complexe quelconque, c’està dire que E0 est l’ensemble de toutes les fonctions qui peuvent s’écrire comme somme de fonctions du typeU(t ¡ α)tner tavec devant ce genre de fonctions des coef?cients réels ou complexes.

Exemple 1 :

² la fonction t 7! t2e¡tU (t ¡ 3) est une fonction de E0

² la fonction t 7! sin(t)U(t) est une fonction de E0. En effet, sin(t)U(t) = 12i

eitU(t) ¡ 12i

e¡itU(t).

² la fonction t 7! sin(t ¡ π)U(t ¡ π) est une fonction de E0. En effet sin(t ¡ π)U(t ¡ π) =

U(t ¡ π)·ei(t¡π) ¡ e¡i(t¡π)

2i

¸= e¡iπ

2ieitU (t ¡ π) ¡ eiπ

2ie¡itU (t ¡ π)

2

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1.2.2 Propriétés

1. Toute fonction de E0 est continue par morceaux sur IR avec un nombre ?ni de discontinuité.

2. Si α et β sont des réels positifs, r un nombre complexe et f une fonction appartenant à E0, alors les fonctionst 7! f (αt), t 7! f(t ¡ β) et t 7! er tf (t) appartiennent aussi à E0.

3. Soit f une fonction appartenant à E0 alors f 0 etZ t

0f (x)dx appartiennent aussi à E0.

Exemple 2 :

La fonction dé?nie par : f (t) = tU(t)¡ 2(t ¡ 1)U (t ¡ 1) + (t ¡ 2)U(t ¡ 2) appartient à E0. Sa représentationgraphique est :

Exemple 3 :

La fonction dé?nie par g(t) = U (t) ¡ 2U(t ¡ 1) + U(t ¡ 2) appartient à E0. Sa représentation graphique est :

2 Transformation de Laplace dans E0

3

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2.1 Propriété fondamentale

2.1.1 Dé?nition

Si une fonction g est de la forme t 7! g(t) = kU(t ¡ α)tner t, c’est à dire que c’est l’un des morceaux d’unefonction f appartenant à E0, alors le réel r est appelé exposant de la fonction g.

2.1.2 Propriété

Soit f une fonction appartenant à E0, l’intégraleZ +1

0f (t)e¡ptdt est absolument convergente si p est un nombre

réel appartenant à l’intervalle ]σ(f); +1[ où σ(f ) est la plus grande des parties réelles des exposants desfonctions composants f . Le réel σ(f) est appelé abscisse de convergence de f.

Exemple 4 :

Soit f la fonction dé?nie par : f(t) = e2t cos(3t)U (t) + tet sin(t)U(t ¡ π).f est bien une fonction de E0 car c’est une combinaison linéaire de fonction du type t 7! U(t ¡ α)tner t.

En effet on peut écrire f(t) =12U(t)e(2+3i)t +

12U(t)e(2¡3i)t +

12i

tU(t ¡ π)e(1+i)t ¡ 12i

tU (t ¡ π)e(1¡i)t.Les exposants des fonctions qui composent cette combinaison linéaire sont donc respectivement : 2 + 3i, 2 ­ 3i,

1 + i, 1 ­ i. Les parties réelles sont donc 2 et 1, donc d’après la propriété ci dessus, on sait queZ +1

0f (t)e¡ptdt

converge si le réel p 2 ]2; +1[ .

2.2 Dé?nition de la transformée de Laplace

Soit f une fonction appartenant à E0 d’abscisse de convergence σ(f). La transformée de Laplace de f , notée F ,est la fonction dé?nie sur ]σ(f); +1[ par :

F(p)=Z +1

0f(t)e¡ptdt

Elle est notée : F = L(f) ou F (p) = L (f) (p)

2.3 Transformée de Laplace de l’échelon unité

L(U (t)) =Z +1

0U(t)e¡ptdt =

Z +1

0e¡ptdt =

·¡1

pe¡pt

¸+1

0= 0¡

µ¡1

p

¶=

1p

si p > 0.D’où :

