TP Laplace

Nicolas Marck, Pierre-Henri Koch

2008-2009

1. Introduction et rappel théorique

2. Démarche de programmation

3. Tracé

4. Vitesses

5. Sections caractéristiques

6. Pressions et forces

7. Analyse

1 Introduction et rappel théorique

Dans le cadre du cours sur les principes de la mécanique des uides, ande pouvoir à la fois mettre en pratique des concepts théoriques vus au courset aussi de nous faire découvrir certaines méthodes de résolutions oertespar l'informatique (notamment avec MATLAB), il nous a été demandé deréaliser la modélisation d'un écoulement plan irrotationnel sous l'hypothèsed'un uide parfait pour une géométrie précise et un débit donné.

La base de ce travail est l'équation de Laplace que l'on va devoir discré-tiser (en découpant le domaine géométrique en une série de mailles) an depouvoir l'appliquer concrètement par la méthode des diérences nies dansun logiciel de calcul (ici, MATLAB). Cette discrétisation va, par rapport àune résolution analytique généralement longue et compliquée, simplier larésolution de cette équation, tout en gardant une précision susante maisaussi systématiser ce résultat à une longue succession de points de calcul. Deplus, le programme produit sera susamment général pour etre adapté à ungrand nombre de congurations diérentes.

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Méthode générale :

A partir de ces calculs en chaque maille du domaine, on va pouvoir détermi-ner le potentiel φ. De la connaissance du potentiel va découler la connaissancedes lignes d'équipotentiel, puis par dérivation, la connaissance du champ devitesse dans le domaine considéré.

Dans un second temps, on va pouvoir calculer les lignes de courant ainsique les pressions exercées sur les parois à l'aide de la loi de Bernoulli.

Le programme développé se présente sous la forme de fonctions à appelervia un programme principal, cette approche pourrait permettre de réutilisercelles-ci soit de manière itérative soit dans un programme futur.

Hypothèses :

On considère un écoulement plan d'un uide, on note

les vitesses respectivement selon x et y : u et v

le vecteur tourbillon :−→Ω

le potentiel de vitesse : φ la fonction ligne de courant : ψ Une ligne de courant est une courbequi, à chaque instant, possède, en chacun de ses points, une tangenteparallèle au vecteur vitesse

La fonction ψ est totalement diérente du potentiel φ : à l'aide de φ ondécrit les vitesses et l'on peut tracer des équipotentielles tandis qu'avec ψ ons'intéresse aux lignes de courant. Même si leurs dénitions se ressemblent, etqu'on peut établir le fait que les ligne de même potentiel sont perpendiculairesaux lignes de courant, la réalité physique décrite est diérente.

1. Fluide incompressible

2. Fluide irrotationnel

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Un écoulement est dit irrotationnel lorsque les particules de uidessubissent uniquement des mouvements de translation et aucun mou-vement de rotation. L'hypothèse d'un uide parfait n'exclut pas unécoulement irrotationnel. Si le uide est irrotationnel, on a

−→Ω = 0⇔ ∂u

∂y=∂v

∂x

alors il existe un potentiel de vitesse tel que

u =∂φ

∂x; v =

∂φ

∂y

3. Continuité

L'écoulement doit vérier la condition de continuité :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

En exprimant ces hypothèses en fonction soit du potentiel de vitesse φ oude la fonction de courant ψ, on obtient leurs équations de Laplace respectives :

∆φ = 0

∆ψ = 0

On ne fait pas d'hypothèse sur la stationnarité ou non de l'écoulement.

Conditions aux limites de Dirichlet et Neumann

De manière générale, la solution d'un problème diérentiel est dénie parses conditions aux limites. Ici on considère deux types de conditions : celles deDirichlet qui imposent une valeur dénie à la fonction potentiel elle-même,soit imposer φ(x) = α, ∀α connu et celles de Neumann qui imposent desvaleurs à la dérivée du potentiel (soit imposer des vitesses).

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2 Démarche de programmation

Pour tout ce travail, les matrices seront traitées par leurs indices i et j,chaque élément représente une portion du domaine. Nous avons choisi unedistance de 1 entre chaque maille.

La géométrie du problème nous a été donnée sous forme d'une matrice, ellesera appelée Mat_or elle contient 183 x 138 éléments dans notre cas. Pourfaciliter les calculs nous avons numérotés les éléments non nuls de notrematrice géométrie : chaque élément non-nul de Mat_or a été compté depuis1 jusque 10056 et placé dans la matrice P.

Pour parvenir au résultat, il nous a fallu passer par plusieurs matrices in-termédiaires et diérentes variables. Nous expliquerons donc notre méthodepoint par point, dans l'ordre des questions, en spéciant la raison d'être dechaque variable utile dans un souci de clarté. De façon générale, les ma-trices traitées contiennent un grand nombre d'éléments, nous avons essayéde les traiter autant que possible en tant que matrices creuses en utilisant lacommande sparse et spalloc (qui permettent respectivement de signaler unematrice creuse et d'allouer de la mémoire pour stocker une matrice creuse).Cela a l'avantage de pouvoir stocker des très grandes matrices qui nécessi-

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teraient trop de mémoire d'accélerer l'exécution (notemment des boucles) etde rendre possible la résolution de problèmes linéaires de type Ax = b.

Notre géométrie

1. Calcul du potentiel

Après le calcul de P (matrice numérotée) et de b (vecteur conte-nant les conditions aux limites), on construit une matrice A. Elle estconstruite comme une matrice d'adjacence portant sur sa diagonaleprincipale le nombre de voisins non-nuls de l'élément courant.

