02 ter- Transform es de Laplace [Mode de compatibilit ]

1) Représentation par équation différentielle1) Représentation par équation différentielle

2) Méthode de résolution par Laplace2) Méthode de résolution par Laplace

3) Comparaison méthodes math / SII3) Comparaison méthodes math / SII

4) Définitions4) Définitions

2/24

5) Propriétés5) Propriétés

6) Transformées de Laplace des fonctions courantes6) Transformées de Laplace des fonctions courantes

7) Tableau récapitulatif7) Tableau récapitulatif


Un système linéaire, continu, invariant, mono variable peut être décrit par une

1) Représentation générale d’un SLCI par une équation différentielle1) Représentation générale d’un SLCI par une équation différentielle

Systèmee(t) s(t)

Consigne d’entrée Variable de sortie

=×+×+×++× )()()(

......)(

012

2

2 tsadt

tdsa

dt

tsda

dt

tsda

n

n

n

équation différentielle linéaire (à coefficients constants) de la forme suivante :

3/24

0122 dtdtdtnn

)()()(

......)(

012

2

2 tebdt

tdeb

dt

tedb

dt

tedb

m

m

m ×+×+×++×

�

a0…..an et b0…..bm sont des constantes

n est l’ordre du système

m < n

Equation Equation différentielledifférentielle

Méthode de Laplace

Comparaison math / SII

DéfinitionsFonctions courantes

PropriétésTableau

récapitulatif

Cette transformation va nous faire passer d’une équation différentielle

=×+×+×++× )()()(

......)(

012

2

2 tsadt

tdsa

dt

tsda

dt

tsda

n

n

n )()()(

......)(

012

2

2 tebdt

tdeb

dt

tedb

dt

tedb

m

m

m ×+×+×++×

L’outil mathématique qui va nous permettre la résolution de ces équations

∑∑mn

2) Méthode de résolution de l’équation différentielle2) Méthode de résolution de l’équation différentielle

différentielles (ordre maximal de 2) est la transformée de Laplace.

à une équation polynomiale, plus facile à manipuler :

4/24

∑∑==

××=××m

j

jj

n

i

ii pb)p(Epa)p(S

00

Dans le domaine de Laplace, la variable est notée

Dans le domaine temporel, la variable est le temps, noté

Equation différentielle

Méthode Méthode de Laplacede Laplace



PropriétésTableau

récapitulatif

pp(ou dans les pays anglo-saxons) ss

tt

solution particulière(composante permanente)

solution générale(composante transitoire)

équation sanssecond membre

équation avecsecond membre

équationdifférentielle

avec second membre

solution finale� « math »

3) Comparaison méthodes de résolution math / SII3) Comparaison méthodes de résolution math / SII 5/24

décomposition en “ formes connues ”

manipulations algébriques

transformées inversesde Laplace

équation algébrique

transformées de Laplace

conditions initiales

équationdifférentielle

avec second membre

solution finale

� « SII »


Méthode de Laplace

Comparaison Comparaison math / SIImath / SII


PropriétésTableau

récapitulatif


On dit qu’une fonction du temps f(t) est «causalecausale» si elle vérifie :

f(t) = 0 pour t < 0

On appellera la fonction d’ HeavisideHeaviside

la fonction u(t)u(t) telle que :

(ou existence ou identité ou unitaire ou échelon unité)

6/24

pour t < 0 u(t) = 0

pour t >0 u(t) = 1

quelle que soit la fonction f(t): f(t)xu(t) est obligatoirement causale.


Méthode de Laplace


Fonctions courantes

PropriétésTableau

récapitulatifDéfinitionsDéfinitions

On définit la transformée de Laplace d’une fonction causale f(t):

où p est une variable complexe

=)p(Ff(t) L

7/24

dt)t(fe tp ××∫∞+ −

0

On notera la transformée de Laplace de la fonction temporelle f(t) :


Méthode de Laplace


Fonctions courantes

PropriétésTableau

récapitulatifDéfinitionsDéfinitions

F(p) = L [ f(t)]

5) Propriétés5) Propriétés

Existence et unicité :Existence et unicité :Soit f(t) une fonction du temps.