L (U(t)) =1p

si p > 0

2.4 Transformée de Laplace de f(t) = tnU (t)

F (p) =Z +1

0tnU(t)e¡ptdt =

Z +1

0tne¡ptdt = In

En intégrant par partie, on obtient que In =npIn¡1

4

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Or I0 =Z +1

0U(t)e¡ptdt = 1

p

I1 =1pI0 =

1p2

I2 =2pI1 =

2p1p2

I3 =3pI2 =

3p2p1p2¢ ¢ ¢

d’où :

L (tnU (t)) =n!

pn+1 si p > 0

2.5 Transformée de Laplace de f(t) = ertU (t)

F (p) =Z +1

0ertU(t)e¡pt =

Z +1

0e(r¡p)tdt.

Cette intégrale est convergente si p > <e(r).

On a alors :Z +1

0e(r¡p)tdt =

·1

r ¡ pe(r¡p)t

¸+1

0= 0¡ 1

r ¡ p= 1

p ¡ r. D’où

L(ertU (t)) = 1p ¡ r

si p > <e(r)

2.6 Transformée de Laplace de f(t) = tertU (t)

F (p) =Z +1

0tertU (t)e¡pt =

Z +1

0te(r¡p)tdt.

Cette intégrale est convergente si p > <e(r).On a alors, en intégrant par parties :

L(tertU(t)) =1

(p ¡ r)2si p > <e(r)

2.7 Propriétés de la transformation de Laplace

On suppose à partir dans tout ce paragraphe que p appartient à l’intervalle ]σ(f); +1[ \ ]σ(g); +1[

2.7.1 Linéarité

Si f et g sont des fonctions appartenant à E0 de transformées de Laplace F et G et si α et β sont des nombrescomplexes quelconques alors si on note H la transformée de Laplace de h = αf + βg :

L (αf + βg) = αL(f) + βL(g)H = αf + βg

Déterminons les transformées de Laplace des fonctions f (t) = sin(t)U (t) et g(t) = cos(t)U (t)Posons h1(t) = eitU(t) et h2(t) = e¡itU(t)

5

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On a alors d’après §2.5 : H1(p) = L (h1(t)) =1

p ¡ i et H2(p) = L (h2(t)) =1

p+ i

Comme sin(t)U(t) =12i

h1(t)¡12i

h2(t) alors L(sin(t)U (t)) =12i

1p ¡ i

¡ 12i

1p+ i

=12

ip + i

¡ 12

ip ¡ i

=1

p2 + 1

Comme cos(t)U(t) =12h1(t) +

12h2(t) alors L (cos(t)U (t)) =

12

1p ¡ i +

12

1p+ i =

pp2 + 1

L(sin(t)U (t)) =1

p2+ 1

L (cos(t)U (t)) =p

p2+ 18p > 0

2.7.2 Transformée de Laplace d’une dilatée : t 7! f (at) a 2 R+¤

Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L (f) alors

L(f(at)) =1aF

³ pa

´

Démonstration : soitZ A

0f(at)e¡ptdt

En posant u = at on obtient :Z A

0f(at)e¡ptdt =

1a

Z aA

0f (u)e

¡pa

udu !

A!+11a

Z +1

0f (u)e

¡pa

udu =

1aF

³pa

´

Soit h la fonction de E0dé?nie par h(t) = cos (ωt)U(t) avec ω > 0.Soit f la fonction de E0dé?nie par f (t) = cos (t)U (t)Alors f (ωt) = cos (ωt)U(ωt) = cos(ωt)U(t) = h(t) car ω > 0Or L (cos(t)U(t)) =

pp2 + 1

Donc L (h(t)) = L(cos (ωt)U (t)) = H(p) =1ω

pω³ p

ω

´2+ 1

=p

p2+ ω2

De la même façon on obtient : L(sin (ωt)U(t)) =ω

p2 + ω2

2.7.3 Transformée de Laplace d’une translatée : t 7! f (t ¡ τ ) avec τ 2 R+¤

Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L (f) alors

L (f(t ¡ τ)) = e¡pτF (p)Le terme e¡pτ s’appelle le facteur de retard. Lorsqu’une fonction est retardée d’un instant τ sa transformée deLaplace est multipliée par e¡pτ .La démonstration de cette formule est la même que celle ci­dessus en effectuant le changement de variableu = t ¡ τ.