Allure de la matrice A (creuse)

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Le calcul du potentiel φi,j de chaque maille est fait de manière itéra-tive sur base de la formule

φi,j =−qi

lh2 + φi−1,j + φi+1,j + φi,j−1 + φi,j+1

4⇔ (1)

qilh

2 = 4φi,j − φi−1,j − φi+1,j − φi,j−1 − φi,j+1 (2)

où q est le débit et h la taille d'une maille. Nous avons du adaptercelle-ci selon les cas : si la cellule ne possède pas 4 voisins, alors onremplace le coécient de φi,j dans la formule et on ne divise plus par4 mais par le nombre de voisins de la cellule. Pour plus de facilité, onutilise la matrice de repérage des éléments non nuls P, et on examinechaque cas an de compter le nombre de mailles voisines non nulles.

La fonction permettant le calcul de la matrice des potentiels s'appellelaplace_nico et prend en entrée la matrice de géométrie Mat_or.mat

3 Tracé

Voici le tracé des lignes d'équipotentiel Sur les équipotentielles, le po-tentiel est constant, on voit que si elles sont proches, le potentiel variebeaucoup sur une l'intervalle, donc le gradient est grand, ici cela signieque les vitesses sont d'autant plus importantes que les équipotentiellessont proches.

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Lignes équipotentielles pour notre écoulement.

On peut aussi utiliser la valeur du potentiel comme cote, et obtenirl'image suivante assez "parlante". Toutefois il ne faut pas perdre devue qu'il s'agit du potentiel ! On peut voir cette représentation commel'interprétation du potentiel φ comme un potentiel de gravité (g) etdonc considérer l'écoulement comme celui des points "les plus hauts"(aux entrées) vers un point "arbitrairement bas" (à notre sortie). Unefois encore, rappelons que c'est une interprétation du potentiel.

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Matrice des potentiels représentées avec la valeur du potentiel encote.

Pour calculer les lignes de courant, nous sommes d'abord passé par lecalcul des vitesses selon l'axe x et y, puis avons executé la commande

streamslice(matU,matV, 20)

an d'obtenir une représentation de la fonction ψ sur le domaine.

Nous présentons ici quelques observations sur ces lignes, le calcul desmatrices de vitesses est expliquée au point suivant an de respecterl'ordre des questions.

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Répartition des lignes de courant dans notre écoulement

Voici le tracé des lignes de courant, il est possible d'observer certainespropriétés intéressantes :

L'écoulement étant permanent (ne variant pas dans le temps), la lo-gique nous impose évidemment que les lignes de courant représententbien le trajet d'une particule de uide à travers la géométrie du pro-blème (les lignes de courant sont donc bien tangentes aux vecteursvitesses).

On remarque aussi directement que, comme la théorie nous l'indique,les lignes de courant ne se coupent jamais.

On peut aussi noter que l'espace entre deux lignes de courant suc-cessives varie en fonction de la largeur de la section : plus la sectionest large, plus l'écart entre les lignes de courant est grand. . . Cela seremarque surtout à l'entrée du domaine (où la section et l'écart sontmaximaux) et entre les déviateurs (où tout aussi bien l'écart que lasection atteignent leurs minima). De plus, comme l'on sait que plus

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les lignes de courant sont rapprochées, plus la vitesse est élevée, lavitesse moyenne sera donc plus importante aux abords des obstaclesqu'aux entrées du domaine.

Les lignes de courant se répartissent dans l'ensemble du domaineet gardent une certaine similitude dans leur trajectoire. Ces pointsconrment une certaine continuité de la fonction de courant.

Les lignes de courant correspondent à l'idée que l'on pouvait s'en faireà la suite de l'hypothèse d'un uide parfait :

Le tracé des lignes de courant ne présentent aucune irrégularité commedes tourbillons ou des zones d'eau stagnantes .

Un uide parfait supposant, par dénition, qu'il n'y a aucune contraintede cisaillement le long des parois ou entre deux couches de uide,les lignes de courant vont glisser les long des limites du domaine.Dans ce cas particulier, on remarque que les parois elles-mêmes jouentle rôle de lignes de courant particulières où la valeur de la fonctionde courant est une constante (ce qui a d'ailleurs justié une de nosconditions aux limites).

A l'entrée et à la sortie du domaine, l'hypothèse d'un uide parfaitnous impose d'avoir un écart constant entre les lignes de courant.Cela nous a permis de compléter nos conditions aux limites, à savoirune progression linéaire de la fonction de courant entre les parois àl'entrée et à la sortie (condition de Neumann).

4 Vitesses

Lorsque l'ensemble des valeurs de φ sont obtenues, nous pouvons calculerles composantes Vx et Vy de la vitesse selon les axes x et y respectivement.Nous utilisons une des formules des diérences nies centrées si l'on est passur un bord, ou décentrées si on est sur un bord avec h valant 1. Après lecalcul de chacune des matrices de vitesses (selon x : matU et selon y : matV),on calcule la vitesse globale et on construit la matrice V telle que

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V (i, j) = sqrt(matU(i, j) ∗matU(i, j) +matV (i, j) ∗matV (i, j));

Répartition des vitesses globales dans notre géométrie

On observe un résultat plausible : les vitesses sont très importantes sur lescoins extérieurs des parois et très faibles dans les coins intérieurs.

5 Sections caractéristiques

6 Pressions et forces

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