Si f(t) est continue par morceaux pour [ [∞+∈ ;0t et si f(t)e t

t×−

∞+→lim est finie

alors f(t) admet une transformée de Laplace unique F(p) et inversement

Linéarité :Linéarité :

8/24

2),( R∈∀ ba L [ a x f1(t) + b x f2(t) ] = a x L [ f1(t) ] + b x L [ f2(t) ]


Méthode de Laplace



Tableau récapitulatif

PropriétésPropriétés

Produit de deux fonctions :Produit de deux fonctions :

L [ f1(t) x f2(t) ) ] = L [ f1(t) ] x L [ f2(t) ]

Dérivation :Dérivation :

Faisons une intégration par partie :

L [ f ’(t) ] = dtt'fe tp ××∫∞+ − )(

0

u’(t) v(t)

[ ] dt)t('v)t(u)t(v)t(udt)t(v)t('ub

a

ba

b

a××−×=×× ∫∫

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si leur dérivée u’ et v’ sont continues sur I alors quels que soient a et b éléments de I :

9/24

[ ] dttfetfe tptp ××−× ∫∞+ −∞+− )(')()(

00

u’(t) v(t)


Méthode de Laplace





L [ f ’(t) ] = dt)t('fe tp ××∫∞+ −

0

=

v(t) u(t) u(t)v’(t)

= ( ) dt)t(f)ep()(f tp ×××−−− ∫∞+ −

000

)0()(0

fdttfep tp −×××∫∞+ −

10/24

=

[ ] dttfetfe tptp ××−× ∫∞+ −∞+− )(')()(

00L [ f ’(t) ] =

L [ f(t)]

Dériver dans le domaine temporel « revient à » multiplier par p dans le domaine de Laplace (aux conditions initiales près).

L [ f ’(t) ] = p x L [ f(t)] – f(t=0)


Méthode de Laplace





L [ f(t)]

Dérivation double :Dérivation double :

L [ f ’’(t) ] = p x L [ f ’(t) ] – f’(t=0)

p x { p x L [ f(t)] – f(t=0)} – f’(t=0) =

11/24

L [ f ’’(t) ] = p2 x L [ f(t)] – p x f(t=0) – f ’(t=0)


Méthode de Laplace





Intégration :Intégration :

Notons g(t) la fonction temporelle telle que : g’(t) = f(t)

=××∫∞+ − dt)t(ge tp

0

L [ g(t)] =

dttgep

tgep

tptp ××

×−−

×

×− ∫

∞+ −∞+

− )('1

)(1

00


a

ba

b

a××−×=×× ∫∫

u’(t) v(t)

∞+11

12/24

u(t) v(t) u(t) v’(t)

= dttgep

gp

tp ×××+

××

−− ∫

∞+ − )('1

)0(11

00

L [ g(t)] = x L [ f(t)] + x g(t=0)p

1

p

1

Intégrer dans le domaine temporel « revient à » diviser par p dans le domaine de Laplace (aux conditions initiales près).


Méthode de Laplace





Théorème de la valeur initiale :Théorème de la valeur initiale :

)(lim)(lim0

pFptfpt

×=∞+→→

13/24

Théorème de la valeur finale :Théorème de la valeur finale :


Méthode de Laplace





0 pt ∞+→→

)(lim)(lim0

pFptfpt

×=→∞+→

t

f(t)Signal initial

g(t)

T0

Théorème du retard :Théorème du retard :

causales f(t) et g(t)

g(t) est « retardée » d’une durée T0

g(t) = f(t-T0 )Signal retardé

Soient deux fonctions temporelles

14/24

L [ g(t)] = L [ f(t-T0)]

dtTtfe tp ×−×∫∞+ − )( 00

=


Méthode de Laplace





On suppose connaître la transformée de Laplace de f(t) soit : L [ f(t)]

t

f(t)Signal initial

g(t)

T0

Signal retardé

Posons : x = t - T0 t = x + T0

dt = dx

L [ g(t)] = dtTtfe tp ×−×∫∞+ − )( 00

15/24

L [ g(t)] = =××∫∞+

−+− dxxfe

T

Txp )(0

0)( dx)x(feeT

xppT ×××∫∞+

−−×−

0

0

××+××× ∫∫

∞+ −−

−×− dxxfedxxfee xp

T

xppT )()(0

0

0

0=


Méthode de Laplace





L [ g(t)] = x L [ f(t)] pTe ×− 0

6) Transformées de Laplace des fonctions courantes6) Transformées de Laplace des fonctions courantes

Echelon :Echelon :

L [ f(t)] = =××∫∞+ − dtAe tp

0

soit un échelon d’amplitude A f(t) = A pour t >0

∞+−

×−×

0

1 tpep

A

Amplitude du signal

f(t)A

16/24

Nota : pour l’échelon unitaire (A = 1)

On parlera de réponse indicielle.

t


Méthode de Laplace


DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes

PropriétésTableau

récapitulatif

L [ f(t)] =p

A

L [ f(t)] =p

1

Créneau :Créneau : soit un créneau d’amplitude A et de durée T1

f(t) = A pour 0 < t < T1

t

Amplitude du signal

f(t)