On se propose de chercher la transformée de Laplace du signal ci­dessous :

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Appelons f(t) ce signal. On peut alors écrire que :f(t) = tU(t)¡ tU(t ¡ 1) +U (t ¡ 1)¡ U(t ¡ 2)= tU(t) ¡ (t ¡ 1)U(t ¡ 1)¡ U (t ¡ 1) + U(t ¡ 1) ¡ U(t ¡ 2)= tU(t) ¡ (t ¡ 1)U(t ¡ 1)¡ U (t ¡ 2)

doncL(f (t)) = L (tU(t)¡ (t ¡ 1)U (t ¡ 1)¡ U(t ¡ 2)) =

L (tU(t))¡ L ((t ¡ 1)U(t ¡ 1)) ¡ L (U(t ¡ 2)) =1p2

¡ 1p2

e¡p ¡ 1pe¡2p

2.7.4 Multiplication par la variable

Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L (f) alors

L (¡tf(t)) =dFdp

(p)

L ((¡t)nf(t)) = dnFdpn

(p)

Soit f(t) = t sin(ωt)U (t). On sait que la transformée de Laplace de sin(ωt)U (t) est : L(sin(ωt)U(t)) =ω

p2 + ω2 .

Orddp

·ω

p2 + ω2

¸=

·¡2p ω

(p2 + ω2)2

¸

donc L(t sin(ωt)U(t)) = 2pω

(p2 + ω2)2

2.7.5 Multiplication par e¡at où a est un réel quelconque

Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L (f) alors

L¡f (t)e¡at¢ = F (p+ a)

Soit f la fonction dé?nie par : f(t) = e¡at cos(ωt)U(t).Nous savons que L(cos(ωt)U(t)) =

pp2 + ω2 = F (p)

Donc : L(e¡at cos(ωt)U(t)) = F (p + a) =p + a

(p + a)2+ ω2 .

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2.7.6 Transformée de Laplace d’une dérivée

Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L (f) alors si f est continue sur l’intervalle ]0; +1[

L (f 0(t)) = pF (p) ¡ f(0+)où f(0+) = lim

t!0+f(t)

de même si de plus f 0 est continue sur l’intervalle ]0; +1[ alors :

L (f 00(t)) = p2F (p) ¡ pf(0+)¡ f 0(0+)où f 0(0+) = lim

t!0+f 0(t)

Soit f (t) = cos(ωt)U(t) alors f 0(t) = ¡ω sin(ωt)U(t) + cos(ωt)U 0(t)Or U 0(t) = 0 sur l’intervalle ]0; +1[Donc : f 0(t) = ¡ω sin(ωt)U(t) sur l’intervalle ]0; +1[

Donc L(f 0(t)) = p pp2 + ω2

¡ cos(0) = p pp2+ ω2

¡ 1 = p2

p2 +ω2¡ 1 = ¡ω2

p2 + ω2

c’est à dire L(¡ω sin(ωt)U(t)) =¡ω2

p2+ ω2

donc on retrouve que L(sin(ωt)U(t)) =ω

p2 + ω2

Soit f la fonction représentée par le graphe ci­dessous :

On a donc f (t) = U (t) ¡ U(t ¡ 1) + (¡t + 2)U(t ¡ 1) ¡ (¡t + 2)U(t ¡ 2)c’est à dire que f(t) = U(t) + (¡t +1)U (t ¡ 1) + (t ¡ 2)U(t ¡ 2)f(t) = U(t) ¡ (t ¡ 1)U(t ¡ 1) + (t ¡ 2)U(t ¡ 2)

donc L(f(t)) = 1p

¡ 1p2

e¡p + 1p2

e¡2p = F (p).

Soit maintenant g la fonction dont le graphe est donné ci­dessous :

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On a donc g(t) = ¡(U(t ¡ 1)¡ U (t ¡ 2)) = ¡U(t ¡ 1) + U(t ¡ 2)Or, on a f 0(t) = g(t).

Donc L(f 0(t)) = L(g(t)) = pF (p)¡ f (0+) = p·1p

¡ 1p2

e¡p +1p2

e¡2p¸

¡ 1 = ¡1pe¡p +

1pe¡2p

Le calcul direct nous donne : L(g(t)) = ¡1pe¡p +

1pe¡2p

qui redonne la même transformée de Laplace !

2.8 Théorème de la valeur initiale et de la valeur ?nale

2.8.1 Théorème de la valeur initiale

Si une fonction f appartenant à l’ensemble E0 admet pour transformée de Laplace la fonction F , alors

limp!+1

F (p) = 0

limp!+1

pF (p) = f (0+)

2.8.2 Théorème de la valeur ?nale

Si une fonction f appartenant à l’ensemble E0 admet pour transformée de Laplace la fonction F et si limt!+1

f (t)existe et est ?nie, alors :

limp!0

pF (p) = limt!+1

f(t)

Soit g(t) = (cos t)U (t) alors L(g(t)) = G(p) = pp2 +1

limp!+1

pG(p) = limp!+1

p2

p2 + 1= 1 = g(0+) = cos 0 ce qui véri?e le théorème de la valeur initiale

limp!0

pF (p) = 0 = limt!+1

(cos t)U (t) cette limite n’existe pas , le théorème de la valeur ?nale ne s’applique pas.

3 Produit de convolution dans E0

3.1 Dé?nition

Le produit de convolution de deux fonctions f et g est une fonction h dé?nie ci­dessous. Ce nouveau produit estnoté *. On a :

h(x) = (f ¤ g) (x) =Z +1

¡1f (t)g(x ¡ t)dt

Si f est causale, l’intégrale devient :

h(x) = (f ¤ g) (x) =Z +1

0f (t)g(x ¡ t)dt

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Si de plus g est causale alors la fonction h l’est aussi et on a :

h(x) = 0 si x < 0

h(x) =Z x

0f (t)g(x ¡ t)dt

D’où la dé?nition suivante :Soient f et g deux fonctions appartenant à E0.On appelle convolée des fonctions f et g dans cet ordre, lafonction causale h dé?nie pour tout x positif par :

h(x) = (f ¤ g) (x) =Z x

0f (t)g(x ¡ t)dt

3.2 Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l’addition. De plus le produit deconvolution est une loi dite interne, c’est à dire que l’on a :² f ¤ g = g ¤ f

² (f ¤ g) ¤ h = f ¤ (g ¤ h)

² Si f et g appartiennent toutes deux à E0 alors h = f ¤ g appartient aussi à E0.

(démonstrations laissées au lecteur !)

3.3 Transformée de Laplace d’un produit de convolution

Si f et g appartiennent toutes deux à E0 alors la convolée h = f ¤ g a pour transformée de Laplace le produit destransformée de Laplace de f et g, c’est à dire que l’on a :

L (f ¤ g) = L (f) £ L (g)Cette propriété nous permettra d’obtenir la transformée de Laplace de fonctions qu’on ne peut calculer grâce auxpropriétés déjà vues dans le paragraphe 2.7.