T1

AL [ f(t)] = dttfe tp ××∫

∞+ − )(0

dtedtAeT

tpT tp ××+×× ∫∫∞+ −− 0

1

1

0=

T

17/24

= =

××− ×−

1

0

1T

tp Aep

−−××− ×−

p

AAe

pTp 1

1


Méthode de Laplace



PropriétésTableau

récapitulatif

L [ f(t)] = ( )11 Tpep

A −−×

t

Amplitude du signal

f(t)

T1

A

=

Graphiquement :

t

Amplitude du signal

g(t)A -

L [ f(t)] =p

A1Tpe

p

A −×

18/24

t

Amplitude du signal

h(t)

T1

A

L [ f(t)] =p

ep

×


Méthode de Laplace



PropriétésTableau

récapitulatif

L [ f(t)] = ( )11 Tpep

A −−×

Impulsion de Dirac :Impulsion de Dirac : amplitude infinie pour une durée infiniment courte

t

Amplitude du signal

f(t)

représente un choc mécanique, un flash…

Modélisons par un créneau

T1 t

Amplitude du signal

f(t)

T2

1T2

Transformée du créneauDéveloppement limité de l’exponentielle

durée infiniment brève :

(au voisinage de 0)

1T2

-p.T2

d’amplitude 1T2

et d’une

19/24

L [ f(t)] =

L [ f(t)] = ( )21 Tpep

A −−×

( ) ≈−××

−

→2

2

11

lim20

Tp

Te

Tp

...321

132

++++=!!!

xxxex

Transformée du créneau

=

−+−×→ !1

111

lim 2

202

Tp

TpT


Méthode de Laplace



PropriétésTableau

récapitulatif

(au voisinage de 0)

1

L [ f(t)] = 1

Exponentielle :Exponentielle : taetf −=)(

L [ f(t)] = =××∫∞+ − dttfe tp )(

0dtee tatp ×× −∞+ −

∫0dte tap ×∫

∞+ +−0

)(=

=

×

+−

∞++−1 t)ap(e

ap( )10

1 −×+

−ap

=

20/24

+ 0ap +ap


Méthode de Laplace



PropriétésTableau

récapitulatif

L [ f(t)] = ap+

1

Sinus :Sinus :

)(sin)( ttf ω= L [ f(t)] = =××∫∞+ − dt)t(fe tp

0dtte tp ××∫

∞+ − )(sin0

ω


a

ba

b

a××−×=×× ∫∫

Intégrons par partie :

L [ f(t)] = ( ) dteptet tptp ×−× ×−−

××− −∞+

∞+−

∫ )cos(1

)cos(1 ωω

d’où :

21/24v(t) u’(t)

L [ f(t)] = ( ) dteptet tptp ×−×

×−−

××− −∞+−∫0

0

)cos(1

)cos(1 ω

ωω

ω

= ( ) dttep tp ×××−×−×− ∫

∞+ −0

)cos(1101 ω

ωω

= dttep tp ×××− ∫

∞+ −0

)cos(1 ω

ωωEquation

différentielleMéthode

de LaplaceComparaison

math / SIIDéfinitions

Fonctions Fonctions courantescourantes

PropriétésTableau

récapitulatif


)(sin)( ttf ω=

Intégrons à nouveau par partie :

L [ f(t)] = ( )

×−×

×+−

××+×− −∞+∞+

−∫ dteptet

p tptp

00

)sin(1

)sin(11 ω

ωω

ωωω

22/24


a

ba

b

a××−×=×× ∫∫

L [ f(t)] = dttep tp ×××− ∫

∞+ −0

)cos(1 ω

ωωu’(t)v(t)


= ( )

×××+×−×− ∫

∞+ − dt)tsin(epp tp

0100

1 ωωωω

×−2

21

ωωpL [ f(t)]

L [ f(t)] ωω1

12

2

=

+× p


Méthode de Laplace



PropriétésTableau

récapitulatif

=L [ f(t)]

L [ f(t)] = 22 ωω+p


7) Tableau récapitulatif (fonctions causales)7) Tableau récapitulatif (fonctions causales)

L [ f(t)] = 22 ωω+p

L [ f(t)] = 1Dirac )(sin tω

L [ f(t)] = 2p

BL [ f(t)] = 22)( ω

ω++ap

Bxt )(sin te ta ω×−

L [ f(t)] =p

AL [ f(t)] = 22 ω+p

pA )(cos tω

23/24

L [ f(t)] = 1+np

n!nt

L [ f(t)] = 2pL [ f(t)] = 22)( ω++ap

Bxt )(sin te ω×

L [ f(t)] = ap+

1L [ f(t)] = 22)( ω++

+ap

aptae− )(cos te ta ω×−

L [ f(t)] = )1(

1

pp τ+τt

e−

−1


Méthode de Laplace



PropriétésTableau Tableau

récapitulatifrécapitulatif

FINFINFINFIN

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