3.4 Transformée de laplace deZ x

0f(t)dt

Soit f une fonction appartenant à l’ensemble E0 et U la fonction échellon unité alors on a :

8x > 0 (U ¤ f) (x) =Z x

0f(t)U(x ¡ t)dt =

Z x

0f(t)dt

Si on note F = L(f (t)) et en rappelant que L (U(t)) = 1p

, alors en utilisant le théorème ci dessus on obtient :

LµZ x

0f(t)dt

¶= F (p)

p

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4 Transformée de Laplace de l’impulsion unité

On considère la fonction fn dé?nie par :½fn(t) = n si 0 · t · 1

nfn(t) = 0 sinon

¾dont voici la représentation graphique pour

quelques n = 1, 2 et 4 :

Si on note Fn(p) = L(fn(t)) et en remarquant que fn(t) = nU(t) ¡ nU(t ¡ 1n) alors on a Fn(p) =

np

¡ npe¡np

Maintenant si on fait tendre n ! +1, alors on obtient une pseudo fonction, qui est en fait ce qu’on appelleen mathématiques une distribution, mais qui n’est plus une fonction, qu’on appelle implusion unité ou plussimplement Dirac, impossible à représenter, si ce n’est en faisant un shéma que tous les électroniciens utilisent :

Cette distribution est notée δ et on a : L (δ(t)) = limn!+1

Fn(p) = limn!+1

np

¡ npe¡np = 1

5 Transformation de Laplace des fonctions périodiques

Soit f une fonction T­périodique, causale, n’appartenant pas forcément à E0. Soit f0 la fonction dé?nie par :½f0(t) = f(t) si 0 < t < T

f0(t) = 0 sinon

¾telle que f0 appartiennent à E0 alors on a :

L (f(t)) =L (f0(t))1¡ e¡pT

Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f T­périodique, causale, dé?nie sur [0;T [ par f(t) = t.Représentons f0(t) :

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f0(t) = tU(t) ¡ tU (t ¡ T) = tU(t)¡ (t ¡ T)U(t ¡ T )¡ T U(t ¡ T)

donc L(f0(t)) =1p2

¡ 1p2

e¡pT ¡ T1pe¡pT et donc L(f(t)) =

1p2

¡ 1p2

e¡pT ¡ T 1pe¡pT

1¡ e¡pT

Exemple 5 : le train d’impulsion

Cela correspond, en électronique à des ?ashs éclairs périodiques.

alors on a L(f(t)) =1

1 ¡ e¡pT car L(δ(t)) = 1

6 Table des transformées de Laplace

On note F (p) = L(f(t)) où f est une fonction appartenant à E0

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L(δ(t)) 1

L(U(t))1p

L(tU(t))1p2

L(tnU(t))n!

pn+1

L(e¡atU(t))1

p+ a

L(te¡atU (t)) 1(p+ a)2

L(tne¡atU(t)) n!(p+ a)n+1

L(cos (ωt)U (t))p

p2 + ω2

L(sin (ωt)U (t))ω

p2 + ω2

L(f(t ¡ a)U(t ¡ a)) e¡apF (p)L(e¡atf(t)) F (p+ a)

L(f 0(t)) pF (p) ¡ f(0+)

LµZ t

0f (u)du

¶F (p)

pL(tf (t)) ¡F 0(p)L(f 00(t)) p2F (p)¡ pf(0+)¡ f 0(0+)

Lµ

f(t)t

¶ Z +1

pF (u)du

Pour f Tpériodique : L(f(t))F0(p)

1 ¡ e¡pT où F0(p) =L(f0(t))

7 Transformée de Laplace inverse

La transformée de Laplace étant un opérateur bijectif, sa bijection inverse existe. Elle est unique et on l’appelleoriginal de F ; on a alors : L¡1(F (p)) = f (t). Cela signi?e que connaissant la transformée de Laplace d’unsignal, on retrouve, grâce à une lecture dans l’autre sens dans la table des transformées de Laplace, le signal.

7.1 Linéarité de la transformation de Laplace inverse

Soient F (p) = L(f(t)) et G(p) = L(g(t)), f et g étant deux fonctions appartenant à E0. Soient λ et µ deux réelsquelconques alors :

L¡1 [λF (p) + µG(p)] = λL¡1 [F (p)] +µL¡1 [G(p)]

Cette propriété conduit, pour la recherche d’un signal dont on connait l’original, à transformer celui­ci en unesomme d’éléments simples dont on peut facilement retrouver les originaux grâce à la lecture en sens inverse dans

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la table.

7.2 Processus à suivre pour la transformation de F(p) en somme d’éléments simples

1. s’il y a des retards, les traiter en premeir, séparément

2. pour des fractions rationelles du genre F (p) =P (p)Q(p)

avec deg P < degQ, on décompose dans IR cette

fraction en éléments simples. Les éléments simples de première espèce se traitent facilement. Pour ceux deseconde espèce, on doit mettre leur dénominateur sous forme canonique, pour retrouver des originaux encosinus ou en sinus.

Exemple 6 : trouver l’original de F (p) = 1¡ e¡2p

p2+ 3p+ 2

F (p) =1¡ e¡2p

p2 + 3p+ 2=

1p2 +3p+ 2

¡ e¡2p

p2 + 3p+ 2=

µ1

p + 1¡ 1

p+ 2

¶¡ e¡2p

µ1

p+ 1¡ 1

p +2

¶

d’où f(t) = (e¡t ¡ e¡2t)U(t)¡¡e¡(t¡2) ¡ e¡2(t¡2)

¢U (t ¡ 2)

Exemple 7 : trouver l’original de F (p) = 1(p+ 1)(p2 + 2p+ 2)

F (p) =1

(p+ 1)(p2 + 2p+ 2)=

1p+ 1

¡ p+ 1(p +1)2 + 1

d’où f(t) = e¡tU(t) ¡ e¡t (cos t)U(t)

7.3 Propriétés de la transformée de Laplace inverse

Soit f une fonction appartenant à l’ensemble E0 et dont la transformée de Laplace est F (p).1. L¡1 [F 0(p)] = ¡tf(t)

2. L¡1·Z +1

pF (u)du

¸=

f (t)t

8 Résolution des équations différentielles grâce à la transformée de Laplace

8.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre à coef?cients constants

On considère l’équation différentielle suivante :(E) : y0(t) + ay(t) = f (t)

où a est un réel quelconque, f une fonction appartenant à l’ensemble E0 et y une fonction appartenant aussi à E0.

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On note F (p) = L(f(t)) et Y (p) = L(y(t))

En appliquant à l’équation (E), la transformation de Laplace on a alors :L(y0(t) + ay(t)) = L (f (t)) , L(y0(t)) + aL(y(t)) = L(f(t)) , pY (p) ¡ y(0+) + aY (p) = F (p)

d’où : Y (p) =F (p) + y(0+)

p + apuis grâce à la tranformée de Laplace inverse, on recherche l’original de Y (p) c’est à dire L¡1 [Y (p)] = y(t).

8.2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coef?cients constants

On considère l’équation différentielle suivante :(E) : y00(t) + ay0(t) + by(t) = f(t)

où a et b sont des réels quelconques, f une fonction appartenant à l’ensemble E0 et y une fonction appartenantaussi à E0.On note F (p) = L(f(t)) et Y (p) = L(y(t))

En appliquant à l’équation (E), la transformation de Laplace on a alors :L(y00(t) + ay0(t) + by(t)) = L (f(t)) , p2Y (p) ¡ py(0+) ¡ y0(0+) + a (pY (p) ¡ y(0+)) + bY (p) = F (p)

d’où : Y (p) =F (p) + py(0+) + ay(0+) + y0(0+)

p2 + ap+ bpuis grâce à la tranformée de Laplace inverse, on recherche l’original de Y (p) c’est à dire L¡1 [Y (p)] = y(t).

Exemple 8 : résoudre l’équation différentielle y00(t)+6y0(t)+9y(t) = t2e¡3t sachant que y(0) = α et y 0(0) = β

F (p) = L (t2e¡3t) = 2(p + 3)3

d’où : Y (p) =

2(p+ 3)3

+ αp +6α + β

p2 + 6p +9=

2(p +3)5

+αp +3

(p+ 3)2+

β + 3α(p+ 3)2

=2

(p +3)5+

αp+ 3

+β +3α(p +3)2

d’où : y(t) =µ

112

t4e¡3t +αe¡3t + (3α + β) te¡3t¶

U(t)

8.3 Résolution des systèmes différentielles d’ordre 1

La méthode consiste simplement à effectuer la transformation de Laplace de chacune des équations dusystème, qui sont du premier ordre. On aboutit ainsi à un système linéaire de n équations à n inconnues :Y1(p), Y2(p), . . . , Yn(p), dans lesquelles p joue le rôle d’un paramètre. Puis par recherche des originaux dechacune des Y1(p), Y2(p), . . . , Yn(p), on retrouve la solution du système différentiel de départ.

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JMB

9 TD SUR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE

9.1 Calcul de transformées de Laplaces

Exercice 1 :

1. Linéariser en utilisant une formule trigonométrique : f (t) = cos2 ωt

2. En déduire, en vous aidant des propriétés classiques et du formulaire, la transformée de Laplace de

f(t) = cos2 ωtU(t)

Exercice 2

Calculer, à partir de la dé?nition, la transformée de La place du signal réel ci­dessous :

1

1 2

Retrouver le résultat précédent en décomposant le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires eten utilisant le formulaire.

Exercice 3

Calculer, à partir de la dé?nition, la transformée de Laplace du signal réel ci­dessous : (V0>0 et θ>0)

V0

θ t

x(t)

Retrouver le résultat précédent en décomposant le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires eten utilisant le formulaire.

Exercice 4

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JMB

Calculer la transformée de Laplace du signal suivant (méthode au choix) :

V0>0 et θV0

θ 2θ t

x(t)

Exercice 5

Calculer la transformée de Laplace du signal suivant (méthode du formulaire) :

V0

-V

θ 2θ t

x(t)

Exercice 6

Trouver les transformées de Laplace des signaux f1 et f2suivants et les représenter graphiquement :

f1(t) =½

sin t si 0 · t · π0 si t > π ou t < 0 ; f2(t) =

½1 si 0 · t · a

0 si t > a ou t < 0

Exercice 7

Calculer les transformées de Laplace des signaux T périodiques dé?nis ci­dessous :1. f(t) = jsintj

2. f(t) =

8<:

1 si 0 < t < a0 si a · t · 2a

T = 2a

9.2 Calculs de transformées de Laplace inverses.

Exercice 8

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JMB

Calculer L¡1µµ

11p+ 1(p +1) (p2 +4)

¶¶

Exercice 9

Trouver f (t) sachant que F (p) =1

(p ¡ 1)(p2 + 1)

Exercice 10

Calculer L¡1µ

14p2+ 55p+ 512p3 + 12p2 + 22p +12

¶

Exercice 11

Trouver f (t) sachant que : F (p) = 1 + e¡pπ

p2 +1et représenter graphiquement f (t).

Exercice 12

Trouver f (t) sachant que : F (p) =1

p(p +2)3(p+ 3)

9.3 Application de la transformée de Laplace à la résolution d’équations différentielles.

Exercice 13 : En utilisant la transformée de Laplace, résoudre l’équation différentielle suivante

:

y(4)(t) + 5y´(t) + 4y(t) = sint et t ¸ 0, y(0) = y0(0) = y´(0) = y000(0) = y(4)(0) = 0

Exercice 14 : En utilisant la transformée de Laplace, résoudre l’équation différentielle suivante

y´(t) ¡ y 0(t) + y(t) = (t ¡ 1)et et y(0) = 0, y0(0) = 1

Exercice 15 : En utilisant la transformée de Laplace, résoudre l’équation différentielle suivante

ty 000(t) ¡ y00(t) + ty0(t) ¡ y(t) = 0 et y(0) = y0(0) = y00(0) = 0 et y000(0) = 1.

9.4 Application de la transformée de Laplace à la résolution de systèmes différentiels.

Exercice 16

Résoudre

8>><>>:

x0(t) = ¡2y(t) + 2z(t)y0(t) = 2x0t)¡ z(t)

z0(t) = ¡2x(t) + y(t)x(0) = 1, y(0) = z(0) = 0

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